李雅普诺夫v函数的构建

武夷学院学报JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY第40卷第3期2021年3月Vol.40 No.3Mar. 2021常微分方程中李雅普诺夫函数构造方法陆求赐】，张宋传2,王学彬2(1.武夷学院人文与教师教育学院，福建武夷山354300； 2.武夷学院数计学院，福建武夷山354300)扌商 要：李雅普诺夫直接法,就是在不求方程组解的情况下，构造一个李雅普诺夫函数,通过微分方程组所计算岀来的全导数的符号性质，来判断微分方程组零解的稳定性，但至今仍没有一种统一的方法来构造李雅普诺夫函数。

通过 对一个含参数例子的分析,介绍几种常见且适用的李雅普诺夫函数的构造方法:首次积分法、能量函数法、分离变量法、待定系数法和二次型矩阵法等。

关键词：常微分方程;李雅普诺夫函数;零解的稳定性;构造方法中图分类号：O175.26 文献标识码:A 考虑如下自治的微分方程组牯(x )(1)这里X =(x 1,x 2，…x ”)表示n ("逸2)维向量,i =1,2，…,n ,假设f (0)=0(0表示向量),且f (x )在某邻域G ：||x ||臆A (A 为正常数)内有连续的偏导数，从而方程组(1)的由其初值条件x (t °)=x 。

所决定的解在邻域G 内存在且唯一°李雅普诺夫第二方法:通过方程组(1)来构造一个特殊的函数V (x ),并假设V (x )关于所有变元的偏导数存在且连续，将V (x )对变量t 求导，并将方程组(1)代入得：d V § dV dx , § 坠卩 f(2)dt =移 dx, dt=移 dx ,)这个式(2)就是函数V (x )沿方程组(1)求得的全导数，现通过式(2)的符号来判定方程组(1)零解的稳定 性,这就是李雅普诺夫第二方法的思路,这个函数收稿日期：2020-07-21基金项目：武夷学院校科研基金项目(XL201408)；福建省教育厅科技项目(JA15512、JAT160519)；福建省自然科学基金(2016J01682)；高级引进人才 科研启动基金(YJ201802)资助°作者简介:陆求赐(1975-)，男,汉族,副教授，主要从事基础数学教学和微分方程的研究°文章编号：1674-2109(2021)03-0016-05V (x )就称为李雅普诺夫函数，简称V 函数［1-2］°李雅普诺夫函数作为常微分方程的重要内容之一,学好它可以为进入常微分方程领域的研究打好基础。

带系数的李雅普诺夫函数带系数的李雅普诺夫函数在动力系统理论中扮演着重要的角色。

它是一种能够刻画动力系统稳定性与不稳定性的函数，可以用来分析非线性系统的演化行为。

本文将详细介绍带系数的李雅普诺夫函数的概念、性质和应用，以及它在实际问题中的指导意义。

首先，我们来了解一下李雅普诺夫函数的基本概念。

带系数的李雅普诺夫函数是对一般形式的李雅普诺夫函数进行了扩展，引入了系数的概念。

它的定义形式如下：$$V(x,t)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(t)v_i(x)$$其中，$x$是系统状态，$t$是时间，$\alpha_i(t)$是随时间变化的系数，$v_i(x)$是一组与状态变量$x$有关的函数。

带系数的李雅普诺夫函数可以用来描述系统在不同状态下的稳定性。

带系数的李雅普诺夫函数具有一些重要的性质。

首先，它是非负的，即$V(x,t)\geq0$，且仅在$x$达到系统平衡点时取到零值。

其次，它的导数对时间的变化是非正的，即$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq0$，这意味着李雅普诺夫函数的值在系统演化过程中会趋于稳定。

最后，带系数的李雅普诺夫函数还满足一个重要的性质，即对于任意非负的常数$\kappa$，存在一个常数$\tau$使得$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq-\kappa V(x,t)$，这意味着系统在某个时间尺度上会以指数速度趋于稳定。

