2020届湖南省年上学期娄底一中高二数学开学考试试题

2020-2021学年湖南省娄底市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.【考点】本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】B【解析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【详解】解：因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，所以低于60分的人数频率为20(0.010.005)0.3⨯+=，所以该班的学生人数是1550 0.3=．故选B．本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．属于基础题. 3．若函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，直线6x π=是它的一条对称轴，则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】结合函数的图象与已知条件,求出函数的周期,确定,ωϕ得到函数的解析式，即可求出答案. 【详解】解：结合图像可知，当6x π=，此时函数取到最大值1，故541264T πππ=-=，∴T π=， 由2ππω=得2ω=，又“五点法”得5212πϕπ⨯+=，得6π=ϕ， 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴sin 2446f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin cos 266πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 故选C ． 【点晴】利用对称轴结合图象求出周期是本题的关键,考查计算能力,属于基础题. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，33S =则7a =（ ） A ．6B ．7C ．11D ．9【解析】根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程解首项与公差，最后再根据通项公式计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得5147a a d =+=①，31333S a d =+=②，①和②联立得11a =-，2d =， 所以71611a a d =+= 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查运算能力，是基础题.5．在ABC 中，D 是AB 边上靠近点A 的三等分点，E 是CD 的中点，则BE （ ） A ．5162AB AC -+ B ．5162AB AC - C ．1132AB AC - D ．1132AB AC -+ 【答案】A【解析】依题意可得23BD AB =-，根据平面向量的加减运算法则计算可得； 【详解】解：由已知可得23BD AB =-，BC AC AB =-， 因为E 是CD 的中点， 所以11251()22362BE BD BC AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题.6．已知在ABC 中，b =2c =，30C =︒，那么解此三角形可得（ ）A ．一解B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定 【答案】B【解析】先由正弦定理得到60B =或120，再分析得到两解都满足题意得解. 【详解】1sin 2,sin sin sin 22b c b CB BC c=∴===． 所以60B =或120.,b c B C >∴>,所以两解都满足题意.故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的解的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知角α的终边上有一点()P ，则3πsin 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．79-C．13 D ．79【答案】C【解析】由角终边上点的坐标，可求出cos α=，结合诱导公式和二倍角公式，可求出3πsin22α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】解：由题意知cos α==，则23π1sin 2cos 212cos 23ααα⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭．故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解，考查了诱导公式，考查了二倍角公式.本题的易错点是计算.一般地，若已知角α终边上一点坐标(),P x y，则由sin cos tan y x ααα⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩可求三角函数值.8．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（ ） A ．19和2 B ．19和3C ．19和4D ．19和8【答案】C【解析】根据平均数和标准差的性质可得选项. 【详解】解：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，∴121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=，4=． 故选：C ． 【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199C ．200D ．201【答案】A【解析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <，当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <；又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．10．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan a b c B -+=，则角B 的值为（ ） A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】D【解析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sin B 的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后答案． 【详解】解：由()222tan a c b B +-=，∴222cos 22sin a c b Bac B+-=，即cos cos 2sin BB B=，因为B 为三角形的内角，所以cos 0B ≠，sin 0B >，∴sin B =，又在ABC 中，所以B 为3π或23π ， 故选:D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．11．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( ) A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 12．在数列{}n a 中，113a =，且(21)n n S n n a =-，通过求2a ，3a ，4a ，猜想n a 的表达式为（ ） A ．1(1)(1)n a n n =-+B ．12(21)n a n n =+C ．1(21)(21)n a n n =-+D ．1(21)(22)n a n n =++【答案】C【解析】由已知求得2111535a ==⨯，3113557a ==⨯，4179a =⨯，可以猜想得选项. 【详解】 解：由113a =，(21)n n S n n a =-，得222(221)S a =⨯-，即1226a a a +=， ∴2111535a ==⨯，333(231)S a =⨯-，即331115315a a ++=， ∴3113557a ==⨯，4179a =⨯， 由此猜想1(21)(21)n a n n =-+．故选C ．【点睛】本题考查由n n a S ，之间的关系式，求数列的前几项，猜想数列的通项公式，属于基础题.二、填空题13．设平面向量(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，若()//+a b c ，则实数m =__________ ．【答案】-1【解析】先由向量的线性运算求得向量a b +，再根据向量平行的坐标条件求得答案. 【详解】解：(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，∴(1,1)a b m +=-， ∵()//+a b c ，∴(1)2m --=， 解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量平行的坐标条件，属于基础题.14．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为__________．【答案】3【解析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】 解：3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144m m y ++++==，又回归直线必过样本点的中心(),x y ， 所以110.7 4.50.354m +=⨯+，所以3m =． 故答案为：3. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，解题关键是理解样本中心点在线性回归直线上，属于基础题．15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--，所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，向量2AB a b =-，3CD a b =+．（1）若a 与b 的夹角为60︒，求a b -的值；（2）若AB CD ⊥，求向量a 与b 的夹角θ的值．【答案】（1（2）120θ．【解析】（1）根据向量的模的计算公式直接计算即可得答案；（2）由向量AB CD ⊥得()()230a b a b -⋅+=，再结合已知化简求值即可.【详解】解：（1）21cos601a b ⋅=⨯⨯︒=．∴222||24213a b a a b b -=-⋅+=-+=． ∴3a b -=．（2）∵AB CD ⊥，∴·0AB CD =，即()()23a b a b -⋅+ 22253a a b b =+⋅-810cos 30θ=+-=．∴1cos 2θ=-，又[]0,180θ∈︒︒ ∴120θ．【点睛】 本题考查利用向量数量积求向量的模，根据向量垂直求向量夹角问题，考查运算能力，是基础题.18．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅ （1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期.（2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间.【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈ 解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【点睛】 本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知375,49a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n a n =- (2) 21n n T n =+ 【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，得到11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而可求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意可得1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-；()2由()1得()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 从而1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型．20．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄x 20 30 40 50每周学习诗词的平均时间y 33.5 3.54 由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：()1221ni i i n i i x y nx y b xn x ==-⋅=-∑∑，a y bx =-【答案】（1）35（2）0.03 2.45y x =+；4.25小时 【解析】（1）由题，列出不等式7879828180737778868055x +++++++++>，解得x 的取值范围，即可得到本题答案；（2）由()1221ni i i n i i x y nx y b xn x ==-⋅=-∑∑，a y bx =-，求得线性回归方程，然后令60x =，即可得到本题答案.【详解】（1）设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x +++++++++>， 6x ⇒<，即0,1,2,3,4,5x =，63105P ∴==； （2）()120304050354x =+++=， ()13 3.5 3.54 3.54y =+++=， 4490x y ∴=，又4120330 3.540 3.5504505i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 4222221203040505400i i x==+++=∑，25054900.035400435b -∴==-⨯， 3.50.0335 2.45a ∴=-⨯=，0.03 2.45y x ∴=+，60x ∴=时， 4.25y =.答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.【点睛】本题主要考查与平均数相关的计算以及线性回归方程的求法，属基础题.21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b，求ABC 的面积；（2）若sin AC=2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【解析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.22．已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，11a =． （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列2nn nb a =的前n 项之和n S ． 【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22n n S n +=-⨯+．【解析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到1111n n a a ，从而得解；（2）利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）依题意，11111n n n n a a a a ++==+，也即1111n n a a ，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知11(1)nn n a =+-=， 所以2n n b n =⨯，因此1231222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两边同乘以2得：234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 两式相减得：()123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()112122(1)2212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，因此1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.。

