下载文档原格式
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析近几年共同点： ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：一、问题原型：如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。
解这类问题 二、基本解法：对称共线法。
利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。
中考数学复专题1．如图，已知数轴上的点A 、(1)若P 到点A 、B 的距离相等，(2)动点P 从点A 出发，以2个长度个时刻t ，恰好使得P 到点A 的距在，请说明理由；(3)若动点P 从点A 出发向点B 运动点P 从点A 出发向点B 运动，同时点与Q 点的运动速度（长度单位【答案】(1)2−； (2)存在；2或6；(3)2单位长度/秒；1单位长度/【解析】 【分析】（1）设点P 对应的数为x ，（2）表示出点P 对应的数，进而（3）设P 点的运动速度m 单位长的二元一次方程组求解即可得出答(1)A B -51数学复习考点题型专题讲解07 07 数轴上动点相距问题数轴上动点相距问题B 对应的数分别是－5和1．，求点P 对应的数；个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒的距离是点P 到点B 的距离的2倍？若存在，请求出运动，同时，动点Q 从点B 出发向点A 运动，经过同时，动点Q 从点B 出发与点P 同向运动，经过单位/秒） 秒表示出BP 与P A ，根据BP =P A 求出x 的值，即可确定出进而表示出P A 与PB ，根据P A =2PB 求出t 的值即可单位长度/秒，Q 点的运动速度n 单位长度/秒，根据题意得出答案．题讲解问题问题秒，问：是否存在某请求出t 的值；若不存经过2秒相遇；若动经过6秒相遇，试求P 确定出点P 对应的数； 值即可；根据题意列出关于m 、n设点P 对应的数为x ，则5PA x =+，1PB x =−，∵PA PB =， ∴51x x +=−，解得：2x =−，∴点P 对应的数为-2；(2)P 对应的数为52t −+，∴2PA t =，52126PB t t =−+−=−， ∵2PA PB =， ∴2226t t =−，当26t t =−时，6t =， 当260t t +−=时，2t =，答：当2t =或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍； (3)设P 点的运动速度m 单位长度/秒，Q 点的运动速度n 单位长度/秒，根据题意得， 226666m n m n +=−−=， 解得：21m n = = ，答：P 点的运动速度2单位长度/秒，Q 点的运动速度1单位长度/秒． 【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．2．如图，数轴上的点O 和A 分别表示0和10，点P 是线段OA 上一动点，沿O→A→O 以每秒2个单位的速度往返运动1次，B 是线（1）线段BA 的长度为；（2）当t ＝3时，点P 所表示的数（3）求动点P 所表示的数（用含（4）在运动过程中，当PB ＝【答案】（1）5；（2）6；（3）当的数是20﹣2t ；（4）1.5或3.5【解析】 【分析】（1）根据B 是线段OA 的中点，（2）根据已知条件即可得到结论（3）分两种情况讨论：①当（4）分两种情况讨论：①当【详解】（1）∵B 是线段OA 的中点，故答案为5；（2）当t =3时，点P 所表示的数是故答案为6；（3）分两种情况讨论：①当0≤t ≤5时，动点P 所表示②当5＜t ≤10时，动点P 所表4①0≤t ≤5P是线段OA 的中点，设点P 运动时间为t 秒（0≤t≤10示的数是；用含t 的代数式表示）； 2时，求运动时间t ．当0≤t ≤5时，动点P 所表示的数是2t ，当5＜t 或6.5或8.5． ，即可得到结论； 结论；0≤t ≤5时，②当5＜t ≤10时，即可得到结论；0≤t ≤5时，②当5＜t ≤10时，根据线段的和差即可得∴BA 12=OA =5． 的数是2×3=6． 所表示的数是2t ； 所表示的数是20﹣2t ； 2t≤t≤10）．≤10时，动点P 所表示即可得到结论．∵PB=2，∴|2t﹣5|=2，∴2t﹣5=2②当5＜t≤10时，动点P所表示的∵PB=2，∴|20﹣2t﹣5|=2，∴20综上所述：所求t的值为1.5或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以是解题的关键．3．已知A，B在数轴上对应的数分左侧，将点B先向右平移35个单位个动点．(1)在数轴上标出A、B的位置，(2)已知线段OB上有点C且BC=(3)动点P从原点开始第一次向左移动5个单位长度，第四次向右移动请说明理由．若能，第几次移动与【答案】（1）A、B位置见解析，与点B不重合．【解析】【分析】（1）点B距离原点10个单位长度点A表示的数，在数轴上表示出距离即可；（2）设P 点对应的数为x ，当P （3）根据第一次点P 表示-1，第二即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B 距离原点10个单位∴点B 表示的数为-10，∵将点B 先向右平移35个单位长度∴点A 表示的数为20， ∴数轴上表示如下：AB 之间的距离为：20-（-10）=30（2）∵线段OB 上有点C 且BC∴点C 表示的数为-4， ∵2PB PC =，设点P 表示的数为x ， 则1024x x +=+， 解得：x=2或-6，∴点P 表示的数为2或-6；（3）由题意可知：点P 第一次移动后表示的数为：点P 第二次移动后表示的数为：点P 第三次移动后表示的数为：…，∴点P 第n 次移动后表示的数为∵点A 表示20，点B 表示-10当n=20时，（-1）n •n=20； 当n=10时，（-1）n •n=10≠-10，∴第20次P 与A 重合；点P 【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴注意：数轴上各点与实数是一一对4．已知：A ，B 在数轴上对应的数数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A 、B 的位置， (2)已知线段OA 上有点C 且|(3)在（2）的条件下，点P 第一次向右移动5个单位长度第四次向左不能，请直接回答．若能，请指出【答案】(1)15 (2)-1或7(3)能，当P 从-1出发时，第4次移第3次移动后与点A 重合，第：-1+3-5=-3， 数为（-1）n •n ，，与点B 不重合．数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题一一对应关系．应的数分别用a ，b 表示，O 表示原点，且()210a −，并求出A 、B 之间的距离．AC |=9，当数轴上有点P 满足PB =2PC 时，求P 点对第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单次向左移动7个单位长度，点P 能移动到与A 或B 重合请指出，第几次移动与哪一点重合？ 次移动后与点B 重合，第11次移动后与点A 重合12次移动后与点B 重合 是解题的关键．解题时21000ab ++=，P 是点对应的数． 个单位长度，第三次重合的位置吗？若都；当P 从7出发时，【分析】（1）根据非负性求出a 、b 的值（2）设P 对应的数是x ，根据条件（3）分别针对第（2）问的两种结 (1)解：由题可知a =10，b =-5，A AB =10-（-5）=15； (2)解：∵点C 在线段OA 上，且|∴点C 对应的数是：10-9=1，设点P 对应的数是x ，则当P 在点B 左侧时，PB <PC ，此种当P 在线段BC 上时，x -（-5）当P 在点C 右侧时，x -（-5）∴点P 对应的数是-1或7；(3)解：设点P 第n 次移动后表示的数①当点P 对应的数是-1时，则P 1=-1+1=0，P 2=0-3=-3，P 3=-3∴n 为奇数时，Pn =n -1，n 为偶数时∵点B 表示的数是-5，点A 表示的的值，进而得出A 、B 两点的距离； 据条件PB =2PC ，列出方程，求出P 对应的数； 两种结果，探究点P 移动的位置，得出结论． 、B 位置如图所示：AC |=9，此种情况不成立， =2（1-x ），x =-1， =2（x -1），x =7，示的数为Pn ,， 3+5=2，P 4=2-7=-5，…， 偶数时，Pn =-（n +1）， 表示的数是10，∴P 点第4次移动后与点B 重合②当点P 对应的数是7时，则P 1=7+1=8，P 2=8-3=5，P 3=5+5=1∴n 为奇数时，Pn =n +7，n 为偶数时∵点B 表示的数是-5，点A 表示的∴P 点第3次移动后与点A 重合综上所述，当P 从-1出发时，第发时，第3次移动后与点A 重合【点睛】本题考查了非负数的性质，两点间动点问题，解决本题的关键在于平5．已知，A 、B 在数轴上对应的数点．