江西省萍乡市芦溪中学2022-2023学年高二(尖子班)上学期开学考试数学试题附答案

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1.A2.B3.D4.A5.C6.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.－58.1.8×1079.2a ＋110.211.612.90°或180°或270°三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解：原式＝2＋1－1＝2.（2）证明：∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC △ADC （SAS ）.14.解：（1）如下左图（右图中的C 1~C 5亦可）：ABC12C C 答：△ABC 即为所求.（2）如下图：（方法一）（方法二）（方法三）答：点Q 即为所求.15.解：（1）②，③；（2）按甲同学的解法化简：原式＝éëêùûúx (x -1)(x +1)(x -1)+x (x +1)(x -1)(x +1)·x 2-1xA B CDìíîïïAB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，江西省2023年初中学业水平考试数学试题参考答案＝x (x -1)+x (x +1)(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x 2(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x .按乙同学的解法化简：原式＝x x +1·x 2-1x +x x -1·x 2-1x＝x x +1·(x +1)(x -1)x +x x -1·(x +1)(x -1)x ＝x －1＋x ＋1＝2x .16.解：（1）随机.（2）解法一列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）同学1同学2由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝212＝16.解法二画树状图如下：甲乙丙丁乙甲丙丁丙甲乙丁丁甲乙丙由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝212＝16.17.解：（1）∵直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点A （2，3），∴2＋b ＝3，3＝k2.∴b ＝1，k ＝6.∴直线AB 的表达式为y ＝x ＋1，反比例函数图象的表达式为y ＝6x（x ＞0）.（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵直线y＝x＋1与y轴交点B的坐标为（0，1），BC∥x轴，∴C点的纵坐标为1.∴6x＝1，x＝6，即BC＝6.由BC∥x轴，得BC与x轴的距离为1.∴AD＝2.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×2＝6.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.解：（1）设该班的学生人数为x人.依题意,得3x＋20＝4x－25.解得x＝45.答：该班的学生人数为45人.（2）由（1）可知，树苗总数为3x＋20＝155.设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（155－y）棵.依题意，得30y＋40(155－y)≤5400.解得y≥80.答：至少购买了甲种树苗80棵.19.（1）证法一证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD.∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝12(∠ACB＋∠B＋∠ACD＋∠ADC)＝12×180°＝90°.∴DC⊥BC.证法二证明：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上.∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC.（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F.在Rt△BCD中，cos B＝BCBD，BC＝1.8，∴BD＝BCcos B＝1.8cos55°≈3.16.∴BE＝BD＋DE＝3.16＋2＝5.16.在Rt△EBF中，sin B＝EF BE，∴EF=BE·sin B＝5.16×sin55°≈4.2.因此，雕塑的高约为4.2m.EDAB C F20.解：（1）连接OE .∵∠ADE ＝40°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝80°.∴∠BOE ＝180°－∠AOE ＝100°.∴ BE 的长l ＝100∙π∙2180＝109π.（2）证明：∵OA ＝OE ，∠AOE ＝80°，∴∠OAE ＝180°-∠AOE2＝50°.∵∠EAD ＝76°,∴∠BAC ＝∠EAD －∠OAE ＝26°.又∠C ＝64°，∴∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝90°.即AB ⊥BC .又OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解：（1）68，23%.（2）320.（3）①小胡的说法正确.理由如下：理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.理由二：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.②方法一：26000×8+16+28+34+14+44+60+82200+320＝14300（名）.方法二：26000×(1-68+46+65+55200+320)＝14300（名）.所以，估计该区有14300名中学生视力不良.建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.22.（1）证法一证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .又BD ⊥AC ，∴BD 垂直平分AC .∴BA ＝BC .∴□ABCD 是菱形.证法二证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .A BCD OE A CBD O图1∵BD⊥AC，∴∠AOB＝∠COB.又OB＝OB,∴△AOB△COB（SAS）.∴BA＝BC.∴□ABCD是菱形.（2）①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，BD＝6，∴OA＝12AC＝4，OD＝12BD＝3.∴OA2＋OD2＝42＋32＝25.又AD2＝52＝25，∴OA2＋OD2＝AD2.∴∠AOD＝90°.即BD⊥AC.∴□ABCD是菱形.②方法一解：如图2，取CD的中点G，连接OG.∵□ABCD是菱形，∴BC＝AD＝5，OB＝OD，∠ACB＝∠ACD.∵∠E＝12∠ACD，∴∠E＝12∠ACB.即∠ACB＝2∠E.又∠ACB＝∠E＋∠COE，∴∠E＝∠COE.∴CE＝CO＝4.∵OB＝OD，GC＝GD，∴OG为△DBC的中位线.∴OG//BC，且OG＝12BC＝52.∴OG//CE.∴△OGF△ECF.∴OFEF＝OGCE＝58.方法二解：如图3，延长FO交AB于点H.同方法一可得CE＝CO＝4.∵□ABCD是菱形，∴BH//CF.∴HFFE＝BCCE＝54，HOOF＝BOOD＝1.∴HF＝2OF.∴OFFE＝58.ACBDOFEG图2ACBDO FEH图3六、解答题（本大题共12分）23.解：（1）①3.②S＝t2＋2.（2）方法一由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6.将S＝6代入S＝t2＋2，得6＝t2＋2，解得t＝2或t＝－2（舍去）.当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）∴AB＝（8－2）×1＝6.方法二由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6，即BD2＝6.∴BD＝6.在Rt△DBC中，由勾股定理，得BC＝BD2-CD2＝2.∴点P由C运动到B的时间为2÷1＝2s.当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）∴AB＝（8－2）×1＝6.（3）①4.由(1)(2)可得S＝{t2+2，0≤t＜2，(t-4)2+2，2≤t≤8.在图2中补全0≤t＜2内的图象.根据图象可知0≤t≤2内的图象与2≤t≤4内的图象关于直线x＝2对称.因此t1＋t2＝4.②方法一函数S＝t2＋2的图象向右平移4个单位与函数S＝(t－4)2＋2的图象重合.∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，∴t3－t1＝4.又t3＝4t1，∴4t1－t1＝4，得t1＝43.此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.图1AFEB P CD图2方法二根据二次函数的对称性，可知t2＋t3＝8.由①可知t1＋t2＝4，∴t3－t1＝4.又t3＝4t1，∴4t1－t1＝4，得t1＝43.此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.。

