2022-2023学年河南省豫西名校高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省名校联盟高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样 B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样 D ．其他抽样方法【答案】C【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案. 【详解】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样 故选：C2．设集合{}{}2|40,|20A x x B x x a =-≤=+≥，若{}|12A B x x ⋂=-≤≤，则=a （ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【分析】解一元二次及一元一次不等式求集合A 、B ，根据交集的结果有12a-=-，即可得结果.【详解】{}2|40{|22}A x x x x =-≤=-≤≤，{}|20{|}2aB x x a x x =+≥=≥-，{}|12A B x x ⋂=-≤≤，则12a-=-，解得2a =. 故选：C3．已知(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】由复数除法求得z 后可得其对应点坐标，从而得出正确选项． 【详解】由题意22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i ++====+-+-，对应点为(1,1)，在第一象限．故选：A4．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1a =，b =45C =︒，则边c 等于（ ） A ．1 BCD ．2【答案】A【分析】由余弦定理求出答案.【详解】由余弦定理得：2222cos 121c a b ab C =+-=+-=，故1c =. 故选：A5．已知向量(1,2)=-a ，(,4)b m =，且//a b ，那么a b -等于（ ） A ．(4，0) B ．(0，4) C ．(3，－6) D ．(－3，6)【答案】C【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】解析 ∵//a b ，∴λa b 则1,24,m λλ=⎧⎨-=⎩得1,22,m λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴(2,4)b =-，∴a b -＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6). 故选：C6．设,a b ∈R ，则“2a <且2b <”是“4a b +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.【详解】若2a <且2b <，则4a b +<，充分性成立；取1,3a b =-=，则4a b +<成立，但“2a <且2b <”不成立，必要性不成立.因此“2a <且2b <”是“4a b +<”的充分不必要条件. 故选：A.7．设有两条不同的直线m n ､和两个不同的平面αβ､，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥C ．若,m n m α⊂∥，则n α∥D ．若,m αβα⊂∥，则//m β 【答案】D【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.【详解】若,m n αα∥∥，则,m n 可以平行､相交或异面，故A 错误； 若,,,,m n m n m ααββ⊂⊂∥∥与n 相交，则αβ∥，故B 错误； 若,m n m α⊂∥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误； 若,m αβα⊂∥，则//m β，故D 正确. 故选：D.8．甲、乙两人有三个不同的学习小组,,A B C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】A【分析】根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下9种： ,,,,,,,,AA AB AC BA BB BC CA CB CC ，两人参加同一个学习小组的情况有如下3种： ,,AA BB CC ，故两人参加同一个学习小组的概率3193P ==. 故选：A .9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,BB BC P =为11C D 的中点，则二面角1B PC C--的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B【分析】由二面角的定义证明1BC C ∠即为二面角1B PC C --的平面角，求出此角即得． 【详解】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1PC ⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以11PC BC ⊥，且11PC CC ⊥，所以1BC C ∠即为二面角1B PC C--的平面角，又1BB BC =，易得145BC C ∠=. 故选：B.10．将函数()sin f x x =的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()1sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到()g x 的解析式【详解】解：将()sin f x x =图象上各点横坐标变为原来的12，得sin2y x =，再向左平移12π个单位长度后得()sin 2sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：D.11．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是111,,643，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ） A ．172B ．572C ．512D ．712【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是111,,643，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为111511164312⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故他们三人中至少有一人被录取的概率为5711212-=. 故选:D12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是增函数，且()20f =，则满足()()0f x f x x+->的x 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()2,2-【答案】C【分析】根据偶函数的区间单调性判断()f x 的区间符号，再把不等式转化为()0xf x >，进而等价转化为不等式组求解集即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，()20f =， 所以函数()f x 在()0,+∞上单调递减，()()220f f -==， 当()()2,,2x ∞∞∈+⋃--时()0f x <；当()2,2x ∈-时()0.f x >不等式()()0f x f x x +->，即()0xf x >等价于0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，解得2x <-或02x <<.所以不等式对应x 的范围为()(),20,2-∞-.故选：C二、填空题13．已知扇形的圆心角为150︒，面积为53π，则该扇形所在圆的半径为___________. 【答案】2【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案 【详解】解：因为51506π︒=，所以扇形的面积为221552123r r ππα==，所以24r =，即2r =， 故答案为：214．不等式()()210x x +->的解集为___________. 【答案】()2,1-【分析】解一元二次方程求解集即可.【详解】由()()210x x +->等价于()()210x x +-<，可得21x -<<. 故答案为：()2,1-15．如果1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为___________.【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．【详解】因为1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为21333⨯=．故答案为：3．16．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面,3,90,2ABC PA PB AB BAC AC ∠=====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为___________. 【答案】8π【分析】由题意可确定球心的位置在过BC 的中点垂直于平面ABC 的直线上，继而求得外接球的半径，即可求得答案.，【详解】如图，取AB 的中点,E BC 的中点D ，连接PE ,由，3PA PB AB ===PAB △是等边三角形，则PE AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面,ABC AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABC ，又ED ⊂平面ABC ，所以PE ED ⊥. 过D 作OD ⊥平面ABC ，则OD PE ∥.因为90BAC ∠=，即BC 为球的截面圆的直径， 所以三棱锥P ABC -的外接球的球心在DO 上， 设球心为O ，连接,OB OP ，设外接球半径为R ， 由已知22233773,2(3)7,24PE BC BD OD R ===+===-在直角梯形PEDO 中，22221371,1,2224ED AC R R R ⎛===+-∴= ⎝ 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积224π4π(2)8πS R ==⨯=， 故答案为：8π17．已知幂函数()()23122233m m f x m m x ++=-+为奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围.【答案】(1)()3f x x =(2)2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得出2331m m -+=，求得1m =或2m =，代入解析式，结合()f x 为奇函数，即可求解；（2）由（1）得到()f x 在R 上为增函数，不等式转化为132a a +<-，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.(2)解：由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ， 所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.18．已知,αβ为锐角，()sin ααβ=-=(1)求sin2α的值； (2)求tan β的值. 【答案】(1)45；(2)7【分析】（1）先利用22sin cos 1αα+=和α的范围求cos α=，接着利用二倍角公式即可得到答案；（2）先利用()sin αβ-的值算出()cos αβ-和()tan αβ-的值，再通过第（1）问算出tan α，最后利用()βααβ=--即可得到答案【详解】(1)因为22sin cos 1αα+=，且sin α=所以21cos 5α=，又α为锐角，所以cos α， 因此4sin22sin cos 5ααα==； (2)因为,αβ为锐角，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为()sin αβ-=所以()cos αβ-== 因此()()()sin 1tan cos 3αβαβαβ--==--，因为cos αα==所以sin tan 2cos ααα==， 因此()()()tan tan tan tan 71tan tan ααββααβααβ--⎡⎤=--==⎣⎦+-19．已知向量,a b 满足()3,2,6a b a a b ==⋅-=. (1)求2a b -；(2)若()()a b a b λ+⊥+，求实数λ的值.【答案】(2)127-【解析】（1）()263a a b a a b a b ⋅-=-⋅=⇒⋅=.()2222244912a b a b a a b b -=-=-⋅+=-(2)∵()()a b a b λ+⊥+ ∴()()0a b a b λ+⋅+=化简得：22(1)0a a b b λλ++⋅+= 即：93(1)40λλ+++= 解得：127λ=-【点睛】本题主要考查向量的数量积，属于基础题.在求向量的模长运算时常用结论：()2a a=.20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面P AB ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA AB =.证明：(1)EF ∥平面PDC ； (2)PB ⊥平面DEF . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形可证明EF DM ∥，利用线面平行判定定理求解即可； （2）根据面面垂直的性质可得AD ⊥平面P AB ，可得AD PB ⊥，再由⊥AF PB 即可得证.【详解】(1)取PC 的中点M ，连接DM ，MF .∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF CB ∥，12MF CB =.∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形，∴DE CB ∥，12DE CB =，∴MF DE ∥，MF DE =， ∴四边形DEFM 为平行四边形. ∴EF DM ∥，∵EF⊂/平面PDC，DM⊂平面PDC.∴EF∥平面PDC.(2)∵四边形ABCD为正方形，∴AD AB⊥.又平面ABCD⊥平面P AB，平面ABCD平面PAB AB=，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面P AB.∵PB⊂平面P AB，∴AD PB⊥.连接AF，∵PA AB=，F为PB中点，∴⊥AF PB.又AD AF A=，AD，AF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF.21．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[)[)[]0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)采用分层抽样的方法从[)[)1,1.5,1.5,2这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.【答案】(1)0.40a=(2)2.06小时(3)3 7【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.【详解】(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[)[)[]0,0.5,0.5,1,,4,4.5的频率分别为0.04,0.08,0.15，0.5,0.25,0.15,0.07,0.04,0.02a .由()10.040.080.150.250.150.070.040.020.5a -+++++++=，得0.40a =.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时.因为前5组频率和为0.040.080.150.200.250.720.5++++=>，前4组频率和为0.470.5<，所以2 2.5m <<由()0.5020.50.47m -=-，得 2.06m =.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.(3)由题意得，周末阅读时间在[)[)1,1.5,1.5,2中的人分别有15人､20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人､4人，分别记作,,A B C 及a b c d ,,,.从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间Ω{,,,,,,,,,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad BC Ba Bb Bc Bd Ca Cb Cc =，,,,,,,}Cd ab ac ad bc bd cd ，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，抽取的2人在同一组包含的样本点有,,,,,,,,AB AC BC ab ac ad bc bd cd ，共9个， 故所求概率93217p ==. 22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量(),3m a b =，()cos sin n A B =,，且m n ∥．(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 周长的取值范围．【答案】(1)3A π=(2)(【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.（2）由正弦定理可得6b c C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据C 的范围求出sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域，即可求出ABC 周长的取值范围.【详解】(1)∵m n ∥，∴sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =．又sin 0B ≠，∴tan A =由于0A π<<，∴3A π=．(2)∵a =3A π=， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得2sin b B =，2sin c C =．232(sin sin )2sin sin 2sin 326b c B C C C C C C ππ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵3A π=，∴20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭． ∴1sin ,162C π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．∴b c +∈，则(a b c ++∈．故ABC 周长的取值范围为(．。