（1）在数轴上标出A 、B 的位置（2）已知线段OB 上有点C 且|BC （3）动点P 从原点开始第一次向左左移动5个单位长度，第四次向右若不能，请直接回答；若能，请直【答案】（1）数轴见解析，30【解析】 【分析】1重合，第11次移动后与点A 重合； 5+5=10，P 4=10-7=3，…， 偶数时，Pn =-（n -7）， 表示的数是10， 重合，第12次移动后与点B 重合， 第4次移动后与点B 重合，第11次移动后与点重合，第12次移动后与点B 重合． 两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用在于平方数和绝对值的非负性，求出a 、b 以及分类思应的数分别用a 、b 表示，且（a-20）2+|b+10|=0，位置，并求出A 、B 之间的距离；|BC|=6，当数轴上有点P 满足PB=2PC 时，求P 点对次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位次向右移动7个单位长度，……．点P 能移动到与A 请直接指出，第几次移动，与哪一点重合．；（2）P 点对应的数为-6或2．（3）第20次P a b A BA 重合；当P 从7出的应用，以及数轴上的分类思想的应用．P 是数轴上的一个动点对应的数； 个单位长度，第三次向或B 重合的位置吗？与A 重合.离公式，求出A 、B 之间的距离即（2）设P 点对应的数为x ，当可；（3）根据第一次点P 表示-1，第二即可得出结论． 【详解】（1）∵（a-20）2+|b+10|=0，∴a=20，b=-10， ∴AB=20-（-10）=30，数轴上标出A 、B 得：（2）∵|BC|=6且C 在线段OB 上∴x C -（-10）=6， ∴x C =-4， ∵PB=2PC ，当P 在点B 左侧时PB ＜PC ，此种情当P 在线段BC 上时， x P -x B =2（x c -x p ），∴x p +10=2（-4-x p ），解得：x p =-6； 当P 在点C 右侧时， x p -x B =2（x p -x c ）， x p +10=2x p +8，距离即可；P 点满足PB=2PC 时，分三种情况讨论，根据PB=2第二次点P 表示2，点P 表示的数依次为-3，4上，此种情况不成立，PB=2PC求出x 的值即，-5，6…，找出规律x p =2．综上所述P 点对应的数为-6或（3）第一次点P 表示-1，第二次点则第n 次为（-1）n•n ，点A 表示20，则第20次P 与点B 表示-10，点P 与点B 不重合【点睛】本题考查的是数轴，非负数的性质题的关键．解题时注意：数轴上各 6．如图所示，在数轴上原点所表示的数是b ，并且a 、b (1)点A 表示的数a 为；点B 表示的(2)若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒1个单位长度，①若P 、Q 在点C 处相遇，求点②在P 、Q 运动的过程中，当【答案】(1)﹣8，4；2．二次点P 表示2，依次-3，4，-5，6…A 重合； 重合． 的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合应用轴上各点与实数是一一对应关系．O 表示数0，A 点在原点的左侧所表示的数是a 满足|a +8|+（b ﹣4）2＝0．表示的数b 为．向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q 从点，P 、Q 两点同时运动． 求点C 所表示的数．P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求运动时间合应用，正确分类是解；B 点在原点的右侧，B 出发沿数轴向左运时间．(2)①C所表示的数为：1；②运动时间为52秒或72秒【解析】【分析】（1）直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案；（2）①直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案；②直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案．(1)解：∵|a+8|+（b﹣4）2＝0，∴a+8＝0，b﹣4＝0，解得：a＝﹣8，b＝4，故答案为：﹣8，4；(2)①设x秒时两点相遇，则3x+x＝4﹣（﹣8），解得x＝3，即3秒时，两点相遇，此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1；②当两点相遇前的距离为2个单位长度时，3x+x＝10，解得：x52=，当两点相遇后的距离为2个单位长度时，3x+x＝14，解得：x 72=， 综上所述，运动时间为52秒或【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应解题关键．7．在一条不完整的数轴上从左到右为7，如图所示：设点A B ，（1）若以C 为原点，则m 的值是（2）若原点O 在图中数轴上，且点（3）动点P 从A 点出发，以每秒每秒1个单位的速度向终点C 移动【答案】（1）-17；（2）m=-5【解析】 【分析】（1）根据已知点A 到点B 的距离（2）分为两种情况，当O 在即可求出m ；（3）分为两种情况，当P 在数，列出算式，即可求出t ． 【详解】（1）当以C为原点时，A 、B 对应72秒．程的应用，熟练掌握两点之间距离以及绝对值的性质左到右有点A B C ，，，其中点A 到点B 的距离为3C ，所对应的数的和是m ． 的值是．且点C 到原点O 的距离为4，求m 的值．每秒2个单位长度的速度向终点C 移动，动点Q 同时移动，当几秒后，P Q 、两点间的距离为2？（直接或-29；（3）1秒或5秒． 的距离为3和点C 到点B 的距离为7求出即可；C 的左边时，当O 在C 的右边时，求出每种情况Q 的左边时，当P 在Q 的左边时，假如C 为原点，对应的数分别为-10，-7， 性质，正确分类讨论是，点C 到点B 的距离同时从B 点出发，以直接写出答案即可）情况A 、B 、C 对应的数，，求出P 、Q 对应的则m=-10+（-7）+0=-17， 故答案为：-17；（2）当O 在C 的左边时，A 、则 m=-6-3+4=-5，当O 在C 的右边时，A 、B 、C 三点则m=-14-11-4=-29， 综上所述：m=-5或-29；（3）假如以C 为原点，则A 、（10-2t ），当P 在Q 的左边时，[-（7-t ）]-解得：t=1当P 在Q 的右边时，[-（10-2t 解得：t=5，即当1秒或5秒后，P 、Q 两点间的【点睛】此题考查一元一次方程的应用，行分类讨论．8．如图，已知数轴上点A 表示的数为10，动点P 从点A 出发，以每秒动．(1)数轴上点B 表示的数是______B 、C 三点在数轴上所对应的数分别为-6、-3、4三点在数轴上所对应的数分别为-14、-11、-4，B 、C 对应的数为-10，-7，0，Q 对应的数是-（7-[-（10-2t ）]=2， ）]-[-（7-t ）]=2， 点间的距离为2． ，数轴，列代数式，能求出符合的每种情况是解题的示的数为6，点B 是数轴上在点A 左侧的一点，且以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运____；， 7-t ），P 对应的数是-解题的关键，注意要进且A ，B 两点间的距离(2)运动1秒时，点P表示的数是______；(3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，请完成填空：①当点P运动______秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动______秒时，点P与点Q的距离为8个单位长度．【答案】(1)4−(2)0(3)①5；②1或9【解析】【分析】（1）点向左移动时，用点表示的数减去移动的距离，即可得到移动后点表示的数，利用点移动规律解答；（2）用6减去点P移动的距离即可得到点P表示的数；（3）①设点P运动t秒时，列方程6-6t=-4-4t，求解即可；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，根据当Q在P点左边时，当P在Q 的左边时，分别列方程求解．(1)解：点B表示的数为6-10=-4，故答案为：-4；(2)−×=，解：点P表示的数为6160故答案为：0；(3)解：①设点P运动t秒时，由题意得：6-6t=-4-4t，解得：t=5，∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，故答案为：5；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得：当Q在P点左边时，4x+10-6x=8，解得：x=1，当P在Q的左边时，6x-（4x+10）=8，解得：x=9．故答案为：1或9．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，动点与一元一次方程，正确理解点的运动及表示点运动前后的数是解题的关键．9．