2022年江西省萍乡市白竺中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将“” 改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．都有 B．都有C．都有 D．都有参考答案：A2. （5分）（2010?江门模拟）展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）A．120B．252C．210D．45参考答案：C【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，得到项的系数与二项式系数相同；据展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n，在通项中，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项为所以项的系数是二项式系数C2n r据展开式中间项的二项式系数最大又中间项是第n+1项所以n+1=6解得n=5所以展开式的通项为令5﹣=0解得r=6所以常数项为C106=210故选C 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大．3. 已知函数f(x)满足：，，若f(x)的图像与g(x)的图像有2019个不同的交点，则（）A. 2019B. 4038C. 2021D.参考答案：A【分析】先由，得到函数，都关于中心对称，且都过，根据对称性，即可求出结果.【详解】因为，所以，即函数关于中心对称，且，即，即函数过点；又，所以关于中心对称，且，即函数过点；若的图像与的图像有2019个不同的交点，则必为其中一个交点，且在左右两侧各有1009个交点，记，则与关于对称；与关于对称；……；与关于对称；共1009对，所以有，，所以.故选A【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，熟记函数的对称性即可，属于常考题型.4. 知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得 a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．5. 命题“存在”的否定是（）A．存在 B．不存在C．对任意 D．对任意参考答案：D略6. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）A．2 B．-2 C．4 D．-4参考答案：C7. 椭圆上有n个不同的点:P1 ,P2 ,…,P n , 椭圆的右焦点为F，数列｛|P n F|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（）A．198 B．199 C．200 D．201参考答案：C略8. “函数是奇函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件参考答案：D9. 从4台联想电脑和5台实达电脑中任选3台，其中至少含有联想电脑与实达电脑各1台，则不同的取法有（）种.A. 35B.70C.84D.140参考答案：B10. 不等式组表示的平面区域是 ( )(A ) 矩形 ( B) 三角形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上的点到其焦点F的距离为______.参考答案：5【分析】先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离.【详解】抛物线，准线为：点到其焦点的距离为点到准线的距离为5故答案为5【点睛】本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解.12. 过点M（1，2）的抛物线的标准方程为．参考答案：y2=4x或x2=y．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先根据点的位置确定抛物线焦点的位置，然后分焦点在x轴的正半轴时、焦点在y轴的正半轴时两种情况进行求解．【解答】解：点M（1，2）是第一象限的点当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y2=4x；当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）∴1=4p，p=，即抛物线的方程是x2=y．故答案为：y2=4x或x2=y．13. 观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， = （最后结果用m ，n 表示）参考答案：n2﹣m 2【考点】F1：归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知， =n2﹣m2．故答案为：n2﹣m214. 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为______________.参考答案：9略15. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a＝1，c＝，B＝，则b等于____________参考答案：略16. 已知集合A＝{x|ax－1＝0，x∈R}，B＝{1，2}，A∪B＝B，则a＝________．参考答案：0，，1∵A∪B＝B，∴A?B当a＝0时，A＝?，符合题意；当a≠0时，A＝{}，由A?B得＝1或＝2，∴a＝1或.综上，a＝0，1，.17. 设函数f（x）=x3+（1+a）x2+ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：≤a≤2或a≤﹣1【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．【解答】解：因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23+（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0．即（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+（1+a）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+a（x1+x2）≤0．由于f′（x）=3x2+2（1+a）x+a．令f′（x）=0得方程3x2+2（1+a）x+a=0．△=4（a2﹣a+1）≥4a＞0，x1+x2=﹣（1+a），x1x2=，代入前面不等式，并化简得（1+a）（2a2﹣5a+2）≥0．解不等式得≤a≤2或a≤﹣1，因此，实数a的取值范围是≤a≤2或a≤﹣1．故答案为：≤a≤2或a≤﹣1．【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

第1页，共8页2024-2025学年江西省“上进稳派”高二上学期第二次学情检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有( )A. 36种B. 60种C. 75种D. 85种2.已知向量𝑎=(1,−2,1)，𝑏=(3,𝜆,𝜇)，若𝑎//𝑏，则𝜆𝜇=( )A. −18B. 18C. −29D. 29

3.已知焦点在𝑥轴上的椭圆𝐶1与椭圆𝐶2:𝑥29+𝑦24=1的离心率相同，且𝐶1的长轴长比其短轴长大4，则𝐶1的标

准方程为( )A. 𝑥23+𝑦22=1B. 𝑥245+𝑦220=1C. 𝑥236+𝑦216=1D. 𝑥218+𝑦28=1

4.已知圆𝐶1:𝑥2+𝑦2−4𝑥−6𝑦=0，圆𝐶2:(𝑥−3)2+(𝑦−1)2=9，则圆𝐶1，𝐶2的公切线条数为( )