2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点(2,1)-且与直线320x y +-=平行的直线方程为（）A.370x y --=B.350x y +-=C.350x y ++= D.3+70x y -=【答案】B 【解析】【分析】设直线方程为30x y m ++=，代入已知点坐标求得参数值即得．【详解】设直线方程为30x y m ++=，又直线过点(2,1)-，所以610m -+=，5m =-，即直线方程为350x y +-=．故选：B ．2.已知x ∈R ，则直线2(10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A.π5π(,]26B.[,)65ππ C.π2π(,23D.2π[,π]3【答案】B 【解析】【分析】设直线的倾斜角为α，根据题意求得33k ≥-，得到3tan 3α≥-，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为(0π)αα≤<，由直线2(10x a y +++=，可得斜率为33k =≥-，即tan 3α≥-，解得56παπ≤<，即直线的倾斜角的取值范围为[,)65ππ.故选：B.3.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，且3AB CD =，点O 为空间内任意一点，设,OA a OB b ==，OC c= ，则向量OD=（）A.3a b c-+B.3a b c--C.1133a b c-++D.1133a b c -+【答案】D 【解析】【分析】由已知及几何体中对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA OB OC 表示出OD即可.【详解】13OD OA AD OA AB BC CD OA AB OC OB AB=+=+++=++-- 211()333OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-+ 1133a b c =-+ .故选：D4.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，可得2(1)2110a a a +=⨯⎧⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C.5.已知点()1,2,3A ，()1,1,0B ，()0,1,1C ，则下列向量是平面ABC 的法向量的是（）A.()1,3,1-- B.()1,3,1---C.()1,3,1 D.()1,3,1-【答案】A 【解析】【分析】表示出向量,AB AC ，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与,AB AC是否都垂直即可.【详解】由题意知：()0,1,3AB =-- ，()1,1,2AC =---，对于A ，()()1,3,10,1,30330--⋅--=-+= ，()()1,3,11,1,21320--⋅---=-+=，()1,3,1∴--与,AB AC均垂直，()1,3,1∴--是平面ABC 的一个法向量，A 正确；对于B ，()()1,3,11,1,21326---⋅---=++= ，()1,3,1∴---与AC不垂直，()1,3,1∴---不是平面ABC 的一个法向量，B 错误；对于C ，()()1,3,10,1,30336⋅--=--=- ，()1,3,1∴与AB不垂直，()1,3,1∴不是平面ABC 的一个法向量，C 错误；对于D ，()()1,3,10,1,30336-⋅--=--=- ，()1,3,1∴-与AB不垂直，()1,3,1∴-不是平面ABC 的一个法向量，D 错误.故选：A.6.已知点(0,0,0),(1,2,2),(2,1,1),(1,0,2)O A B P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q的坐标是（）A.99(,0,)105B.99(,0,105--C.510(,0,33D.510(,0,)33--【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设点(,0,2)Q t t ，结合向量的数量积的运算公式，得到2596t t QA QB =-+⋅，根据二次函数的性质，即可求解.【详解】因为点Q 在直线OP 上运动，且(1,0,2)P ，设点(,0,2)Q t t ，可得,(1,2,22)(2,1,12)QA Q t B t t t =--=--，则2(1)(2)21(22)(12)596QA QB t t t t t t =--+⋅⨯+--=-+，根据二次函数的性质，可得910t =时，QA QB ⋅ 取得最小值，此时点Q 的坐标为99(,0,)105.故选：A.7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.6B.10C.6D.10【答案】C 【解析】【分析】先根据鳖臑1A ABC -体积最大求出AC 和BC 的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AB =，14AA =，1112||||||||||2313ABC A V AC BC AA AC BC -⋅⋅⋅⋅==⋅ ，222||||||||||()2||||2||4AC BC B C AC B B A C C C C A ++=+⋅⋅≤ ，22||4||BC AC += ，||||2AC BC ∴⋅≤，当且仅当||||AC BC ==是等号成立，即当鳖臑1A ABC -的体积最大时，||||AC BC ==，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z轴，建立空间直角坐标系，14)B ，(0,0,0)C，A，B，1(0,4)B C =-，BA =，1(0,0,4)BB = ，设平面11ABB A 的法向量n(,,)x y z =，则1040n BA n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,1,0)n = ，设直线1B C 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||6|s |in ||C C B n B n θ⋅==⋅，∴直线1B C 与平面11ABB A所成角的正弦值为6．故选：C ．8.在ABC 中，已知(1,1),(3,5)A B --，若直线:260m x y ++=为ACB ∠的平分线，则直线AC 的方程为（）A.210x y -+= B.67130x y +-=C.2350x y +-=D.1x =【答案】D 【解析】【分析】根据点关于线的对称求解B 关于直线:260m x y ++=的对称点()1,3B '-，即可根据两点求解AB '的方程,即可求解直线AC 方程.【详解】过B 作B 关于直线:260m x y ++=的对称点B '，则B '在直线AC 上，设(),B m n '，根据BB m '⊥且BB '的中点在直线m 上，得()35260225213m n n m --⎧⨯++=⎪⎪⎨+⎪⨯-=-⎪+⎩，解得1,3m n ==-，所以()1,3B '-，又(1,1)A ，所以直线AB '方程为1x =，故AC 方程为1x =，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知平面α内有一点(1,1,1)M -，平面α的一个法向量为(4,1,0)n =-，则下列点中不在平面α内的是（）A.(2,3,2)A B.(2,0,1)B - C.(4,4,0)C - D.(3,3,4)D -【答案】BCD 【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断n AM ⋅ ，n BM ⋅ ，n CM ⋅ ，n DM ⋅是否为0即可.【详解】对于A ，()1,4,1AM =--- ，()()()41+1400n AM ⋅=⨯--⨯-+= ，所以n AM ⊥，又因为M ∈平面α，所以A ∈平面α.对于B ，()3,1,0BM =- ，()()43+11013n BM ⋅=⨯-⨯-+= ，所以n 与BM 不垂直，又因为M ∈平面α，所以B ∉平面α.对于C ，()5,5,1CM =- ，()()45+15025n CM ⋅=⨯-⨯-+= ，所以n 与CM不垂直，又因为M ∈平面α，所以C ∉平面α.对于D ，()2,2,3DM =-- ，()()42+12010n DM ⋅=⨯--⨯+=- ，所以n 与DM不垂直，又因为M ∈平面α，所以D ∉平面α.故选：BCD10.已知点(1,3),(5,1)A B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可以是（）A.380x y --=B.340x y ++=C.360x y -+=D.220x y ++=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意可得直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，再逐一检验各个选项即可.【详解】由点(1,3),(5,1)A B -到直线l 的距离相等，得直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，对于A ，直线AB 的方程为311351y x --=---，即380x y -+=，故A 选项符合；对于B ，将线段AB 的中点()2,2-代入得()32240⨯-++=，所以直线340x y ++=过线段AB 的中点，故B 符合；对于C ，将线段AB 的中点()2,2-代入得()322620⨯--+=-≠，所以直线360x y -+=不过线段AB 的中点，故C 不符合；对于D ，将线段AB 的中点()2,2-代入得()22220⨯-++=，所以直线220x y ++=过线段AB 的中点，故D 符合.故选：ABD .11.下列结论中正确的是（）A.若直线l 的方向向量为(0,1,2)a = ，直线m 的方向向量为(2,2,1)b =-，则l m⊥B.若直线l 的方向向量为(1,1,2)k =- ，平面α的法向量为(2,2,0)n =，则//l αC.若两个不同平面,αβ的法向量分别为121(4,2,1),(2,1,2n n =-=-- ，则//αβD.若平面α经过三点(1,1,1),(0,1,1),(1,2,0)A B C ----，向量(,,)c s u t =是平面α的法向量，则u t=-【答案】AC 【解析】【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．【详解】选项A ，由于0220a b ⋅=+-= ，即a b ⊥，∴l m ⊥，A 正确；选项B ，∵2200k n ⋅=-++=，所以//l α或l ⊂α，B 错；选项C ，122n n =- ，即12//n n，∴//αβ，C 正确；选项D ，(1,2,0),(2,3,1)AB AC =-=- ，c 平面α的法向量，则20230c AB s u c AC s u t ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，202s u s u -+=⇒=，代入230s u t -++=得t u =，D 错．故选：AC ．12.已知动直线:(2)40(R),:(2)0l a x ay a l ax a y '-++=∈--=，则下列结论中正确的是（）A.直线l '恒过第四象限B.直线l 可以表示过点(2,2)-的所有直线C.原点到直线l的距离的取值范围是(0,D.若l 与l '交于点,(2,2),(0,0)P A O -，则||||PA PO +的取值范围是4]【答案】CD 【解析】【分析】A 令2a =判断即可；B 求出直线所过的定点判断；C 利用点线距离公式及二次函数性质求范围；D易知l l '⊥，则222||||||8PA PO OA +== ，应用基本不等式、三角形三边关系求范围.【详解】A ：当2a =时，:0l x '=，显然不过第四象限，错；B ：由:()240l a x y x +-+=，令0420x y x +=⎧⎨-=⎩，则直线l 恒过(2,2)-，由0x y +=也过点(2,2)-，但对于直线l ，无论a 取何值都不可能与直线0x y +=重合，所以直线l 不可以表示过点(2,2)-的所有直线，错；C ：原点到直线l 的距离d ==，R a ∈，则(0,d ∈，对；D ：由(2)(2)0a a a a ---=，即l l '⊥，如下图90APO ∠=︒，则222||||||8PA PO OA +==，所以222(||||)||||82PA PO PA PO ++=≥ ，即||||4PA PO +≤ ，当且仅当||||2PA PO == 时等号成立，又||||||PA PO OA +≥=P 与A 重合时等号成立，故||||PA PO +的取值范围是4]，对.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点P 在直线230x y +-=上，且位于第一象限，若P 点到直线240x y --=P 点的坐标为______.【答案】(1,1)【解析】【分析】根据题意，设点(),32P a a -，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由点P 在直线230x y +-=上，可设点(),32P a a -，因为P 点到直线240x y --==5105a -=，解得1a =或3a =，当1a =时，()1,1P 位于第一象限，满足题意；当3a =时，()3,3P -位于第四象限，不满足题意，所以P 点的坐标为()1,1.故答案为：()1,1.14.已知点(2,1,1)A -，(3,2,1)B -，(0,1,1)C -，则AB在AC上的投影向量的模为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出AB 、AC的坐标，即可得到AB AC ⋅uu u r uuu r 、AC ，最后根据AB AC AC⋅ 计算可得.【详解】因为(2,1,1)A -，(3,2,1)B -，(0,1,1)C -，所以()()()3,2,12,1,11,1,0AB =---=-，()()()0,1,12,1,12,2,2AC=---=-- ，所以()()()1212024A C B A =⨯-+-⨯+⨯-=-⋅，AC =所以AB 在AC上的投影向量的模为3A A B AC C⋅=.故答案为：23315.若三条互不重合的直线,43,10y x x y mx y m =-+=++-=不能围成三角形，则m =______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案.【详解】当三条直线交于同一点时，1431y x x x y y =-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即交点为()1,1-.将()1,1-代入10mx y m ++-=，解得1m =，直线为0x y +=，与y x =-重合，舍去.当y x =-与10mx y m ++-=平行时，即1m -=-，解得1m =，舍去.当43x y +=与10mx y m ++-=平行时，4m -=-，解得4m =，此时直线为430x y ++=，符合题意.故答案为：416.在平面四边形ABCD 中，,1,AD CD CD AD ⊥==，等腰三角形ABC 的底边AC 上的高302，沿直线AC 将ACD 向上翻折α角至ACD '△，若cos (0,1)α∈，则直线AC 与BD '所成角的余弦值的取值范围是______.【答案】,)219【解析】【分析】取AC 中点O ，连接OB ，过点O 作Oz ⊥平面ABC ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设二面角D AC B '--的大小为β，把直线A C 与BD '所成角的余弦表示为β的函数，求出函数最大值作答.【详解】因为,1,AD CD CD AD ⊥==，所以AC ==，又因为腰三角形ABC 的底边AC 上的高2，所以3AB BC ===，过D 作DH AC ⊥于H ，连接D H '，如图，显然D H AC '⊥，ACD 绕直线AC 旋转过程中，线段DH 绕点H 在垂直于直线AC 的平面γ内旋转到D H '，取AC 中点O ，连接OB ，因3AB BC ==，有OB AC ⊥，2OB ==，,663CD AD D H DH CH OH AC ⋅'=====，过点O 作Oz ⊥平面ABC ，以点O 为原点，射线,,OB OA Oz 分别为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则(0,,0)2A，,0,0)2B，(0,,0)2C -，显然有//Oz 平面γ，设二面角D AC B '--的大小为β，有cos ,,sin )636D ββ-'，因为沿直线AC 将ACD 向上翻折α角至ACD '△，且cos (0,1)α∈，所以cos 06β<，即cos 0β<，所以()cos 1,0β∈-，则有cos ,,sin )6236BD ββ=--' ，CA的方向向量为(0,1,0)n = ，设直线AC 与BD '所成的角为θ，于是得3cos cos ,n BD n BD n BD θ'''⋅=〈〉===，因设二面角D AC B '--的大小为β，()cos 1,0β∈-，于是得cos 219θ<=<，所以直线AC 与BD '所成角的余弦值的取值范围是:216,219.故答案为：216,219【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.18.已知直线1:(2)60l m x my ++-=和直线2:30l mx y +-=，其中m 为实数．（1）若12l l ⊥，求m 的值;（2）若点(1,2)P m 在直线2 l 上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．【答案】（1）3m =-或0（2）20x y -=或250x y +-=．【解析】【分析】（1）利用直线垂直的条件分类讨论斜率情况计算即可；（2）将点P 坐标带入直线方程先计算得(1,2)P ，再利用点斜式求截距，计算即可.【小问1详解】若0m =，则直线1:260l x -=，即3x =，2:3l y =，两直线垂直，符合题意；若0m ≠，则2()1m m m+-⋅-=-，解得3m =-．综上，3m =-或0.【小问2详解】由(1,2)P m 在直线2l 上，得230m m +-=，解得1m =，可得(1,2)P ，显然直线l 的斜率一定存在且不为0，不妨设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，令0x =，可得2y k =-，再令0y =，可得2k x k-=，所以22(2)k k k -=-，解得2k =或12k =-，所以直线l 的方程为22(1)y x -=-或12(1)2y x -=--，即20x y -=或250x y +-=．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,90,2CA CB BCA AA ︒∠====，,M N 分别为111,AA A B 的中点．以C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．（1）设平面1C MN 的法向量为(,,2)m x y =，求,x y 的值;（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的余弦值.【答案】（1）12x y =⎧⎨=-⎩（2）53【解析】【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．【小问1详解】由题可知111(0,0,0),(0,0,2),(0,1,2),(1,,2),(2,0,1)2C C B M N ，111(1,,0),(2,0,1)2C M C N ==- ，则110,0,m C M m C N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,2220,y x x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩；【小问2详解】11(1,,1),(0,1,2)2MN CB =--= ，∴11510()11222MN CB ⋅=⨯+-⨯-⨯=- ，又13||,||52MN CB == ，∴111cos ,3MN CB MN CB MN CB ⋅==-⋅ ，故异面直线MN 与1B C所成角的余弦值为3．20.已知直线:1l y kx k =+-．（1）求证：直线l 过定点；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；（3）若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】（1）证明见解析（2）11[,35-（3）(21y x =++或(21y x =+-【解析】【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【小问1详解】由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；【小问2详解】若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,]35-；【小问3详解】设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =+或2，所以直线l 的方程为(21y x =+++或(21y x =-+-21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，O 为线段AC 与BD 的交点，PO ⊥平面ABCD ，3PO =，BE PD ⊥于点E ．（1）证明：//OE 平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）513【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直证得PBD △是等边三角形，利用中位线的性质证线线平行即可判定线面平行；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】易知O 是BD 的中点，∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO BD ⊥，则PB PD =．∵菱形ABCD 的边长为2，π3ABC ∠=，易得BD OB ==∴tan PO PBO OB ∠==，即π3PBD ∠=，∴PBD △是等边三角形，∵BE PD ⊥，∴E 是PD 的中点，∴//OE PB ，又OE ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴//OE 平面PAB ；【小问2详解】由（1）及条件易知,,OC OD OP 两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3),(1,0,0),(0,(1,0,0)P A B C -，∴(1,0,3),(1,0,3)BP AP CP ===-，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则3030n BP z n AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13,z x y =⇒=-=(3,n =- ，设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c = ，则30,30,m BP c m AP a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令13,c a b =⇒==，得(3,m = ，∴5cos ,13n m n m n m⋅==-⋅ ，结合图可知，二面角A PB C --为锐角，故其余弦值为513.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,AB AC AP 两两互相垂直，,,D E N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，且,42,25PA AC PC BC ===（1）求证：//MN 平面BDE ．（2）在棱PA 上是否存在一点H ，使得直线NH 与平面BDE 所成的角为π4，若存在，求线段AH 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点F ，连接,MF NF ．证明平面//MFN 平面BDE 后可得证线面平行；（2）分别以,,AB AC AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，假设(0,0,)(04)h h ≤≤，由空间向量法求线面角，即可得出结论．【小问1详解】如图，取AB 的中点F ，连接,MF NF ．∵M 为AD 的中点，∴//MF BD ，∵BD ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，∴MF ∥平面BDE∵N 为BC 的中点，∴//NF AC ．∵,D E 分别为,AP PC 的中点，∴//DE AC ，则//NF DE ．∵DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ，∴//NF 平面BDE ，又MF NF F = ，,MF NF ⊂平面MFN ，∴平面//MFN 平面BDE ，∵MN ⊂平面MFN ，∴//MN 平面BDE ．【小问2详解】由题知,,PA PB PA AC AB AC A ⊥⊥⋂=，可得PA ⊥底面ABC ，由题易知4,2PA AC AB ===．∵BAC ∠=90°，∴以A 为坐标原点，分别以,,AB AC AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,0,2),(0,2,2),(1,2,0)A B C P D E N ，∴(2,2,2),(2,0,2)BE BD =-=- ，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2220,220,BE n x y z BD n x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令1x =，可得(1,0,1)n = ．设(0,0,)(04)H h h ≤≤，则,(1,2,)AH h NH h ==-- ．由cos ,2NH n NH n NH n ⋅===⋅ ，解得2h =-，这与04h ≤≤矛盾，故棱PA 上不存在一点H ，使得直线NH 与平面BDE 所成的角为π4.。

