最新人教版高一数学必修1第一章《集合》例题与探究

问题探究 问题1如何判断一组对象的全体是否构成集合? 探究:如果集合中的元素能找到一个明确的标准,来判定整体中的对象是确定的,则这些对象可构成集合;若对象不确定,则不能构成集合.例如:“我们学校高一(3)班的同学”构成一个集合、“中国的四大佛教名山”也可以构成一个集合,因为它们都有一个确定的标准,可以判定某一同学或某一座山是不是该集合的元素.而“善良的人”“美丽的花”等不能构成集合,为什么？因为我们无法找到一个标准来确定什么样的人是“善良的人”,什么样的花才算“美丽的花”. 问题2在表示集合时,什么情况下适合用列举法？什么情况下适合用描述法？ 探究:列举法就是把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的表示集合的方法.例如:方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{1,-1}.列举法可表示有限集,也可表示无限集.若元素的个数比较少,用列举法表示比较简单;若集合中元素的个数较多或无限多,但呈现出一定的规律性,在不致发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他的元素用省略号表示.例如:不大于200的正偶数构成的集合可表示为{2,4,6,8,„,200};自然数构成的集合可表示为{0,1,2,3,„,n,„}.列举法表示集合时,可不考虑元素间的顺序,如{1,-1}与{-1,1}是同一个集合. 但要注意的是,有些集合有书写习惯的问题,比如{0,1,2,3,„,n,„},一般不写为{1,0,2,3,„,n,„}等. 描述法就是用确定的条件表示某种对象是否属于一个集合的方法.它的表述形式是A={x∈I|p(x)},其中x是A的元素,x∈I且x满足特征性质p(x),即使说法p(x)成立的I中诸元素子集.其中性质p(x)叫集合A的一个特征性质,它同x∈I一起来确定集合A中的元素.描述法有两种形式,一种是文字描述,如“所有四边形组成的集合”记为{x|x是四边形}.在不致混淆的情况下,可以省去“|”及其左边的部分,直接写成{四边形},而不能写成{所有四边形},因为大括号本身有全部的意思.故用文字描述集合时,应去掉含有“整体”“全部”的词;另一种是数学描述,如“所有的非负数组成的集合”记为{x|x≥0,x∈R },也可写成{x|x≥0}.当集合是数集,在没有标明x范围的前提下,我们认为x的值是使式子有意义的所有x的值.又如

{y|y=x1},此时我们认为x∈R且x≠0,由反比例函数的性质可知,该集合可化为{y|y∈R且y≠0}. 问题3 Q一定表示无理数集吗？

探究:不一定.这要看全集U是怎样的集合.若U为实数集,则Q为全体无理数的集合,但若全集U为无理数集Q,则Q为空集.因而补集是相对于全集而言的,全集不相同时,同一集合的补集也不相同. 典题精讲 例1:下列各组对象中不能构成集合的是„( ) A.高一(1)班全体女生卫生 B.高一(1)班全体学生家长 C.高一(1)班开设的所有课程 D.高一(1)班身高较高的男同学 思路解析: 本题判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合. 答案:D 例2:判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正. (1){}表示空集; (2)空集是任何集合的真子集; (3){1,2,3}不是{3,2,1}; (4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1}; (5)如果AB且A≠B,那么B必是A的真子集; (6)AB与BA不能同时成立. 思路分析: 对每个说法按照相关的定义进行思路解析,认真与定义中的要素进行对比.即能判断正误. (1){ }不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确.空集有专用的符号“”,不能写成{},也不能写成{ }. (2)分析空集、子集、真子集的区别与联系. (3)不正确.两个集合是不是相同,要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应,而不必考虑各元素的顺序. (4)不正确.注意到是每个集合的子集.所以这个说法不正确. (5)正确.AB包括两种情形:AB和A=B. (6)不正确.A=B时,AB与BA能同时成立. 解:(1)不正确.应该改为:{ }表示这个集合的元素是. (2)不正确.空集是任何非空集合的真子集,也就是说空集不能是它自身的真子集.这是因为空集与空集相等,而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集.由此也发现了,如果一个集合是另一个集合的真子集,那么这两个集合必不相等. (3)不正确.{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合. (4)不正确.{0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1},. (5)正确. (6)不正确.A=B时,AB与BA能同时成立 例3:用另一种形式表示下列集合: (1){绝对值不大于3的整数}; (2){所有被3整除的数}; (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z }; (5){(x,y)}|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z }. 思路分析: 用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么. 解:(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z },也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}. (2){x|x=3n,n∈Z };(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z }). (3)∵x=|x|,∴x≥0, 又∵x∈Z且x<5, ∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}. (4){-2}(注意x∈Z). (5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. 例4:已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多只有一个,求a的取值范围. 思路分析: 对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的二次项的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的.则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论. 解:(1)a=0时,原方程为-3x+2=0x=32,符合题意; (2)a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程, Δ=9-8a≤0a≥89.