A. 1B. 2C. 3D. 45.已知四面体𝐴𝐵𝐶𝐷如图所示，其中点𝐸为△𝐴𝐶𝐷的重心，则𝐶𝐸=( )

A. 13𝐵𝐴+13𝐵𝐶−23𝐵𝐷B. 43𝐵𝐴+23𝐵𝐶−13𝐵𝐷

C. 13𝐵𝐴−43𝐵𝐶+13𝐵𝐷D. 13𝐵𝐴−23𝐵𝐶+13𝐵𝐷

6.已知双曲线𝐶:𝑥23−𝑦2=1的右焦点为𝐹2，点𝑃在𝐶的右支上，且𝑄(2,12)，则|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹2|的最小值为( )

A. 4−2 3B. 17−2 3C. 15−2 3D. 652−2 3第2页，共8页

7.已知−3≤𝑡≤2，点𝑃(𝑡−2,2𝑡+3)，点𝑄(3+2cos𝜃,−1+2sin𝜃)，则|𝑃𝑄|的最小值为( )A. 2 17−2B. 14 55−2C. 73−2D. 12 55−2

一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：13005]设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1936B ．1136C ．712D ．124．(0分)[ID ：12999]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 5．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n6．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ）A ．111 B ．211C ．355 D ．4557．(0分)[ID ：12952]运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >8．(0分)[ID ：12951]若框图所给的程序运行结果为S =20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k >8？B ．k ≤8？C ．k <8？D ．k =9？9．(0分)[ID ：12949]已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14B ．13C ．12D ．2310．(0分)[ID ：12947]将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．71011．(0分)[ID ：12942]已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<12．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥13．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>14．(0分)[ID ：12939]我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 15．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13125]已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．17．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.18．(0分)[ID ：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．19．(0分)[ID ：13077]以下四个命题错误的序号为_______ (1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.20．(0分)[ID ：13072]高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．21．(0分)[ID ：13066]以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.22．(0分)[ID ：13063]执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．23．(0分)[ID：13045]如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm，中间是边长为2cm的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;24．(0分)[ID：13031]已知,x y之间的一组数据不小心丢失一个，但已知回归直线过点()1.5,4，则丢失的数据是__________．x0123y13525．(0分)[ID：13104]在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方49cm之间的概率为__________．形，这个正方形的面积介于225cm与2三、解答题26．(0分)[ID：13201]从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.，的值；（1）求频率分布直方图中a b（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.27．(0分)[ID：13199]某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x与旅游收入y（单位：万元）之间有如下表对应数据：x24568 y3040605070=+，若广告支出费12万元，（1）求旅游收入y对广告支出费x的线性回归方程y bx a预测旅游收入；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（1）中的线性回归方程，求至少有一组数据，其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值，参考数据：521145i i x ==∑，52113500i i y ==∑，511380i ii x y==∑）28．(0分)[ID ：13189]自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：20以下 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70] 70以上 使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？29．(0分)[ID ：13185]现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x ，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为4x +.（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y 的平均值.30．(0分)[ID ：13133]在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．C3．A4．D5．B6．C7．D8．A9．B10．B11．A12．A13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）217．a<c<b<d【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc的大小关系从而得出abcd的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log18．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属19．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关20．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为1921．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不22．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要23．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属24．7【解析】设丢失的数据是点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是非随机变量与随机变量的关系如果线性相关则直接根据用公式求写出回归方程回25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：三、解答题26．27．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦，()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦，故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.4．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.6．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组， 所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7．D解析：D【解析】x==,运行该程序，第一次，1,k2x==，第二次，2,k3x==，第三次，4,k4x==，第四次，16,k5x==，第五次，4,k6x==，第六次，16,k7x==，第七次，4,k8x==，第八次，16,k9观察可知，k≥．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为5k>．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为4k≥．，则第八次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为9k>．，则第七次结束，输出x的值为4，不满足；若判断框中为7故选D.8．A解析：A【解析】【分析】根据所给的程序运行结果为S=20，执行循环语句，当计算结果S为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为S=20，第1次循环，S=11，K=9，第2次循环，S=20，K=8，此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k>8．故选：A．【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.11．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.12．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.13．A解析：A 【解析】 【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】 利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和，即12112k k b b b b a a -++⋯++=+， 从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．14．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．二、填空题16．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．17．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：a <c <b <d . 【解析】 【分析】利用中间值0、1来比较，得出a <0，0<b <1，0<c <1，d >1，再利用中间值12得出b 、c 的大小关系，从而得出a 、b 、c 、d 的大小关系． 【详解】由对数函数的单调性得a =log 30.5<log 31=0，log 31<log 32<log 33，即0<b <1，log 51<log 52<log 55，即0<c <1，log 0.50.25>log 0.50.5=1，即d >1． 又∵log 32>log 3√3=12=log 5√5>log 52，即b >c ， 因此，a <c <b <d ，故答案为a <c <b <d ． 【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下： （1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．18．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属解析： 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-， 73528,21287a b ∴←=-←=-， 14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..20．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．22．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.23．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属解析：49π 【解析】古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，面积为29cm π，中间是边长为2cm 的正方形孔，面积为24cm ，根据几何概型概率公式可得，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为49π，故答案为49π. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.。

