2014中考数学一轮复习学案：第5讲一次方程组

注意移项要改变符号．
(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝的形式．
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本课小结
(xiǎojié)
解二元一次方程组方法： ①在解二元一次方程组时，若用一个未知数能很好地表示出另一个未知数， 则一般采用代入消元法； ②若两个方程(fāngchéng)中的某个未知数的系数相等或互为相反数，或者系数均不为1，
则一般采用加减消元法．
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本课小结
(xiǎojié)
解一次方程(组)的实际应用的一般步骤： (1)审，审清题意，分清题中的已知量，未知量；
(2)设，设未知数，对于含有两个未知量的问题，需要(xūyào)设两个未知数；
(3)列，根据相等关系列出方程； (4)解，解方程(组)； (5)验，检验所求解是否符合题意； (6)答，写出答案(包括单位)．
C．3(x－1)＝2(x＋3)变形得 3x－1＝2x＋6 D.23x－1＝12x＋3 变形得 4x－6＝3x＋18
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随堂检测( jiǎn cè)
2x＋5y＝－10，①
3、利用加减消元法解方程组
下列做法正确的是(
D)
5x－3y＝6，②
A．要消去 y，可以将①×5＋②×2
B．要消去 x，可以将①×3＋②×(－5)
即如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b (c≠0)，那么 (注：等式的性质是解方程的依据)
. ab cc
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知识(zhī shi) 梳理
考点(kǎo diǎn)2：一元一 次方程

