3-9 质心 质心运动定律

m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t

离地面 y 0 ，顶端以恒定速度 v 沿墙面下滑。时刻t梯子质心C的加速度
=_______ 。
y





A
xB y A l
rC xB i y A j
l/2


l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt



rC
l y vt i y vt j
L
L
m
3
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝ 2 。求其质量中心。
dm dx cx dx
2
m
1 3
dm cx dx cL
0
3
3m
dm dx 3 xdx
L
L
xc
2
xdm


m


L
0
0
3m 3
x dx
3
L
m
x
3
L
4
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝x2。求其质量中心。
l/2


l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt



rC
l y vt i y vt j


yA
xC
v
O
C
B
yC
x
xB
y vt

d rC
v




aC

将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4

n Pi P1 P2 ...... Pn mi vi n i 1 i 1
质点系 F2 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t1 F21 t2 F12 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 F1 m2
本章教学内容：
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定理 质点系的角动量定理 质心参考系中的角动量
教学基本要求
1、理解并掌握牛顿第二定律的两个积分形式
2、掌握冲量和动量的概念，掌握动量定理及其应用
drc N mi v i m 3、质心的速度 v dt i 1 4、质心的动量 Pc mvc mi vi pi P
C
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi a i m 5、质心的加速度 ac dt
d (mv ) F dt
动量
mv2 mv1 F t
动量定理 力在Δt时间内的 积累：冲量
动能定理的推导:
质量为M 的物体在水平恒力F 的作用 下，经过时间t，速度由v0 变为 vt， v =v0
————F 作用了时间 t————
F F F F F F F
v =v t

t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
质点的动量定理：在给定的时间内，外力作用在 质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 . 注意：动量定理表达的含义有以下几方面： （1） 物体动量变化的大小和它所受合外力冲 量的大小相等。 （2） 物体动量变化的方向和它所受合外力冲 量的方向相同。 （3） 冲量是物体动量变化的原因。