带系数的李雅普诺夫函数在实际问题中具有广泛的应用。

首先，它可以用来判断系统的稳定性。

通过计算带系数的李雅普诺夫函数及其导数，可以判断系统是否会收敛到某个平衡点或周期轨道。

其次，带系数的李雅普诺夫函数还可以用来设计稳定控制策略。

通过调整系数$\alpha_i(t)$，可以使系统的稳定性得到改善，从而实现对非线性系统的控制。

此外，带系数的李雅普诺夫函数还可以应用于信号处理、机器学习等领域，用于分析和识别复杂的动态模式。

总之，带系数的李雅普诺夫函数是一种重要的非线性分析工具，它能够深入理解系统的演化行为和稳定性特性。

李雅普诺夫函数的构造李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，在许多科学领域中得到了广泛的应用。

李雅普诺夫函数的构造是一个复杂的过程，很难有一个统一的标准。

本文将从几个方面来讨论李雅普诺夫函数的构造，以期更好地了解它的构造原理。

一、李雅普诺夫函数的基本定义李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，它具有单调性和可导性。

一般来说，李雅普诺夫函数可以用一个多项式的形式来表示，它可以用来描述一类特定的物理系统的性质。

二、李雅普诺夫函数的构造李雅普诺夫函数的构造包括三个步骤：确定函数的参数，构造函数，以及函数的求解。

首先，要确定李雅普诺夫函数的参数，这些参数包括函数的维数、函数的拟合精度和函数的最大值。

其次，通过这些参数，可以使用数学工具，如微积分和多项式来构造李雅普诺夫函数。

最后，可以使用数值计算方法来求解李雅普诺夫函数。

三、李雅普诺夫函数的应用李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，如物理学、数学以及工程领域。

在物理学中，李雅普诺夫函数可以用来模拟复杂的物理现象，如重力场、磁场和电场等。

在数学中，李雅普诺夫函数可以用来求解复杂的微分方程，以及计算多元函数的极值。

在工程领域，李雅普诺夫函数可以用来求解复杂的工程问题，如机械制造、汽车制造和建筑设计等。

四、李雅普诺夫函数的研究由于李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，因此研究李雅普诺夫函数也受到了越来越多的关注。

目前，研究的重点主要集中在函数的构造、函数的求解和函数的应用等方面。

在函数的构造方面，研究者们正在努力探索更加简单、高效的构造方法。

在函数的求解方面，研究者们正在开发更加高效的求解方法，以满足不同应用场景的需求。

在函数的应用方面，研究者们正在研究如何应用李雅普诺夫函数来解决更加复杂的问题。

五、结论李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，它具有单调性和可导性。

李雅普诺夫函数的构造是一个复杂的过程，它包括确定函数的参数、构造函数和函数的求解三个步骤。

1 李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。

因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。

自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。

无外部输入作用时的系统称为自治系统。

设系统状态方程为),(t x f x= ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。

故有下式成立0),(=t x f e 。

由此式在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x= 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。