专题05 一次方程（组）及其应用的核心知识点精讲1、掌握等式的基本性质掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.3、经历用一次方程组解应用题的过程，提高分析问题和解决问题的能力【题型1：等式的性质】【典例1】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝bC．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2【答案】A【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；故选：A．1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2【答案】B【解答】解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．故选：B．2．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（ ）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．a﹣b＝4（b﹣c）D．a﹣c＝5（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵b＝a+c，∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．故选：D．【题型2：一次方程（组）的相关概念】【典例2】（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．7D．﹣7【答案】A【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，∴2×1+m＝5，∴m＝3，故选：A．【典例3】（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故选：B．1．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．2．（2021•聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（ ）A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5【答案】A【解答】解：x+a＝2，x＝﹣a+2，∵﹣3＜a≤3，∴﹣3≤﹣a＜3，∴﹣1≤﹣a+2＜5，∴﹣1≤x＜5，故选：A．3．（2020•重庆）解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（ ）A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3xC．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x【答案】D【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．4．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为　2　．【答案】2．【解答】解：，①﹣②得：x﹣y＝a+2，又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，∴a+2＝4，∴a＝2．故答案为：2．【题型3：一次方程（组）的解法】【典例4】（2021•广元）解方程：+＝4．【答案】x＝7．【解答】解：+＝4，3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，3x﹣9+2x﹣2＝24，3x+2x＝24+9+2，5x＝35，x＝7．【典例5】（2023•乐山）解二元一次方程组：．【答案】．【解答】解：，①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为：．1．（2023•河南）方程组的解为 ．【答案】．【解答】解：，①+②，得4x+4y＝12，∴x+y＝3③．①﹣③，得2x＝2，∴x＝1．②﹣①，得2y＝4，∴y＝2．∴原方程组的解为．故答案为：．2．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】见试题解答内容【解答】解：4x﹣1＝2x+5，4x﹣2x＝5+1，2x＝6，x＝3．3．（2023•常德）解方程组：．【答案】．【解答】解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程组的解是．4．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．（2）写出你的解答过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】解：（1）如图：（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，去括号：14x＝4x﹣1+6，移项：14x﹣4x＝﹣1+6，合并同类项：10x＝5，系数化1：x＝．【题型4：一次方程（组）的应用】【典例6】（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】（1）A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）100个．【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据题意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）设商场可以购置A玩具y个，根据题意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，则最多可以购置A玩具100个．1．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．2．（2023•陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？【答案】学校这次共买了81棵树苗．【解答】解：设学校这次共买了x棵树苗，则：＝，解得：x＝81，答：学校这次共买了81棵树苗．3．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．【解答】解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．4．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．【答案】调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得：，答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．5．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B 种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，依题意得：，解得：．答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，∴购买B种跳绳（45﹣m）根．依题意得：，解得：23≤m≤25.4，又∵m为整数，∴m可以取23，24，25，∴共有3种购买方案，方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．∵﹣5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．1．（2023•青县校级模拟）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）A．x+y＝0B．＝C．x﹣2＝y﹣2D．x+7＝y﹣7【答案】C【解答】解：A、由x＝y，得到x﹣y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由x＝y，得到＝，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由x＝y，得到x﹣2＝y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；D、由x＝y，得到x+7＝y+7，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．2．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，如果每人分3个，则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，下列方程正确的是（ ）A．3x+20＝4x﹣25B．3x﹣25＝4x+20C．4x﹣3x＝25﹣20D．3x﹣20＝4x+25【答案】A【解答】解：由题意得3x+20＝4x﹣25．故选：A．3．（2023秋•瓦房店市校级期中）若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（ ）A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝﹣4代入方程得：a﹣12＝﹣15，解得：a＝﹣3．故选：D．4．（2023秋•南宁期中）一元一次方程2x+1＝5的解为（ ）A．x＝3B．x＝4C．x＝2D．x＝0【答案】C【解答】解：移项和合并同类项，可得：2x＝4，系数化为1，可得：x＝2．故选：C．5．（2022秋•乐亭县期末）解方程，去分母正确的是（ ）A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1）B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）【答案】C【解答】解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C．6．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（ ）A．1B．﹣1C．±1D．0【答案】B【解答】解：解2x＝8，得x＝4．由同解方程，得4a+2×4＝4．解得a＝﹣1，故选：B．7．（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2【答案】A【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故选：A．8．（2023春•莒南县期末）已知是方程组的解，则a+b＝（ ）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】B【解答】解：∵是方程组的解∴将代入①，得a+2＝﹣1，∴a＝﹣3．把代入②，得2﹣2b＝0，∴b＝1．∴a+b＝﹣3+1＝﹣2．故选：B．9．（2023春•西城区校级期中）已知是二元一次方程y﹣kx＝7的解，则k的值是（ ）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】D【解答】解：根据题意得，﹣1﹣2k＝7，解得：k＝﹣4．故选：D．10．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5；∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，∴．∴所列方程组为．故选：B．11．（2023春•天元区校级期末）若解得x，y的值互为相反数，则k的值为（ ）A．4B．﹣1C．2D．﹣5【答案】D【解答】解：由题意可知：x+y＝0，∴，解得：，将代入2x﹣ky＝6，得2×（﹣2）﹣2k＝6，解得：k＝﹣5．故选：D．二．解答题（共5小题）12．（2023•渝北区校级自主招生）解下列方程：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），去括号得：2x﹣3x+3＝5﹣5x，移项得：2x﹣3x+5x＝5﹣3，合并同类项得：4x＝2，把系数化为1得：x＝．（2）1﹣＝，去分母得：15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x），去括号得：15﹣3x+9＝20﹣5x，移项得：﹣3x+5x＝20﹣15﹣9，合并同类项得：2x＝﹣4，把系数化为1得：x＝﹣2．13．（2023秋•靖江市校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．（1）求k的值；（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，∴k＝﹣3；（2）3x＝4﹣5x，3x+5x＝4，x＝，原方程为：6x+2m+1＝0，把x＝代入：3+2m+1＝0，m＝﹣2．14．（2022秋•莲池区校级期末）解下列方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）②﹣①得：4y＝16，解得：y＝4，把y＝4代入②得：x+4＝6，解得：x＝2，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，②×2﹣①得：5x＝12，解得：x＝，把x＝代入②得：﹣y＝8，解得：y＝，则方程组的解为．