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高中数学 第一章 统计案例 1_1 独立性检验 假设检验素材 新人教B版

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假设检验

1、某厂生产的化纤纤度服从正态分布)04.0,(2N。某天测得25根纤维的纤度的均值39.1x，问与原设计的标准值1.40有无显著差异？（取05.0）

解 设厂生产的化纤纤度为X，则总体)04.0,(~2NX，且总体方差2204.0已知。顾客提出要检验的假设为

40.1:0H， 40.1:1H

因为已知总体标准差04.0，所以选用U检验，且在0H成立的条件下有

)1,0(~2504.00NXU

针对备择假设40.1:1H，拒绝域的形式可取为

}/{0cnXUW

为使犯第一类错误的概率不超过05.0，就要在40.10时，使临界值c满足

05.0cUP

成立。由此，在给定显著性水平05.0时，得到临界值为

96.1975.02/1uuc

故相应的拒绝域为 96.1UW

利用来自总体的样本值求得

25.125/04.040.139.1u

即

975.096.125.1uu

成立。显然，样本未落在拒绝域内，因此在05.0水平上认为纤维的纤度与原设计的标准值1.40没有显著差异。

2、设某厂生产的洗衣机的使用寿命(单位:小时)X服从正态分布),(2uN但2,u未知。随机抽取20台，算得样本均值1832X,样本标准差S497,检验该厂生产的洗衣机的平均使用时数“2000”是否成立？(取检验水平05.0)

解 待检验假设20000:H 20001:H

0H的拒绝域：21tT=2.093

T的观测值512.1/2000nSXTW

不能拒绝0H,可以认为洗衣机的平均使用时数“2000u”.

3、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）X～),.(2554N（未知）。一日测得5炉铁水含碳量如下： 4.48，4.40，4.42，4.45，4.47

在显著水平050.下，试问该日铁水含碳量的均值是否有明显变化。

解： （1）:0H5540. :1H5540.

（2）选取检验统计量

)(~/10ntnSXT

给定，查知7764241975021.)()(.tnt。

0H的拒绝域为：W：)(121ntT。

计算|T|=7.0542.7764，

所以显著水平05.0下，拒绝0H。即该日铁水含碳量的均值有明显变化。

4、某厂生产需要用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不低于65。已知该指标服从正态分布),(2N,一直稳定于5.5。从近期来货抽查了100个样品，得样本均值06.55x，试问在050.水平下能否接收这批玻璃纸。

解 65:0H

65.105.0uu

*UnX0=-18.07<-1.65 拒绝0H,在050.水平下能否接收这批玻璃纸。

5、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm。该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：1521,,,xxx。经计算得知

,48151ix 26.1561512ix。

试判断该厂是否符合环保法的规定。（该有毒化学物质含量X服从正态分布）

解（1）H0 ：,30 H1 ：3

（2）H0 的拒绝域为：)1(/10ntnSXT

（3）计算2.348151x，19.0)(141222xnxSi，436.0S T154360323/..=1.776677613.1)14(95.0t.

所以在显著水平050.下，拒绝H0.

6、某医院用一种中药治疗高血压，记录了50例治疗前与治疗后病人舒张压数据之差，得到其均值为16.28，样本标准差为10.58。假定舒张压之差服从正态分布，试问在05.0水平上，该中药对治疗高血压是否有效？

解 设治疗前与治疗后病人舒张压数据之差为X，则总体),(~2NX，且2未知。要检验中药对治疗高血压是否有效？属于单边检验，故此提出假设

0:0H， 0:1H 在假设0:0H成立的条件下，应该选用t检验。针对备择假设0:1H，拒绝域的形式可取为

}/{0cnXTW

为使犯第一类错误的概率不超过，就要求

cTP

由于在0时，1~ntt，所以1ntc。当t分布的自由度大于45时，可以用标准正态分布的分数来近似t分布的分位数。现在50n，t分布的自由度为49，该值较大，因此在给定05.0时，可利用标准正态分布确定出0.05的分位数为645.14905.005.0ut。根据来自总体的样本值计算出检验统计量的值为85.10t。而在05.0水平上的拒绝域为