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒1个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒0.5个单位长度．（1）求A、B两点的距离为个单位长度．（2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距30个单位长度？（3）若点M、N同时向右运动，求经过多长时间点M、N相遇？并求出此时点N对应的数．（4）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N 的距离相等？【答案】（1）14；（2）4；（3）【解析】 【分析】（1）由题意根据两点间的距离公式（2）根据题意设经过x 秒点点N 从点B 出发速度为M 点的（3）由题意根据追及问题即时间等点N 对应的数；（4）根据题意设从开始运动后，P 到点M 、N 的距离相等，根据【详解】解：（1）∵数轴上两点A 、B 对应∴A 、B 两点的距离为6-（-8）故答案为：14；（2）设经过x 秒点M 与点N 依题意可列方程为：x +3x +14=30解方程，得x =4．4M N7秒，此时N 点对应的数是13；（4）23秒或7离公式即可求出A 、B 两点的距离；M 与点N 相距30个单位，由点M 从A 点出发速度为的3倍，得出x +3x +14=30求解即可；时间等于路程除以速度差求出点M 、N 相遇时间，，相遇前经过t 秒点P 到点M 、N 的距离相等，根据PM =PN 列出方程，进而求解即可．对应的数分别是6，-8， =14．相距30个单位． =30， 30秒或403秒 速度为每秒1个单位，，进而代入时间得出，或相遇后经过t 秒点（3）点M与点N相遇的时间为14÷（3﹣1）=7秒，此时N点对应的数是﹣8 + 7×3=13；（4）点M与点N相遇的时间为14÷（3﹣1）=7秒，设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等．依题意可列方程为：0.5t-（-8+3t）=6+t-0.5t，解得t=23，设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等．依题意可列方程为：（t+6）-0.5t=0.5t-[13-3（t-7）]，解得t=403．所以23秒或7秒或403秒，点P到点M、N的距离相等.【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题和一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．10．已知数轴上两点A B、对应的数分别是6，8−，M N P、、为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位.()1若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？()2若点M N P、、同时都向右运动，求多长时间点P到点,M N的距离相等？【答案】（1）5秒；（2）72秒或13秒【解析】【分析】1x M N54M A2NB 出发速度为M 点的3倍，得出2x+6x+14=54求出即可；（2）首先设经过t 秒点P 到点M ，N 的距离相等，得出（2t+6）-t=（6t-8）-t 或（2t+6）-t=t-（6t-8），进而求出即可． 【详解】解：（1）设经过x 秒点M 与点N 相距54个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14=54， 解方程，得x=5．∴经过5秒点M 与点N 相距54个单位．（2）设经过t 秒点P 到点M ，N 的距离相等． （2t+6）-t=（6t-8）-t 或（2t+6）-t=t-（6t-8）， t+6=5t-8或t+6=8-5t72t =或13t = ∴经过72秒或13秒点P 到点,M N 的距离相等【点睛】此题主要考查了数轴、一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．11．已知数轴上两点A ，B 对应的数分别是﹣10，8，P ，Q ，N 为数轴上三个动点，点P 从点A 出发速度为每秒2个单位，点Q 从点B 出发，速度为点P 的2倍，点N 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若P ，Q 两点不动，动点N 是线段AB 的三等分点时，点N 所表示的数是； （2）若点P 向左运动，同时点Q 向右运动，求多长时间点P 与点Q 相距32个单位？ （3）若点P ，Q ，N 同时都向右运动求多长时间点N 到点P 和点Q 的距离相等？【答案】（1）2或﹣4；（2）经的距离相等 【解析】 【分析】（1）根据A 、B 所表示的数可得t 秒点P 与点Q 相距32个单位，系列出方程，再解即可；（3）N 的距离＝N 、Q 的距离，根据等量【详解】解：（1）∵A ，B 对应的数分别是∴AB ＝18，∵动点N 是线段AB 的三等分点∴N 点表示的数为2或﹣4，故答案为：2或﹣4；（2）设经过t 秒点P 与点Q 2t+18+4t ＝32， 解得，t ＝73，答：设经73秒点P 与点Q 相距（3）设经过x 秒点N 到P ，Q 两点第#六感10﹣2x+x ＝8﹣x+4x ，x 0.573秒点P 与点Q 相距32个单位；（3）经过0.5可得AB ＝18，再由动点N 是线段AB 的三等分点可得答，由题意得P 的运动距离+AB 的长+Q 的运动距离设经过x 秒点N 到P ，Q 两点的距离相等，根据题意可据等量关系列出方程，再解即可．别是﹣10，8，分点， 相距32个单位，由题意得： 32个单位；两点的距离相等，由题意得：本号资料全部来源于微秒点N 到P ，Q 两点可得答案；（2）设经过距离＝32，根据等量关题意可得等量关系：P 、源于微信公众号：数学答：经过0.5秒点N 到P ，Q 两点【点睛】本题考查一元一次方程的应用，12．已知代数式M ＝（a ﹣16在数轴上有A 、B 、C 三个点，且（1）直接依次写出a 、b 、c 的值（2）若动点P 、Q 分别从C 、为线段AP 的中点，F 为线段每秒3个单位长度，则BP AQEF−（3）若动点P 、Q 分别从A 、点C 出发，以每秒6个单位长度的C 、O 两点同时出发，3＜t ＜时点M 的左侧，T 为线段MN 上的一＝3PT （点T 不与点P 重合），求出【答案】（1）16，20，﹣8；（2【解析】 【分析】（1）根据32(16)201M a x x =−++b 以及AB 的值；结合AC =（2）设点P 的出发时间为t 秒，速度为每秒2个单位长度，动点两点的距离相等． ，解题关键是正确理解题意，找出等量关系，设出未）x 3+20x 2+10x +9是关于x 的二次多项式，且二次项系且A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ，已知的值：，，；O 两点同时出发，向右运动，且点Q 不超过点BQ 的中点，若动点P 的速度为每秒2个单位长度的值是； B 两点同时出发，都以每秒2个单位长度的速度向左长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t 秒，若动72时，数轴上有一点N 与点M 的距离始终为2个单位上的一点（点T 不与M 、N 重合），在运动的过程中求出此时线段PT 的长度．）2；（3）PT ＝1或PT 12= 0109x +是关于x 的二次多项式，二次项的系数为6AB ，通过计算即可得到答案；，根据点E 为线段AP 的中点，点F 为线段BQ 的中动点Q 的速度为每秒3个单位长度，分别得EF 、设出未知数，列出方程． 次项系数为b ．如图，已知AC ＝6AB ． A ．在运动过程中，E 长度，动点Q 的速度为度向左运动，动点M 从若动点P 、Q 分别从个单位长度，且点N 在程中，若满足MQ ﹣NT系数为b ，可计算得a 、的中点，若动点P 的BP 、AQ ，通过计算21 / 22（3）设点P 的出发时间为t 秒，P 点表示的数为162t −，Q 点表示的数为202t −，M 点表示的数为68t −，N 点表示的数为610t −，T 点表示的数为x ，得MQ ，NT ，PT ；结合3MQ NT PT −=，通过求解方程即可完成求解．【详解】解：（1）∵32(16)20109M a x x x =−+++是关于x 的二次多项式，二次项的系数为b∴a ＝16，b ＝20，∴AB ＝4，∵AC ＝6AB ，∴AC ＝24，∴1624c −=，∴8c =−，故答案为：16，20，8−（2）设点P 的出发时间为t 秒，由题意得：①当t 163＜时， EF ＝AE ﹣AF12=AP 12−BQ +AB 12=（24﹣2t ）12−（20﹣3t ）+4 ＝62t +， ∴BP ﹣AQ ＝（28﹣2t ）﹣（16﹣3t ）＝12+t ， ∴BP AQ EF−=2； ②当163t ≥时，此时点Q 与点A 重合， 即AQ ＝0，点F 对应的数值为12（16+20）＝18；此时点P 在点O 的右侧，即OP ＝2t ﹣8，22 / 22 而PB ＝|2t ﹣8﹣20|＝|28﹣2t |，则点E 对应的值为12（2t ﹣8+16）＝t +4， 则EF ＝|18﹣（t +4）|＝|14﹣t |，而BP ﹣AQ ＝PB ＝|28﹣2t |， 故BP AQEF −=2；故答案为：2（3）设点P 的出发时间为t 秒，P 点表示的数为16﹣2t ，Q 点表示的数为20﹣2t ，M 点表示的数为6t ﹣8，N 点表示的数为6t ﹣10，T 点表示的数为x ， ∴MQ ＝28﹣8t ，NT ＝x ﹣6t +10，PT ＝|16﹣2t ﹣x |， ∵MQ ﹣NT ＝3PT ，∴28﹣8t ﹣（x +10﹣6t ）＝3|16﹣2t ﹣x |，∴x ＝15﹣2t 或x 332=−2t ，∴PT ＝1或PT 12=．【点睛】本题考查了数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的性质，从而完成求解．。