∴当a≥89时,方程ax2-3x+2=0无实根或有两个相等实数根,这都符合题意. 综合(1)(2),知a=0或a≥89. 例5:已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且AMB,写出满足上述条件的集合M. 思路分析: 要解决这个问题,关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的.∵AM,∴M中一定含有A的全部元素1、2,且至少含有一个不属于A的元素.又∵MB,∴M中的元素除了含有B的元素1、2外,还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题,显然所求集合M有23-1=7个,按元素的多少把它们一一列举出来即可. 答案:满足条件的集合M是{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}. 例6:设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R }.若A∩B=B,求a的值. 思路分析: 首先可以看到集合A中可以用列举法表示出集合中的元素(其元素即是方程x2+4x=0的解),然后根据集合间的关系,可以发现,A的元素和B中元素的关系.也就是说可以明确B的元素(即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根),进而解出a的值. 解:首先化简集合A,得A={-4,0}, 由A∩B=B,则有BA,可知集合B或为或为{0}或为{-4}或为{0,-4}, ①若B=时,Δ=4(a+1) 2-4(a2-1)<0,解得a<-1. ②若0∈B,代入得a2-1=0a=1或a=-1. 当a=1时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,合题意; 当a=-1时,B={x|x2=0}={0}A,也合题意. ③若-4∈B,代入得a2-8a+7=0a=7或a=1. 当a=1时,已讨论,合题意; 当a=7时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意. 由①②③得,a=1或a≤-1. 例7:已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0,a∈R },B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},若A∩B≠,且A∩C=,求a的值. 思路分析: 可以看出B、C是两个确定元素的集合,再由A∩B≠,且A∩C=,便可求A的元素. 解:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠,且A∩C=知3∈A. 把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0得9-3a+a2-19=0.解得a=5或a=-2. 当a=5时,得A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与A∩C=矛盾. 当a=-2时,得A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},满足题设条件. 故所求a=-2. 例8设a、b是两个实数,集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z },B={(x,y)|y=3x2+15,x∈Z },C={(x,y)|x2+y2≤144},讨论是否存在实数a和b使得A∩B≠,(a,b)∈C同时成立. 思路分析: 把A∩B≠转化为方程组有解的问题.

解法一:由A∩B≠知方程组153,2xybaxy有解, 即方程3x2-ax+15-b=0有解. ∴Δ=a2-4×3×(15-b)=a2+12b-180≥0.项基本原则 ① 由(a,b)∈C,得144≥a2+b2. ② 由①②得180-12b≤a2≤144-b2. ③ 由③得(b-6) 2≤0b=6. 把b=6代入③得108≤a2≤108,

∴a2=108,即a=±63.

把a=±63,b=6代入方程3x2-ax+15-b=0. 解得x=±3,这与x∈Z矛盾. 故不存在实数a、b满足条件.

解法二:由A∩B≠知方程组1532xybaxy有解, 即方程3x2-ax+15-b=0有解. 由(a,b)∈C,得144≥a2+b2.

由,144,0153222babaxx 消去b,得到关于a的二次不等式 (1+x2)a2-2x(3x2+15)a+［(3x2+15) 2-144］≤0.(*) ∵1+x2>0且Δ=-36(x2-3) 2<0(∵x∈Z,∴x2≠3),∴上述不等式(*)没有实数解. 故满足条件的a、b不存在.