645.1tW

显然，样本落在拒绝域内，因此在05.0水平上认为该中药材对治疗高血压有效。

7、某种导线的电阻服从),(2N,未知,其中一个质量指标是电阻标准差不大于0050..现从中抽取了9根导线测其电阻,算得标准差0066.0s,试问在05.0水平下能否认为这批导线的电阻波动合格。

解 检验假设005.0:00H 005.0:01H

0H的拒绝区域21202)1(:SnW 507.1594.13)1(21202Sn

不能拒绝0H,可以认为这批导线的电阻波动合格.

8、新设计的一种测量仪器用来测定某物体的膨胀系数11次，又用进口仪器重复测同一物体11次，两样本的方差分别是263.121S，789.322S。假定测量值分别服从正态分布，问在05.0水平上，设计仪器的精度（方差的倒数）是否比进口仪器的精度显著为好？

解 设新设计的仪器测定的膨胀系数为X，则),(~211NX，且1未知，进口仪器测定的膨胀系数为Y，则222,~NY且2未知。要检验的问题是设计仪器的精度（方差的倒数）是否比进口仪器的精度显著为好？属于单边检验。故提出假设

210:H， 211:H

在假设210:H为真时，选用检验统计量)1,1(~22mnFSSFYX，针对备择假设211:H确定拒绝域为

)}1,1({mnFFW

对于给定的显著性水平05.0，利用第一自由度10，第二自由度10的F分布，确定出0.05分位数

98.2/1)10,10(/1)10,10(95.005.0FF

由样本值求出3356.098.2/1333.0F成立，样本落在拒绝域中，应拒绝0H，在05.0水平下，认为新设计的仪器精度比进口仪器的精度显著为好。 9、某公司经理听说他们生产的主要商品的价格波动甲地比乙地大，为此他对两地所售商品作了随机抽查。在甲地调查了51种，其价格的标准差为5.81S，在乙地调查了179种，其价格的标准差为75.62S，假定两地价格分别服从正态分布，试问05.0水平下能支持上述说法吗？

解 设甲地价格为X，则总体),(~211NX，且1未知，乙地价格为Y，则总体222,~NY且2未知。要检验的问题是他们生产的主要商品的价格波动甲地比乙地大是否成立，故提出假设

210:H ，211:H

在假设210:H成立的条件下，选用F检验，类似上题，利用插值的方法求得05.0水平上的拒绝域为

47.1/1FW

在由样本求得586.1F，显然样本未落在拒绝域中，故在05.0水平上支持主要商品价格的波动甲地比乙地大的说法。

10、某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽出一个样本进行硬度测试（表示耐磨性的一种考核指标），其结果如下：

镍合金铸件)(X:72.0，69.5，74.0，70.5，71.8

铜合金铸件)(Y:69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0

根据以往经验知硬度),(~211NX，),(~222NY，且221，试在05.0水平下比较镍合金铸件硬度有无显著提高。 解 因为合镍铸件的硬度),(~211NX，铜合金铸件的硬度),(~222NY，且已知221成立。要检验的问题是比较镍合金铸件硬度有无显著提高，属于单边检验，故提出假设

210:H， 211:H

在假设210:H成立的条件下，由于1与2均已知，所以选用U检验。针对备择假设211:H，拒绝域的形式可取为

}/{222121cnnYXUW

为使犯第一类错误的概率不超过，就要求在21时，cUP，由于在21时，1.0~NU，所以临界值1uc。

在给定05.0水平上，利用标准正态分布，确定出0.95的分位数为645.195.01uu，相应的拒绝域为

}645.1{uW

现由分别来自两个总体的样本计算出，56.71x，55.70y，因此可得834.0u，显然，样本未落入拒绝域内，在05.0水平上，认为镍合金铸件硬度没有明显提高。

11、某物质在化学处理前后的含脂率如下：

处理前：0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27

处理后：0.15 0.13 0.00 0.07 0.24 0.24 0.19 0.04 0.08 0.20 0.12 假定处理前后含脂率分别服从正态分布。问处理后是否降低了含脂率？（取01.0）