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
xA OQP By 动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1（20XX 年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3）ABC OEFA B C O D 图（1） A BOE FC 图（2） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xyM CDP QOA B xyM CD PQOAB 3.如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点,AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．(3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1,求证：△PCD∽△ABC；(2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3)如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，（2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在,请指出并求其长度,如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时,点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时,P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问:在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中,AB＝2错误!,∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1)求证：⊙D与边BC也相切；(2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周,当S△HDF＝错误!S△MDF时,求动点M经过的弧长(结果保留π）．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1)过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2,当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(图3）,至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7、如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x,PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F,切点为E．（1)求证：OF∥BE;(2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2)，问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点)？如果存在,试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点,且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程；(2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部,如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB⊥CD，垂足为E ，点M 为OC 上动点,AM 的延长线交⊙O 于点G,交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证:CF 是⊙O 的切线；(2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O 、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明（3）若点M 移动到CO 的中点时,⊙O 的半径为4，cos∠BOC=41,求BN 的长．11、如图,已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦,弦ED ⊥AB 于点F,交BC 于点G,过点C 作圆O 的切线与ED 的延长线交于点P ． (1)求证：PC ＝PG;（2）点C 在劣弧AD 上运动时,其他条件不变,若点G 是BC 的中点,试探究CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系,并写出证明过程；(3)在满足(2）的条件下，已知圆为O 的半径为5，若点O 到BC 的距离为5时，求弦ED 的长．12、如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．（1）当1tan A 时，求AP 的长；（3）在(2）的条件下，当4tan3A 时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案:1、解：(1）连接AC，如图所示:∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
备战2015中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇专题复习篇专题38 动点综合问题☞解读考点知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题☞2年中考[2014年题组]1.（2014年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿AB线段BO、OA匀速运动到点A，则OP 的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）2.（2014年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. 2B. 1C. 2D. 223.（2014年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是【】A、B、C、D、4.（2014年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．5.（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为__________6.（2014年浙江嘉兴中考）如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．下列结论：①CE=CF ；②线段EF 的最小值为23；③当AD=2时，EF 与半圆相切；④若点F 恰好落在BC 上，则AD=25；⑤当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是163．其中正确结论的序号是 ．7.（2014年湖南衡阳）如图，直线AB 与x 轴相交于点()40A -，，与y 轴相交于点()03B ，，点P 从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿直线AB 向点B 移动.同时，将直线34y x =以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA 于点C ，交OB 于点D ，设运动时间为()05t t <<秒.⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP 总是平行四边形；⑵当t 取何值时，四边形ACDP 为菱形？请指出此时以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理.8.（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线B O方向以每秒2个单位的速度运动.以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t 秒.（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.[2013年题组]1. （2013年北京市）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.2. （2013年浙江金华、丽水）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止。