豫西名校2021-2021 学年高二上学期第二次联考文数试题一、选择题〔本大题共12小题，共60.0分〕1.集合，，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，选2.命题“，〞的否认是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】因为“,〞是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否认可知：其否认是存在性命题，即“,〞，应选答案C 。

3.等差数列的前n项和为，且，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值.【详解】设等差数列的公差为d，那么，解得．应选：B．【点睛】本小题主要考查利用根本元的思想求等差数列的根本量、通项公式和前项和.根本元的思想是在等差数列中有个根本量，利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.4.，为椭圆C：的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点非左右顶点，那么的周长为A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求得的值，所求三角形周长为，由此求得正确选项.【详解】由知，，，，∴周长为.应选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查焦点三角形的周长，属于根底题.5.王昌龄参军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还〞，其中后一句中“攻破楼兰〞是“返回家乡〞的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可判断出结论．【详解】“攻破楼兰〞是“返回家乡〞的必要非充分条件．应选：B．【点睛】此题考查了充分条件和必要条件的定义，属于根底题．6.假设实数x，y满足条件，那么的最大值为A. B. C. D. 4【答案】D【解析】作出可行域，如图内部〔含边界〕，作直线，当直线向下平移时，增大，因此当过时，为最大值，应选D．7.命题p：“，〞，命题q：“，〞，假设命题是真命题，那么实数a 的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：假设p是真命题那么.假设q是真命题那么.所以.所以.应选B.本小题考查命题的相关知识.含特称和全称的命题的运算.涉及对数函数函数和二次函数的知识.考点：1.特称命题和全称命题.2.命题的否认.3.命题的交集的运算.8.椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于点A，B，假设AB中点为，且直线AB的倾斜角为，那么椭圆方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴c＝，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么＋＝1，＋＝1，∴，，∴a2＝，b2＝.应选：C9.直线与椭圆恒有公共点，那么实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得直线过的定点，根据这个定点在椭圆内或者椭圆上列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】直线恒过定点，直线与椭圆恒有公共点，即点在椭圆内或椭圆上，，即，又，或．应选：C．【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点，考查直线和椭圆的位置关系，属于根底题.10.的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，，那么A. 3B.C.D. 6【答案】C【解析】【分析】由，，成等差数列，可得，再在中，由余弦定理得，从而利用面积公式求面积即可.【详解】因为的三个内角，，成等差数列，有,那么，在中，由余弦定理得：，即，所以或-1〔舍去〕，可得，所以.【点睛】此题主要考查了余弦定理及面积公式的应用，属于根底题.11.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设的面积为S，且，，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】，而，所以，又根据，即，解得 (舍)或，，解得，应选D.12.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，那么的最大值为A. 2B.C.D.【答案】C【解析】设，设直线方程为联立化简得那么，那么=当时，的最大值为应选C二、填空题〔本大题共4小题，共20.0分〕13.的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，那么______．【答案】3【解析】【分析】利用正弦定理将题目所给条件转化为角的形式，化简后再次利用正弦定理将角的形式转化为边的形式，由此求得的值.【详解】法一：由及正弦定理得，∴，∴，∴.法二：，∴.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，求得边的比值.属于根底题.14.假设命题“，〞是假命题，那么m的取值范围是______．【答案】【解析】因为命题“〞是假命题，所以为真命题，即，故答案为.15.点，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且假设的面积为9，那么__【答案】【解析】16.椭圆的中心在原点，，分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，那么此椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】先求得点的坐标，根据两直线平行，斜率相等列出方程，化简这个方程后可求得离心率. 【详解】如下图，把代入椭圆方程〔〕可得，又，，，∴，∵，∴，化简得.∴，即，∴.【点睛】本小题考查椭圆的标准方程和几何性质.通过椭圆上常见点的坐标和两直线平行这个条件，列方程后，将方程转化为的形式，由此求得离心率.属于根底题.三、解答题〔本大题共7小题，共82.0分〕17.设命题p：；命题q：关于x的不等式对一切均成立．Ⅰ假设命题q为真命题，求实数a的取值范围用集合表示；Ⅱ假设命题为真命题，且命题为假命题，求实数a的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知对一切均成立，结合一次函数的性质可得实数的取值范围是；(Ⅱ)由题意可得命题一真一假，据此分类讨论可得实数的取值范围是.试题解析：〔Ⅰ〕当命题为真命题时，不等式对一切均成立，∴∴实数的取值范围是；〔Ⅱ〕由命题为真，且为假，得命题一真一假当真假时，那么，；当假真时，那么，得，∴实数的取值范围是18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，．求角A的大小；假设，求的面积．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；〔2〕由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，那么．试题解析：〔1〕因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以〔2〕解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．考点：1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．19.，p：，q：．p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；假设是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕解一元二次不等式求得条件中不等式的解集.根据是的必要不充分条件可知，中的范围是中不等式解集的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.〔2〕根据是的充分不必要条件可知是的充分不必要条件，即中不等式的解集是中范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由得，即p：是q成立的必要不充分条件，那么是的真子集，有，解得，又当时，，不合题意，的取值范围是.是的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，那么是的真子集，那么，解得，又当时，,不合题意．的取值范围为【点睛】本小题主要考查充分、必要条件求参数的取值范围，考查命题的否认，考查集合的真子集等知识，属于中档题.20.，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立．假设命题p为真命题，求实数m的取值范围；假设为假，为真，求实数m的取值范围．【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用单调性求得的最小值，利用小于或等于这个最小值求得的取值范围.〔2〕利用别离常数法，将命题所给不等式别离常数后，求得的取值范围.根据题目所给条件“为假，为真，〞可知一真一假，分成真假，和假真两类，列不等式组求得的取值范围.【详解】〔1〕令，那么在上为减函数，因为，所以当时，，不等式恒成立，等价于，解得，故命题为真，实数的取值范围为.〔2〕假设命题为真，那么，对上恒成立，令，因为在上为单调增函数，那么，故，即命题为真，假设为假，为真，那么命题，中一真一假；①假设为真，为假，那么，那么无解；②假设为假，为真，那么，那么.综上的取值范围为.【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的主要解题策略，考查含有逻辑连接词命题真假性来求参数的取值范围.属于中档题.21.设为数列的前n项和，，对任意，都有．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ假设数列的前n项和为，求证：．【答案】(1) ；(2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕运用数列的递推式，化简整理即可得到所求通项公式；〔2〕b n，由裂项相消求和即可得到所求和．【详解】〔1〕因为，当时，两式相减得：即，所以当时，.所以，即.〔2〕因为，，，所以.所以，因为，所以.又因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数.所以当时，取最小值，所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22.点与都在椭圆C：上，直线AB交x轴于点M．求椭圆C的方程，并求点M的坐标；设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得？假设存在，求点E的坐标；假设不存在，说明理由．【答案】〔Ⅰ〕，〔Ⅱ〕在轴上存在点，使得，且点的坐标为或．【解析】试题分析：〔Ⅰ〕将两点坐标代入椭圆方程，解方程组得〔Ⅱ〕求定点问题，一般以算代定. 解几中角的问题，一般转化成坐标问题：，从而确定试题解析：〔Ⅰ〕由题意得∴故椭圆的方程为．直线方程为，与轴交点．〔Ⅱ〕因为点与点关于轴对称，所以，直线的方程为，与轴交于点．“存在点使得〞等价于“存在点使得〞，即满足，∴，∴，故在轴上存在点，使得，且点的坐标为或．考点：椭圆方程，定点问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点〞是什么、“定值〞是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.23.椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是求椭圆C的方程；假设过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．【答案】〔1〕〔2〕当时，，当时，【解析】【分析】〔1〕由题意可知解方程即可得解；〔2〕设直线的方程为，，由直线与椭圆联立得，由根与系数的关系可得，从而得中点的坐标，进而得的垂直平分线方程，令x=0可得，再由，用坐标表示即可解.【详解】〔1〕由题意可知解得，，所以椭圆方程为.〔2〕由〔1〕知，设直线的方程为，，把代入椭圆方程，整理得，所以，那么，所以中点的坐标为，那么直线的垂直平分线方程为，得又，即，化简得，解得故当时，，当时，.【点睛】此题主要考查了直线与椭圆的位置关系，用到了向量问题坐标化，坐标通过设而不求的方程灵活处理，考查了学生的运算能力，属于中档题.。

2022-2023学年河南省郑州市第二高级中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集，则( )A. B.C.D.2.若，则复数z 的共轭复数是( )A. B.C.D.3.在中，点D 在BC 边上，记，则( )A.B.C.D. 4.已知某人射击每次击中目标的概率都是，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169 966 151 525 271 937 592 408 569 683471 257 333 027 554 488 730 863 537 039据此估计p 的值为( )A. B.C.D.5.在中，内角所对的边分别为若，且的面积是1，则的外接圆的面积为( )A.B.C.D.6.某个高级中学组织物理、化学学科能力竞赛，全校1000名学生都参加两科考试，考试后按学科分别评出一、二、三等奖和淘汰这四个等级，现有某考场的两科考试数据统计如下，其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人.如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估计全校考生的物理和化学成绩分布，则以下说法正确的是( )①该考场化学考试获得一等奖的有4人;②全校物理考试获得二等奖的有240人;③如果采用分层随机抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰78人.A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③7.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，则球O的表面积为( )A. B. C. D.8.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则( )A. B. C. D.9.已知a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．给出下列命题：①若，，，则或；②若，，，则；③若，，，则；④“若，，则”是随机事件；⑤若a，b是异面直线，则存在平面过直线a且垂直于直线其中正确的命题是( )A. ①③B. ②⑤C. ③④D. ②④10.已知p：，q：，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知，，则( )A. B. C. D.12.在中，角A，B，C所对的边分别是a、b、c，，D是边BC上一点，且，则的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022—2023学年高二年级阶段性测试（一）数 学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知()1,4A --，(),2B λ两点所在直线的倾斜角为34π，则实数λ的值为（ ） A ．－7B ．－5C ．－2D ．22．已知菱形ABCD 的对角线BD 与x 轴平行，()3,1D -，()1,0A -，则C 点的坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()2,23．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()3,2,5A ，()1,1,9B -，则与AB 垂直的向量的坐标可以为（ ） A ．()1,2,4B ．()1,4,2C ．()1,4,2-D ．()2,4,1-4．已知向量()12,0,2n =--，()22,2,0n =分别为平面α，β的法向量，则平面α与β的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5．已知直线l ：2x ＋（a －3）y －a －1＝0，当原点O 到l 的距离最大时，l 的方程为（ ） A ．2x ＋y －5＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．3x －4y ＋2＝0D ．4x －2y ＋1＝06．若直线2x ＋y ＝0，x －3y ＝0，x ＋my ＝4能围成一个三角形，则m 须满足（ ） A ．3m ≠-且2m ≠-B ．12m ≠-且13m ≠ C ．12m ≠且13m ≠- D ．12m ≠且3m ≠- 7．若直线l ：()10,0x ya b a b+=>>过点()4,1P ，则当a ＋b 取最小值时，直线l 的方程为（ ）A ．x ＋4y －8＝0B ．4x ＋y －17＝0C ．x ＋2y －6＝0D ．2x ＋y －9＝08．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，H 分别为11C D ，11A C ，DE 的中点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则向量FH 可用a ，b ，c 表示为（ ）A ．113122b a c --+ B ．111422a b c -+- C ．311443a b c -- D ．231343a b c -+9．在三棱锥P －ABC 中，3PAB ABC π∠=∠=，2,3PA BC π=，P A ＝2，AB ＝1，BC ＝3，则PC ＝（ ）AB ．2CD ．110．已知A ，B ，C ，D 四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P 为平面α外的一点，满足40BP C zD P P A P -+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－211．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，E 为1CD 的中点，则点1A 到平面BDE 的距离为（ ） A ．32B ．2C ．94D ．8312．