2022-2023学年江西省新余市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，|x |+x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |+x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x <0D ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x ≥0【答案】C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“x R ∀∈，20x x +≥”的否定是“0x R ∃∈，2000x x +<”.故选：C.2．已知复数i (3i)z =-⋅-，其中i 是虚数单位，则复数|z |等于（ ） A ．3 B ．C ．10 D【答案】D【分析】根据复数的乘法与模长公式求解即可 【详解】i (3i)13i z =-⋅-=--，故z ==故选：D3．若不等式210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ）A ．5B ．5-C ．6D ．6-【答案】B【分析】由不等式的解集得到方程的根，利用根与系数的关系列方程组求解即可. 【详解】解：不等式210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即方程210ax bx ++=的解为11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭由方程的根与系数的关系可得1131113ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=-⎩，5a b ∴+=-故选：B.4．如图所示，ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则BE =（ ）A ．2136BA BC +B ．1133+BA BCC ．2133+BA BCD ．1136BA BC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可【详解】因为点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点， 所以BE BD DE =+ 1223BC DA =+ 12()23BC BA BD =+- 121()232BC BA BC =+- 2136BA BC =+, 故选：A5．已知角α的终边在直线2y x =上，则2π3sin cos sin 4ααα⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ）A ．310B ．1110C ．1310D ．1310-【答案】B【分析】依题意可得tan 2α=，再利用两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】解：因为角α的终边在直线2y x =上，所以tan 2α=， 所以2π3sin cos sin 4ααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭2ππ3sin cos sin cos cos sin 44αααα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2213sin cos sin cos 2sin cos 2αααααα=-+- 14sin cos 2αα=-224sin cos 1sin cos 2αααα=-+24tan 1tan 12αα=-+24211121210⨯=-=+故选：B 6．若lg 32a =，lg 43b =，lg 54c =，则正确的是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】C【分析】结合对数运算性质，1lg 72912a =，1lg 25612b =，1lg12512c =，lg x 为增函数，即可比较 【详解】6lg311lg3lg 72921212a ===，lg 41lg 256312b ==，lg51lg125412c ==， ∵lg x 为增函数，∴c b a <<. 故选：C7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 上一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．325⎝⎭B ．325⎡⎢⎣⎦C ．5⎡⎢⎣⎦D ．5⎛ ⎝⎦【答案】B【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接1A M 、1A N 、MN 、1BC 、NE ，证明出平面1//A MN 平面AEF ，可知点P 的轨迹为线段MN ，求出线段1A P 长度的最小值和最大值，即可得解.【详解】如图所示，分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接1A M 、1A N 、MN 、1BC 、NE ，因为M 、N 分别为1BB 、11B C 的中点，则1//MN BC ，同理可得1//EF BC ，//MN EF ∴，MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF ，因为11//BC B C 且11BC B C =，E 、N 分别为BC 、11B C 的中点，则1//BE B N 且1BE B N =， 所以，四边形1BB NE 为平行四边形，所以，1//EN BB 且1EN BB =， 11//AA BB 且11AA BB =，1//EN AA ∴且1EN AA =，所以，四边形1AA NE 为平行四边形，1//A N AE ∴，1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ， 1A NMN N =，1A N 、MN ⊂平面1A MN ，所以，平面1//A MN 平面AEF ，当P MN ∈时，1A P ⊂平面1A MN ，则1//A P 平面AEF ， 所以，点P 的轨迹为线段MN ．在1Rt MB N △中，22221111222MN B M B N ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．在11Rt A B M △中，22211111512A M A B B M ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．同理，在11Rt A B N 中，可得15A N =1A MN 为等腰三角形．设MN 的中点为O ，连接1A O ．当点P 位于MN 的中点O 处时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；当点P 位于M 、N 处时，1A P 最长．易求得222211523224AO A M OM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，线段1A P长度的取值范围是⎣⎦． 故选：B.8．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12k P P 、、如何,总是无解B ．无论12k P P 、、如何,总有唯一解C ．存在12k P P 、、，使之恰有两解D ．存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠， 且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解． 故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、多选题9．定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈[1，2]时，f (x )<0且f (x )为增函数，下列四个结论其中正确的结论是（ ）A ．当x ∈[-2，-1]时，有f （x ）<0B ．f （x ）在[-2，-1]上单调递增C ．f （-x ）在[-2，-1]上单调递减D ．()f x 在[-2，-1]上单调递减【答案】AC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数的符号及增减性，即可得到结果.【详解】解： A 偶函数的图象关于y 轴对称，[1x ∈，2]时，()0f x <，所以当[2x ∈-，1]-时，有()0f x <，故A 正确；B 偶函数的图象关于y 轴对称，[1x ∈，2]时，()f x 为增函数，所以()f x 在[2-，1]-上单调递减，故B 错误；C 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=．由B 知()f x 在[2-，1]-上单调递减，故C 正确；D |()|f x 的图象是将()f x 下方的图象，翻折到x 轴上方，由于()f x 在[2-，1]-上单调递减，所以|()|f x 在[2-，1]-上单调递增，故D 错误. 综上可知，正确的结论是AC 故选：AC ．10．下列说法正确的是（ ）A ．11y y k x x -=-能表示过点()11,M x y 且斜率为k 的直线方程 B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x ya b+=C ．直线y kx b =+与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点()11,A x y ，()22,B x y 的直线方程为()()()()2122120x x y y y y x x -----= 【答案】ACD【分析】根据直线方程的5种形式的适用条件即可根据选项逐一求解. 【详解】11y y k x x -=-能表示过点()11,M x y 且斜率为k 的直线方程，故A 对， 若,a b 中至少有一个为0时，无法用1x ya b+=表示，故B 错，直线y kx b =+与y 轴的交点为()0b ，，故()0b ，到原点的距离为b ，C 对， 结合直线的两点式方程即可判断D 正确， 故选：ACD11．已知函数()()cos 0f x x ωω=>的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则以下（ ）可能是ω的值.A ．