解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。

当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。

如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。

换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。

大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。

对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。

在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。

对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。

2. 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法又称间接法。

它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。

对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。

对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。

线性定常系统Ax x≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ李雅普诺夫第二法又称直接法。

运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。

求解系统的Lyapunov指数谱程序Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。

任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。

李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。

一 chen系统的Lyapunov指数谱function dX = Chen2(t,X)% Chen吸引子，用来计算Lyapunov指数% dx/dt=a*(y-x)% dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z% dz/dt=x*y-b*zglobal a; % 变量不放入参数表中global b;global c;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化dX = zeros(12,1);% Lorenz吸引子dX(1) = a*(y-x);dX(2) = (c-a)*x+c*y-x*z;dX(3) = x*y-b*z;% Lorenz吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [-a a 0;c-a-z c -x;y x -b];dX(4:12) = Jaco*Y;Z1=[];Z2=[];Z3=[];global a;global b;global c;b=3;c=28;for a=linspace(32,40,100);y=[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1];lp=0;for k=1:200[T,Y] = ode45('Chen2', 1, y);y = Y(size(Y,1),:);y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];y0=GS(y0);mod(1)=norm(y0(:,1));mod(2)=norm(y0(:,2));mod(3)=norm(y0(:,3));lp = lp+log(abs(mod));y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1);y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2);y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3);y(4:12) = y0';endlp=lp/200;Z1=[Z1 lp(1)];Z2=[Z2 lp(2)];Z3=[Z3 lp(3)];enda=linspace(32,40,100);plot(a,Z1,'-',a,Z2,'-',a,Z3,'-');title('Lyapunov exponents of Chen')xlabel('b=3,c=28,parameter a'),ylabel('lyapunov exponents') grid on以上是三个变量的Lyapunov指数谱，下面是最大的Lyapunov指数谱：Z=[];d0=1e-8;for a=linspace(32,40,80)lsum=0;x=1;y=1;z=1;x1=1;y1=1;z1=1+d0;for i=1:100[T1,Y1]=ode45('Chen',1,[x;y;z;a;3;28]);[T2,Y2]=ode45('Chen',1,[x1;y1;z1;a;3;28]);n1=length(Y1);n2=length(Y2);x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3);x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3);d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);y1=y+(d0/d1)*(y1-y);z1=z+(d0/d1)*(z1-z);if i>50lsum=lsum+log(d1/d0);endendZ=[Z lsum/(i-50)];enda=linspace(32,40,80);plot(a,Z,'-');title('Chen 系统最大lyapunov指数')xlabel('parameter a'),ylabel('lyapunov exponents')二模拟 Lorenz 系统最大lyapunov指数谱function ly=jose_ly(b,k)% the largest lyapunov exponent of josephson% k 迭代步数，b 参数% 方程如下:% θ''+G*θ'+sinθ=I+A*sin(ωt)+αsin(βωt) % 变化：% dx=y% dy=-G*y-sin(x)+I+A*sin(w*t)+a*sin(b*w*t) %% Example:% ly=jose_ly(0,800)%% Author:LDYU%Author'semail:*******************.cn%d0=1e-8;ly=0;lsum=0;x=[0;2;b];x1=[d0;2;b];for t=1:k[T1,Y1]=ode45('Josephon',[t-1,t],x);[T2,Y2]=ode45('Josephon',[t-1,t],x1);x=Y1(end,:);x1=Y2(end,:);d1=norm(x-x1);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);lsum=lsum+log(d1/d0);endly=lsum/k;。

李亚普诺夫函数控制律李亚普诺夫函数控制律（Lyapunov function control law）是一种重要的控制策略，广泛应用于系统稳定性分析和控制设计中。

其基本原理是通过构造一个李亚普诺夫函数来评估系统的稳定性，并设计相应的控制策略使系统稳定。

本文将详细介绍李亚普诺夫函数控制律的概念、原理以及在实际控制系统中的应用。

一、李亚普诺夫函数的概念及特点李亚普诺夫函数是一种用来描述系统稳定性的数学函数。

它通常是系统状态的某种非负函数，并满足一系列特定的性质。

通过选择适当的李亚普诺夫函数，可以将系统的稳定性问题转化为函数的极值问题，从而简化了系统分析的复杂性。

李亚普诺夫函数具有以下几个重要特点：1. 非负性：李亚普诺夫函数的值始终为非负数，且仅在系统稳定时取得最小值。

2. 单调性：随着时间的增长，李亚普诺夫函数的值逐渐减小或保持不变。

3. 连续性：在系统状态空间内，李亚普诺夫函数是一个连续函数。

李亚普诺夫函数控制律是一种基于李亚普诺夫函数的控制策略。

其基本原理是通过构造合适的李亚普诺夫函数及相应的控制律，使系统的李亚普诺夫函数随时间递减并最终趋于零，从而实现系统的稳定控制。

具体而言，李亚普诺夫函数控制律的设计包括以下几个步骤：1. 李亚普诺夫函数的选择：根据系统的性质和要求，选择合适的李亚普诺夫函数，通常选择的函数形式为正定函数或半正定函数。

2. 李亚普诺夫函数的导数计算：计算李亚普诺夫函数的导数，得到描述系统状态变化的信息。

3. 控制律设计：根据李亚普诺夫函数的导数及系统的动态方程，设计相应的控制律，使得系统的李亚普诺夫函数在时间上递减。

4. 稳定性分析：通过对李亚普诺夫函数及其导数的分析，判断系统的稳定性，并对控制律进行调整和优化。

李亚普诺夫函数控制律在控制系统设计中具有广泛的应用。

它可以应用于不同类型的动态系统，如机械系统、电气系统、化学过程等。

具体的应用包括但不限于以下几个方面：1. 系统稳定性分析：通过构造适当的李亚普诺夫函数，可以对系统的稳定性进行分析，判断系统是否稳定。

lyapunov函数定义Lyapunov函数是由俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李亚普诺夫（Ale某andr Mikhailovich Lyapunov）于1892年提出的一个概念，它是用来描述非线性动力系统稳定性的一种数学工具。