已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝2，DC ＝4，直线PD 与平面P AC 所成角的正弦值为23，则四棱锥P －ABCD 的体积为（ ） A ．4B ．163C ．203D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线1l ：ax ＋y ＋2a ＝0与直线2l ：4x ＋ay ＋3a ＋2＝0互相平行，则实数a ＝______．14．已知直线l ：4x －2y ＋9＝0，直线l '经过点()4,3-，若l ，l '以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则直线l '的方程为______．15．材料：在空间直角坐标系中，经过点()000,,P x y z 且法向量(),,m a b c =的平面的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且方向向量(),,n A B C =的直线方程为000(0)x x y y z z ABC A B C---==≠． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面α的方程为x －2y ＋z ＋4＝0，直线l 的方程为23xy z =-=，则l 与α的交点坐标为______，l 与α所成角的正弦值为______．（本题第一空2分，第二空3分）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝120°，∠BAP ＝45°，PA AD ⊥，PA =cos PBC ∠=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）分别求出满足下列条件的直线l 的方程：（Ⅰ）经过直线1l ：x －3y ＋2＝0和2l ：2x ＋3y ＋4＝0的交点，且与直线2l 垂直； （Ⅱ）过点()2,1P -，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍． 18．（12分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ＝4，且PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为棱PD ，PC 的中点．（Ⅰ）用向量AC ，AD ，AE 表示BF ； （Ⅱ）求异面直线BF 与CE 所成角的余弦值． 19．（12分）已知过原点O 的两条直线1l ，2l 相互垂直，且1l 的倾斜角小于2l 的倾斜角．（Ⅰ）若1l 与2l 关于直线y =对称，求1l 和2l 的倾斜角；（Ⅱ）若1l ，2l 都不过点()2,1A ，过A 分别作1AM l ⊥，2AN l ⊥，M ，N 为垂足，当OMN △的面积最大时，求1l 的方程． 20．（12分）在ABC △中，已知()1,1A ，()0,7B ，C ∠的平分线所在的直线方程为2x ＋4y －11＝0． （Ⅰ）求点C 的坐标； （Ⅱ）求ABC △的面积． 21．（12分）如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC ＝3，BC ＝6，点D ，E 分别在棱AB ，BC 上，满足AD BEAB BCλ==，且DE PD ⊥．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）若PC ＝2，求直线PB 与平面PDE 所成角的正弦值． 22．（12分）如图所示，三棱台ABC －DEF 的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面ACFD ⊥平面ABC ，AB ＝2DE ＝4且AD ＝FC ，棱AC 与BC 的中点分别为G ，H ．（Ⅰ）证明：AE ∥平面FGH ； （Ⅱ）求直线AE 到平面FGH 的距离；（Ⅲ）求平面BCF 与平面FGH 的夹角的余弦值．2022—2023学年高二年级阶段性测试（一）数学（A 卷）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．A 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 11．D 12．B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．－2 14．2x ＋y ＋5＝0 15．()0,2,0 16．12三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析 （Ⅰ）由320,2340,x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩∴1l 和2l 的交点为()2,0-．∵2l 的斜率为23-，而直线l 与直线2l 垂直，∴直线l 的斜率为32， ∴直线l 的方程为3(2)2y x =+，即3x －2y ＋6＝0．（Ⅱ）当l 在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设l 的方程为y ＝kx ，把点()2,1P -代入可得12k =-，此时直线l 的方程为x ＋2y ＝0；当l 在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设l 的方程为1(0)4x yλλλ+=≠，把点()2,1P -代入可得2114λλ-+=，得12λ=，此时直线l 方程的一般式为x ＋4y －2＝0． 综上可得l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋4y －2＝0． 18．解析 （Ⅰ）11()22BF BC CF BC CP AD CD DP =+=+=++ 111()()222AD AD AC AE AD AC AD AE =+-+-=-++．（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，由已知得()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,4P ， ∴()1,1,2F ，()0,1,2E ，∴()1,1,2BF =-，()2,1,2CE =--．设异面直线BF 与CE 所成的角为θ，则cos 186BF CE BF CEθ⋅===⋅． 19．解析 （Ⅰ）直线y=的倾斜角为60°．∵1l ，2l 关于直线y =对称，且12l l ⊥，∴1l ，2l 与直线y =的夹角均为45°， ∴1l ，2l 的倾斜角分别为60°－45°＝15°和60°＋45°＝105°． （Ⅱ）∵1AM l ⊥，2AN l ⊥，12l l ⊥，∴四边形OMAN 为矩形． 设AM a =，AN b =，则2225a b OA +==，221152224OMNa b S ab +=≤⋅=△，当且仅当a b ==时取等号．易知此时1l 的斜率存在，设1l ：y ＝kx ，则点()2,1A 到1l，=k＝3（负值舍去）．∴当OMN△的面积最大时，1l的方程为y＝3x．20．解析（Ⅰ）设()1,1A关于C∠的平分线的对称点为(),A m n'，则直线2x＋4y－11＝0为线段AA'的中垂线，∴111,121124110,22nmm n⎧-⎛⎫⋅-=-⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得2,3,mn=⎧⎨=⎩即()2,3A'，再由A'，B在直线BC上，可得73202BCk-==--，所以直线BC的方程为y＝－2x＋7，即2x＋y－7＝0．由24110,270,x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得17,64,3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得点C的坐标为174,63⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅱ）∵()1,1A，()0,7B，∴17610ABk-==--，∴直线AB的方程为y＝－6x＋7，即6x＋y－7＝0，则点C到直线AB=而AB==ABC△的面积为11723=．21．解析（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，∴PC DE⊥，又∵DE PD⊥，PC PD P⋂=，∴DE⊥平面PCD，∴DE CD⊥．由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()3,0,0A，()0,6,0B．∵()0,6,0CB =，()()10,66,0CE CB λλ=-=-，∴()0,66,0E λ-． ∵()3,6,0AB =-，()()()3,0,03,6,033,6,0CD CA AB λλλλ=+=+-=-， ∴()33,6,0D λλ-，∴()33,612,0DE λλ=--． 由()()()333366120CD DE λλλλ⋅=--+-=，解得13λ=． （Ⅱ）由（Ⅰ）及条件可得()2,2,0D ，()0,0,2P ，()0,4,0E ，()2,2,0DE =-，()2,2,2PD =-．设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =，则220,2220,n DE x y n PD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令x ＝1，得()1,1,2n =．又()0,6,2PB =-，∴26cos ,PB n PB n PB n⋅===， ∴直线PB 与平面PDE所成角的正弦值为30．22．解析 由题意得上底面面积为2124S==，下底面面积为2244S ==，设三棱台的高为h ，则173h =，得h =设DF 的中点为I，如图，连接GB ，GI ，由条件可知GB ，GC ，GI两两互相垂直，以G 为坐标原点，以GB ，GC ，GI 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．（Ⅰ）由已知可得()0,0,0G，)H，(F ，∴()3,1,0GH =，(GF =，设平面FGH 的法向量为(),,n x y z =，则30,0,GH n x y GF n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令x ＝1，可得()1,3,1n =-．由()0,2,0A -，E可得(3,AE =，∴0AE n ⋅=，又AE ⊄平面FGH ，∴AE ∥平面FGH ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE ∥平面FGH ，直线AE 到平面FGH 的距离即点A 到平面FGH 的距离d ．∵()0,2,0GA =-，∴251GA n d n===+⋅． （Ⅲ）设平面BCF 的法向量为(),,m a bc =，由()B ，()0,2,0C，(F 可得()BC =-，(0,CF =-，∴220,30,BC m b CF m b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令b =()1,3,1m =． ∴cos ,155m n m n m n-⋅===-⨯，∴平面BCF 与平面FGH 的夹角的余弦值为15．。

2022―2023学年（上）高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）(1,4),(,2)A B λ--34πλA. -7 B. -5C. -2D. 2【答案】A 【解析】【详解】因为两点所在直线的倾斜角为， (1,4),(,2)A B λ--34π则，即()()243πtan14AB k λ--==--6171λλ=-⇒=-+故选:A.2. 已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为ABCD BD x ()3,1D -()1,0A -C （ ） A. B.C.D.()1,2-()2,1-()1,1-()2,2【答案】A 【解析】【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设，ABCD //BD x AC x ∴⊥∴()1,C t -，，AD CD = =解得：（舍）或，. 0=t 2t =()1,2C ∴-故选：A.3. 已知向量，分别为平面的法向量，则平面与的()12,0,2n =-- ()22,2,0n =,αβαβ夹角为（ ） A. B.C.D.30 45 60 90 【答案】C 【解析】【详解】， 1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 又平面与平面的夹角的取值范围为，平面与的夹角为. αβθ090θ≤≤ ∴αβ60 故选：C.4. 若直线，，能围成一个三角形，则须满足（ ） 20x y +=30x y -=4x my +=m A. 且 B. 且 3m ≠-2m ≠-12m ≠-13m ≠C. 且D. 且 12m ≠13m ≠-12m ≠3m ≠-【答案】D 【解析】【详解】由已知可得三条直线两两均不平行， 所以且，即且， 120m +≠30m -≠12m ≠3m ≠-又直线与直线的交点为， 20x y +=30x y -=()0,0且直线不过恒成立， 4x my +=()0,0故选：D. 5. 若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为():10,0x yl a b a b+=>>()4,1P a b +l （ ）A. B. 480x y +-=4170x y +-=C.D.260x y +-=290x y +-=【解析】 【详解】由直线过点， ():10,0x yl a b a b+=>>()4,1P 则， 411a b+=所以， ()414441559b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++=++≥+=⎪⎝⎭当且仅当，即，时，等号成立， 2a b =6a =3b =所以直线方程为，即， 163x y+=260x y +-=故选：C.6. 如图所示，在平行六面体中，分别为的中1111ABCD A B C D -,,E F H 1111,,C D A C DE 点．若，则向量可用表示为（ ）1,,AB a AD b AA c === FH ,,a b cA.B.111232a b c -+- 111422a b c -+-C.D.311443a b c -- 231343a b c -+ 【答案】B 【解析】【详解】111111111222FH FC C E EH A C D C DE =++=--1111111111()2222A B A D AB DD D E =+--+11111122224AB AD AB AA AB =+---1111422AB AD AA =-+-.111422a b c =-+-7. 在三棱锥中，，，，，P ABC -3PAB ABC π∠=∠=2,3PA BC π〈〉= 2PA =1AB =，则（ ）3BC =PC =A.B. C.D.21【答案】C 【解析】【详解】由已知的，PC PA AB BC =++所以()22222222PC PA AB BCPA AB BC PA AB PA BC AB BC=++=+++⋅+⋅+⋅，2221112132212232133222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以PC =故选：C.8. 已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线P ABCD -PD ⊥,2,4ABCD AD DC ==PD 与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（ ） PAC 23P ABCD -A. 4 B.C.D. 8163203【答案】B 【解析】【详解】因为平面，平面，所以PD ⊥ABCD ,⊂DA DC ABCD PD DA PD DC ⊥⊥，，又为矩形，则，所以建立如图所示的空间直角坐标系， ABCD DA DC ⊥D xyz -设，由， PD a =24AD AB ==，得，(2,0,0)(0,4,0)(0,0,)A C P a ，，则，(2,0,)(2,4,0)PA a AC =-=- ，设平面的法向量为，PAC (,,)n x y z =则，令， 20240n PA x az n AC x y ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩2x a =得，，所以，y a =4z =(2,,4)n a a =又，与平面的线面角的正弦值为，(0,0,)PD a =- PD PAC 23所以， 2cos 3n PD n PD n PD ⋅=== ，解得，则，又， 2a =2PD =8ABCD S =矩形所以. 111682333P ABCD ABCD V S PD -=⋅=⨯⨯=矩形故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在空间直角坐标系中，已知点则与垂直的向量的坐标可Oxyz (3,2,5),(1,1,9)A B -AB以为（ ） A. B. (1,2,4)(1,4,2)C. D.(2,4,1)--(2,4,1)--【答案】BD 【解析】【详解】，(4,1,4)AB =--设与垂直， (,,)a x y z = AB则有， 0AB a ⋅=即有， 440x y z --+=由选项可知：只有BD 满足上式. 故选：BD10. 关于直线，下列说法正确的是（ ） :2(3)10l x a y a +---=A. 当的值变化时，总过定点 a l B. 存在，使得与轴平行 a ∈R l x C. 存在，使得经过原点 a ∈R l D. 存在，使得原点到的距离为3 a ∈R l 【答案】AC 【解析】【详解】，:2(3)10l x a y a +---=A.其方程可变形为，令，得，即直线恒(1)2310y a x y -+--=12310y x y =⎧⎨--=⎩21x y =⎧⎨=⎩过定点.故选项A 正确.()2,1B.时，直线方程变为，此时直线与轴垂直.时，直线方程变为3a =210x a --=x 3a ≠，其斜率，则直线与轴不可能平行. 故选项B 不正确. 2133a y x a a +=+--203k a=≠-l x C.当，即时，直线过原点. 故选项C 正确. 10a --=1a =-l D .若原点到的距离 ，则.因为l3d ==2214290a a -+=，则方程无解，即原点到的距离2144229360∆=-⨯⨯=-<2214290a a -+=l 3d ≠.故选项D 不正确.故选：AC11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，点与1111ABCD A B C D -4,E 1CD P 点在同一平面内，则点到点的距离可能为（ ）,,B D E 1A PA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】CD 【解析】【详解】连接，因为为的中点，则也为的中点.1C D E 1CD E 1C D 由题意，，且，故四边形为平行四边形，故，11//A D BC 1AD BC =11A D CB 11//A B D C 故. 1111211824323A BED E A BD C A BD A BCD V V V V ----====⨯⨯⨯=又，故11DC BC ===BD ==.111324EBDC BD S S ==⨯=V V 设点到平面的距离为，则，解得. 1A BDE d 18333d ⨯⨯=83d =又点与点在同一平面内，则点到点的距离大于等于. P ,,B D E 1A P 83选项中CD 满足.故选：CD12. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程()000,,P x y z (),,m a b c=为，经过点且方向向量()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z (),,n A B C =的直线方程为． ()0000x x y y z z ABC A B C---==≠阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为α240x y z -++=β，直线的方程为，直线的方程为，2420x y z --+=l 23x y z =-=m 1132x y z -==-则（ ）A. 平面与垂直αβB. 平面与所成角的αl C. 直线与平面平行 m βD. 直线与是异面直线 m l 【答案】AD 【解析】【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量α()11,2,1m =- β()22,1,4m =--，直线的方向向量，直线的方向向量；l ()13,1,1n = m ()23,2,1n =对于A ，，，则平面与垂直，A 正确；122240m m ⋅=+-= 12m m ∴⊥αβ对于B ，，111111cos ,m n m n m n ⋅<>===⋅平面与，B 错误； ∴αl =对于C ，，，直线平面或直线平面， 226240m n ⋅=--= 22m n ∴⊥∴m ⊥βm ⊂β直线过点，又满足，直线平面，C 错m ()1,0,1P ()1,0,1P 2420x y z --+=∴m ⊂β误；对于D ，与不平行，直线与直线相交或异面，1n 2n∴m l 由得：，此时无解，直线与直线无交点， 23132xy x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩8143x y =⎧⎪⎨=⎪⎩212y z yz -=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴m l 直线与直线是异面直线，D 正确.