15．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）调入6名工人；（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【解答】解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．16．（2023春•铁锋区期末）列方程（组）或不等式（组）解应用题：学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；（2）最多能购买20支羽毛球拍．【解答】解：（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，依题意得：，解得：．答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，依题意得：80m+60×3m≤5300，解得：m≤．又∵m为整数，∴m的最大值为20．答：最多能购买20支羽毛球拍．1．（2023秋•秦淮区期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）A．0B．2C．6D．0或2【答案】A【解答】解：由题意得：|a﹣1|＝1且a﹣2≠0，解得a＝0．故选：A．2．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（ ）A．4B．5C．21D．5或21【答案】B【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．综上，x＝5，故选：B．3．（2022秋•颍州区校级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，可列方程为（ ）A．2×600x＝1000（22﹣x）B．2×1000x＝600（22﹣x）C．600x＝2×1000（22﹣x）D．1000x＝2×600（22﹣x）【答案】A【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母，由题意得：2×600x＝1000（22﹣x），故选：A．4．（2023秋•洛龙区期中）下列运用等式变形错误的是（ ）A．由a＝b，得a+6＝b+6B．由a＝b，得C．由，得a＝b D．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b【答案】D【解答】解：A．∵a＝b，∴a+6＝b+6，故本选项不符合题意；∴＝，故本选项不符合题意；C．∵＝，∴a＝b，故本选项不符合题意；D．∵﹣2a＝﹣2b，∴a＝b，故本选项符合题意．故选：D．5．（2023秋•新市区校级期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）A．49B．60C．84D．105【答案】D【解答】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+8，x+7，x+6，则这7个数的和为x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+8+x+7+x+6＝7x，A．若7x＝49，则x＝7，不符合题意；B．若7x＝60，则，不符合题意；C．若7x＝84，则x＝12，不符合题意；D．若7x＝105，则x＝15，符合题意；故选：D．6．（2023秋•蔡甸区期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率恰好为10%，则该商品可以打（ ）折（利润率＝×100%）A．7B．7.5C．8D．8.8【答案】D【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为（5×0.1x）元，那么利润为（5×0.1x﹣4）元，所以相应的关系式为5×0.1x﹣4＝4×10%，答：该商品可以打8.8折，故选：D．7．（2023•九龙坡区校级开学）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟，∴甲的速度是，乙的速度是，由题意得．故选：A．8．（2023秋•雁塔区校级期中）若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的值是（ ）A．3B．2C．1D．﹣1【答案】A【解答】解：把x＝3，y＝1代入关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1得：2a﹣1＝3+2×1，2a﹣1＝5，2a＝6，a＝3，故选：A．9．（2023秋•深圳期中）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设m+n＝x'，m﹣n＝y'，则关于m，n的二元一次方程组可以转化为，∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴关于x'、y'的二元一次方程组的解，∴，①+②得：2m＝6，解得m＝3，将m＝3代入①得：n＝﹣2，∴．故选：D．10．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n 的大长方形则图中阴影部分的周长是（ ）A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n【答案】A【解答】解：设白色小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝m，∵大长方形的长、宽分别为m、n，∴左边阴影部分的长为（m﹣2y），宽为（n﹣2y），右边阴影部分的长为2y，宽为（n﹣x），∴阴影部分的周长＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）]＝2（m+n﹣4y）+2（2y+n﹣x）＝2（m+n﹣4y+2y+n﹣x）＝2（m+2n﹣2y﹣x）＝2[m+2n﹣（2y+x）]＝2（m+2n﹣m）＝4n，故选：A．11．（2023春•富县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）A．k≤1B．k≤2C．k≤﹣1D．k≤﹣2【答案】A【解答】解：两方程相加，得3x+3y＝5k﹣1，∴，∵，∴，解得：k≤1，故选：A．12．（2022春•朝天区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝﹣；A．①②B．②③C．②③④D．①③④【答案】D【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确，（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确，（3）方程组，解得，∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的，（4）方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），即；y＝﹣+因此④是正确的，故选：D．13．（2022秋•成都期末）已知关于x，y的二元一次方程组为，则3x+2y的值为　7　．【答案】7．【解答】解：，①+②得：3x+2y＝7．14．（2023春•海林市校级期中）已知方程组和有相同的解，求a、b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：先解方程组，解得：，将x＝2、y＝3代入另两个方程，得方程组：，解得：．15．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据题意得：，解得：．答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．16．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每辆小客车能坐m名学生，每辆大客车能坐n名学生根据题意，得，解得，m+n＝20+45＝65，答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．（2）①由题意得：20a+45b＝400，∴b＝，∵a、b为非负整数，∴或或，∴租车方案有三种：方案一：小客车20车、大客车0辆，方案二：小客车11辆，大客车4辆，方案三：小客车2辆，大客车8辆；②方案一租金：200×20＝4000（元），方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），∵3720＞3440，∴方案三租金最少，最少租金为3440元．答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；（2）当销售总收入为16760元时，①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．【答案】（1）a的值为20；（2）①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮；②b的值为9或18．【解答】解：（1）由题意，得160a+270a＝8600，解得：a＝20，答：a的值为20．（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意，得，解得：，答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，则，解这个关于m和n的方程组，可得：，∵n为正整数，∴＞0，且b应为9的倍数，解得：，又∵b＞0，∴b的值为9或18．答：b的值为9或18．1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．故选：A．2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（ ）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7【答案】C【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，合并同类项得：x＝7．故选：C．3．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（ ）A．3B．C．2D．【答案】D【解答】解：由题意可得，解得：，则﹣2xy+1＝﹣2××+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+1＝﹣+≤，∵3＞＞2＞，∴A，B，C不符合题意，D符合题意，故选：D．4．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为　3　．【答案】3．【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：+a＝4，解得：a＝3，故答案为：3．5．（2021•枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为　1　．【答案】1．【解答】解：依题意，得：6+m+8＝15，解得：m＝1．故答案为：1．6．（2023•连云港）解方程组．【答案】．【解答】解：，①+②得：5x＝15，解得：x＝3，将x＝3代入①得：3×3+y＝8，解得：y＝﹣1，故原方程组的解为：．7．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．【答案】k＜2．【解答】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，①﹣②得：2y＝2，∴y＝1，代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，∴k＜2．答：k的取值范围为：k＜2．8．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．（2）至多可以购买B种跳绳20根．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．根据题意得：，解得：，答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，解得：a≤20，答：至多可以购买B种跳绳20根．9．（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31﹣2在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k 的值．【答案】（1）6分；（2）k的值为6．【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），答：珍珍第一局的得分为6分；（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得：k＝6．∴k的值为6．10．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租用14辆45座客车更合算．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．根据题意，得，解得．答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14辆45座客车更合算．。