____________________________________________________________________________________________娄底一中2020年下学期高二期中考试数学试题一、单选题1．“1m ”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若关于x 的不等式242x x mx -+>的解集为{}|02x x <<，则实数m 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-3．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题一定成立的是( )A ．22a b <B ．|a|<|b|C ．3223a b a b <D ．22ac bc < 4．已知(2,1,3)a =-，(4,1,2)a x y =-+-，若//a b ，则x y +=（ ）A ．6-B ．5-C ．4-D ．3- 5．设函数()()310f x x ax a =++<，曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为2y x b =+，则a b +=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．46．已知数列-1， 1a ，2a ，-4成等差数列，-1，b 1，b 2，b 3，-4成等比数列，则212b a a -的值为（ ）A ．错误!未找到引用源。

B ．-12 错误!未找到引用源。

C ．12错误!未找到引用源。

或-12错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

7．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（ ）A ．52B ．53C ．56D ．598．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，。

湖南高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知中，所对的边分别为，且,那么角等于（ ） A ．B ．C ．D ．2. ( )A ．B ．C ．D ．3.设函数，x ∈R ，则 ( )A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为的偶函数D ．最小正周期为的偶函数4.已知函数的图像关于直线对称，则可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5.平面向量与的夹角为，，则＝ ( ) A ．B ．C ．4D ．126.下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C ．，则D ．若与是单位向量，则7.在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为 ( )． A ．6 B ．7 C ．8D ．98.已知是方程的两根,则等于（ ） A ．-3B ．C ．D ．39.如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径， ，则（ ）A. B. C. D.10.函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（）A．B．C．D．11.已知为等差数列,，=99，则等于 ( )A．－1B．1C．3D．7 12.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增二、填空题1.设向量，，若，则实数________.2.已知则 =_____________；3.若，则______________．4.对下列命题：①函数是奇函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图象关于点成中心对称图形；④存在实数，使得．其中正确的序号为___．(填所有正确的序号)三、解答题1.等差数列中，（1）求该等差数列的通项公式（2）求该等差数列的前n项和2.在中，（1）求的值（2）求边的长度.3.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.当时，求a的值；当的面积为3时，求a+c的值。

湖南省娄底市双峰一中2020-2021学年高二上学期9月入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°2．已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 3．10cos3π=（ ）A ．12B ．12-C D ． 4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,那么它的通项公式n a = ( ) A ．nB ．2nC ．21nD ．1n +5．数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．123n +-B ．23n -C ．23n +D ．123n --6．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 等于（ ） A ．15B ．30C ．31D ．648．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形9．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图像如图所示，则使()()0f x m f m x +--=成立的m 的最小正值为（ ）A ．512π B ．3π C ．6π D ．12π10．已知函数()()sin 11x x f x x x -+=∈+R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．2 B ．0C ．1D ．-211．定义运算a bad bc c d =-，若sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<，则β等于（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π12．已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点,P M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最大值是( )A ．434B ．494C ．374+ D ．372334+二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则b =__________． 14．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=__________；15．购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率0.8%，按复利计算，那么每期应付款为__________元.（121.008 1.1≈）16．在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB ∆'，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE =__________．三、解答题 17．化简求值：（1）55tantan 41251tan 12πππ+-；（2）1sin10︒18．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m . 19．已知函数()21sin2cos 22f x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a b 、 的值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .21．设{}n a 是正项数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的*n N ∈，都有()282n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=⋅，n T 是{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m 的值.22．设()πcos 213f x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0m ≠. （1）若2m =，求函数()f x 的零点；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()34f x -≤≤恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 2．A 【解析】 试题分析：由题设可得,经检验成立,应选A.考点：三角函数的定义. 3．B 【分析】利用诱导公式化大角为小角，即可求解. 【详解】101coscos 3cos 3332ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数诱导公式，奇变偶不变，符号看象限，属于基础题. 4．B 【分析】利用关系式1(2)n n n a S S n -=-≥代入公式得到通项公式，再验证1n =时的情况得到答案. 【详解】当2n ≥时, ()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦,当1n =时, 112a S ==,也满足上式,故数列{}n a 的通项公式为2n a n =，故选B.【点睛】本题考查了通项公式里的关系式，忘记验证1n =时的情况是学生容易犯的错误. 5．A 【分析】据递推关系式可得132(3)n n a a ++=+， 利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()1231n n a a n +=+≥， 所以132(3)n n a a ++=+，即数列{3}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以1342n n a -+=⋅，故1142323n n n a -+=⋅-=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，数列的递推关系，属于中档题. 6．D 【详解】因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =. 7．A 【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案； 【详解】79416,1a a a +==，∴11117,78,431,7,4a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩∴12177111544a =-+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题. 8．D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D. 【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．9．D 【分析】由图象求()f x 解析式()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用x m =是()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴即可求解. 【详解】由图知min ()1f x A =-=-，所以1A =， 因为74123T ππ=-，所以T π=，可得222T ππωπ===， 712x π=是()f x 的对称轴，所以72122k ππϕπ⨯+=+，()k Z ∈， 所以23k πϕπ=-+，令1k =，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由()()0f x m f m x +--=得：x m =是()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴. 令232x k πππ+=+()k Z ∈，得122kx ππ=+，()k Z ∈ 当0k =时，m 的最小正值为12π，故选：D 【点睛】本题主要考查了由部分图象求三角函数的解析式，以及求()()sin f x A x =+ωϕ得对称轴，属于中档题. 10．A 【分析】 设()sin 1xg x x =-+,则()g x 为奇函数，则()()1f x g x =+，根据奇函数的对称性可得答案. 【详解】()sin 1sin 111x x xf x x x -+==-++设()sin 1x g x x =-+，则()()sin 1xg x g x x -==-+，则()g x 为奇函数. ()()1f x g x =+,显然当()g x 取得最大值时，()f x 取得最大值.当()g x 取得最小值时，()f x 取得最小值. 又()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x += 所以()()max min 2f x f x M m +=+= 故选：A 【点睛】本题考查奇函数的对称性的应用，属于基础题. 11．D试题分析：由定义运算知，即，又2πβα<<<，又1cos ,072παα=<<，，．考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用12．B 【解析】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ． 考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题. 13．试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 14．10 【分析】由题意及等比数列的性质可得56479a a a a ==，由对数的运算可得313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5356log ()a a =，代入计算可得结果．【详解】由等比数列的性质可知，5647a a a a =， 又564718a a a a +=569a a ∴= 313231031210log log log log ()a a a a a a ∴+++=5356log ()a a =53log 9=10=.故答案为：10. 【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． 15．880【分析】这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和 【详解】设每期应还款x 元，则第1期还款后，还欠款()100010.8%x +-第2期还款后，还欠款()21000 1.008 1.00810000 1.008 1.008x x x x ⨯-⨯-=⨯--……………第12期还款后，还欠款12111010000 1.008 1.008 1.008 1.008x x x x ⨯-----第12期还款后，还欠款应为0所以12111010000 1.008 1.008 1.008 1.0080x x x x ⨯-----=即()()1212111011 1.0081 1.110000 1.008 1.008 1.008 1.00811 1.0081 1.008x x x⨯--⨯=++++=⋅=⋅-- 所以10000 1.10.00810000 1.18800.10.10.008x ⨯==⨯⨯= 故答案为：880 【点睛】本题考查数列的实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 16．278【解析】分析：首先设出BE m =，根据题中的条件1sin 3EPB ∠=，得到3PE m =，结合诱导公式得到1cos 3PEB ∠=，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得2cos 'cos 212cos B EA PEB PEB ∠=-∠=-∠，从而求得其值，最后在'Rt AB E ∆中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设BE m =，根据1sin 3EPB ∠=，得到3PE m =，同时可得1cos 3PEB ∠=，从而得到2cos 'cos 212cos B EA PEB PEB ∠=-∠=-∠79=，根据翻折的问题，可得',2B E BE m AE m ===-在直角三角形中，有279m m -=，解得98m =，所以折痕2738PE m ==. 点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果. 17．（1）1-；（2）4. 【分析】（1）由和的正切公式可计算；（2）通分并结合和的余弦公式，二倍角公式求解. 【详解】（1）原式5tantan53412tan tan 1541241tan tan 412πππππππ+⎛⎫==+==- ⎪⎝⎭-; （2）原式()2cos 1060cos102cos 70411sin10cos10sin 20sin 2022︒+︒︒︒︒====︒︒︒︒. 【点睛】本题考查和的余弦、正切公式，考查二倍角公式，属于基础题. 18．（1）45t =；（2）35.【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案. 【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb + （2）(32,2)a mb m m -=---.∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题. 19．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b == 【分析】(1)通过降幂公式，结合辅助角公式化简三角函数式，即可求得函数的单调递增区间． (2)根据化简的三角函数式和三角函数值，求得特殊角C 的度数，集合正余弦定理即可求得a 、b 的值． 【详解】(1) ()211212*********cos x f x sin x cos x sin x sin x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭. 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得(),63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)由()0f C =，得216sin C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 110,2666C C ππππ<<∴-<-<， 2,623C C πππ-==.又2sinB sinA =,由正弦定理得2ba=①; 由余弦定理得22223c a b abcos π=+-，即223a b ab +-=，② 由①②解得1,2a b ==. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简及单调区间的求法，正弦定理与余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题．20．（1）*41,n a n n N =-∈；12n nb -=；（2）(45)25nn T n =-+【解析】试题分析：（1）求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；（2）整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和21．（1）42n a n =-（2）10. 【分析】（1）先求出1a ，当2n ≥时，由28(2)n n S a =+，得2118(2)n n S a --=+，两式相减化简得14(2)n n a a n --=≥，从而可得数列{}n a 是以2为首项，公差为4的等差数列，进而可得到数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）得411(42)(42)4242n b n n n n ==--+-+，利用裂项相消法求出n T ，再解不等式可得答案 【详解】28(2)n n S a =+，当1n =，12a =；当2n ≥，28(2)n n S a =+①，2118(2)n n S a --=+②，①-②可得，2211844n n n n n a a a a a --=+--，2211440n n n n a a a a -----=，2211440(0)n n n n n a a a a a -----=>，∴14(2)nn a a n --=≥， ∴{}n a 是以2为首项，公差为4的等差数列， ∴2(1)442n a n n =+-⨯=-. （2）411(42)(42)4242n b n n n n ==--+-+，111111266104242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭，11242n T n =-+， 20n m T <，1120201024242m n n ⎛⎫>⨯-=- ⎪++⎝⎭，∵10101021n -<+， ∴10m ≥.∴m 的最小最整数为10. 【点睛】此题考查利用数列的递推式求通项公式，考查裂项相消法，考查计算能力，属于基础题 22．（1）()f x 的零点是ππ2x k =+或5ππ6x k =+()k Z ∈；（2）[)51,00,2⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【分析】(1)求出()f x 的具体表达式，令()0f x =即可求出函数的零点.(2)分0m >，0m <两种情况进行讨论，分别求出函数的取值范围，结合()34f x -≤≤恒成立可得关于实数m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由2m =⇒()π2cos 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =， 则π1cos 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π2π22π33x k -=+或π4π22π33x k -=+，()k Z ∈， 解得ππ2x k =+或⇒5ππ6x k =+()k Z ∈， ∴()f x 的零点是ππ2x k =+或5ππ6x k =+()k Z ∈. （2）由π02x ≤≤可得ππ2π2333x -≤-≤，所以1πcos 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，（1）当0m >时，易得()1212mf x m -≤≤-，由()34f x -≤≤恒成立可得， ()()min max 34f x fx ⎧≥-⎪⎨≤⎪⎩，即1322140mm m ⎧-≥-⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎩，解得502<≤m ，（2）当0m <时，可得()2112mm f x -≤≤-，由()34f x -≤≤恒成立可得 ()()min max 34f x fx ⎧≥-⎪⎨≤⎪⎩，即213142m m m -≥-⎧⎪⎪-≤⎨⎪<⎪⎩，解得10m -≤<，综上可得，m 的取值范围是[)51,00,2⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查了函数零点的求解，考查了三角函数最值的求解.本题的易错点是第二问中没对m 进行讨论.。