∴m l 故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若直线与直线互相平行，则实数1:20l ax y a ++=2:4320l x ay a +++==a _____． 【答案】 2-【解析】【详解】当时，，两直线不平行； 0a =12:0:420l y l x =+=，当时，由，得，解得. 0a ≠12l l //12432a a a a =≠+2a =-故答案为：-2.14. 已知直线，直线经过点，若以及轴围成一个底边在:4290l x y -+=l '()4,3-,l l 'x 轴上的等腰三角形，则直线的方程为_____．x l '【答案】 250x y ++=【解析】【详解】因为以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线与的倾斜角互,l l 'x x l l '补，则直线与的的斜率互为相反数，即.所以直线的方程为l l '2l l k k '=-=-l '，即.()324y x -=-+250x y ++=故答案为：.250x y ++=15. 已知四点在平面内，且任意三点都不共线，点为平面外的一点，满,,,A B C D αP α足，则_____． 40AP BP CP DP λ+-+=λ=【答案】2 【解析】【详解】因为四点在平面内， ,,,A B C D α且点为平面外的一点，P α则有， 0a AP bBP cCP d DP +++=其中，0a b c d +++=而，40AP BP CP DP λ+-+= 所以，解得.1140λ+-+=2λ=故答案为：216. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的棱形，，P ABCD -ABCD 2120BAD ∠=︒．，，则_____．45BAP ∠=︒PA AD ⊥PA =cos PBC ∠=【答案】##0.5 12【解析】【详解】如图所示，取中点，连接，，BC E PE AE ，，120BAD ∠=︒ 60ABC ∴∠=︒又，，22AB BC BE === AE BC ∴⊥，，AD AP ⊥ //BC AD ，BC AP ∴⊥又，且，平面，AP AE E = AP AE ⊂PAE 平面，BC ∴⊥PAE 又平面，PE ⊂Q PAE ，BC PE ∴⊥，，45BAP ∠=︒ PA =，2PB ∴=设，PE a =PC =在中，由余弦定理得， PBC 222224417cos 22228PB BC PC a a PBC PB BC +-+---∠===⋅⨯⨯在中，由余弦定理得， PBE △22222415cos 22214PB BE PE a a PBE PB PE +-+--∠===⋅⨯⨯即，解得， 227584a a --=23a =所以， 731cos 82PBC -∠==故答案为：.12四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：l （1）经过直线和的交点，且与直线垂直； 1:320l x y -+=2:2340l x y ++=2l （2）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍． (2,1)P -x y 【答案】（1）3260x y -+=（2）或． 20x y +=420x y +-=【解析】 【小问1详解】由，解得∴和的交点为． 3202340x y x y -+=⎧⎨++=⎩2,0,x y =-⎧⎨=⎩1l 2l ()2,0-∵的斜率为，而直线l 与直线垂直，∴直线l 的斜率为， 2l 23-2l 32∴直线l 的方程为，即．()322y x =+3260x y -+=【小问2详解】当l 在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设l 的方程为，把点代入可得y kx =()2,1P -，此时直线l 的方程为；12k =-20x y +=当l 在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设l 的方程为，把点()104x yλλλ+=≠代入可得，得，此时直线l 方程的一般式为．()2,1P -2114λλ-+=12λ=420x y +-=综上可得l 的方程为或．20x y +=420x y +-=18. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且P ABCD -ABCD 24PA =平面，分别为棱的中点．PA ⊥ABCD ,E F ,PD PC（1）用向量表示；,,AC AD AEBF（2）求异面直线与所成角的余弦值．BF CE 【答案】（1）1122BF AD AC AE =-+（2 【解析】 【小问1详解】()()11112222BF BC CF AD CP AD CD DP AD AD AC DP=+=+=++=+-+ .()()11112222AD AD AC DE AD AD AC AE AD AD AC AE =+-+=+-+-=-+ 【小问2详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，A ,,AB AD AP,,x y z则，，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()1,1,2F ()0,1,2E ()1,1,2BF ∴=- ()2,1,2CE =--，cos ,BF CE BF CE BF CE⋅∴<>===⋅即异面直线与. BF CE 19. 已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角． O 12,l l 1l 2l （1）若与关于直线对称，求和的倾斜角1l 2l y =1l 2l （2）若都不过点，过分别作为垂足，当的12,l l (2,1)A A 12,,,AM l AN l M N ⊥⊥OMN 面积最大时．求的方程．1l 【答案】（1），的倾斜角分别为和1l 2l 15︒105︒（2）． 3y x =【解析】 【小问1详解】 直线的倾斜角为60°．y =∵，关于直线对称，且， 1l 2ly =12l l ⊥∴，与直线的夹角均为，1l 2l y =45︒∴，的倾斜角分别为和．1l 2l 604515︒-︒=︒6045105︒+︒=︒【小问2详解】∵，，，∴四边形为矩形． 1AM l ⊥2AN l ⊥12l l ⊥OMAN 设，，则，AM a =AN b =2225a b OA +==，当且仅当时取等号． 221152224OMNa b S ab+=≤⋅=△a b ==若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已1l 1l 2π12,l l 2l 知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到1l 1:l y kx =()2,1A 1l，得（负值舍去）．3k =∴当的面积最大时，的方程为．OMN 1l 3y x =20. 在中，已知的平分线所在的直线方程为． ABC (1,1),(0,7),A B C ∠24110x y +-=（1）求点的坐标； C （2）求的面积．ABC 【答案】（1）174,63⎛⎫⎪⎝⎭（2）173【解析】 【小问1详解】设关于的平分线的对称点为，则直线为线段的()1,1A C ∠(),A m n '24110x y +-=AA '中垂线，∴解得即，111,121124110,22n m m n ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩2,3,m n =⎧⎨=⎩()2,3A '再由，B 在直线BC 上，可得， A '73202BC k -==--所以直线BC 的方程为，即．27y x =-+270x y +-=由解得可得点C 的坐标为，24110,270,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩17,64,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩174,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】∵，，∴， ()1,1A ()0,7B 17610AB k -==--∴直线AB 的方程为，即，67y x =-+670x y +-=则点C 到直线AB，而AB ==∴的面积为． ABC 11723=21. 如图所示，在三棱锥中，平面，点P ABC -PC⊥,,3,6ABC AC BC AC BC ⊥==分别在棱上，满足，且．,D E ,AB BC AD BEAB BCλ==DE PD ⊥（1）求实数的值；λ（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 2PC =PB PDE 【答案】（1） 13λ=（2． 【解析】 【小问1详解】 ∵平面ABC ，平面，∴，PC⊥DE ⊂ABC PC DE ⊥又∵，，平面，∴平面PCD ，平DE PD ⊥PC PD P ⋂=,PC PD ⊂PCD DE ⊥CD ⊂面，∴．PCD DE CD ⊥由条件可知CA ，CB ，CP 两两互相垂直，故以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CP 所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，x y z ()0,0,0C ()3,0,0A．()0,6,0B所以，()0,6,0CB = ()3,6,0AB =-因为，所以，，， AD BEAB BC λ==EB CB λ= ()1CE CB λ=- AD AB λ=u u u r u u u r 所以，∴．()()10,66,0CE CB λλ=-=-()0,66,0E λ-∵，，()()()3,0,03,6,033,6,0CD CA AB λλλλ=+=+-=-∴.()33,6,0D λλ-∴．()33,612,0DE λλ=--由，()()()333366120CD DE λλλλ⋅=--+-=解得． 13λ=【小问2详解】由（1）及条件可得，，，，()2,2,0D ()002P ,,()0,4,0E ()2,2,0DE =-．()2,2,2PD =-设平面PDE 的法向量为，(),,n x y z =则令，得，，所以． 220,2220,n DE x y n PD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 1x =1y =2z =()1,1,2n = 又，()0,6,2PB =-∴cos ,PB n PB n PB n ⋅===∴直线PB 与平面PDE 22. 如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面ABC DEF -平面且，棱与的中点分别为．ACFD ⊥,ABC 24AB DE ==AD FC =AC BC ,G H（1）证明：平面； //AE FGH （2）求直线到平面的距离；AE FGH （3）求平面与平面的夹角的余弦值． BCF FGH 【答案】（1）证明见解析（2 （3）15【解析】 【小问1详解】由题意得上底面面积为，下底面面积为 212S ==224S ==设三棱台的高为h ，则，得173h +=h =设DF 的中点为I ，如图，连接GB ，GI ，由条件可知GB ，GC ，GI 两两互相垂直， 以G 为坐标原点，以GB ，GC ，GI 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得，，，()0,0,0G )H(F ∴，，)GH =(GF =设平面FGH 的法向量为，(),,n x y z = 则,令，可得．+=0==0n GH y n GF y ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩=1x ()1,n = 由，可得，()0,2,0A-E AE =∴，又平面FGH ，∴平面FGH ． 0AE n ⋅=AE ⊄AE ∥【小问2详解】由（1）知平面FGH ，直线AE 到平面FGH 的距离即点A 到平面FGH 的距离d ．//AE ∵，∴．()0,2,0GA =-GA n d n===⋅【小问3详解】设平面BCF 的法向量为，(),,m a b c =由，，可得，，()B ()0,2,0C (F ()2,0BC =-(0,CF =-∴，令．=+2=0==0m BC b m CF b ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩b =()m = ∴，cos ,15m n m n m n⋅===-∴平面BCF 与平面FGH 的夹角的余弦值为．15。

河南省名校联盟2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是.( )A. 简单随机抽样 B. 按性别分层随机抽样C. 按学段分层随机抽样 D. 其他抽样方法2.设集合，，若，则( )A. B.C. 2D. 43.已知，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.在中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，，则边c 等于( )A. 1B.C.D. 25.已知向量，，且，那么等于( )A. B. C.D.6.设，则“且”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设有两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面、，则下列命题正确的是( ) A. 若，，则B. 若，，，，则C. 若，，则D. 若，，则8.甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组两人参加各小组的可能性相同，则两人参加同一个学习小组的概率为( )A.B.C.D.9.如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为( )A. B. C. D.10.将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( )A. B.C.D.11.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )A. B.C.D.12.已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则满足的x的取值范围是( )A. B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于（）A．18B．24C．60D．902.在中，已知于，则长为（）A．B．C．D．3.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A．B．C．D．4.下列命题：①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；②命题或，命题，则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④“若，则”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．86.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A．0B．2C．1D．37.等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（）A．1B．2C．3D．48.在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．正三角形9.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．10.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．6D．511.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，若，则该双曲线的离心率为（）A．8B．C．3D．12.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．二、填空题1.观察下面的算式：，，，则______（其中）．2.已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于两点，若，则______．3.已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是______．三、解答题1.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．2.在中，角对应的边分别是，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．3.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．4.某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为，试用表示．（2）一套简易房面积的最大值是多少？当最大时，前面墙的长度是多少？5.如图，在四棱锥中，平面，，，，且，，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．6.已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点；若不存在，请说明理由．河南高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于（）A．18B．24C．60D．90【答案】C【解析】是与的等比中项，，即，整理得①，又整理得②，由①②联立，解得，，，故选C．【考点】1、等比数列的性质；2、等差数列前项和公式．2.在中，已知于，则长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，在中，，，，故选D．【考点】1、三角形内角和定理；2、正弦定理．3.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】拋物线的焦点为，双曲线的焦点坐标为，所以椭圆过，所以，而椭圆的焦距，即，则，即，，则该椭圆的方程是，故选A．【考点】椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．4.下列命题：①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；②命题或，命题，则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④“若，则”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①“在中，若，则” 的逆命题为“在中，若，则”，若，则，根据正弦定理可知，，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由，或，得不到，比如，，不是的充分条件；若，则一定有，则，即能得到，或，是的必要条件，是的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“”的否定是“” ,所以③不对；对于④“若，则”的否命题为“若，则”；所以④正确，故选C．【考点】1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定．5.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．8【答案】B【解析】设向量和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和为邻边的平行四边形的面积为，故选B．【考点】1、空间向量的数量积公式；2、三角形面积公式．6.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A．0B．2C．1D．3【答案】B【解析】曲线的导数为：，由题意直线是曲线的一条切线，可知，，所以切点坐标为，切点在直线上，，故选B．【考点】利用导数求切线方程．7.等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，可得到这项奇数项和为，项偶数项和为，，即，可得，解得，所以所有奇数项和，末项是，所以即，，所以，所以，故选C．【考点】1、等比数列的通项；2、等比数列前项和公式．8.在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．正三角形【答案】D【解析】，所以由正弦定理可得，即，，，，，又，，又，为正三角形，故选D．【考点】1、正弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦公式．【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．9.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】对不等式组中的讨论，可知直线与轴的交点在与轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由，令得，，由得，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最小，即最小，此时，解得：，故选D．【考点】1、可行域的画法；2、已知最优解求参数．10.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．6D．5【答案】D【解析】因为正数满足，，即，，当且仅当即且时取等号，的最小值为，故选D．