43B ．4C ．203D ．283【答案】ABC【分析】根据()f x 的对称中心和单调性列不等式，求得ω的范围，从而确定正确答案.【详解】由于()f x 关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以13π3π3ππcos 0,π8882f k ωω⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，184,Z 3k k ω+=∈①. 由于0>ω，且()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以()f x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，ππ0,088x x ωω≤≤≤≤，所以π0π,088ωω<≤<≤②. 由①②得111841508,,Z 322k k k +<≤-<≤∈， 所以10k =或11k =或12k =， 所以43ω=，或4ω=，或203ω=. 故选：ABC12．在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，点P 为线段1A C 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（ ） A ．当113AC A P =时，1//D P 平面1BDC B ．当P 为1A C 中点时，四棱锥11P AA D D -的外接球表面为92πC ．1AP PD +D ．当1A P =P 是11AB D 的重心 【答案】ACD【分析】利用等体积法求出点1A 到平面11AB D 的距离与1A C 的关系，利用面面平行的性质定理，即可判断选项A ，当1A P =1A P 即三棱锥111A D AB -的高，即可判断选项D ，当点P 为1A C 的中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，求出外接球的半径，即可判断选项B ，由等面积法即可判断选项C ． 【详解】解：对于A ，连接1AB ，11B D ，则1111111326A A B D V -=⨯⨯=，111322sin 602AB D S=︒=，13AC 设点1A 到平面11AB D 的距离为h ， 则13136h =，解得3h ，所以113h AC =，则当113AC A P =时，P 为1A C 与平面11AB D 的交点， 又11//AD BC ，1AD ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ，同理可证1//AB 平面1BDC ，11AD AB A ⋂=，11,AD AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BDC ，1D P ⊂平面11AB D ， 所以1//D P 平面1BDC ， 故选项A 正确；对于B ，当点P 为1A C 的中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥， 设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ， 则22212()()2R R -+=，解得34R =， 所以四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π， 故选项B 错误；对于C ，连接AC ，1D C ，则111Rt Rt A AC A D C ≅， 所以1AP D P =，由等面积法可得，AP的最小值为11AA AC AC ⋅= 所以1AP PD +， 故选项C 正确．对于D，由以上分析可得，当1A P =时，1A P 即三棱锥111A D AB -的高， 所以1A P ⊥平面11D AB ，又三棱锥111A D AB -为正三棱锥，所以点P 是11AB D 的重心， 故选项D 正确； 故选：ACD三、填空题13．已知直线1l ：30ax y ++=与2l ：()2110x a y a +-++=平行，则=a ______. 【答案】1-【分析】根据两直线平行列方程，验证后求得a 的值.【详解】由于12//l l ，所以()2112,20a a a a ⋅-=⨯--=，解得2a =或1a =-.当2a =时，两直线方程为12:230,:230l x y l x y ++=++=，两直线重合，不符合题意. 当1a =-时，两直线方程为12:30,:0l x y l x y --=-=，两直线平行，符合题意. 综上所述，a 的值为1-. 故答案为：1-14．过点()5,2A -，且在y 轴上的截距等于在x 轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______.【答案】280x y ++=或250x y +=【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合()5,2A -点的坐标求得直线的一般方程.【详解】①当在x 轴、y 轴上的截距都是0时，设所求直线方程为y kx =， 将(5,2)-代入y kx =中，得25k =-，此时直线方程为25y x =-，即250x y +=.②当在x 轴、y 轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为1(0)2x ya a a+=≠， 将(5,2)-代入12x ya a+=中，得4a =-，此时直线方程为280x y ++=.综上所述，所求直线方程为280x y ++=或250x y +=. 故答案为：280x y ++=或250x y +=15．已知幂函数()()2244m f x m m x -=-+在()0,∞+上单调递减，若正数a ，b 满足23a b m +=，求32a b+的最小值______.【答案】24【分析】结合幂函数的知识求得()f x 的解析式，利用基本不等式求得32a b+的最小值.【详解】由于()f x 是幂函数，所以22441,430m m m m -+=-+=，解得1m =或3m =.当1m =时，()11x xf x -==，在()0,∞+上递减，符合题意. 当3m =时，()f x x =在()0,∞+上递增，不符合题意. 所以m 的值为1，则231a b +=， 依题意,a b 为正数，()32329423661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当941,232b a a b a b ===时，等号成立. 所以32a b+的最小值为24.故答案为：2416．在平面直角坐标系xOy 内，O 为坐标原点，对于任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义它们之间的“欧几里得距离”A B =“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，则对于平面上任意一点P ，若2OP =，则动点P 的轨迹长度为______.【答案】【分析】求得P 点满足的方程，转化为分段的形式，画出图象，进而求得点P 的轨迹长度.【详解】设(),P x y ，则2OP x y =+=①， 当0,0x y ≥≥时，①化为：2,2x y y x +==-+； 当0,0x y ≥<时，①化为：2,2x y y x -==-； 当0,0x y <≥时，①化为：2,2x y y x -+==+； 当0,0x y <<时，①化为：2,2x y y x --==--；由此画出P 点的轨迹如下图所示， 所以轨迹的长度为2222482+⨯=. 故答案为：82四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =. (1)若()()4a b a kb -⊥+，求实数k 的值；(2)若()2,c t =，若向量a b -与向量-a c 的夹角为锐角，求实数t 的取值范围 【答案】(1)59k = (2)73t >-【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算解方程即可；（2）根据向量夹角的性质利用向量数量积公式列不等式，解不等式. 【详解】(1)由()1,2a =-，()3,4b =， 得()124,1a b =--，()13,24a kb k k +=+-+， 又()()4a b a kb -⊥+，()()()()()4113122445250a b a kb k k k ∴-⋅+=⨯++-⨯-+=-+=，解得59k =； (2)由已知得()2,6a b -=--，()1,2a t c =----，又向量a b -与向量-a c 的夹角为锐角，即()()()()()()21621460a b a c t t -⋅-=-⨯-+-⨯--=+>， 解得73t >-.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若_____________．（请从①222sin sin sin sin sin A B C A B +-=；②2sin cos a A a C =+；③(2sin sin )2sin (sin 2sin )A B a c C A B b -=+-这三个条件中任选一个填入上空） (1)求角C ；(2)若6c =时，求ABC 周长的最大值． 【答案】(1)3C π=(2)18【分析】（1）若选①，首先根据正弦定理得到222a b c ab +-=，再利用余弦定理即可得到3C π=，若选②，首先根据正弦定理得到2sin sin sin cos A C A A C =+，再利用辅助角公式即可得到3C π=，若选③，首先根据正弦定理得到222222a ab c ab b -=+-，再利用余弦定理即可得到3C π=.（2）利用余弦定理再结合基本不等式求解即可. 【详解】(1)若选①，因为222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，所以222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=.若选②，因为2sin cos a A a C =+，所以2sin sin sin cos A C A A C +，因为sin 0A >cos 2sin 26C C C π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为7666C πππ<+<，所以62C ππ+=，即3C π=.