河北省中考数学压轴题2007-2014年真题（函数与动点问题）（2007年河北省）26.如图16，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．（2008年河北省） 26．（本小题满分12分）如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．（2009年河北省）26．（本小题满分12分）图16图15如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．（2010年河北省）25．（本小题满分12分）如图16，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止． 设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．（2011年河北省） 26．(本小题满分12分)如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）.⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）；⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N .P图16图CB （备用M①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S=218； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围.（2012年河北省）26．（本小题满分12分）如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，cos ∠ABC =513探究 如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ， AC= ，的面积S △ABC = ．拓展 如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合）， 分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD=x ， AE=m ，CF=n ，（当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD =0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ； （2）求（m +n ）与x 的函数关系式，并求（m +n ）的 最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ， 指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条 直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．（2013年河北省）26．（本小题满分14分）一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）．探究 如图17-1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′ 交于 点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图15-1 CH 图15-2 B HE图17-2所示．解决问题：（1）CQ 与BE 的位置关系是___________，BQ 的长是____________dm ； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液 = 底面积S BCQ ×高AB ）（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)拓展 在图17-1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC = x ，BQ = y .分别就图17-3和图17-4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围.延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm ，BM = CM ，NM ⊥BC .继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.（2014年河北省）26.（本小题满分13分）某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD ，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A 和经典C 同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分。
动态问题一、选择题1. （2014?山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5,宽BC为4. E是BC边上的一个动点，AE丄上EF,EF交CD于点F.设BE=x,FC=y,则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）考点：动点问题的函数图象.分析：易证△ ABEECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像解答：因为△ ABEECF，贝U BE: CF=AB: EC,即卩x：y=5: （4 —x）y,1 4整理，得y= — -- （x —2）2+—,5 54很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2, ）的抛物线•对应A选项.5 故选：A.点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项.2. （2014?山东烟台，第12题3分）如图，点P是？ABCD边上一动点，沿B的路径移动，设P点（）经过的路径长为x, △ BAP的面积是y,则下列能大致反映y 与x的函数关系的图象是考点：平行四边形的性质，函数图象.分析：分三段来考虑点P沿A T D运动，△ BAP的面积逐渐变大；点P沿D T C移动，△ BAP 的面积不变；点P沿C T B的路径移动，△ BAP的面积逐渐减小，据此选择即可. 解答：点P沿A T D运动，△ BAP的面积逐渐变大；点P沿D T C移动，△ BAP的面积不变；点P沿C T B的路径移动，△ BAP的面积逐渐减小.故选：A.AC B 16OB4 8点评：本题考查了动点问题的函数图象•本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性.考点：动点问题的函数图象.分析：根据三角形的面积即可求出 S 与t 的函数关系式，根据函数关系式选择图象. 解答：解：①当0W 詔 时，S=MM =t 2,即卩s=t 2该函数图象是开口向上的抛物线的一部分. 故B 、C 错误；2 2②当 4V t 宅时，S=16—X （ t - 4） X （ t - 4） =t 2,即卩 S=- t 2+4t+8 • 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分.故A 错误. 故选：D .、填空题1. （2014?江苏徐州，第18题3分）如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开 始向点A 以1cm/s 的速度移动；同时，点 Q 沿边AB 、BC 从点A 开始向点C 以2cm/s 的速 度移动.当点P 移动到点A 时，P 、Q 同时停止移动.