解 设处理前含脂率为X，分布为),(211N，处理后含脂率为Y，分布为),(222N，且21与22都未知，而21是否等于22也未知。所以应该首先检验的假设

210:H， 211:H

如果接受0H，即认为1与2无明显差异，则可以在两个方差相等的条件下对正态均值作如下检验，即提出假设211210:,:HH。

在假设210:H成立的条件下，选用F检验，根据备择假设211:H，在给定01.0水平上，利用第一自由度为9，第二自由度为10的F分布确定出0.005与0.995的分位数，获得01.0水平上的拒绝域为

42.6/110,9{005.0FFW或}97.510,9995.0FF

现在利用样本的数字特征135.0,273.0yx，00642.0,02811.022YXss。计算出

3785.4/22YXssf

显然，样本未落在拒绝域中，故在01.0水平上可以认为两者方差相等。

再假设210:H成立的条件下，选用t检验，针对备择假设211:H，确定拒绝域为

)}2({1mntTW

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人教B版选修1-2高中数学1.1《独立性检验》教学设计

人教B版选修1-2高中数学1.1《独立性检验》教学设计

1.1独立性检验教学设计

一．教学内容解析：(1)“独立性检验”是人教B版高中数学选修1-2中第一章第一节的内容，是对必修3概率统计知识的进一步提升和应用.独立性检验作为统计推断的重要内容之一，能培养学生的统计思维、统计态度、批评性精神等，具有丰富的教学价值.了解独立性检验思想能够帮助学生形成合理的统计推断观，同时也为回归分析做了准备.独立性检验是考察两个变量是否独立的统计学方法，具体做法是：首先对两个变量的关系作假设，然后选取合适的统计量，并根据实测样本计算出该统计量的观测值，最后根据预先设定的显著性水平进行检验，做出接受或拒绝原假设的判断.其本质就是运用假设检验原理的一种特例，在现有的有关独立性检验（大学）教材看，都是先介绍假设检验知识，然后介绍独立性检验，即通过假设检验的原理来理解独立性检验的思想.

(2)教学重点：通过典型案例的探究体会独立性检验的思想方法.

二．教学目标设置：高中课程标准中，要求通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用，课时安排为三课时.在高考中基本以考察操作规则，套用卡方公式进行计算为主，根据以往经验，应用公式对于学生来说较为简单，所以作为本节课的第一课时教学目标设置如下：（1）知识与技能：解两个事件相互独立的含义，通过对典型案例的探究，理清不同的样本，数据不同，比例不同，数据所体现的差异性不同，怎样针对不同样本数据设置统一的评判标准？针对不同的样本数据，可能做出不同的判断，那么你有多大的把握认为自己的判断是正确的？这两个问题从而了解独立性检验的基本思想，方法和简单应用，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想.

（2）过程与方法：通过生活中实例的探索、研究、比较归纳等，了解知识的发生发展过程，进一步提高学生对统计思想的认识.

（3）情感态度与价值观：通过体验独立性检验思想的过程，体会统计知识在生活中的作用，激发学生的学习兴趣.通过卡方统计量的构造过程培养学生严谨的思维和态度.

高中数学同步学案 独立性检验

高中数学同步学案 独立性检验

1.1独立性检验

[对应学生用书P2]

相互独立事件

从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任意抽取一张,设事件A＝“抽出的是写有偶数的卡片”,B＝“抽出的是写有3的倍数的卡片”．

问题1：计算P(A),P(B)．

提示：P(A)＝36＝12,

P(B)＝26＝13.

问题2：把事件A,B同时发生记作AB,计算P(AB)．

提示：P(AB)＝16.