高新部高二开学考试数学试题一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1. 函数在，)上的大致图象依次是下图中的( )A. ①②③④B. ②①③④C. ①②④③D. ②①④③【答案】C【解析】对应的图象为①，对应的图象为②，对应的图象为④，对应的图象为③.故选C.2. 在同一坐标系中，曲线与的图象的交点是( )A. B.C. D. (kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线与的图象，观察图形可知选项B正确，故选B.3. 关于函数，下列说法正确的是( )A. 是周期函数，周期为πB. 关于直线对称C. 在上的最大值为D. 在上是单调递增的【答案】D【解析】.4. 函数x的最小值、最大值分别是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故函数的最小值为，最大值为 .故选A.5. 函数的最小值和最大值分别为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】2. ∴当时，，当时，，故选C.6. 的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】 .故选B.7. 使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，所以＝，所以，排除A和D；因为在区间]上为减函数，又，所以为奇数，故选C.【点睛】本题的关键步骤有：利用辅助角公式化简表达式；根据奇函数的特征求得＝.8. 若α是锐角，且)＝，则的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】是锐角，∴，又)，∴sin(x＋)，∴sinα＝sin[(α＋)－])).故选A.9. 的大小关系是( )A. cos 1＞cos 2＞cos 3B. cos 1＞cos 3＞cos 2C. cos 3＞cos 2＞cos 1D. cos 2＞cos 1＞cos 3【答案】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，故选A.10. 已知角的终边上一点)，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】角的终边上一点)，则，则.故选A.11. 化简式子＋＋的结果为( )A. 2(1＋cos 1－sin 1)B. 2(1＋sin 1－cos 1)C. 2D. 2(sin 1＋cos 1－1)【答案】C【解析】＋＋＝＋＋.【点睛】解决此类问题的要领有：被开方式化简成完全平方；熟练运用公式；结合三角函数值判定的符号，再去绝对值.12. 如图是函数)的图象，那么( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】由点在图象上，，，此时.又点在的图象上，且该点是“五点”中的第五个点，，∴2π，∴，综上，有，故选C.【点睛】解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按顺序求解）.2、排除法（抓住部分特征进行排除）.分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13. ________.【答案】－【解析】∵，∴原式.故答案为14. ________.【答案】1－【解析】原式··.故答案为1－15. ________.【答案】【解析】∵,∴，∴原式.故答案为16. 化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.三、解答题(共6小题,17.10分。

湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第二次单元测试试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，则的虚部为A. 2B.C. 1D.3.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.4.已知空间三点1，，3，，5，在一条直线上，则实数k的值是A. 2B. 4C.D.5.5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种6.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.7.在平行四边形ABCD中，已知，，，若，，则A. 2B.C. 3D.8.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.若，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.10.已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是A. C的方程为B. C的离心率为C. 曲线经过C的一个焦点D. 直线与C有两个公共点11.在正方体中，P，Q分别为棱和棱的中点，则下列说法正确的是A. 平面B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形C. 平面D. 异面直线与所成的角为12.已知函数有两个零点，且，则A. B.C. D. 的值随m的增大而减小三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线的准线方程为______；14.某班从4名男生和3名女生中选出3名志愿者，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．15.二项式的二项展开式中的常数项是________．16.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足．Ⅰ若，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；Ⅱ若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18.已知函数在与处有极值．求函数的解析式；求在上的最值．19.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，，，且，O为AC中点．Ⅰ证明：平面ABC；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．20.如图，互相垂直的两条公路AM，AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求点P在射线AM上，点Q在射线AN上，且PQ过点C，其中，记三角形花园APQ的面积为S．当DQ的长度是多少时，S最小？求S的最小值．要使S不小于，则DQ的长应在什么范围内？21.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点．求椭圆C的方程；若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为，，求的值．22.已知函数．讨论的单调性；若恒成立，求a的取值范围．参考答案1-5 BADCD6-8 CBD9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ABD12.【答案】BCD13.【答案】【解析】解：抛物线的标准方程为：，所以抛物线的准线方程为：．故答案为：．直接利用抛物线方程，转化求解准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．14.【答案】30【解答】解：7人选3人共有种选法，其中全为男生有种，全为女生有种，所以既有男生又有女生有种，故答案为30．15.【答案】15解：由题意得，的展开式的通项，令，二项式展开式中的常数项为，故答案为15．16. 【答案】【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，17. 【答案】解：Ⅰ，则命题p：实数x满足，解得，即命题p：，命题q：实数x满足，解不等式得，即命题q：，，q都为真命题，，即实数x的取值范围；Ⅱ由已知，，其中，解得，是p的必要不充分条件，，解得，即实数a的取值范围．【解析】【试题解析】本题考查复合命题真假的判断，充分条件必要条件，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，逻辑推理能力，属于中档题．Ⅰ分别解出两个命题的x的取值范围，再求两个范围的公共部分；Ⅱ分别解出两个命题的x的取值范围，再由q是p的必要不充分条件，得出参数a满足的不等式，解出a的取值范围．18. 【答案】解：，函数在与处有极值，，2是的两个实数根，解得，经检验，满足题目条件，；由可得．利用，解得，2．列出表格：由表格可知：当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值．又，．所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．【解析】本题考查了利用导数研究闭区间上的连续函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．，由于函数在与处有极值，可知，2是的两个实数根，代入即可解出；由可得利用，解得，列出表格：即可得出极值与区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．19. 【答案】解：Ⅰ证明：因为，且O为AC的中点，所以．又由题意可知，平面平面ABC，平面平面，且平面，平面ABC；Ⅱ解：以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意可知，，，，，，，，，则有：．设平面的一个法向量为，则有令，得，所以．．因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．【解析】【试题解析】本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决空间角问题，正确求平面的法向量是关键，属于中档题．Ⅰ证明，利用平面平面ABC，可得平面ABC；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式求出直线与平面所成角，根据因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，可得结论．20. 【答案】解：设，则．因为，得到，所以，所以．则，当且仅当时，等号成立．故当DQ的长度是时，S最小，且S的最小值为因为，所以，解得或．故要使S不小于，DQ的取值范围是，或．【解析】本题考查将实际问题转化成数学问题的能力，属于中档题．由于得出，利用三角形的面积公式表示出面积；再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得；由S不超过，建立不等式，从而可求DQ长的取值范围．21.【答案】解：抛物线的准线方程为，由题意知．设椭圆C的方程为．则由题意可得解得故椭圆C的方程为．直线的斜率为，且不过点，可设直线．联立方程组，消去y得．又设，，故有所以，所以为定值0．【解析】本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力，属于较难题．求出抛物线的准线方程为，推出焦点，故设椭圆C的方程为，根据点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程；直线的斜率为，且不过点，设直线，联立方程组，消y，设，，利用判别式以及韦达定理，表示，推出定值．22.【答案】解：易知，，当时对任意的恒成立；当时，若，得若，得，综上，当时在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．由，得恒成立，则恒成立，令，，则令，，则，在上单调递减，又，在上，即；在上，即，在上单调递增，在上单调递减，，故，即a的取值范围为．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值，考查学生分析转化能力，运算能力．求出，分和研究的根的情况，从而得到的符号，求得单调区间及其单调性；分离参数得到恒成立，令，，利用导数研究单调性，求得最大值即可．。