若选③，因为()()2sin sin 2sin sin 2sin A B a c C A B b -=+-， 所以222222a ab c ab b -=+-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=.(2)由①②③可得3C π=，由余弦定理：22362cos3a b ab π=+-，即 ()2336a b ab +-=，所以()223()364a b a b ++-≤，解得12a b +≤，当且仅当6a b ==时取等号. 所以ABC 周长的最大值是18.19．已知圆C 过点()4,0A ，()0,4B ，且圆心C 在直线l ：60x y +-=上.(1)若从点()4,1M 发出的光线经过直线y x =-反射，反射光线1l 恰好平分圆C 的圆周，求反射光线1l 的一般方程.(2)若点Q 在直线l 上运动，求22QA QB +的最小值. 【答案】(1)7490x y --= (2)20【分析】（1）根据点关于线的对称，求解()114M --，，由几何法求圆心坐标，进而根据两点坐标即可求解直线方程，（2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)点()4,1M 关于直线y x =-的对称点()1,M a b ， 11141422MM b K a b a -⎧==⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩解得1,4a b =-=-，所以()114M --，， 由于圆C 过点()4,0A ，0,4B ，因为圆心C 在直线：l ：+60x y -=上，AB 垂直平分线的方程为y x =，联立y x =与60x y +-=得圆C 的圆心()33C ，： 则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，()()11347314M C l k k --===--， 由点斜式得1l 为：()7334y x -=-，1l ：7490x y --=， (2)设点()00,Q x y ，则0060x y +-=，则00=6y x -又()()2222220000=4+++4QA QB x y x y +--()222220000000=2+288+32=2+216=4320x y x y x y x ----+， 故当03x =时，22QA QB +的最小值为20．20．已知函数2())2sin 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且当()()12()f x f x f x ≤≤时，12min π2x x -=. (1)求f （x ）的解析式；(2)将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程()43g x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.【答案】(1)()2sin2f x x = (2)5n =，20π3【分析】（1）由12min π2x x -=求出最小正周期，求出2ω=，6π=ϕ，根据()f x 为奇函数求出6π=ϕ，求出()f x 的解析式； （2）求出()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到π2sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，换元后结合函数图象得到5n =，利用函数对称性得到()()()12345142345222224πt t t t t t t t t t t ++++=+++++=，从而得到12345222x x x x x ++++的值.【详解】(1)()()()πcos 2sin 6f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭因为()()()12f x f x f x ≤≤时，12min π2x x -= ∴π2π2π2T ω=⨯==， ∴2ω=， 又()f x 为奇函数， ∴ππ,6k k Z ϕ-=∈，即ππ,6k k Z ϕ=+∈， ∵0πϕ<<，∴6π=ϕ， ∴()2sin2f x x =，(2)由题意可得，()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()π42sin 433g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则π2sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ4,5π33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数sin y t =在π,5π3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，由图可知，sin y t =与23y =共有5个交点， ∴()43g x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上共有5个根，即5n =， ∵()()()123451423455π5π9π2222222224π222t t t t t t t t t t t ++++=+++++=⨯+⨯⨯+⨯= ∴()12345123451π20π22222284123x x x x x t t t t t ++++=+++++⨯=21．如图，已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是矩形，,VD CD VD BC =⊥，点E 是棱VC 上一劫点（不含端点）.(1)求证：平面ADE ⊥平面VCD ； (2)当22CD AD ==且6VCD π∠=时，若直线VC 与平面ADE 所成的线面角,32ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点E 的运动轨迹的长度. 【答案】(1)证明见解析 23【分析】（1）根据线面垂直的判定得到AD ⊥平面VCD 即可证明； （2）分别计算3πα=和2π时的情况，根据线面垂直与几何关系确定点E 的临界位置，进而求得点E 的运动轨迹的长度即可 【详解】(1)证明：因为,VD BC BC AD ⊥∥， 故AD VD ⊥，又AD DC ⊥ 所以AD ⊥平面VCDAD ⊂平面ADE所以平面ADE ⊥平面VCD(2)首先，取VC 中点F ，连接DF 在等腰VDC 中，DF VC ⊥① 由（1）知AD ⊥平面VCD ，得AD DF ⊥②由①②得DF ⊥平面ADF ，即此时当F 与E 点重合时， 直线VC 与平面ADE 所成的线面角为2π， 其次，由题意易得，存在点F 两侧各有两个点，如图分别记为12,E E ，使得60,E α=的运动轨迹即为线段12E E .作CH ED ⊥于H ，又AD ⊥平面VCD ，得AD CH ⊥， 故CH ⊥平面ADE ，所以()VC EC 在平面ADE 的射影为EH ，CEH ∠即为直线VC 与平面ADE 所成的线面角α，即13CE H π∠=此时，1,63VCD CE H ππ∠∠==，此时H 与D 重合，故143sin603CD CE ==同理可得22,3sin30sin120CE CD VE D π∠==，解得2233CE =故E 的运动轨迹长度为12432323333E E =-=.22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()0,1P 且互相垂直的两条直线分别与圆O ：224x y +=交于点A ，B ，与圆M ：()()22211x y -+-=交于点C ，D .(1)若14AB AB 的一般方程； (2)若CD 的中点为E ，求ABE △面积的取值范围. 【答案】(1)10x y -+=或10x y +-= (2)354⎤⎥⎝⎦【分析】（1）由题，直线AB 斜率显然存在，设出直线:1AB y kx =+，可得点O 到线AB 的距离，由垂径定理建立勾股定理方程解出斜率k 即可（2）直线AB 的斜率不存在时，可求出定值面积；直线AB 的斜率存在时，设出直线:1AB y kx =+，由A 到直线CD 的距离小于AP 建立不等式，可得斜率k 范围，结合E 点到直线AB 的距离、由垂径定理建立勾股定理方程解出弦长AB ，可得ABE △的面积函数，讨论函数值域即可【详解】(1)由题可知，2o r =，∵142o AB r =<，直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线:1AB y kx =+.因为O 点到直线AB 的距离121d k =+，∴222421AB k ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，∴224321k AB k +=+22432141k k ++21k =. 则直线AB 的一般方程为10x y -+=或10x y +-=(2)当直线AB 的斜率不存在时，()2,1E ，则ABE △的面积14242S =⨯⨯=当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线:1AB y kx =+，0k ≠，直线1:1CD y x k=-+.此时A 到直线CD 的距离小于AP ，则2211111k k -+-<⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得23k >，所以()(),33,k ∈-∞-⋃+∞.因为2221421AB k ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，所以224321k AB k +=+.因为ME CD ME AB ⊥⇒，则E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离22211211k k d kk+-==++所以ABE △的面积()()2222431221k k S AB d k +=⋅=+令214t k =+>，则222451514t t S t t t -+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭∵4t >，∴1104t <<，∴354S ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 综上，ABE △面积的取值范围是354⎤⎥⎝⎦。