【考点】利用基本不等式求最值．11.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，若，则该双曲线的离心率为（）A．8B．C．3D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线：，圆相交于两点，圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为：可得：，解得，双曲线的离心率为，故选 C．【考点】1、双曲线的渐近线；2、双曲线的离心率．【方法点晴】本题主要考查双曲线的渐近线和双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值．本题是利用点到直线的距离等于构造出关于的等式，最后解出的值．12.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析，，，，，，，故选D．【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为等差数列；（3）每增加“”，就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知在的基础上多出了两项得出结论的．二、填空题1.观察下面的算式：，，，则______（其中）．【答案】【解析】由于所给的等式的左边是非自然数的平方和，右边是倍的连续的两个，与一个的积，所以，猜想：，故答案为：．【考点】归纳推理．2.已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于两点，若，则______．【答案】【解析】由拋物线：得焦点，由题意可知：斜率存在，设直线为，代入抛物线方程，得到，，设，，，，，，又，，，故答案为．【考点】1、韦达定理；2、平面向量的数量积公式．3.已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是______．【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，解得且，不妨设，设点到平面的距离为，则．故答案为．【考点】1、平面法向量的求法；2、利用空间向量求点到平面的距离．【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及求点到平面的距离，属于难题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离．三、解答题1.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）时先化简命题和命题，然后解方程组即可；（2）先化简命题:，化简命题:，只需即可．试题解析：（1）由得，又，所以，当时，，即为真命题时，实数的取值范围是．由得，所以为真时，实数的取值范围是．若为真，则，所以实数的取值范围是．（2）设，，是的充分不必要条件，则，所以，所以实数的取值范围是．【考点】1、充要条件；2、逻辑连接词及真值表．2.在中，角对应的边分别是，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由,结合诱导公式和倍角公式可得到，进而求得的大小；（2）由结合（1）可求得，，再由余弦定理求出，最后根据正弦定理求出的值．试题解析：（1）由，得，即．解得或（舍去）．因为，所以．（2）由，得．又，所以．由余弦定理，得，故．又由正弦定理，得．【考点】1、诱导公式及余弦二倍角公式；2、正弦定理及三角形面积公式．3.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的首项为，因为公差为，可将用表示，再根据成等比数列，列方程解出的值，进而求得数列的通项公式；（2）可化为，对分奇数、偶数讨论两种情况求数列的前项和．试题解析：（1）因为，，，由题意，得，解得，所以．（2）当为偶数时，当为奇数时，所以，（或）【考点】1、等差数列的通项；2、求特殊数列前项和．4.某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为，试用表示．（2）一套简易房面积的最大值是多少？当最大时，前面墙的长度是多少？【答案】（1）；（2），．【解析】（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，；（2）根据基本不等式得，解得．试题解析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，（2）∵，∴又因为，所以，化简得，解得，又，∴，当且仅当，即时取得最大值．答：每套简易房面积的最大值是平方米，最大时前面墙的长度是米．【考点】数学建模能力及利用基本不等式求最值．5.如图，在四棱锥中，平面，，，，且，，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）为线段的中点．【解析】（1）由线面垂直的性质和判定定理可证平面，进而，又由线面垂直得，平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，，可得坐标为，可求出平面的法向量为，又平面的法向量，最后根据空间两向量夹角余弦公式求得，进而确定的位置．试题解析：（1）因为平面，平面所以，进而又因为，平面，，所以平面又因为平面，平面，所以因为，，平面，，所以平面（2）因为平面，又由（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系．则设，则，故点坐标为设平面的法向量为，则所以令，则．又平面的法向量所以，解得故点为线段的中点．【考点】1、线面垂直、线线垂直的性质和判定定理；2、空间向量在求空间角中的应用．【方法点晴】本题主要考查线面垂直、线线垂直及空间向量在求空间角的应用，属于难题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．6.已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，．【解析】（1）由右焦点到直线的距离为和离心率列方程组求出的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）根据两点求斜率可得到，再根据基本不等式求的最小值；（3）设，可得，,设，则由，,带入椭圆方程化简得，所以点是椭圆上的点，只需求得值，该椭圆的左、右焦点为即是所求定点．试题解析：（1）由题设可知：右焦点到直线的距离为：，又，，∴．∴椭圆标准方程为．（2）设则由得．∴．由得，当且仅当时取等号（3）．∴．∴．设，则由得，即．因为点、在椭圆上，所以．所以．即，所以点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为，则由椭圆的定义得，∴，，．【考点】1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、基本不等式求最值；3、解析几何中的存在性问题．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值以及解析几何中的存在性问题，属于难题．解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径．。

2022-2023学年河南省中原名校高二上学期第一次联考数学试题一、单选题1．直线3830x y +-=的倾斜角为( ) A ．6π B ．4π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角． 【详解】3830x y +-=可化为：383y x =-+， ∴直线的斜率为33-，设直线的倾斜角α，则3tan 3α=-，∵[)0,πα∈，∴5π6α=．故选：D ．2．如图，在空间四边形PABC 中，PB AB CA --=（ ）A ．PCB ．APC ．ABD ．AC【答案】A【分析】根据空间向量的加减法的运算法则，即可求得答案.【详解】根据向量的加法、减法法则得PB AB CA PB BA AC PC --=++=, 故选:A3．若空间向量,a b 不共线，且3(2)10ya x y b xa b -++=+，则23x y -=( ) A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】C【分析】根据空间向量的基本性质即可得到关于x 、y 的方程组，求出x 、y 即可计算结果．【详解】∵空间向量,a b 不共线，∴要使3(2)10ya x y b xa b -++=+，则3623182102y x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒-=⎨⎨+==-⎩⎩． 故选：C ．4．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则m =（ ） A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在【答案】B【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，可得:241126m m ⎧=⎨≠⎩，解得12m =-． 故选:B.5．若向量()2,0,a λ=，()2,2,1b =-，且a 与b 的夹角的余弦值为13-，则实数λ等于（ ）A ．1B ．32C ．1或32D ．0或32【答案】B【分析】根据空间向量数量积的坐标计算方法即可计算. 【详解】由题知，241cos ,3||||4441a b a b a b λλ⋅-+〈〉===-+⋅++，解得32λ=． 故选：B.6．如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,25AN NB BM MC ==，则MN =( )A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+C ．1352147a b c +-D ．1532147a b c +-【答案】C【分析】利用空间向量线性运算方法，结合图形即可计算． 【详解】连接,OM ON ，则MN ON OM =-1()()2OA OB OC CM =+-+ 12()27OA OB OC CB =+-- 12()()27OA OB OC OB OC =+--- 1352147OA OB OC =+- 1352147a b c =+-． 故选：C ．7．已知()1,2,0A ，()3,1,2B ，()2,0,4C ，则点C 到直线AB 的距离为（ ） A ．2 B 5C ．23D ．5【答案】B【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C 到直线AB 的距离． 【详解】因为()2,1,2AB =-，()1,2,4AC =-，所以AC 在AB 方向上的投影数量为24||414AB AC AB ⋅==++． 设点C 到直线AB 的距离为d ，则22||41416165d AC =-++- 故选：B.8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是线段1D D 的中点，N 是线段11A B 的中点，则直线NO 与直线AM 所成的角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，求得相关各点的坐标，求出向量,NO AM 的坐标，计算NO AM ⋅，根据其结果即可求得答案.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(2,1,2)A M O N ,∴(1,0,2),(2,0,1)NO AM =--=-，∴(1)(2)0(2)10NO AM ⋅=-⨯-++-⨯=， 即,NO AM NO AM ⊥∴⊥， ∴直线NO 与直线AM 所成的角是π2,故选：D9．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{,,}a b a b c -+是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,1)-，则向量p 在基底{,,}a b a b c -+下的坐标为（ ）A ．13,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,,122⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设p 在基底{,,}a b a b c -+下的坐标为(,,)x y z ，则()()()()2p x a b y a b zc x y a y x b zc a b c =-+++=++-+=+-，所以211x y y x z +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得12x =，32y =，1z =-，故p 在基底{,,}a b a b c -+下的坐标为13,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A.10．已知两点(2,3),(2,4)A B ---，若直线20ax y +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,B ．(3,)+∞C ．5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5,(3,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】确定直线20ax y +-=恒过定点(0,2)P ，作出示意图，数形结合，确定直线l与线段AB 没有交点时，直线l 的斜率53,2a ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】直线20ax y +-=恒过定点(0,2)P ，斜率为a -， 直线PA 的斜率为23522PA k +==，直线PB 的斜率为2(4)302PB k --==--,结合图象可知，当直线l 与线段AB 没有交点时，直线l 的斜率53,2a ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即5,32a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故选:C11．某直线l 过点(3,4)B -，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） A ．43-B ．12-C ．43或12-D ．43-或12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率. 【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B -，则43k =-，解得43k =-，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为12x ym m+=，代入点(3,4)B -，则3412m m -+=，解得52m =， 所以所求直线的方程为1552x y+=，即250x y +-=，综上，该直线的斜率是43-或12-．故选：D12．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是( )A．23535B．66565C．1315D．35【答案】B【分析】利用圆锥曲线的性质，以点O为坐标原点，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求两异面直线的夹角．【详解】由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC，故可以点O为坐标原点，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为x轴，OC OS、分别为y、z轴建立空间直角坐标系，设1,5OA OB SA===2OS=，易知1 (0,1,0),(0,1,0),(0,0,2),0,,12A C S M⎛⎫--⎪⎝⎭，∵2cos3BOC∠=，∴2sin1c5osBOC BOC∠∠=-∴52,03B⎫⎪⎝⎭，∴52,233SB⎛⎫=-⎪⎝⎭，30,,12CM⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴665 cos,||||54941994SB CMSB CMSB CM⋅〈〉===⋅++⋅+，因此，异面直线SB与CM665二、填空题13．经过(,2),(3,4)A x B-两点的直线的一个方向向量为(1,3)，则x=__________．【答案】5【分析】根据直线方向向量即可计算．【详解】由条件可知，4233x--=-，解得5x =． 故答案为：5．14．已知(0,1,2),(2,1,0),(2,0,0)A B C ，点(,,1)P x y -，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为__________． 【答案】(3,1,1)--【分析】求出向量(2,0,2),(2,1,2),(,1,3)AB AC AP x y =-=--=--，根据PA ⊥平面ABC ，可得AB APAC AP ⎧⊥⎨⊥⎩，可得方程组，求得答案.【详解】因为(0,1,2),(2,1,0),(2,0,0)A B C ，所以(2,0,2),(2,1,2),(,1,3)AB AC AP x y =-=--=--， 因为PA ⊥平面ABC ，所以26030,,,2701x x AB AP AB AP x y y AC AP AC AP ⎧⎧+==-⎧⎧⊥⋅=∴∴∴⎨⎨⎨⎨-+==⊥⋅⎩⎩⎩⎩， 所以点P 的坐标为(3,1,1)--． 故答案为：(3,1,1)--15．从点(4,1)A -出发的一束光线l ，经过直线1:30l x y -+=反射，反射光线恰好通过点(3,2)B -，则反射光线所在直线的一般式方程为__________． 【答案】370x y ++=【分析】利用对称性求A 关于直线1l 的对称点，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】设(4,1)A -关于直线1:30l x y -+=的对称点为()11,D x y ， 所以11111114413022y x x y -⎧⋅=-⎪+⎪⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得1121x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,1)D --，依题意：D 在反射光线上，又(3,2)B -也在反射光线上， ∴21332BD k +==--+，故所求方程为13(2)y x +=-+，整理得：370x y ++=． 故答案为：370x y ++=16．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且1FE FD ⋅=，当直线EF 与平面ABCD 所成的角最大时，三棱锥1F AEB -的体积为__________．【答案】213-123-+【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设(0,,)F m n ，利用数量积的坐标运算表示出,m n 的关系，进而表示出直线EF 与平面ABCD 所成的角的正切值，求得其取最大值时m 的值，即可求得三棱锥1F AEB -的体积.【详解】如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D ，设(0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈， 则22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=--⋅--=-+=，设EF 与平面ABCD 所成的角为θ，在平面11AA D D 内作FP AD ⊥,垂足为P , 由于正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AA D D ⊥平面ABCD ， 平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，FP ⊂平面11AA D D ,则FP ⊥平面ABCD ，连接EP ,则π,[0,)2FEP θθ∠=∈ ,2,1FP n EP m =+，所以2222221222tan 11111n m m m m m m m θ-++====-+++++ 令211,tan 12122222t t m t t t tθ=+∴=-+⨯=-+⨯-+-+ 由于22222t t-+≥，当且仅当2t 时取等号， 即21m 时，112ta 2n 2t tθ-⨯-=++最大，此时EF 与平面ABCD 所成的角最大，此时三棱锥1F AEB -的体积为111121(21)12332AEB m S -⋅=⨯⨯⨯=△【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.三、解答题17．已知空间向量(2,3,1),(3,0,1),(,6,2)a b c x =-=-=-． (1)若a c ∥，求||c(2)若()(2)ka b a b +⊥-，求实数k 的值．【答案】(1)(2)2033【分析】（1）根据向量的共线，列出比例式，可得答案；（2）求出向量,2ka b a b +-的坐标，根据()(2)ka b a b +⊥-可得数量积为0，即得关于k 的方程，解得答案.【详解】(1)由题意知(2,3,1),(,6,2)a c x =-=-， ∵a c ∥，∴62231x -==-，解得：4x =-，故(4,6,2)c =--，故||1636c =+=． (2)因为(2,3,)(3,0,1)(23,3,1)ka b k k k k k k +=-+-=--+，2(4,6,2)(3,0,1)(7,6,1)a b -=---=-， 由()(2)ka b a b +⊥-得()(2)0ka b a b +⋅-= 即7(23)1810k k k -+++=，解得2033k =． 