设点 P 出发xs 时，△ PAQ 的面积为 ycm 2, y 与x 的函数图象如图 ②，则线段EF 所在的直线对应的函数关系式为y= - 3x+18点评：本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.3. （2014?甘肃兰州，第15题4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为4 的正方形，平行于对角线 BD 的直线I 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度 运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止.设直线 I 扫过正方形 OBCD 的面积为S ,直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（）8D考点：动点问题的函数图象.分析：根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式.解答：解：•••点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC 从点A 开始向点C以2cm/s的速度移动.•••当P点到AD的中点时，Q到B点，从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9,• 9= X (AD ) ?AB ,•/ AD=AB ,• AD=6，即正方形的边长为6,当Q点在BC上时，AP=6 - x, △ APQ的高为AB ,• y= (6 - x) >6,1 卩y= - 3x+18 .故答案为：y= - 3x+18 .点评：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长.三、解答题21. (2014?四川巴中，第31题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax +bx- 4 与x轴交于点A (- 2, 0)和点B,与y轴交于点C,直线x=1是该抛物线的对称轴.(1)求抛物线的解析式；(2)若两动点M, H分别从点A, B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H 立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线I丄x轴，交AC或BC于点P,设点M的运动时间为t秒(t> 0).求点M的运动时间t与厶APH的面积S的函数关系式，并求出S 的最大值.考点：二次函数综合题.分析：(1)根据抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A (- 2, 0),直线x=1是该抛物线的2b- 4=0对称轴，得到方程组* b ，解方程组即可求出抛物线的解析式；I g(2)由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t<3,又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当O V t<2时，由△ AMPAOC，得出比例式，求出PM , AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2V t<3时，过点P作PM丄x轴于M , PF丄y轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可. 解答：(1 )•••抛物线y=ax2+bx- 4与x轴交于点A (- 2, 0),直线x=1是该抛物线的对称轴，，解得: •••抛物线的解析式是: y=x - x- 4,b=- 1(2)分两种情况:①当O V t<2时，• PM // OC ,•△ AMPAOC,•<'，即f= ,• PM=2t.OC AO 4解方程x2- x- 4=0 ,得x i= - 2, x2=4,• A (- 2, 0), • B (4, 0) , • AB =4 -(- 2) =6 .•/ AH=AB- BH=6 - t ,• S=PM?AH = X2t (6 - t) = - t2+6t= -(t - 3) 2+9 ,当t=2时S的最大值为8;②当2V t<3时，过点P作PM丄x轴于M ,作PF丄y轴于点F ,则厶COB s^ CFP ,又• CO=OB,••• FP=FC=t-2, PM=4—( t - 2) =6 - t, AH=4+ (t—2) =t+1 ,••• S=PM?AH= ( 6- t) (t+1) = - t2+4t+3= -( t-) 2+二’ 3，当t=时，S最大值为3综上所述，点M的运动时间t与厶APQ面积S的函数关系式是点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中•运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.2. (2014?湖南怀化，第24题，10分)如图1,在平面直角坐标系中，AB=OB=8 , / ABO=90°, / yOC=45，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x=3秒时，射线OC平行移动到OC',与OA相交于G,如图2，求经过G, O, B 三点的抛物线的解析式；(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.考点：一二次函数综合题专题：压轴题.分析：(1)判断出△ ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得/ AOB=45 °25然后求出AO丄CO,再根据平移的性质可得AO丄CO',从而判断出△ OO'G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；（2）求出OO'，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式2为y=ax +bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可.解答：解：（1）T AB=OB，/ ABO=90 °•••△ ABO是等腰直角三角形，•••/ AOB=45 °•••/ yOC=45 °•••/ AOC= （90°- 45° +45 °90 °• AO 丄CO,••• C'O是CO平移得到，• AO 丄C'O'，•••△ OO G是等腰直角三角形，•••射线OC的速度是每秒2个单位长度，• OO =2x，2 2• y= x （2x）=2x ；（2 ）当x=3 秒时，OO =2 X3=6，•/ X5=3，•点G的坐标为（3，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx，则fSa+3b=3 ，（64a+8b=0解得，，•抛物线的解析式为y= - x2+x ；（3）设点P到x轴的距离为h，则S^ pOB=X8h=8，解得h=2，2当点P在x轴上方时，-x +x=2，整理得，x2- 8x+10=0，解得x i=4 - ”；f x2=4+S 7，此时，点P的坐标为（4-麻，2）或（4^6，2）；2当点P在x轴下方时，-x +x= - 2，2整理得，x - 8x - 10=0，解得X1=4 —心二：，X2=4+《〔：［，_此时，点P的坐标为（4-旅，-2）或（4+伍，-2），综上所述，点P的坐标为（4 -二，2）或（4+ 7, 2）或（4- 亍，-2）或（4+亍， -2）时，△POB的面积S=8.点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，(3)要注意分情况讨论.3. (2014?湖南张家界，第25题，12分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物嗣24线y=ax2+bx+c (a^0 过0、B、C 三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和(5 5 ),以OB为直径的O A经过C点，直线I垂直x轴于B点.(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线解析式及顶点坐标；(3)点M是O A上一动点(不同于O, B),过点M作O A的切线，交y轴于点E,交直线I于点F，设线段ME长为m, MF长为n,请猜想m?n的值，并证明你的结论；(4)若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t (0 v t w)秒时恰好使△ BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.考点：二次函数综合题.分析：(1)用待定系数法即可求得；(2)应用待定系数法以及顶点公式即可求得；(3)连接AE、AM、AF，贝U AM 丄EF，证得Rt△ AOE 也RT A AME，求得/ OAE= /MAE，同理证得/ BAF= / MAF，进而求得/ EAF=90°，然后根据射影定理即可求得.