娄底一中2020 ~ 2021学年第一次阶段性考试 高二数学 试题时量：120分钟 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1． “1,1x y >>” 是 “2x y +>” 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若关于x 的不等式0x b x a-≤+的解集是{|23}x x <≤，则 ( )A ．2,3a b ==B ．3,2a b ==C ．3,2a b ==-D ．2,3a b =-=3．已知x ，y 满足约束条件2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则1z x y =--的最小值为 ( )A ．3-B ．2-C ．0D ．14．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以 A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为 ( )A ．1B ．2C ．4D．6．设0m n +>，则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解是 ( )A ．x n <-或x m >B ．n x m -<<C ．x m <-或x n>D ．m x n -<<7．已知0>x ，0>y ，且3是x 3与y 3的等比中项，则134x y x y +-+的最小值是 ( )A ．2B ．22C ．4D ．328．已知关于x 的不等式23x x m -+-<有解，则实数m 的取值范围 ( )A ．1m <B ．1m ≤C ．1m >D ．1m ≥9．已知椭圆2221(02)4y x b b+=<<的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．若22||||AF BF +的最大值为5，则b 的值为 ( )A ．1B ．2C ．32D ．310．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22a e b+（其中e 为椭圆的离心率）的最小值为 ( ) A ．6B ．36C ．5D ．3511．给出下列四个结论中，正确的有 （多选） ( )A ．若命题2000R,10p x x x ∃∈++<：, 则2R,10p x x x ⌝∀∈++≥：； B ．“(3)(4)0x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件； C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；D ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题．12．动点(,)M x y 分别到两定点5,0),(5,0)-（连线的斜率的乘积为5162-，设(,)M x y 的轨迹为曲线C ，12,F F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中正确的有（多选）( ) A ．曲线C 的焦点坐标为123,0),(3,0)F F -（； B ．若1203F M F ∠=︒，则121633F MF S ∆=；C ．12F MF ∆的内切圆的面积的面积的最大值为94π；D ．设3(,2)2A ，则1MA MF +的最小值为152．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为2，最大值为8，则该椭圆的短轴长为 ． 14．命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：113x>-，若q 且p 为真，则x 的取值范围是_____．15．已知:p 2230x x --<,2:60q x ax --<，若p 是q 充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．16．已知设命题p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立；命题q ：2000,210x R ax x ∃∈+->．若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，其右焦点到直线0x y -+= 的距离为3.（1）求椭圆的方程； （2）直线1y x =+与椭圆交于P 、N 两点，求||PN ．18．(本小题满分12分) 设命题p ：方程22112y x m m+=--表示焦点在y 上的椭圆； 命题q ：实数m 满足227120(0)m am a a -+<>．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分) 已知函数224()3,()21f x xg x x x a a x =+-=-+--． （1）若24x ≤≤，求函数()f x 的最值；（2）对∀1[24]x ∈，，总∃0[24]x ∈，，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分) 如图所示，常德一花园小区根据业主要求，将一矩形花坛ABCD （其中3AB =米，2AD =米）扩建成一个更大的矩形绿化休闲区AMPN ，其中原来的矩形花坛改建成风雨休闲亭，剩下的六边形BCDNPM 区域为绿化区域．要求如下：点B 点在AM 上，点D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ．（1）要使六边形绿化区域BCDNPM 的面积大于21平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当AN 的长度为多少时，六边形绿化区域BCDNPM 的面积最小？并求出最小值．21．(本小题满分12分) 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32且经过点M (2 , 1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于,A B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值．22．(本小题满分12分) 设12,F F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左、右焦点，2；过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为42 （1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（3）在x 轴上是否存在定点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，请求出定点坐标；若不存在，请说明理由．娄底一中2020 ~ 2021学年第一次阶段性考试 高二数学 试题参 考 答 案（敬请核对后使用）1~10 ADBBB BDCDC 11．AC 12．ACD13．8 14．(,3)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞ 15．[1,5] 16．[6,)+∞17．（1）2213x y +=； （2） 2 ．18．（1）3(1,)2； （2）13[,]38．19．（1）min max ()(3)2,()(2)3f x f f x f ====； （2）[1,2]-． 20．（1）设||DN x =(0x >)米，则||(2)AN x =+米．∵||||||||DN DC AN AM =，∴3(2)||x AM x += ∴||||AMPNS AM AN =⋅=四形23(2)x x+，||||326ABCDS AB AD =⋅=⨯=四形⇒BCDNMPS =六形AMPNS -四形ABCDS 四形23(2)6x x+=-∴由BCDNMPS 六形21>⇒23(2)6x x+-21>(0x >)…………………………… 6分 ∴01x <<或4x >即||DN 的长的范围为(0,1)(4,)+∞．（2）由（1）知：BCDNMPS 六形23(2)6x x +=-236121236618x x x x x ++==++≥=(0x >)（当且仅当123(0)x x x =>即2x =时，取“=”） 此时 ||24AN x =+=米即||AN 为4米时，六边形绿化区域BCDNPM 的面积最小，为18平方米．…12分21．（1）22182y x +=； （2）(2,0)(0,2)-⋃； （3）0． 22．（1）由题意：4c e a a ⎧==⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+ 解得：22a =，21b =，21c =∴椭圆C 方程为2212x y +=． ……………………………… 3 分（2）由题意：AB 的斜率存在且不为0． 又1(1,0)F -，∴设AB ：(1)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ．则由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒2222(12)4220k x k x k +++-=∴222221222122(4)4(12)(22)04122212k k k k x x k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩∵AB 中点的横坐标为12-，∴2221212k k-=-+，⇒k＝ …………… 8 分（3）存在5(,0)4M -使得MA MB ⋅为定值．理由如下：设存在符合题意的点(,0)M t ，则：当AB 的斜率存在时，由（2）知：2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -⋅=+，所以11221212()()()()MA MB x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=-⋅-+⋅，，21212()()(1)(1)x t x t k x x =-⋅-++⋅+22221212(1)()()k x x k t x x k t =++-⋅+++22222222224(1)()()1212k k k k t k t k k-=+⋅+-⋅-++++ 222(41)212t k t k +-=++要使MA MB ⋅为定值，则41221t +-=⇒54t =-，此时MA MB ⋅=716-．当AB的斜率不存在时，则(1,,(1,A B --由5(,0)4M -得MA MB ⋅=716-．综上：存在5(,0)4M -使得MA MB ⋅为定值716-． ……………………… 12分。

湖南省娄底地区高二上学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·河南月考) 已知，则 =（）A . 2B . 1C . 2或 1D . 1或32. （2分） (2020高一下·惠山期中) 圆上到直线的距离为1的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分） (2020高一上·百色期末) 函数的最小正周期是（）A . 2πB .C . 6πD . 3π4. （2分） (2019高二上·宜春月考) 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）A . 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B . 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C . 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D . 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位5. （2分） (2019高一下·嘉定月考) 在内，使成立的x的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高三上·信阳期中) 已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）已知,则（）A . M<NB . M>NC . M=ND . 以上都有可能8. （2分） (2016高一下·华亭期中) 执行如图所示的程序框图，如果输入的N是195，则输出的P=（）A . 11B . 12C . 13D . 149. （2分） (2017高一上·乌鲁木齐期中) 已知函数满足对任意 ,都有成立,则的范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·铜仁模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 16π﹣B . 16π﹣C . 8π﹣D . 8π﹣11. （2分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·台州期中) 函数的一个零点存在的区间是（）A . （－2，－1）B . （－1，0）C . （0，1）D . （1，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若，则它的反函数是f﹣1（x）=________．14. （1分） (2020高二下·宜宾月考) 已知x､y满足约束条件 ,则的最小值为________.15. （1分） (2017高一下·衡水期末) 实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最小值为________．16. （1分） (2019高一下·安徽期中) 已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）设，其中且 = =1（1）计算的值；（2）当k为何值时，与互相垂直？18. （10分） (2020高一下·石家庄期中) 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点.如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足， .（1）求的面积；（2）求PB的长度.19. （15分） (2018高三下·滨海模拟) 如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面 .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2020高一下·哈尔滨期末) 中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，.（1）求的值；（2）若，，求△ 的面积.21. （10分）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1=0上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．22. （5分）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（|φ|≤ ）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位得到函数．f（x）= sinωx的图象．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间[ ]上的最小值和最大值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

高二数学〔理科〕试卷答案DABBB CDBDC BD3－ 8或者12－ 12+n n 133413+ 17．〔本小题满分是12分〕向量)43,(sin x a =，)1,(cos -=x b〔1〕因为b a //， 所以 43tan -=x ，……………………2分 那么581tan 1tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222-=+--=+--x x x x x x x x x ＝…………6分〔2〕由题可知：43)42sin(2241)cos (sin cos )()(++=++=⋅+=πx x x x b b a x f ，9分由πππππk x k 2234222+<+<+，Z k ∈ 得ππππk x k +<<+858 …………………………………………11分所以)(x f 的单调递减区间为)85,8(ππππk k ++，Z k ∈……………………12分。

18． 〔1〕由9)2()32(=+⋅-b a b a 得21cos =θ ………………………………4分所以向量a 与b 的夹角3πθ=； ……………………………………………6分〔23==- ……………………………………………………8分又3)(=-⋅b a a ……………………………………………………………10分 所以23323(,cos =⨯=>=-<b a a b a a所以a 与b a -的余弦值为23。