问题3：P(A),P(B),P(AB)之间有什么关系？

提示：P(AB)＝P(A)·P(B)．

1．定义

一般地,对于两个事件A,B,如果有P(AB)＝P(A)P(B),就称事件A与B相互独立,简称A与B独立．

2．性质 当事件A与B独立时,事件A与B,A与B,A与B也独立．

3．定义的推广

如果有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An),则称事件A1,A2,A3,…,An相互独立．

独立性检验

1.2×2列联表

B B 合计

A n11 n12 n1＋

A n21 n22 n2＋

合计 n＋1 n＋2 n

其中：n＋1＝n11＋n21,n＋2＝n12＋n22,n1＋＝n11＋n12,n2＋＝n21＋n22,n＝n11＋n21＋n12＋n22.

2．独立性检验

(1)χ2统计量的表达式χ2＝nn11n22－n12n212n1＋n2＋n＋1n＋2.

(2)经过对χ2统计量分布的研究,已经得到了两个临界值：3.841与6.635

①当χ2>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关；

②当χ2>6.635时,有99%的把握说事件A与B有关；

③当χ2≤3.841时,认为事件A与B是无关的．

1．事件的独立性,A与B,A与B,A与B,A与B只要有一对相互独立,其余三对必然也相互独立．

2．在列联表中,如果两个事件没有关系,则应有n11n22－n12n21≈0,因此|n11n22－n12n21|越小,说明两个事件之间关系越弱；|n11n22－n12n21|越大,说明两个事件之间关系越强．

独立性检验--高三一轮复习之统计案例

独立性检验--高三一轮复习之统计案例

独立性检验

1. 列联表独立性分析案例

用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等．

22列联表

a

b a+b

c d c+d

a+c b+d a+b+c+d

))()()(())((22dbcadcbabcaddcbaK

若0kk则有%100))(1(02kKP的把握认为两分类变量有关系

犯错误的概率为%100)(02kkP

)(02kKP 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

当K2≥3.841时，则有95%的把握说事A与B有关；

当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关；

当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关．

例1、独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A，B （ ）

A.互斥 B.不互斥 C.相互独立 D.不独立

例2、提出统计假设0H，计算出2的值，则拒绝0H的是 （ ）

A.27.331 B.22.9 C.20.8 D.21.9

例3．下列说法中正确的是 （ ）

①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设0H条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝0H的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论.

A. ①② B.①③ C.②③ D.①②③

高中数学第一章统计案例1.2回归分析与独立性检验的异同素材

高中数学第一章统计案例1.2回归分析与独立性检验的异同素材

回归分析与独立性检验的异同

回归分析与独立性检验都是统计中的重要概念，都可以借助已知对未知进行判断；但两者区别还是很大的，下面通过一例进行比较说明：

例题：为了对中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：

（1）若80分以上为“优”，否则为“一般”，试判断数学“优”与物理“优”是否有关？

（2）用变量y与x的相关系数说明物理与数学的线性相关程度，并用相关指数判断所求回归模型的效果；

解析：（1）根据题中条件，对两变量进行分类，先看数学成绩“优”的有“4”人，“一般”的有“4”人；物理“优”的有“6”人，“一般”的有“2”人；

于是，列联表如下：

假设数学“优”与物理“优”无关，则2216(2446)1.0682.70688126K，显然，没有充分的证据显示数学“优”与物理“优”有关；

（2）结合数据，借助计算器容易求出5.77x，85y，81z，21()1102niixx，

456)(12niiyy，550)(12niizz，1()()694niiixxyy，1()()niiixxzz

747，于是

变量y与x的相关系数niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()())((6940.9791102456可见变量y与x的线性相关性很好；

先求变量y与x的回归方程

由于121()()6940.62981102()niiiniixxyybxx，36.19aybx

得回归方程为0.629836.19yx；

此时7)(12niiiyy，98.04567)()(11212niiniiiyyyyR；

由此可以看出，变量y与x的回归模型的回归效果好；

评析：（1）从第一问的求解结果可以看出：数学“优”与物理“优”没有明显的关系；也就是数学“优”的人不一定物理“优”，当然，物理“优”的人也不一定数学“优”；它告诉我们这两科不能由一科是否“优”来推知另一科是否“优”；