(4)分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH丄PB，根据直线BC的斜率可知HB :BQ=4 : 5;即可求得，②当PB=QB时，贝U 10- t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH丄OB，根据勾股定理即可求得.解答：解：(1)设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B、(0=10k+b-15解得:(3) m?n=25;如图2,连接 AE 、AM 、AF ，贝U AM 丄EF , 在 RT △ A0E 与 RT A AME 中/0A=MA\AE =AB• Rt △ A0E 也 RT A AME (HL ), • / OAE= / MAE , 同理可证/ BAF= / MAF , • / EAF=90 ,在RT △ EAF 中，根据射影定理得 AM2=EM?FM , • AM=OB=5 , ME=m , MF=n , • m? n=25;(4) 如图3•有三种情况； ①当PQ=BQ 时，作QH 丄PB ,• •直线 BC 的斜率为，• HQ : BQ=3 : 5, HB : BQ=4 : 5; • HB= ( 10- t ) >, BQ=t ,15•••直线BC 的解析式为；y=x -2 .(2)•••抛物线 y=ax2+bx+c (a ^0过0、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为( 18 24 (,-),10, 0)和 解得 c=00=102a+10b+c-罕二(¥)备+¥应5 5 5•c5乜12上二0,25•抛物线的解析式为：2? 12y= : _x2 --二x ;_b_ • x= - 2a = - 24 5 25 5 25 125•顶点坐标为(5, =5, y= '■ ~x2 - V x= '■ _>52 - I >5=--,125-亠)；50OnE0 B圏2X2则 10- t=t , 作 QH 丄 OB ,贝 U PQ=PB=10 - t , BQ=t , HP=t -( 10- t ), QH=t ; (10 -t ) ]2+ (t ) 2;解得；t=丨「:,② 当PB=QB 时， 解得t=5,③ 当PQ=PB 时， •/ PQ2=PH2+QH2 , •••( 10 - t ) 2=【t - 解得t= I ：:.VA点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键.24. (2014年贵州黔东南24. (14分))如图，直线y=x+2与抛物线y=ax +bx+6 (a旳)相交于A (,)和B (4, m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC丄x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求△ PAC为直角三角形时点P的坐标.考点：二次函数综合题.分析：(1)已知B (4, m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差•可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)根据直线AB的解析式，可求得直线AC 的解析式y= - x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：(1)： B (4, m)在直线线y=x+2上，m=4+2=6,二 B (4, 6),••• A (,)、B (4, 6)在抛物线y=ax2+bx - 4 上，L 6=42a+4b+c■/ c=6,••• a=2, b= - 8,/• y=2x2- 8x+6 .(2)设动点P的坐标为(n, n+2),贝U C点的坐标为(n, 2n2- 8n+6),2• PC= ( n+2)-( 2n2-8n+6),2=-2n +9n - 4, =-2 (n-)•/ PC> 0,•••当n=时，线段PC最大且为'".S(3)设直线AC的解析式为y= - x+b,把A (,)代入得：=-+b，解得：b=3,•直线AC解析式：y= - x+3 ,2 2点 C 在抛物线上，设 C ( m, 2m - 8m+6),代入y= - x+3 得：2m - 8m+6= - m+3 , 整理得：2m2- 7m+3=0 ,解得；m=3或m=,• P (3, 0)或P (,).点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；25. (2014?十堰)25. (12分)已知抛物线C i: y=a ( x+1) - 2的顶点为A，且经过点B (2,- 1).(1)求A点的坐标和抛物线C i的解析式；(2)如图1 ,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C, D两点，求S^OAC : S A OAD的值；(3)如图2，若过P (- 4, 0), Q (0, 2 )的直线为I，点E在(2 )中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动，直线m过点C和点E.问：是否存在直线m,使直线I, m与x轴围成的三角形和直线I, m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由.24二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相 似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性. 压轴题；存在型.(1) 由抛物线的顶点式易得顶点 A 坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式即可解 决问题. (2)根据平移法则求出抛物线 C 2的解析式，用待定系数法求出直线 AB 的解析式，再通过解方程组求出抛物线 C 2与直线AB 的交点C 、D 的坐标，就可以求出 S A OAC : S ^OAD的值.(3) 设直线m 与y 轴交于点G ,直线I , m 与x 轴围成的三角形和直线 I , m 与y 轴 围成的三角形形状、位置随着点G 的变化而变化，故需对点 G 的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点 G 的坐标，解：(1)v 抛物线C i ： y=a ( x+1) - 2的顶点为A ,•••点A 的坐标为(-1,- 2).•••抛物线 C i ： y=a (x+1 ) 2- 2 经过点 B (- 2, - 1), 2 • a (- 2+1) - 2= - 1.解得：a=1.•抛物线C 1的解析式为：y= (x+1) 2-2.(2)•••抛物线 C 2是由抛物线C 1向下平移2个单位所得，•抛物线 C 2 的解析式为：y= ( x+1) 2 - 2 - 2= (x+1 ) 2 -4. 设直线AB 的解析式为y=kx+b .• A (- 1 , - 2), B (- 2, - 1),'-k+b= - 2 …_2k+b=_]k= _ 1解得：*b=- 3y= (x+1 )y= _ K _ 3从而求出相应的直线 m 的解析式. 解答: •直线AB 的解析式为 y= - x - 3.丽/曰x— 1 3 | x—-0解得：d 或』L y=O \y=-3■- C (-3, 0), D (0,—3).••• OC=3 , OD=3 .过点A作AE丄x轴，垂足为E, 过点A作AF丄y轴，垂足为F,A (- 1 , - 2),• AF=1 , AE=2 .•- S^OAC : S OAD=(OC?AE) : (OD?AF)=(>3 X2) : ( X3 >1)=2.• S^OAC : S AOAD 的值为2.(3)设直线m与y轴交于点G,与直线I交于点H , 设点G的坐标为(0, t) 当m // I 时，CG // PQ.•△ OCG OPQ.•实空•0G=忑.••• P (- 4, 0), Q (0, 2),• OP=4 , OQ=2 ,==.0G• OG=.• t=时，直线l, m与x轴不能构成三角形.•/ t=0时，直线m与x轴重合，•直线l, m与x轴不能构成三角形.• t老且t壬①t v 0时，如图2①所示.•••/ PHC >/PQG，/ PHC >/QGH ,•/ PHC 立PQG，/ PHC 之QGH . 当/ PHC= / GHQ 时，•••/ PHC+ / GHQ=180 °•/ PHC= / GHQ=90 °•••/ POQ=90 °•/ HPC=90 °-Z PQO= / HGQ .•△ PHC GHQ .•••/ QPO= / OGC ,• tan/ QPO=tan / OGC .•0=0• OP云.•直线m 的解析式为y= - 2x - 6, 联立「''- 2x - 6\=-3 子0•- E (- 1 , - 4).