线段的垂直平分线教学设计

《线段的垂直平分线的性质（1）》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算等解决有关问题，能用尺规作线段的垂直平分线，了解作图道理。

2、能力目标：在探索问题的过程中体会知识间的相互转化关系。

3、情感态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神。

二、教学重点和难点1、教学重点线段垂直平分线性质定理及其逆定理。

2、教学难点运用线段垂直平分线的性质及其逆定理解决有关问题。

三、教学过程线段的垂直平分线的性质（1）一、探究线段的垂直平分线的性质问题1 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l 上的点，试测量点P1，P2，P3到点A 与点B 的距离之间的数量关系引导学生动手操作，通过翻折进一步验证这一结论问题2如图，若在直线l 上任取一点P，那么这一点P与线段AB 两个端点的距离相等吗？由此你能得出线段的垂直平分线有什么性质？已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB【小组合作】小组共同讨论，组织语言，得出线段垂直平分线的性质。

问题 3 “线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的题设和结论分别是什么？交换题设和结论，你又能得到一个怎样的命题？已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．学生独立思考，通过测量、翻折及几何语言证明得出结论：点P1，P2，P3到点 A 与点B 的距离相等，小组合作研讨教师提出的思考题，达成共识学生思考、讨论、交流，在讨论交流的过程中，明确证明的思路，并独立完成证明。

学生通过观察，初步感知线段的垂直平分线的性质，培养学生的猜想能力。

让学生体验由原命题得到它的逆命题的过程，体会研究几何命题的基本思路，进一步学习证明几何命题的一般步骤，发展追问1：与一条线段两个端点距离相等的点有多少个？这些点组成了什么图形？例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线AB和AB外一点C（如图）求作：AB的垂线，使它经过点C．归纳小结：教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？学生自己动手，用尺规作图方法画出垂线小组讨论，学生回答他们的归纳概括能力在尺规作图中，让学生了解作图的道理，有助于发展学生的理性精神．通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想二、课堂达标巩固提高独立完成，积极发言。

第一章三角形的证明3．线段的垂直平分线(一)一、学生知识状况分析学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。

二、教学任务分析在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。

同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。

本节课目标位：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果教学重点、难点重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。

第一环节：创设情境，引入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A 、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”第二环节：性质探索与证明教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的点．求证：PA=PB ．分析：要想证明PA=PB ，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN ⊥AB ，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC ，PC=PC,∴△PCA ≌△PCB(SAS)． ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．教师用多媒体完整演示证明过程．第三环节：逆向思维，探索判定你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

线段的垂直平分线教学设计教学内容分析:这节课是把电子白板与几何画板结合的一节新授课。

线段的垂直平分线是对前一课时关于轴对称图形性质的再认识，又是今后几何作图、证明、计算的基础。

学习过程中渗透的转化、探索、归纳等数学思想方法对学生今后的数学学习也有重要的意义。

学习线段垂直平分线相关知识是为学生创造了一次探究的机会，是学习几何学的一次磨练。

二、探究新知爱心大道AB（2）以弓箭图形为例，弓的形状和我们学习的那种几何图形比较相似它是轴对称图形码如果是，请你大概描述出对称轴的位置，并且在弓身找出几组对称的点开弓时图形仍然是轴对称的吗此时图形和我们学习过什么几何图形比较相似呢此时的箭和弓是什么位置关系呢利用轴对称相关知识你发现那些线段相等呢活动1：木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现你能证明你的结论吗这仍然是学生感兴趣的话题，可以让学生白板上找出对称点，并利用直线工具作出对应点连线，和弓的对称轴。

仍以弓为例，通过一系列的问题，引起学生注意。

这是本节课的重点之一，要让学生体会到当P在AB的垂直平分线上时，无论点P怎样移动，PA=PB，先让学生大胆猜想，再用几何画板演示。

学生用文字语言说明发现的结论出示性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等∵直线l垂直平分线段AB,点P在l上∴PA=PB怎样证明活动2：用一跟木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢为什么总结：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上几何语言∵AP=BP∴点P在AB的垂直平分线上证明过程略巩固练习：大胆让学生说，锻炼学生的语言表达能力和归纳概括能力。

注意几何语言的规范证明过程可在白板上完成，提醒学生可转化为证三角形全等，渗透转化思想。

学生可用准备好的材料操作，发现当AC=BC时，就能保证箭的方向与木棒。

中小学教师教学设计大赛参赛稿件人教版八年级上册线段的垂直平分线的性质与判定教学设计教材分析线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。

线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。

在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。

学情分析由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。

教学目标①探索掌握线段的垂直平分线性质及它们的应用。

②正确理解两条性质的关系,准确选择定理与方法,提高解决问题的能力。

③揭示数学与现实生活中实际问题的联系，从而激发学生学习数学的积极性。

教学重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学准备：课件、多媒体设备、三角板、圆规课时安排：1课时教法与学法：授课法、讨论法教学过程：一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA ＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt △PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题．2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO ＝BO，为什么？(2)如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm.求BC的长．(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．板书设计线段的垂直平分线的性质与判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用符号语言表示为：∵ PC垂直平分AB(CA=CB,PC ⊥AB), ∴ PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上用符号语言表示为：∵PA=PB ∴ P在线段AB的垂直平分线上作图：教学反思：本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．。