18．在平行四边形ABCD 中，(1,2),(1,3),(3,1)A B C --，点E 是线段BC 的中点． (1)求直线AE 的方程；(2)求过点A 且与直线DE 垂直的直线． 【答案】(1)350x y +-=； (2)350x y +-=．【分析】（1）根据中点坐标公式求出E 的坐标，根据直线方程的两点式或点斜式即可求AE 的方程；（2）设(,)D x y ，根据平行四边形对角线互相平分列方程组求出D 的坐标，根据两直线垂直，斜率之积为-1求出直线斜率，再根据直线方程的点斜式即可得到答案．【详解】(1)由中点坐标公式得()21E ，， ∴121213AE k -==-+， ∴直线AE 的方程为11(2)3y x -=--，即350x y +-=． (2)设点(,)D x y ，∵平行四边形ABCD 的对角线互相平分，即BD 中点和AC 中点重合， ∴1312221322x y -++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即D (1，－2)， ∴12321DE k +==-， 则过点A 且与直线DE 垂直的直线斜率为：13-， 方程为：()1213y x -=-+，即350x y +-=． 19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1,,AB AD AA 的两两夹角都是60．(1)若1AB =，求线段1AC 的长度；(2)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．【答案】66【分析】（1）首先以AB ，AD ，1AA 为空间一组基底，用该组基底表示向量1AC ，然后结合向量数量积的定义和运算律可求得结果；（2）首先根据基底表示1BD 及AC ，并求出1BD 与AC ，然后由数量积的定义可求得夹角余弦值.【详解】(1)以1{,,}AB AD AA 为空间一组基底．11AC AB AD AA =++，()2211AC AB AD AA =++ ()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()1112311cos606=+++⨯⨯⨯︒=， 所以16AC =(2)111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()222222111112BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅ ()111211cos6011cos6011cos602=+++⨯⨯⨯︒-⨯︒-⨯⨯︒⨯=， 所以12BD =AC AB AD =+，2222()21211cos6013AC AB AD AB AB AD AD =+=+︒⋅+=+⨯⨯⨯+=，所以||3AC =．()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅211cos601=⨯⨯⨯︒=．设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,2||BD ACBD AC BD AC θ⋅〈=⋅〉===． 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，π,22ABC AB BC ∠===，E 为线段BC 的中点．(1)证明：1A B ∥平面1AEC ；(2)若11AA =，求二面角1A C E C --的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)223．【分析】（1）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，证明1OE A B ∥，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面1AEC 的法向量，根据向量的夹角公式求得二面角1A C E C --的平面角的余弦值，即可求得答案.【详解】(1)证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 为矩形，所以O 为1A C 中点，又因为E 为BC 中点，所以1OE A B ∥，又由OE ⊂平面11,AEC A B ⊄平面1AEC ，所以1A B ∥平面1AEC ．(2)由题意知在直三棱柱111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，故1,,BC BA BB 两两垂直， 以B 点为坐标原点，1,,BC BA BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,2,0),(1,0,0),(2,0,1),(2,0,0)A E C C ，可得1(1,2,0),(2,2,1)AE AC =-=-，设平面1AEC 的法向量为(,,)m x y z =，则120220m AE x y m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ， 令1y =，则2,2x z ==-，所以平面1AEC 的一个法向量为(2,1,2)m =-，因为平面1CC E 的一个法向量可取为(0,1,0)n =，设二面角1A C E C --的平面角为θ， 则||11|cos ||cos ,|||||3414m n m n m n θ⋅=〈〉===++， 所以二面角1A C E C --212213⎛⎫- ⎪⎝⎭． 21．已知直线:230l kx y k -++=经过定点P ．(1)证明：无论k 取何值，直线l 始终过第二象限；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，当11||||23PA PB +取最小值时，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)50x y -+=．【分析】（1）将230kx y k -++=变形为(3)20k x y ++-=，解方程组3020x y +=⎧⎨-=⎩，即可证明结论；（2）设直线l 的倾斜角为α，可表示出23||,||sin cos PA PB αα==，即得11||||23PA PB +的表达式，利用换元法，结合三角函数性质，求出当11||||23PA PB +取最小值时参数的值，即可求得答案.【详解】(1)证明：由230kx y k -++=可得：(3)20k x y ++-=，由3020x y +=⎧⎨-=⎩ 可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以l 经过定点(3,2)P -； 即直线l 过定点(3,2)-,且定点在第二象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第二象限．(2)设直线l 的倾斜角为α，则π02α<<， 可得23||,||sin cos PA PB αα==， 所以1111sin cos ||||23sin cos sin cos PA PB αααααα++=+=，令πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为π02α<<，可得ππ3ππsin 14444αα⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，即π4t α⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 将sin cos t αα=+两边平方可得：22(sin cos )12sin cos t αααα=+=+⋅， 所以21sin cos 2t αα-=， 所以2211sin cos 22||||1123sin cos 12t t PA PB t t t t αααα++====---， 因为1y t t=-在上单调递增，所以10t t <-，故11y t t =≥-21t t ≥-t =时取等号，此时π4t α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 可得π4α=，所以πtan tan 14k α===， 所以直线的方程为50x y -+=．22．如图，在四棱锥A BCDE -中，AC ⊥平面BCDE ，底面BCDE 为矩形，26CD BC ==，G 为ABE △的重心，M 为线段CD 的中点，BM 与CE 交于点F ．(1)当3AC =时，证明：GF ⊥平面ABE ；(2)当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60︒时，求三棱锥D AGE -的体积．【答案】(1)证明见解析 (2)63【分析】（1）先利用三角形相似证明EF EG CF GN=得到GF NC ∥，再根据几何关系证明CN BE ⊥，CN AB ⊥，根据线面垂直的判定定理证明CN ⊥平面ABE ，从而得到GF ⊥平面ABE .（2）根据题意建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t >，利用平面GCE 与平面ADE 的法向量夹角余弦值的绝对值为12，求出t 的值，再求出点G 到平面ADE 的距离，最后利用D AGE G ADE V V --=即可求出三棱锥体积. 【详解】(1)延长EG 交AB 于N ，连接NC ，因为G 为ABE △的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EG GN=， 因为//CM BE ，故CMF EBF ∽，所以2EF BE CF CM ==， 故EF EG CF GN=，故GF NC ∥， 因为AC ⊥平面BCDE ，所以AC BE ⊥，因为底面BCDE 为矩形，所以BC BE ⊥，又因为AC BC C =，所以BE ⊥平面ABC ，故CN BE ⊥，因为AC BC =，所以CN AB ⊥，又因为BE AB B =，所以CN ⊥平面ABE ，所以GF ⊥平面ABE .(2)以C 为原点，以,,CB CD CA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t >，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ===-=，设平面GCE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m CG m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即11111220360x y tz x y ++=⎧⎨+=⎩， 取11y =，则112,2z x t ==-，即22,1,m t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面ADE 的法向量为()222,,n x y z =，则00n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22263030y tz x -=⎧⎨=⎩， 取22z =，则2y t =，则(0,,2)n t =， 所以224||1cos60||||2454t m n t m n t t +⋅︒===⋅+⨯+，解得212,3t t == 又(2,4,3)DG =-，故点G 到平面ADE 的距离为||433||4DG n d n ⋅=== 因为33AC t ==12AD =，所以1131236332D AGE G ADE V V --==⨯⨯⨯=。

河南高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合A={0，1}，B={-1，a 2}，则“a=l”是“A∩B={1}”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知命题使得命题，下列命题为真的是A ．（B ．p qC ．D ．3.已知命题若为假命题，则实数m 的取值范围是A ．[0，2]B ．C ．RD ．4.双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．5.已知点M （，0），椭圆＋y 2＝1与直线y ＝k （x ＋）交于点A 、B ，则△ABM 的周长为A ．4B ．8C ．12D ．166.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是 A ． B ． C ．－1 D ． 7.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A ．B ．C ．D ．8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则的方程为A ．B ．C ．D ．9.双曲线（a>0，b>0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是 A ．（1，]B ．（1，）C ．（1，2]D ．（1，2）10.设P 是椭圆上一点，M 、N 分别是圆（x ＋4）2＋y 2＝1和（x －4）2＋y 2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1211.已知双曲线（a>0，b>0）的渐近线与圆相交，则双曲线的离心率的取值范围是 A ．（1，3） B ．（，+∞）C ．（1，）D ．（3，+∞）12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 A ．（1，）B ．（，）C ．（，）D ．（，+）二、填空题1.命题“∃x ＞0，x 2+x ﹣2≥0”的否定是_________2.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是________．3.已知sinθ＋cosθ＝，双曲线x 2sinθ＋y 2cosθ＝1的焦点在y 轴上，则双曲线C 的离心率e ＝________．4.下列若干命题中，正确命题的序号是______________．①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a 一l ）y-a+7 =0平行的充分不必要条件； ②△ABC 中，若acosA="bcos" B ，则该三角形形状为等腰三角形； ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线； ④函数的最小正周期是三、解答题1.（本小题10分）设命题函数是上的减函数，命题函数，的值域为，若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．2.（本小题12分）（Ⅰ）求过点（）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程。

河南省豫西名校2022-2023学年高二上学期开学考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列有关金属及合金的说法错误的是A．生铁、碳素钢和不锈钢的碳含量依次增加B．目前我国流通的硬币是由合金材料制成的C．常见的铝合金密度小、强度高，具有较强的抗腐蚀性能D．储氢合金是一类能够大量吸收H2，并与H2结合成金属氢化物的材料2．我国科学家在竹材断裂韧性研究方面取得新进展。

“竹材”的主要成分是A．淀粉B．纤维素C．蛋白质D．油脂3．下列物质中，属于电解质的是A．食盐固体B．金属铜C．液态HCl D．硫酸铜溶液4．下列气体排放到大气中能形成酸雨的是A．CO2B．N2C．NO2D．CO5．下列各组物质中互为同分异构体的是A．CH3CH2CHO与CH3COCH3B．CH3COOH与CH3COOCH3C．CH3OH与CH2(OH)CH2OH D．CH4与C2H66．实验室制取氨气并验证其化学性质和用途，下列装置对应的说法错误的是A．可利用装置甲制备氨气B．可利用装置乙干燥氨气C．可利用装置丙收集氨气并进行喷泉实验D．可利用装置吸收氨气并防倒吸7．下列关于金属冶炼的说法中正确的是A．电解法获得镁时，可在CO2或N2中降温冷却B．热还原法常用的还原剂有CO、H2、C、Al等C．金属Na、Mg、Al均能通过电解熔融氯化物的方法获得D．人类历史上金属被发现的顺序与金属的活泼性无关8．下列有关叙述均正确且存在因果关系的是A．A B．B C．C D．D9．由1－丁烯(CH2＝CHCH2CH3)与氯气加成得到的分子式为C4H8Cl2的有机物，其结构简式为A．CH2ClCHCl－CH2－CH3B．CH3－CHCl－CHCl－CH3C．CH3CH(CH2Cl)2D．10．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法错误的是A．6.2gNa2O中含有的阴离子数为0.1N AB．18gD2O和18gH2O中含有的质子数均为10N AC．1molCO2分子中含有的共用电子对数为4N AD．1L0.1mol·L-1FeCl2溶液与0.1mol锌充分反应，转移的电子数为0.2N A11．奶茶常用的吸管(PLA)是一种可降解材料，高相对分子质量的PLA可由乳酸聚合而成，转化过程如图所示。

2022-2023学年河南省湘豫名校联考高二上学期阶段考试（一） 数学（文）试题一、单选题1．已知经过()3,A a ，()1,5B -两点的直线的斜率为1，则=a （ ） A ．7 B ．7-C ．3D ．3-【答案】D【分析】由斜率公式列式求解 【详解】由斜率公式得()5131a --=-，解得3a =-. 故选：D.2．若直线3290x y -+-=与直线5100x ay -+-=平行，则实数a 的值为( ) A ．103B ．103-C ．52D ．52-【答案】A【分析】根据“两直线平行，斜率相等”即可列式求解． 【详解】若直线3290x y -+-=与直线5100x ay -+-=平行， 则有352a=，解得103a =，经检验满足题设.故选：A ．3．对于空间中的任意三个向量a ，b ，24a b +，它们一定是（ ） A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面的向量【答案】A【分析】根据空间向量共面定理，即可直接判断并选择.【详解】若a ，b 不共线，则由空间共面向量定理知，a ，b ，24a b +共面； 若a ，b 共线，则a ，b ，24a b +共线，也共面. 故选：A .4．若直线l 经过第一、三、四象限，且其倾斜角为α，斜率为k ，则下列结论错误的是（ ） A ．0k > B ．sin 0k α⋅> C ．cos 0k α⋅> D ．tan 0k α⋅<【答案】D【分析】根据直线所过象限，得到0k >，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 0α>，cos 0α>，tan 0α>，所以ABC正确，D 错误.【详解】由题意知，其斜率0k >，直线l 的倾斜角α的取值范围是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 0α>，cos 0α>，tan 0α>.所以sin 0k α⋅>，cos 0k α⋅>，tan 0k α⋅>，D 选项错误. 故选：D.5．已知直线1l 的一个方向向量是()13,2,1v =--，直线2l 的一个方向向量是()29,6,3v =-，则两不重合直线1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．平行C ．垂直D ．不能确定【答案】B【分析】由两直线的方向向量的位置关系，确定两直线的位置关系.【详解】由题可得213v v =-，所以12//v v ，因为直线1l 与2l 不重合，所以直线1l 与2l 平行. 故选：B.6．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在棱的中点，则11121314AA AP AA AP AA AP AA AP ⋅+⋅+⋅+⋅=（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【分析】结合向量投影的概念得2114i AA AP AA ⋅==，进而再求解即可.【详解】解：由向量投影的概念，1cos ,i i AP AA AP ⋅表示向量i AP 在1AA 上的投影， 因为1AA 垂直于平面1111A B C D ,所以 11cos ,i i AP AA AP AA ⋅=因为21111cos ,4i i i AA AP AA AP AA AP AA ⋅=⋅⋅==（其中1,2,3,4i =）， 所以1112131416AA AP AA AP AA AP AA AP ⋅+⋅+⋅+⋅=.7．如图，在ABCD 中，点,M N 分别是棱,AD CD 的中点，则()()1122BD BA BD BC +-+化简的结果是（ ）A ．CAB ．AC C ．NMD ．MN【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所示，连接,BM BN ，因为,M N 分别是棱,AD CD 的中点，所以()()1122BD BA BD BC BM BN NM +-+=-=.故选：C.8．已知直线()211000l x ay a +-=>与圆22:4O x y +=相切，则圆O 与圆()()22:19C x a y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】B【分析】先由直线与圆相切求出参数a ，进而得到圆C 的标准方程，再求出两圆的圆心距，与两圆半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系.【详解】由224x y +=，得圆心为()0,0O ，半径2r =.