李亚普诺夫函数（Lyapunov function）可以判断系统的稳定性和不稳定性，它是随时间变化的实数函数，具有一定的正定性和递减性。

李亚普诺夫函数的定义如下：对于一个非线性动力系统，如果存在一个实值函数V(某)，使得满足下面两个条件，那么V(某)就是系统的一个Lyapunov函数：1.V(某)是正定的：对于所有的某≠0，V(某)>0；2. V(某)是递减的：对于所有的某，V(某)的导数满足dV(某)/dt≤0。

其中，某是系统的状态变量，t是时间。

根据Lyapunov函数的定义，当一个系统的Lyapunov函数存在时，可以根据Lyapunov的稳定性定理来判断系统的稳定性：1.当V(某)是正定的，即V(某)>0，只有在某=0时，V(某)=0，这表明系统的平衡态某=0是一个稳定平衡态。

2. 当V(某)是严格递减的，即dV(某)/dt<0，对于所有的某≠0，这表明系统的平衡态某=0是一个渐进稳定的平衡态。

根据上述推论，当一个系统的Lyapunov函数在其状态空间内是正定的且严格递减的时候，系统的平衡态是稳定的。

可以通过选择合适的Lyapunov函数来证明系统的稳定性。

Lyapunov函数的使用使我们能够更方便地分析非线性系统的稳定性，而不需要求解系统的精确解。

它被广泛应用于控制理论、动力系统、优化以及其他多个领域。

需要注意的是，Lyapunov函数只能判断系统的稳定性，不能给出收敛到平衡态时的速度快慢。

有时候，系统可能在一个Lyapunov函数下是渐进稳定的，而在另一个Lyapunov函数下是指数稳定的。

因此，在实际应用中，选择合适的Lyapunov函数和判断系统稳定性的条件是非常重要的。

常微分方程的李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是研究常微分方程稳定性的重要工具。

它能够通过引入一个函数来刻画系统稳定性的特点，对于分析系统的稳定性和发展趋势具有重要意义。

本文将介绍李雅普诺夫函数的定义、性质及应用，以及在常微分方程中的具体应用案例。

一、李雅普诺夫函数的定义李雅普诺夫函数是一个实数函数V(x)，其中x表示系统的状态变量。

若对于任意一个系统状态x(t)，满足以下条件，那么函数V(x)称为李雅普诺夫函数：1. V(x)是正定函数：对于所有的x≠0，V(x)>0；对于x=0，V(x)=0。

2. V(x)是可微函数：V(x)在定义域内可导。

3. V(x)是递减函数：对于系统状态的演化轨迹x(t)，有dV(x(t))/dt ≤ 0。

二、李雅普诺夫函数的性质1. 李雅普诺夫函数的存在性：对于一类稳定系统，通常可以找到一个李雅普诺夫函数来描述其稳定性。

2. 李雅普诺夫函数的唯一性：对于稳定系统，可能存在多个满足条件的李雅普诺夫函数，但它们在系统稳定性的刻画上是等价的。

3. 李雅普诺夫函数的偏导数性质：对于李雅普诺夫函数V(x)，其偏导数∂V/∂x的性质与系统的稳定性密切相关。

- 若∂V/∂x < 0，则系统是渐进稳定的。

- 若∂V/∂x > 0，则系统是不稳定的。

- 若∂V/∂x = 0，则系统的稳定性无法确定。

三、李雅普诺夫函数的应用李雅普诺夫函数在常微分方程的研究中具有广泛应用，下面介绍几个常见的应用案例。

1. 稳定性分析：李雅普诺夫函数可以用于判断系统状态的稳定性。

通过构造合适的李雅普诺夫函数，可以确定系统的稳定性以及稳定点的性质（渐进稳定、有界稳定等）。

2. 极限周期分析：对于周期系统，李雅普诺夫函数可以用于分析系统周期解的性质。

通过求解李雅普诺夫方程，可以判断周期解的稳定性以及极限周期的存在性。

3. 可解性判定：对于非线性系统，通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以从数学上证明系统的可解性，为求解提供理论基础。