……………………………………12分19．〔1〕9)1()3(22=-+-y x ；…………6分 〔2〕51 …………12分20．1=A ，2=ω ……………………2分 6πϕ= ……………………4分)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分 对称轴方程为：26ππk x += )(Z k ∈………………7分〔写232ππk x += )(Z k ∈也可以〕 〔2〕 因为 ]67,3[62πππ∈+x …………………9分 所以]1,21[)62sin(-∈+πx …………………11分 所以)(x f 的值域为]2,1[- …………………12分21．解：〔1〕由题意可得n n a 2=，————2分 12-=n b n ，—————3分62)32(1+⋅-=+n n n S ，*N n ∈ ————————7分〔2〕先判断nn a b 的单调性，先增后减〔3≥n 时单减〕————9分 求n n a b 最大值为43，当2=n 时获得 ——————————10分 所以0<λ时有43222>+-λλk 恒成立 10->k ————————————12分22．①0<a 时，原不等式的解为),1()1,(+∞⋃-∞a②0=a 时，原不等式的解为),1(+∞③10<<a 时，原不等式的解为)1,1(a④1=a 时，原不等式的解为Φ⑤1>a 时，原不等式的解为)1,1(a。

高二第一学期入学考试数学试题创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题(每一小题5分,一共50分)△ABC 中,假设a = 2 ,23b =,︒=30A , 那么B 等于A.60B.60或者 120C.30D.30或者15055,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中,x 等于( )A.11B.12C.13D.143.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，那么这个球面的外表积为( )A.27π B.14π C.56π D.64π 4.设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列,其中a 1＝70,b 1＝30,且a 100＋b 100＝100,那么数列｛a n ＋b n ｝的前100项之和是( )A.1000B. 1100C. 100005.等比数列{}n a 的公比13q =-,那么13572468a a a a a a a a ++++++等于( ) A. 3- B. 13- C.13D.3 6.设b a >,d c >,那么以下不等式成立的是( )A.d b c a ->-B. bd ac >C.bd c a > D.c a d b +<+ 7.假如方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-,另一个大于1,那么 实数m 的取值范围是( )A.)22(，-B.(－2,0)C.(－2,1)D.(0,1)8.数列}{n a 满足)(133,011*+∈+-==N n a a a a n n n ,那么20a =( ) A. 3- B. 0 C. 3 D.23 9.当1>x 时,不等式11-+x x ≥a 恒成立,那么实数a 的取值范围是( ) A. ]2,(-∞ B. ]3,(-∞ C. ),2[∞ D. ),3[∞10.以下函数中,最小值为4的有 ( )个 ①x x y 4+= ②xx y sin 4sin +=)0(π<<x ③x x e e y -+=4 ④3log 4log 3x x y += A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题(每一小题4分,一共20分)ABC ∆中, 假设21cos ,3-==A a ,那么ABC ∆的外接圆的半径为 . 12.将27个边长为a 的小正方体拼成一个大正方体,那么外表积减少了 . {}n a 的前m 项和为30,前3m 项和为210,那么它的前2m 项和是_____.14.等比数列｛a n ｝中,a 1＋a 2=9, a 1a 2a 3 =27,那么｛a n ｝的前n 项和S n = _______ .15.假设不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-,那么b a +的值是________. 三、解答题(一共6题，计75分)16.(本小题满分是12分)集合A={x|22a x -≤0},B={x|0432>--x x },且A B = R ,求正实数a 的 取值范围.17.(本小题满分是12分) 右图是某零件的三视图，根据图中数据计算该零件的外表积和体积.18.(本小题满分是12分)数列｛a n ｝的前n 项和n n S n 482-=. (1)求数列｛a n ｝的通项公式;(2)求n S 的最小值.19.(本小题满分是12分)在ABC ∆中, ππ<<B 2,611sin ,3,5===C BC AB . (1)求A sin 的值；(2)求ABC ∆的面积.20. (本小题满分是13分)解关于x 的不等式()()011>-+mx x ,)(R m ∈21. (本小题满分是14分) 设数列}{n a 的前项n 和为n S ,假设对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=.(1)设3+=n n a b ,求证：数列}{n b 是等比数列,并求出}{n a 的通项公式.(2)求数列}{n na 的前n 项和.。