因为直线()211000l x ay a +-=>与圆22:4O x y +=相切，所以圆心()0,0O 到直线l 的距离等于半径，即()2210221d a-=+，解得2a =或2a =-（舍去）.所以圆C 的标准方程为()()22219x y -+-=.由()()22219x y -+-=，得圆心为()2,1C ，半径3R =，所以两圆圆心距5CO =5,1R r R r +=-=.所以R r CO R r -<<+，所以两圆相交.9．已知两条直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=互相垂直且垂足为点P （1，2），则下列结论错误的是（ ） A ．12120a a b b += B ．11210a b +-=且22210a b +-= C ．()1212251b b bb +-= D ．()121251a a a a -+=【答案】D【分析】由两条直线互相垂直，有12120a a b b +=，把点P 代入两条直线方程，把所得到的等式 进行化简，可得到各选项对应的结果.【详解】因为两条直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=互相垂直，所以12120a a b b +=①，选项A 正确；由题意，两条直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为P （1，2），所以11210a b +-=②，且22210a b +-=③，选项B 正确；由②③得1112a b =-，2212a b =-，代入①得()()121212120b b bb --+=，化简得()1212251b b bb +-=，选项C 正确； 由②③得1112a b -=，2212a b -=，代入①得121211022a a a a --+⨯=，化简得()121251a a a a -+=-，选项D 错误. 故选：D.10．已知圆C 经过(2,6)A ，(4,8)B 两点，且圆心在直线360x y -+=上，若圆C 上的点到直线240mx y +-=的最大距离为m ＝（ ）A ．－4或－1B ．4或－1C ．－4或1D ．4或1【答案】C【分析】设圆C 的圆心坐标为()36,b b -，由AC BC =，求出圆心坐标和半径，圆上的点到直线的最大距离，可得到圆心到直线距离，点到直线距离公式求m 的值.【详解】圆心在直线360x y -+=上，设圆C 的圆心坐标为()36,b b -，由题意得：=4b =，所以圆心为()6,4C ，半径r ==所以圆C 的方程为()()226420x y -+-=.因为圆C 上的点到直线240mx y +-=的最大距离为()6,4C 到直线240mx y +-=的距离为r ==4m =-或1m =.故选：C.11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点(2,0),(0,4)A B ，若圆22237:(0)42C x y r r ⎛⎫⎛⎫++-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上不存在点P 满足||3||PB PA =，则r 的取值范围是（ ）A ．0,55⎛⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．0,5⎛ ⎝⎭C ．0,55⎛⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5⎛ ⎝⎭【答案】C【分析】根据两点间距离公式，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】设点(),P x y ．若3PB PA =2291454216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以191,42C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径1r =()22232:047C x y r r ⎛⎫⎛⎫++-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是以37,42C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，r 为半径的圆，由题意可得11CC r r >+或11CC r r <-．又15CC ，所以5r >+5r <，解得5r <5r >5r <．又0r >，所以05r <<或5r >即r 的取值范围是0,55⎛⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ．【点睛】关键点睛：根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，3,4,PD DC AD M ===是线段PA 的中点，N 是线段PC 上一点（不与,P C 两点重合），且PN PC λ=．若直线MN 与BD 所成角的余弦值是22121，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【分析】根据线面垂直的性质证DP ，DC ，DA 两两互相垂直，构建空间直角坐标，()()()0,3,30,1PN PC λλλλ==-∈并求直线MN 与BD 的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数λ.【详解】因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PD DC ⊥，PD AD ⊥．因为底面ABCD 为矩形，所以DC AD ⊥． 所以DP ，DC ，DA 两两互相垂直．以D 为原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，(4,3,0)B ，(0,0,3)P ，(4,0,0)A ，(0,3,0)C ，32,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以(0,3,3)PC =-，(4,3,0)BD =--． 因为()()()0,3,30,1PN PC λλλλ==-∈， 所以(0,3,33)N λλ-，则32,3,32MN λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设直线MN 与BD 所成角为θ，则232,3,3(4,3,0)2||cos ||||2518954MN BD MN BD λλθλλ⎛⎫--⋅--⎪⋅⎝⎭===⋅-+⨯222|89|1811446425525189189544λλλλλλλ--+=-+-+． 因为22181********255211894λλλλ-+=-+，则22811446410025211894λλλλ-+=-+， 化简得29921247190λλ+-=，即(31)(33719)0λλ-+=，解得13λ=或71933λ=-（舍去）．故选：B二、填空题13．已知方程()22221220x y ax a y a +-++++=表示圆，则实数a 的取值范围是______.【答案】2,23⎛⎫⎪⎝⎭【分析】220x y Dx Ey F ++++=若表示圆，则2240D E F +->，据此列式计算即可.【详解】由题意，得()()()222214220a a a -++-+>⎡⎤⎣⎦，化简得()()3220a a --<，解得223a <<， 即实数a 的取值范围为2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2,23⎛⎫⎪⎝⎭.14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是AD 的中点，点,M Q 分别在111,D C CC 上，且111111,33D M D C CQ CC ==．若1PQ PM aAB bAD cAA +=++，则a b c +-=_____．【答案】1【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可. 【详解】因为1111112323PQ PD DC CQ AD AB CC AB AD AA =++=++=++，11111111112332PM PD DD D M AD AA D C AB AD AA =++=++=++， 所以14433PQ PM AB AD AA +=++， 所以43a =，1b =，43c =，所以441133a b c +-=+-=． 故答案为：115．过点()3,0-作一条直线与圆224x y +=分别交于M ，N 两点.若弦MN 的长为MN 的方程为______.【答案】044x y -+=044x y ++=（其他形式，只要正确亦可） 【分析】由题意可知，直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，得出直线MN 的方程，由几何方法求出圆心()0,0O 到直线MN 的距离，即可由点线距离公式建立方程求解【详解】由题意可知，直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则直线MN 的方程为()3y k x =+，即30kx y k -+=.若弦MN 的长为()0,0O 到直线MN 的距离为1d ==1=，解得k =故直线MN 0y -=或0y -=0y -+=或0y +=.0y -+=0x y +=. 16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的顶点A 在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧，12,4,3AB AD AA ===．若顶点B 到平面α的距离为1，顶点D 到平面α，则顶点1A 到平面α的距离为_____．【答案】3104【分析】建立空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为(),,n x y z =，利用空间向量的方法列方程得到25x y z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后利用空间向量的方法求距离即可.【详解】以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，1(0,0,3)A ．所以(2,0,0)AB =，(0,4,0)AD =，1(0,0,3)AA =．设平面α的一个法向量为(),,n x y z =，由题意得2222224221AD n y n x y z AB n x n x y z ⎧⋅⎪==⎪++⎪⎨⋅⎪==⎪++⎪⎩，解得25x z y⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以顶点1A 到平面α的距离是1222310AA n nx y z ⋅==++．故答案为：3104三、解答题17．判断下列三点是否在同一条直线上： (1)(3,1),(2,4),(3,0)A B C --； (2)(5,1),(1,2),(5,4)D E F ---.【答案】(1)A ，B ，C 三点不在同一条直线上 (2)D ，E ，F 三点在同一条直线上【分析】（1）计算AB k 和AC k ，根据其是否相等即可判断； （2）计算DE k 和DF k ，根据其是否相等即可判断. 【详解】（1）因为14132AB k +==---，101336AC k -==---， 所以AB AC k k ≠，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上. （2）因为121512DE k --==-+，411552DF k +==---， 所以DE DF k k =.又直线DE 与直线DF 有公共点D ， 所以D ，E ，F 三点在同一条直线上.18．如图所示，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 上任意一点.以A 、B 、C 、D 、E 、1A 、1B 、1C 、1D 这九个点中的两个点为向量的起点和终点，分别写出满足下列条件的向量.(1)与BC 平行且方向相同的向量，与AD 相等的向量；(2)用三个向量的和表示1B E （举三个例子）.【答案】(1)与BC 平行且方向相同的向量有：11B C ，AD ，11A D ，AE ，ED ；与AD 相等的向量有：BC(2)11B E B B BA AE =++，1111B E B A A A AE =++，1111B E B D D D DE =++（答案不唯一）【分析】（1）利用平行（共线）向量，相等向量定义结合正四棱台结构特征可得答案. （2）利用向量的加法法则结合图形可得答案.【详解】（1）由图可得：与BC 平行且方向相同的向量有：11B C ，AD ，11A D ，AE ，ED ； 与AD 相等的向量有：BC .（2）由图形结合向量加法运算法则得：11B E B B BA AE =++，1111B E B A A A AE =++，1111B E B D D D DE =++.（答案不唯一）19．求满足下列条件的圆的方程.(1)若圆1C 经过点()6,6，且圆心与点()2,3关于直线y x =对称，求圆1C 的标准方程；(2)若圆2C 与直线20x y +-=和直线20x y -+=都相切，且圆心在x 轴上，求圆2C 的标准方程.【答案】(1)()()223225x y -+-=； (2)()2224x y -+=.【分析】（1）先求出点()2,3关于直线y x =对称的点的坐标为()3,2，进而求出半径，得到圆的标准方程；（2）设出圆心坐标，由圆心到直线距离等于半径列出方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的标准方程.【详解】（1）因为点()2,3关于直线y x =对称的点的坐标为()3,2，所以圆1C 的圆心坐标为()3,2，半径5r =.所以圆1C 的标准方程为()()223225x y -+-=；（2）设圆心()2,0C a ，因为圆2C 与直线20x y +-=和直线20x y -+=都相切，所以22222222a a --+-=.所以222222a a --=+-①或222222a a --=--+②， 其中，①无解，由②解得a ＝2. 所以圆心()22,0C ，半径222222r --==.所以圆2C 的标准方程为()2224x y -+=.20．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥ 底面ABCD ，AB =4BC =，3BP =，13CF CP =，13DE DA =.(1)证明：//EF 平面ABP ；(2)求直线PC 与平面ADF 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 1217【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面ABP 的法向量，证明直线EF 的方向向量与平面的法向量垂直即可.（2）先求出直线PC 的方向向量与平面ADF 的法向量，再利用直线与平面所成角的计算公式求解即可.【详解】（1）由题意知，,,BC BA BP 两两互相垂直，以B 为原点，,,BC BA BP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz - ，则()0,0,0B ，()4,0,0C ，8,4,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,13F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4,0,0BC =，()0,4,1EF =-. PB ⊥ 底面ABCD ， PB BC ∴⊥又,BC BA PB BA B ⊥⋂=， BC ∴⊥平面ABP ， 所以()4,0,0BC =是平面ABP 的一个法向量. 因为()()4,0,00,4,10BC EF ⋅=⋅-=， 所以BC EF ⊥.又EF ⊂/平面ABP ，所以//EF 平面ABP .（2）因为()0,4,0A ，()4,0,0C ，()4,4,0D ，()0,0,3P ，8,0,13F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4,0,0AD =，8,4,13AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4,0,3PC =-，设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则由408403n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得04x z y =⎧⎨=⎩， 令1y =，得平面ADF 的一个法向量为()0,1,4n =. 设直线PC 与平面ADF 所成的角为θ， 则()()4,0,30,1,41217sin cos ,517PC n PC n PC nθ-⋅⋅====⨯⋅. 故：直线PC 与平面ADF 121721．在四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，且P A ＝AD ＝3，AB ＝4，34PC =(1)求证：CD⊥平面P AD；(2)若点E为△PCD的重心，求平面ACE与平面P AD的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；341【分析】(1)通过勾股定理证明CD⊥AD，再结合P A⊥CD即可证明CD⊥平面P AD；(2)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE与平面P AD的法向量，利用向量数量积即可求得结果．【详解】（1）∵AP⊥底面ABCD，∴AP⊥AC，AP⊥CD，∵AP＝3，34PC=∴由勾股定理，得22225=-=，AC PC AP在△ACD中，AD＝3，CD＝AB＝4，∴222+=，∴AD⊥CD，AD CD AC=，AD、AP⊂平面P AD，又AD AP A∴CD⊥平面P A D．（2）方法一(向量法)：∵AB CD，AD⊥CD，∴AD⊥AB，∴AB，AD，AP两两互相垂直．故以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()4,3,0C ，()0,0,3P ，()0,3,0D ，4,2,13E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()4,3,0AC =，4,2,13AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =， 则430,4203n AC x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即4,34.3y x z x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令x ＝3，得平面ACE 的一个法向量为()3,4,4n =-． 易知平面P AD 的一个法向量为()4,0,0AB =． 设平面ACE 与平面P AD 的夹角为θ， 则12341cos cos ,41414n AB n AB n ABθ⋅====⨯⋅． 故平面ACE 与平面P AD 的夹角的余弦值为34141． 方法二(几何法)：如图，延长CE 交PD 于点F ，连接AF ，可知F 为PD 的中点．由P A ＝AD ＝3，得AF ⊥PD ， 由(1)知CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AF ．又PD CD D ⋂=，PD 、CD ⊂平面CDF ，∴AF ⊥平面CDF ． ∴AF ⊥CF ，即∠CFD 为平面ACE 与平面P AD 所成二面角的平面角．在Rt △DFC中，12DF PD ===DC ＝4，CF =∴cos DF CFD CF ∠=== 故平面ACE 与平面P AD22．已知圆C ，圆()221:44C x y ++=，圆()222:24C x y ++=这三圆有一条公共弦. (1)当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； (2)在（1）的条件下，直线l 满足： （ⅰ）与直线70x +=平行； （ⅱ）与圆C 相切.若直线l 与圆1C 分别交于A ，B 两点，与圆2C 分别交于D ，E 两点，求AB DE.【答案】(1)()2233x y ++=；(2)AB DE =AB DE =【分析】（1）根据给定条件，求出圆1C 与圆2C 的交点，再求出圆C 的标准方程作答.（2）根据给定条件，借助点到直线距离公式求出直线l 的方程，再利用圆的弦长公式计算作答.【详解】（1）依题意，由()()22224424x y x y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 因此圆1C 与圆2C的公共弦的两个端点坐标分别为(3,M -，(N -， 当圆C 的面积最小时，MN 是圆C 的直径，则圆C 的圆心为()3,0-所以圆C 的标准方程是()2233x y ++=.（2）因为直线l与直线70x +=平行，则设直线l的方程为0(7)x m m +=≠， 而直线l 与圆C相切，则有d ==6m =-或12m =，当6m =-时，直线l的方程为60x --=，而圆1C 的圆心()14,0C -，半径12r =，点1C到直线:60l x -=的距离为1d =，于是得AB = 又圆2C 的圆心()22,0C -，半径22r =，点2C到直线:60l x -=的距离为2d ，于是得DE ==AB DE ==， 当12m =时，直线l的方程为120x +=，则点1C到直线:120l x +=的距离为3d =AB == 点2C到直线:120l x -+=的距离为4d ==DE =因此AB DE ==，所以AB DE =AB DE =。