此时点E 在顶点，符合条件. •直线m 的解析式为y= - 2x - 6. ②O v t v时，如图2②所示， •/ tan / GCO^_=v,octan /PQO= /=2• tan / GCO 強an / PQO . •••/ GCO 立 PQO . •••/ GCO= / PCH , • / PCH 立 PQO . 又•••/ HPC >/ PQO , • △ PHC 与厶GHQ 不相似.• ••符合条件的直线 m 不存在. ③v t 电时，如图2③所示.nr■/ tan / CGO=——=青0Gtan / QPO=—==. OP • tan / CGO 強an / QPO . • / CGO 立 QPO .•••/ CGO= / QGH , • / QGH QPO ,又•••/ HQG >/ QPO ,•••点G 的坐标为(0，- 6) 设直线m 的解析式为y=mx+n ,•••点 C (- 3, 0)，点 G (0, - 6)在直线 m 上,.'-3irr+n=0••甲.n= - 6X.解得:OG•••OG=6 .•••△ PHC与厶GHQ不相似.•••符合条件的直线m不存在.④t> 2时，如图2④所示. 此时点E在对称轴的右侧.•••/ PCH >/ CGO,•••/ PCH 立CGO . 当/ QPC= / CGO 时，•••/ PHC= / QHG，/ HPC= / HGQ ,•△ PCH GQH .•••符合条件的直线m存在.•••/ QPO= / CGO，/ POQ= / GOC=90 ° •••△ POQ GOC.•卜」…OG 0C.• 1 = 0G .• OG=6 .•••点G的坐标为(0, 6). 设直线m的解析式为y=px+q•••点 C (- 3, 0)、点G (0, 6)在直线m 上, .'-3p+q=0I q二6•直线m的解析式为y=2x+6 .综上所述：存在直线m,使直线I, m与x轴围成的三角形和直线I, m与y轴围成的三角形相似，此时直线m的解析式为y= - 2x - 6和y=2x+6 .A 卸④解得:点评：本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度.2 、6. (2014 ?娄底26. (10分))如图，抛物线y=x +mx+ ( m- 1)与x轴交于点A (x i, 0), B2 2(X2, 0), x i< X2,与y 轴交于点 C (0, c),且满足x i +X2+X1X2=7.(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上能不能找到一点P,使/ POC= / PCO?若能，请求出点P的坐标；若不能,考点：二次函数综合题.| 2 2分析：(1 )利用根与系数的关系，等式x i +X2+X1X2=7 •由一元二次方程根与系数的关系，得x i+x2= - m, x i x2=m - 1.代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式.(2 )根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得.解答：解(1 )依题意：x i+x2= - m, x i x2=m - 1,T X i+X2+X1X2=7 ,•'•( X i+x2)2- X1X2=7 ,2••(- m) -( m - 1) =7,2 即m - m - 6=0 ,解得m i= - 2, m2=3,■/ c=m - 1 v 0, • m=3 不合题意• m= - 2抛物线的解析式是y=x 2- 2x- 3;如图，设p是抛物线上的一点，连接PO, PC,过点P作y轴的垂线，垂足为D. 若/ POC= / PCO则PD应是线段OC的垂直平分线•/ C的坐标为(0,- 3)• D的坐标为(0,-)• P的纵坐标应是-令X 2-2x-3=，解得，X1 = ',X2=二2 2因此所求点P的坐标是(戈■血，-),(如亘，-)2 2__________________________点评：本题考查了根与系数的关系是：X i+X2=-, X1X2=,以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识.7. (2014?娄底27. (10 分))如图甲，在△ ABC 中，/ ACB=90 ° AC=4cm , BC=3cm .如果点P 由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t (s) (0 v t v 4),解答下列问题：(1)设厶APQ的面积为S,当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？(2)如图乙，连接PC,将厶PQC沿QC翻折，得到四边形PQP' C,当四边形PQP' C为菱形时，求t的值；’考点：相似形综合题分析：(1)过点P作PH丄AC于出由厶APH ABC，得出」',从而求出AB，再根BC ABpij C —+ 据竺= _I，得出PH=3 - t，则△ AQP的面积为：AQ ?PH=t (3 - t),最后进行整理3 5即可得出答案；ip 4P(2)连接PP'交QC于E,当四边形PQP' C为菱形时，得出△ APE ABC,"'=",AC AB 求出AE= - t+4，再根据QE=AE - AQ , QE=QC 得出-t+4= - t+2，再求t 即可；(3)由(1 )知，PD= - t+3，与(2)同理得：QD= - t+4，从而求出PQ=--丨.,在厶APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5 - t，②当PQ=AQ，即厶, ；，③当PQ=AP，即•'厶, ；=5-t，再分别计算即可.解答：解：(1)如图甲，过点P作PH丄AC于H，•••/ C=90 °••• AC 丄BC，••• PH // BC，• △ APH ABC，•世=塑•反-逓，■/ AC=4cm , BC=3cm ,/• AB=5cm ,•二H/甲乙(3)当t为何值时，△3 5• PH=3 - t,•△ AQP的面积为：2 'I '■S=>AQ >PH= xtX(3- t) = - (t-) + ,10 8•••当t为秒时，S最大值为卩'cm2.8(2)如图乙，连接PP', PP'交QC于E,当四边形PQP' C为菱形时，PE垂直平分QC ,即卩PE丄AC , QE=EC ,•△ APEABC ,•蝕=塑•AC -逓,• AE「•「=-t+4AB 5QE=AE - AQ ----- t+4 - t= - t+4,QE=QC= ( 4- t) =- t+2,•- t+4= - t+2 ,解得：t==〔,13•/ 0 V—"v 4 ,13•••当四边形PQP' C为菱形时，t的值是■' s;13(3 )由(1 )知，PD= - t+3 , 与( 2)同理得：QD=AD - AQ= - t+4•PQ=：.：」|i'=「丄：卜一- -t- ■:■ ‘一在厶APQ中，①当AQ=AP ,即t=5 - t时，解得：t i = ；②当PQ=AQ ,即^ ■■- =t 时，解得：t2='： , t3=5;Y 5 1J③当PQ=AP ,即^ - - - =5 - t 时，解得：t4=0 , t5=—';•/ 0 V t v 4 ,t3=5 , t4=0不合题意,舍去,.•.当t为s或二S或J s时，△ APQ是等腰三角形.13 13点评：此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、 三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形 结合思想进行解答.P' 乙28. (2014年河南)(11分)如图，抛物线y= —x+bx+c与x轴交于A(— 1,0),B(5,0)两点，直线3y= —-x+3与y轴交于点C,,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P 4作PF丄x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
2014年中考数学分类汇编（运动变化类的压轴题）
2014年运动变化类的压轴题，题目展示涉及单一（双）动点在三角形、四边形上运动；在直线、抛物线上运动；几何图形整体运动问题.知识点涉及全等三角形的判定与性质；特殊四边形形的判定和性质；圆的相关性质；解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质.数学思想涉及分类讨论；数形结合；方程思想.解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者.一、单动点问题【题1】(2014年江苏徐州第28题)如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F 为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O 与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．。