高二数学上学期段考试题一、选择题（5分×12）1. 已知集合{}21A x x=>，()(){}210B x x x =+->，则A ∩B 等于（ ）A ．(0, 2) B. (1, 2) C. (-2, 2) D. (-∞, -2)∪(0, +∞)2. 已知复数z 的共轭复数112i z i -=+，则复数z 的虚部是（ ）A ．35 B. 35i C. 35- D. 35i -3. 函数2()(1)3f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3⎤-∞⎥⎦ B.)1,3⎡+∞⎢⎣C. (10,3⎤⎥⎦ D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 已知点A (2, -1)，点P (x , y )满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，O 为坐标原点，那么OA OP⋅的最小值是（ ）A ．11 B. 0 C. -1 D. -55. 在区间[-3, 3]上随机取一个数x ，则使得()lg 2lg 4x +≤成立的概率为（ ） A ．67 B. 47 C. 56 D. 236. 函数1()log 1a x f x x x +=+（a >1）的图像大致是（ ）A. B. C. D.7. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图像如右图所示，则函数()4f x π-图像的一个对称中心是（ ）A ．(),012π- B. ()7,012π C. (),03π- D. ()3,04π8. 已知函数()sin 3cos f x a x x =的图象的一条对称轴为直线56x π=，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．0 B. 3π C. 23π D. 43πO xy3π212π-29. 设函数()()4cos f x x ωϕ=+对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π-=+，若函数()()2sin 2g x x ωϕ=+-，则()6g π的值是（ ）A ．0 B. -1 C. -2 D. -3 10. 在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的取值范围是（ ） A．B. (C. (D. (11. 已知e 1, e 2是单位向量，且e 1·e 2 =0，向量a 与e 1, e 2共面，|a - e 1 - e 2 | =1，则数量积a ·(a - 2e 1 - 2e 2) =（ ）A ．定值-1 B. 定值1 C. 最大值1，最小值-1 D. 最大值0，最小值11 12. 若函数()223x x f x m m -=+⋅+-有两个不同的零点12,x x ，且12121x x x x +<+，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()0,1 B. ()20,3 C. ()2,13 D. ()9,+∞二、填空题（5分×4）13. 已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角是120°，c = 2a + 3b , d = k a - 4b 且c 与d 垂直，k 的值为______.14. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为_______15.化简结果：=___________16. 已知0AB AC ⋅=，1AB AC ⋅=，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值为________三、解答题（共70分）17.（10分）如图，在△ABC 中，D为BC 的中点，AD 长为3，ABC S =△，1cos 4ADC ∠=-.（1）求AC 的长；（2）求sin ∠B .18.（12分）已知 |a |2=，|b | = 1，a 与b 的夹角为45°. （1）求a 在b 方向上的投影； （2）求|a +2b |的值；（3）若向量(2a -b )与(a -3b )的夹角是锐角，求实数的取值范围.19.（12分）已知函数3()log 3m x f x x -=+（m >0且m ≠1）（1）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性；（2）若01m <<，是否存在0βα>>，使()f x 在[],αβ上的值域为log (1),log (1)m m m m βα--⎡⎤⎣⎦？若存在，求出此时m 的取值范围；若不存在，说明理由.20.（12分）已知向量a ()33cos ,sin 22x x =，b ()cos ,sin 22x x =-，且,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求a ·b 和|a +b |；（2）若函数()f x =a ·b +|a +b | 有零点，求实数λ的取值范围.ABC21.（12分）已知函数()()2cos cos 3f x x x π=-，()0,x π∈（1）求()f x 的单调增区间；（2）函数()()g x f x a =-有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）A 为锐角△ABC 的内角，且()1f A =，点M 在BC 上，AM 为∠BAC 的角平分线，AM =2，求11BM CM-的取值范围.22.（12分）已知函数1()1x f x x -=+，()2()2x g x f =.（1）判断函数3()()g x F x x =的奇偶性，并说明理由； （2）若方程()10g x k -+=有实数解，求实数k 的取值范围.（3）若不等式()12f ax >在(),1-∞-上恒成立，求实数a 的取值范围.数学答案一、选择题 BADDD ABCCC AB二、填空题 16 19 2sin2 1311. 设1(1,0)e =，1(0,1)e =，(,)a x y =，则12(1,1)1a e e x y --=--=，∴22(1)(1)1x y -+-=，则()1222(,)(2,2)a a e e x y x y ⋅--=⋅--22(2)(2)(1)(1)21x x y y x y =-+-=-+--=-. 12. 不妨设()f x 的两个零点12x x <，由12121x x x x +<+，即()()12110x x --<，∴121x x <<. 令()0f x =，得：4(3)20x x m m +-+=，令2x t =，则方程2(3)0t m t m +-+=有两根12,t t ，且1202t t <<<，记2()(3)g t t m t m =+-+，则有：{(0)0(2)320g m g m =>=-<，203m ⇒<<.三、解答题17.（1）由1cos 4ADC ∠=-，∴sin ADC ∠…… …… …… 1分∵ 1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅∠△ 12ABC S =△， …… …… …… 2分即3DC ⋅=DC =2. …… …… …… 3分 在△ADC 中：2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠()22132232164=+-⋅⋅⋅-=，∴AC =4. …… …… …… 5分 （2）在△ADB 中：1cos cos 4ADB ADC ∠=-∠=，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠22132232104=+-⋅⋅⋅=，∴AB = …… …… …… 7分由sin sin AD AB B ADB =∠∠，∴3sin B ∠sin B ∠=…… …… …… 10分18.（1）a 在b 方向上的投影cos ,2cos451a a b <>=⋅︒=； …… …… …… 4分 （2）21cos451a b ⋅=⋅⋅︒=，()222a b a b+=+2244a b a b =++⋅24410=++=；…… …… 8分（3）()2a b λ-与()3a b λ-的夹角是锐角，则有()()230a b a b λλ-⋅->，且()2a b λ-与()3a b λ-不共线.而()()23a b a b λλ-⋅-=2222263760a a b a b b λλλλλ-⋅-⋅+=-->16λ⇒<<；……10分 ()2a b λ-与()3a b λ-不共线，则有：23λλ-≠-，即26λ≠，λ⇒≠…… …… 11分综上所述：(()6,6λ∈. …… …… ……12分19.（1）由303x x ->+，解得：3x <-或3x >， …… …… …… 1分故()f x 的定义域为：()(),33,-∞-+∞； …… …… …… 2分∵36133x x x -=-++是(),3-∞-及()3,+∞上的增函数. …… …… …… 4分 ①若1m >，3()log 3m x f x x -=+是(),3-∞-及()3,+∞上的增函数；②若01m <<，3()log 3m x f x x -=+是(),3-∞-及()3,+∞上的减函数. …… …… 6分（2）显然3βα>>，由（1）知01m <<时，()f x 在()3,+∞单调递减，据题意则有：3()log log (1)3m m f m αααα-==-+，3()log log (1)3m m f m ββββ-==-+， …… …… 7分即,αβ是方程3(1)3x m x x -=-+在()3,+∞上的两不同实根， …… …… …… 8分 方程变形为2(21)330mx m x m +-+-=，设2()(21)33g x mx m x m =+-+-，则()g x 在()3,+∞有两个不同的零点，则有：201(21)4(33)01232(3)120m m m m m mg m <<⎧⎪∆=--->⎪⎨->⎪⎪=>⎩， …… …… …… 10分0m ⇒<<故所求m存在，m ⎛∈ ⎝⎭. …… …… …… 12分20.（1）33cos cos sin sin 2222x x x x a b ⋅=-()3cos cos 222x x x =+=. ()2a b a b+=+222a b ab ++⋅2cos 2cos x x ====-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）()f x a b a b λ=⋅++cos22cos x x λ=-，令[]cos 1,0t x =∈-，则2cos221x t =-，2()221f x t t λ=-⋅-，[]1,0t ∈-，显然0t =时，()0f x ≠. 令()0f x =，则12t tλ=-，[)1,0t ∈-，显然12t t -是[)1,0-上的增函数，12t t -在[)1,0-上的值域为)1,2⎡-+∞⎢⎣，故)1,2λ⎡∈-+∞⎢⎣.21.（1）()()2cos cos 3f x x x π=-12cos cos2x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cossin x x x =()11cos 222x x =++()1sin 226x π=++. …… …… …… 1分由22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），即,36x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）时，()f x 单调递增， …… …… …… 3分 又()f x 的定义域为()0,π，故()f x 的递增区间为(0,6π⎤⎥⎦和)2,3ππ⎡⎢⎣； …… …… 4分（2）令()0g x =，则()1sin 226a x π-=+，则该方程在()0,π上有2个根. 又()0,x π∈时，()132,666x πππ+∈，则有：1112a -<-<且1122a -≠，解得：1322a -<<且1a ≠，故a 的取值范围是()()13,11,22-； …… …… …… 8分（3）由()1()sin 2126f A A π=++=，∴()1sin 262A π+=，又()2,2666A ππππ+∈+，∴5266A ππ+=，∴3A π=. …… …… …… 9分 ∵AM 为∠BAC 的角平分线，故6BAM CAM π∠=∠=，又AM =2，在△ABM 中，2sin sin 6BM B π=，∴1sin BM B =，同理：1sin CM C=， …… …… …… 10分 ∴11BM CM -()sin sin sin sin 3B C B B π=-=-+()1sin sin 23B B B π==-，∵锐角△ABC ，∴2B π<，且32A B B ππ+=+>，∴(),62B ππ∈，则(),366B πππ-∈-，则()()11sin ,322B π-∈-，即11BM CM-的取值范围是()11,22-. …… …… …… 12分22.（1）222141()2141x x x x g x --==++，4114()()4114x xx x g x g x ----===-++. 又3()()g x F x x =，3()()()g x F x x --=-33()()()g x g x F x x x-===-，故()F x 是偶函数； …… …… …… 4分 （2）由()10g x k -+=，故412()1124141xx x k g x -=+=+=-++，∵()411,x +∈+∞，则()220,241x-∈+，若原方程有解，则()0,2k ∈； …… …… …… 8分（3）法一：1()2f x >的解集为：()(),13,-∞-+∞， …… …… …… 9分则()12f ax >时，1ax <-或3ax >， …… …… …… 10分又 (),1x ∈-∞-，即1a x >-或3a x <对于(),1x ∈-∞-恒成立，∴1a ≥或3a ≤-. …… 12分法二：由()1112ax f ax ax -=>+，即302(1)ax ax ->+，显然0a ≠，上述不等式等价于()()310x x a a -+>. …… …… …… 9分①当0a >时，原不等式的解集为()()13,,aa -∞-+∞，原不等式在(),1-∞-上恒成立，则有：11a-≤-，即1a ≥； …… …… …… 10分②当0a <时，原不等式的解集为()()31,,aa -∞-+∞，则有：31a-≤，即3a ≤-. …… 11分 综上所述：a 的取值范围是(][)31,-∞-+∞. …… …… …… 12分1、在最软入的时候，你会想起谁。