2022年江西省萍乡市高考数学二模试卷（理科）1.设，，，则( )A. B. C. D.2.复数z满足，则的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 63.北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．如图是年我国已投入运营的室内滑雪场数量家与同比增长率与上一年相比的统计情况，则下面说法错误的是( )A. 年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势B. 年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快C. 年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底D. 年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长4.等比数列中，，，则( )A. B. 2 C. 4 D. 85.若函数的图象在点处的切线斜率为3，则( )A. B. C. 1 D. 26.在中，AD为BC边上的中线，E在线段AD上，，则( )A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 3B. 2C. 1D.8.函数，若，，则的范围是( )A. B. C. D.9.抛物线C：的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则的最小值为( )A. B. C. D.10.高尔顿钉板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块如图所示，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )A. B. C. D.11.已知双曲线左顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C. D.12.正方体棱长为2，动点P在线段上含端点，以下结论不正确的为( )A. 三棱锥的体积为定值B. 过P，B，三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形C. 当点P和重合时，三棱锥的外接球体积为D. 直线PD与面所成角的正弦值的范围为13.若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______.14.在的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为______结果用数字作答15.已知函数，等差数列满足，则______.16.若函数的最小值为，则函数的最小值为______.17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②；③；④题干中的③与④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；请选择一组使有解的三个条件，并求的面积．18.如图，在五面体ABCDE中，已知平面BCD，，为正三角形，且求证：平面平面ABC；求二面角的余弦值．19.若四点恰有三点在椭圆上．求椭圆T的方程；动直线与椭圆交于E，F两点，EF中点为M，连其中O为坐标原点交椭圆于P，Q两点，证明：20.为庆祝建党一百周年，某卫视开展了“学党史”知识竞赛答题活动，每位参赛嘉宾共需要回答且次答题，以获得扶贫基金．若每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，且各次答题相互独立．规定第一次答题时，若回答正确得200元，回答错误得100元．第二次答题时，设置了两种答题方案供参赛嘉宾选择．方案一：若回答正确得500元，回答错误得0元；方案二：若回答正确则获得上一次获得答题基金的两倍，回答错误得100元．从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束．如果，参赛嘉宾甲应该选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；记参赛嘉宾甲第i次获得的基金为，期望为，且选择方案二．记，请直接写出用表示的表达式，并求参考数据：，21.已知函数求在上的值域；若函数，试讨论的零点个数．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；若A，B是曲线C上的两点，且，求的最小值．23.已知函数解不等式；若不等式恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由，，，，故选：先化简集合A，B，再求出，由交集的运算，即可求得答案．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以复数z所对应的点在以为圆心，以1为半径的圆上，则的最大值即求圆上点到原点距离的最大值，根据圆的性质可知，所求最大值为故选：结合复数的几何意义及圆的性质即可求解．本题主要考查了复数的几何意义及圆的性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由柱状图可知，年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势，由折线图可知，年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底，在2018年首次出现正增长；故选项B说法错误；故选：根据图形分别分析年我国已投入运营的室内滑雪场数量与同比增长率，从而判断即可．本题考查了数据分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：等比数列中，，，，解得，故选：利用等比数列的通项公式直接求解．本题考查等比数列的第3项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由函数，得，函数的图象在点处的切线斜率为3，则，，故选：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，列出方程求解即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，导数的几何意义，是基础题．6.【答案】B【解析】解：，故选：由题意知本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．7.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为1和2的直角三角形，高为3的三棱锥如图所示：故故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：作出函数的图象如图，，，，即，；由，得，则，故选：画出分段函数的图象，由已知结合对数的运算性质求得，再求出c的范围，进一步求得的范围．本题考查分段函数的应用，考查对数的运算性质，考查数形结合思想，是中档题．9.【答案】D【解析】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为由抛物线的方程可得焦点，则，解得，所以，所以点A关于直线的对称点为，故，当且仅当，P，F三点共线时，等号成立，即的最小值为故选：不妨设A为第一象限内的点，坐标为，由抛物线的定义可得，解得A点的坐标，设点A关于直线的对称点为，由对称性可得，即可得出答案．本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意小球知小球落到第⑤个格子的概率为：故选：利用独立重复试验概率计算公式能求出小球落到第⑤个格子的概率．