一元一次方程与二元一次方程组辅导教案1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.3．我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和95%．（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．4．海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元.李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元.请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？五、牛刀小试1、若代数式x+2的值为1，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣32、某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x3、某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．巩固练习1．方程x ＋5=4的解是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．方程3x+2(1-x)=4的解是（ ）A.x=52B.x=65C.x=2D.x=13．我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为（ ）A ．（9﹣7）x =1B ．（9+7）x =1C ．11()179x -= D ．11()179x += 4．若单项式22a bx y+与413a b x y --是同类项，则a ，b 的值分别为（ ） A ．a=3，b=1 B ．a=﹣3，b=1 C ．a=3，b=﹣1 D ．a=﹣3，b=﹣1 5．方程2x 13-=的解是（ ） A ．-1 B ．C ．1D ．2 6．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组33-11-12强化提升1．某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为元．2．已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为．3．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x 人，可列方程为．4．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多元．5．方程组的解是．6．已知：若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是．7．某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数．若设城镇现有人口为x万，农村现有人口为y万，则所列方程组为。

解:设 A 种树苗每棵的价格是 x 元,B 种树苗每棵的价格是 y 元,
+ = ,
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= .
答:A 种树苗每棵的价格是 40 元,B 种树苗每棵的价格是 10 元.
第5讲
一次方程(组)
等式的性质
性质 1
性质 2
等 式 两 边 加 ( 或 减 ) 同一 个数
(或式子),结果仍相等
等式两边乘同一个数,或除以
同一个不为 0 的数,结果仍
相等
如果 a=b,那么 a±c=b±c
如果 a=b,那么 ac=bc;如果

a=b,那么 = (c≠0)

一元一次方程及其解法
是二元一次方程组
= -

+ = -,
m

的解,则 n =
.
- =
把原方程组的解代入原方程组可求得m,n的值,然后
可计算nm的结果.
[变式] (2023 四川泸州泸县五中二模改编)已知方程组
中 x-y=0,则 m=
4
.
- = ,
其
+ = ,
一次方程(组)的解法
缝隙,就称它为“优美矩形”.如图所示,“优美矩形”ABCD的周长为
26,则正方形d的边长为 5
.
7.(2023自贡)某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号
客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载
客量.
解:设该客车的载客量为x人.
根据题意,得4x+30=5x-10,
[例 2] 解下列方程(组):
-
-