§2.7 无穷小量的比较

sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 + x ) ~ x ex −1 ~ x
1 x2 1 − cos x ~ 2 α (1 + x ) − 1 ~ αx (α ∈ R )
tan x ~ x arctan x ~ x
x
a − 1 ~ x ln a (a > 0)
注: 当 x → 0 时, x 为无穷小, 在常用等价无穷小 为无穷小, 中, 用任意一个无穷小 β ( x ) 代替 x , 等价关系依 然成立. 然成立.
常用等价无穷小 根据等价无穷小的定义, 可以证明, 根据等价无穷小的定义, 可以证明, 当 x → 0 时, 有下列常用等价无穷小关系: 有下列常用等价无穷小关系
sin x ~ x arcsin x ~ x
ln(1 + x ) ~ x ex −1 ~ x
1 x2 1 − cos x ~ 2 α (1 + x ) − 1 ~ αx (α ∈ R )
x −1
解 (1) 因为 lim( x 3 − 3 x + 2) = 0, 所以 x → 1 时， 是无穷小量， x − 3 x + 2 是无穷小量，又因为
3
x − 3 x + 2 = lim ( x − 1) ( x + 2) = 0 lim x →1 x →1 ( x − 1) x −1
3
2
较高阶的无穷小量. 所以 x 3 − 3 x + 2 是比 x − 1 较高阶的无穷小量
3. 常用等价无穷小
1 − cos x ～ 1 x 2 2 α 且为常数) (1 + x ) − 1～ αx (α ≠ 0且为常数
e x − 1～ x

lim
x0
2
x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则 例如,
lim ( x) lim ( x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x x0
x
例2. 求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解: 原式
x 1 x2
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1 )
～
定理1. ～ 证: ～
o( )
lim 1
lim(
1)
0,
即
lim
0
o( ), 即 o( )
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x , 故
tan x x o( x)
lim x0
2 x3
原式
lim
x0
x
x3
x
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
1
例3. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsinx ~ x
tan x ~ x
x0
x
解
m 1 ax n 1 bx lim
x0
x
lim (m 1 ax 1) (n 1 bx 1)
x0
x
lim m 1 ax 1 lim n 1 bx 1
x0
x
x0xBiblioteka lim1 ax m lim

第七节 无穷小的比较教学目的：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重点：无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限教学难点：利用等价无穷小求极限教学过程：我们已经知道，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小。

但两个无穷小的商却会出现不同的情形。

例如，当0x →时，22,,sin x x x 都是无穷小，而2200002sin sin 1lim 0,lim ,lim 1,lim 322x x x x x x x x x x x x →→→→==∞==。

这种情况的产生，在于各个无穷小趋向于零的“快慢”不一样。

在0x →的过程中，20x →比20x →“快些”，反过来，20x →比20x →“慢些”，而sin 0x →与0x →“快慢相仿”。

对于无穷小之间的这种情况，我们引入无穷小的阶的概念。

定义1 设,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小，lim αβ也是这一过程中的极限。

如果lim 0αβ=，就说α是比β高阶的无穷小，记作()αοβ=； 如果lim αβ=∞，就说α是比β低阶的无穷小； 如果lim 0c αβ=≠，就说α与β是同阶无穷小； 如果lim 1αβ=，就说α与β是等价无穷小，记作αβ。

显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。

根据定义，0x →时，2x 是比2x 高阶的无穷小；2x 是比2x 低阶的无穷小；sin x 与x 是等价无穷小；2x 与sin x 是同阶无穷小。

关于等价无穷小，有下面的性质：定理1 若αα'，ββ'，且lim αβ''存在，则lim lim ααββ'='。

证 l i m l i m ()l i m l i m l i m l i m αβααβαααβββαββαβ'''''=⋅⋅=⋅⋅='''''。

这个性质表明，求两个无穷小之比的极限时，把每一个（或其中的一个无穷小）换成它的等价无穷小，不改变比的极限值。

例3.
解
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
当x 0时,
sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 1 3 2 x 1 2 原式 lim . 只能对因子作等价无穷小代换， 3 x 0 ( 2 x ) 16
§2.7
利用等价无穷小代换求极限
一、无穷小量的阶 二、 等价无穷小代换定理 三、利用等价无穷小求极限
一、无穷小量的阶
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小,
且
0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小
同阶无穷小的特殊情况：
是 的等价无穷小
例1
x
arcs in x ~ x, arctan x ~ x, e 1 ~ x, (洛必达可证） P 74例6
ln(1 x ) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x 2 x n 1 x 1 ~ n
定理(等价无穷小量替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
பைடு நூலகம்
2
tan mx 练习. 求 lim x 0 sin nx
( m , n为常数).
解
当x 0时, tan mx ~ mx , sinnx ~ nx
tan mx mx m lim lim . x 0 sin nx x 0 nx n
sin x 练习. 求 lim 3 . x 0 x 3 x
ex–1 ~ x,
2
ln(1+x) ~ x,
x 1 cos x ~ 1 2 n 1 x 1 ~ x, (n R, n 0) n