本题考查概率的求法，考查独立重复试验概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为，联立，解得，，，且轴，，，，，则，，，得，即故选：由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P，Q的坐标，得到，，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又，易证平面，故到平面的距离为，故三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，故A 正确；对于B ：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，故B 正确；当点P 和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，故外接球的半径为，故外接球的体积为，故C 正确；设点P 到平面的距离为h ，由，又，知点P 到平面的距离，当P 在线段上运动时，，当点P 为线段的端点时，，设直线与平面所成角为，，故D 错误；故选：A 用等体积法求体积判断；B 作出截面图形可判断；C 点P 和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，由此可判断；D 把问题转化为线段最值问题即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线面角计算和体积计算问题，以及线面角的正弦值的求法，属中档题．13.【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，令，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14.【答案】18【解析】解：先在个格选一个放白球，方法数有9种，再放2个黑球，方法数有2种，所以不同的放法数有种．故答案为：先放白球，然后放黑球，结合分步乘法计数原理求得正确答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为函数，所以，所以，因为数列为等差数列，，所以……，即，，……故……，所以，故答案为：根据的解析式可得，结合等差数列的性质计算可得结果．本题考查了函数与数列的综合，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，记，则，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以当时，，此时，，所以的最小值为，故答案为：，记，求导分析单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：，即，分又，由余弦定理知，即分不符合，所以③④两个条件不可以同时成立；分若选择①②③，由可知，由，，则，分所以，分若选择①②④，由，代入④得，分由可知，则分【解析】利用余弦的倍角公式求出A的值，再由余弦定理求出B的值，由此即可判断求解；选择①②③：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选择①②④：利用已知求出c的值，再由的结论以及三角形的面积公式即可求解．本题考查了正弦定理的应用，涉及到求解三角形面积问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：取BC中点M，AB中点N，连接DM，MN，EN，且，又，，，且，所以四边形MNED是平行四边形，，且，又平面BCD，平面ABC，平面平面BCD，又，，又平面平面，平面BCD，平面ABC，又，平面ABC，又平面ABE，所以平面平面ABC；由知，，且，平面ABC，平面平面ABC，以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面BDE法向量为，则，取，又，则，又平面平面，平面ABC，所以平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，，显然二面角为钝角，故其余弦值为【解析】将面面垂直证明转化成线面垂直证明；将二面角转化成两半平面法向量的夹角，再用向量夹角公式求解．本题考查面面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．19.【答案】解：由于，，两点关于原点对称，必在椭圆上，则，且，所以必在椭圆上，即有，，所以椭圆；证明：设，，联立，得，则，，，则，联立，，，，【解析】根据椭圆的对称性可得点、在椭圆上，结合点在椭圆上列出方程组，解之即可；设、，联立动直线和椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出、，进而求出点M的坐标；联立直线和椭圆方程求出点P、Q的坐标，求出弦长MP，MQ，ME，MF，对，分别计算化简即可．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：若甲第2次答题选方案一，记两次答题累计基金为，则可能取700，600，200，100，，，，，则累计基金的期望，若甲第2次答题选方案二，记两次答题累计基金为，则可能取600，300，200，则，，，则累计基金的期望，因为，所以应选择方案一；依题意得，的可能取值为200，100，其分布列为：200100P所以，则，由得：，所以为等比数列，其中首项为，公比为，所以，故，元．【解析】分别计算出甲2次答题选方案一和方案二的期望，比较大小即可；依题意找到的分布列和期望，进而得到为等比数列，利用等比数列求和公式求解即可．本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．21.【答案】解：，当时，单调递增；当时，单调递增；故在上单调递增，，即的值域为；分，①当，即时，在递减，在递增，，即有唯一的零点；分②当，即时，在递增，在递减，，即有唯一的零点；分③当，即时，有两根和，其中在和递增，在递减，，当，即时，在有一个零点，在有一个零点，即有两个零点；分当，即时，在无零点，在有一个零点，即有唯一零点；分④当时，，恰有一个零点；分⑤当，即时，有两根和，其中，在和递增，在递减，当，即时，在有一个零点，在无零点，即有一个零点；分当，即时，在有一个零点，在有一个零点，即有两个零点；分综上所述：或或，存在一个零点；时或时，存在两个零点．分【解析】求出导函数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，推出结果．求出，通过，，，，时时，利用函数的单调性，判断函数的零点个数，推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数零点个数的判断，是难题．22.【答案】解：由参数方程可得，两式相乘得普通方程为，故曲线C的极坐标方程为，即；因为，所以可设，，，故当且仅当时，的最小值为【解析】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；由题意，可设，，，利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．23.【答案】解：，分当时，，则，分当时，，则，分当时，，则，分综上，分法一：令当时，，，，故不合题意；分当时，如图所示，为，的图象，恒过定点，故恒成立，又，则…………分法二：当时，为，显然成立，；……分当时，化为，……………………分令，则，分当且仅当且时等号成立．，分综上知：分【解析】利用零点分区间法去绝对值，解不等式即可；法一：令，分和两种情况讨论，利用数形结合法即可求解；法二：当时，不等式显然成立；当时，参变量分离可得，令，求出的最大值即可求解a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．。