全卷100分2020年全国高中月考试卷湖南省2020年上学期娄底一中高二数学开学考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为A. 10B. 9C. 8D. 72.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是A. 45B. 50C. 55D. 603.若函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则A. B.C. D.4.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 6B. 7C. 11D. 95.在中，D是AB边上靠近点A的三等分点，E是CD的中点，则A. B. C. D.6. 已知在中，，，，那么解此三角形可得A. 一解B. 两解C. 无解D. 解的个数不确定7. 已知角的终边上有一点，则A. B. C. D. 8. 已知，，，的平均数为10，标准差为2，则，，，的平均数和标准差分别为A. 19和2B. 19和3C. 19和4D. 19和89. 若是等差数列的前n 项和，其首项，，，则使成立的最大自然数n 是A. 198B. 199C. 200D. 20110. 在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角B 的值为A. B. C. 或 D. 或11. 已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 最小正周期为D. 在上是增函数12. 在数列中，，且，通过求，，，猜想的表达式为A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设平面向量，，，若，则实数__________ ．14. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为，那么表中m 的值为__________． x 3 4 5 6 y m4 15. tan(),tan(),tan()5444αββα+=-=+=已知则__________ 16. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.（10）已知向量，满足，，向量，．若与的夹角为，求的值；若，求向量与的夹角的值．18.（12）已知求的解析式及其最小正周期；求的单调增区间．19.（12）设为等差数列的前n项和．已知，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．（12）中国诗词大会是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数单位：千人如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．若将被污损的数字视为中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间单位：小时与年龄单位：岁，并制作了对照表如下表所示：年龄x20 30 40 50每周学习诗词的平均时间y 3 4由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：，21.（12）.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a3c，b7，求ABC的面积；（2）若sin A3C=22，求C.22.（12）已知数列满足，．证明：数列为等差数列；求数列的前n项之和．。

数学试题时量：120分钟总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1.不等式的解集是( )A. B.C. D. 或2.设,则( )A. M NB. M > NC. M < ND. M N3.已知等差数列中,,则前5项和为( )A. 5B. 6C. 15D. 304.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则5.已知等比数列中,,,则( )A. 3B. 15C. 48D. 636.已知方程表示椭圆,则k的取值范围为( )A. 且B. 且C. D.7.在中,,则的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形8.已知中,,, 则数列的通项公式是( )A. B. C. D.9.当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.已知等差数列的前n 项和为，满足，且01 a ,则n S 中最大的是( ) A.B.C.D.11.设、是椭圆E ：的左、右焦点 , P 为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则E 的离心率为( )A. B. C. D.12.如果不等式x 2＜|x ﹣1|+a 的解集是区间(﹣3，3）的子集，则实数a 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，共20分） 13.在等比数列中,已知,则___ ___14.已知 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 若 ,, 则． 15.若关于x 的不等式的解集是, 则_____ _．16.已知数列,定义使为整数的数k叫做企盼数,则区间内所有的企盼数的和是三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）17.(本题10分)已知椭圆C中心在原点,焦点为,,且离心率．求椭圆C的标准方程；过的直线l交椭圆C于A,B两点,求的周长．18.(本题12分)已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列．1求的通项公式；2求．19.（本题12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角C；（2）若,的面积为，求的周长．20.（本题12分）某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池,其容积为, 深为3m, 如果池底造价为每平方米150元,池壁每平方米造价为120元, 怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？21.（本题12分）n≥时，已知数列{}n a中, 且当2.(1) 求数列的通项公式；(2) 若,求数列的前n项和；22.（本题12分）已知函数．求不等式的解集；若不等式的解集非空,求m的取值范围．参考答案一.选择题（本大题12小题，共60分）二.填空题（本大题4小题，共20分） 13、_ 4 _ 14、33 15、 2 16、 2026 三. 解答题（本大题6小题，共70分） 17.(本题10分)已知椭圆C 中心在原点,焦点为,,且离心率．求椭圆C 的标准方程； 过的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,求的周长解析：因为,,,所以,得到又椭圆的焦点在x 轴上,所以求椭圆的标准方程为．因为的直线l 交椭圆于两点,根据椭圆的定义得的周长等于．18.(本题12分) 已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列．1求的通项公式；题号01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 答案DACBCBACDBCA2求．解析：设等差数列的公差为,由题意,,成等比数列,,,化为,,,解得． ．由可得,可知此数列是以25为首项,为公差的等差数列．．19.(本题12分)的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（1）求角C ； （2）若,的面积为，求的周长解析:(1)由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=，所以C 3π=． （2）由已知，133sin C 2ab =．又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=． 所以C ∆AB 的周长为57+．20.(本题12分)某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池,其容积为, 深为3m , 如果池 底造价为每平方米150元,池壁每平方米造价为120元, 怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？解析:,设长方体的长宽分别为x ,y , 则,可得． 水池总造价元当且仅当,时取等号．设计水池底面为边长为20m 的正方形能使总造价最低,最低造价是297600元．21.(本题12分) 已知数列{}n a 中, 且当2n ≥时，.(1) 求数列的通项公式；(2) 若,求数列的前n 项和；解析: （1）由题可知数列是个等比数列, 公比q=2, 所以2nn a =（2）所以则两式相减得可得 1(23)26n n S n +=-+22.(本题12分) 已知函数．求不等式的解集；若不等式的解集非空,求m 的取值范围．解析: ,,当时,,解得；当时,恒成立,故；综上,不等式的解集为．原式等价于存在使得成立,即, 设． 由知,当时,,其开口向下,对称轴方程为,；当时,,其开口向下,对称轴方程为,；当时,,其开口向下,对称轴方程为,；综上,,的取值范围为。

湖南省娄底地区高二上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·南充期末) 在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·浙江月考) 双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·济南期末) 抛物线y=﹣ x2的准线方程是（）A .B . y=2C .D . y=﹣25. （2分） (2018高二上·潍坊月考) 抛物线的准线方程是A .B .C .D .6. （2分）(2017·池州模拟) 已知抛物线C1：y2=8ax（a＞0），直线l倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：﹣ =1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（）A . 2B .C .D . 17. （2分）椭圆的焦点坐标是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·宝鸡模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·安庆期末) 下列命题中正确的是（）A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B . “a＞0，b＞0”是“ ≥2”的充分必要条件C . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D . 命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥010. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条11. （2分） (2015高二上·莆田期末) 已知椭圆 +y2=1上一动点P，F为其右焦点，椭圆内一定点A（0，），则|AP|+ |AF|的最小值（）A .B . 1C .D . 212. （2分）(2017·唐山模拟) 抛物线C：y2=4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·宣城模拟) 已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且直线的斜率，则的面积为________．14. （1分） (2018高二上·武邑月考) 设椭圆的左、右焦点分别为，M为椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则________15. （1分）(2018·凯里模拟) 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于( 、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为________.16. （1分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为________ ．三、解答题 (共4题；共30分)17. （5分）点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．18. （10分） (2018高二上·吉林期中) 已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．19. （5分）己知抛物线y=x2+m的顶点M到直线l:（t为参数）的距离为1（Ⅰ）求m：（Ⅱ）若直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求|S△MAN﹣S△MBN|的值．20. （10分）(2014·山东理) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．（1）求C的方程；（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共30分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、。