4.3空间直角坐标系及两点间距离公式

2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
思考2:在空间直角坐标系中， 思考 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 在空间直角坐标系中 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么 的距离分别是什么？ 与坐标原点 的距离分别是什么？
| OA |=
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
z P1 O y x M N P2
A
| P1P2 |=
(x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) + (z1 - z2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
2 2
| OP |=
x +y +z
• 思考 在空间直角坐标系中，方程 思考5:在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 为常数） 为常数 什么图形是什么？ 什么图形是什么？
z
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式 探究（ 空间两点间的距离公式
在空间中,设点 在空间中 设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 设点 ， 在 平面上的 射影分别为M、 射影分别为 、N. 思考1:点M、N之间的距离如何？ 思考1:点 之间的距离如何？ 1:
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？

4.空间中的中点坐标公式 在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
线段AB的中点坐标是_x_1_＋2__x_2，__y_1_＋_2_y_2_，__z1_＋2__z_2_.
类型一 求空间中点的坐标 【例1】 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三 棱柱的各顶点的坐标.
|MN|＝
32－12＋（3－1）2＋（1－2）2＝
21 2.
解 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线 OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图. 由题意知，AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各 顶点的坐标分别为 A( 3，0，0)，B(0，1，0)， C(0，－1，0)，A1( 3，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，－1，3).
类型二 求空间中对称点的坐标 【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同 单 位 长 度 的 数 轴 ： __x_轴__、__y轴__、__z_轴__ ， 这 样 就 建 立 了 一 个 __空__间__直__角__坐__标__系__O_－__x_y_z_. ②相关概念：__点__O_叫做坐标原点，x_轴__、__y_轴__、__z_轴_叫做坐标轴.通 过____每__两__个__坐__标__轴___的平面叫做坐标平面，分别称为_x_O__y_平 面、_y_O__z _平面、__zO__x_平面.
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标.
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变， 在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(－2，－1，－4). (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量 不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12).

到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点P坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11, PP2
12 12 x
2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
练习： 如图，点P、Q分别在棱长为1的正方体的 对角线AB和棱CD上运动，求P、Q两点间的距离的 最小值，并指出此时P、Q两点的位置.
z
A P D Q C y
O
M x B N
作业: P138练习：1，2，3，4.
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O(0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M 1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 ( 2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 ( 2 1)2 ( 3 2)2 6,
2
M 3 M1
2
(4 5)2 ( 3 2)2 (1 3)2 6,
M 2 M 3 M 3 M1 ,
原结论成立.
例2
设 P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
2 2
d M 1 P PN NM 2 ,
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,

第四章 4.3 4.3.1
6．如下图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E， F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如所示 空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
第四章 4.3 4.3.1
[解析] ∵底面是边长为2的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－ 1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
A．(－1，－2,4)
B．(－1，－2，－4)
C．(1,2，－4)
D．(1，－2,4)
[答案] A
第四章 4.3 4.3.1
3．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则 点B1的坐标是( )
A．(1,0,0) C．(1,1,1) [答案] C
B．(1,0,1) D．(1,1,0)
第四章 4.3 4.3.1
随堂测评
第四章 4.3 4.3.1
1．下列点在x轴上的是( )
A．(0.1,0.2,0.3)
B．(0,0,0.001)
C．(5,0,0)
D．(0,0.01,0)
[答案] C
第四章 4.3 4.3.1
2．在空间直角坐标系中，点M(－1,2，－4)关于x轴的对称
点的坐标是( )
第四章 4.3 4.3.1
新知导学 1．空间直角坐标系
以空间中两两_垂__直____且相交于一点O的三条直线
分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角
定义
坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标_原__点____，x轴、y 轴、z轴叫做___坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平

结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标．
z
O
y
x
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 把图中的钠原子分成上、 把图中的钠原子分成上 位置的坐标． 位置的坐标．
空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点 分别作垂直 设点 是空间的一个定点，过点M分别作垂直 是空间的一个定点 轴和z 轴的平面，依次交x 轴和z 于x 轴、y 轴和 轴的平面，依次交 轴、y 轴和 轴 于点P、 和 ． 于点 、Q和R． 设点P、 和 在 轴和z 设点 、Q和R在x 轴、y 轴和 轴上的坐标分别 是x，y和z，那么点 就对应唯一确定的有序实数组 ， 和 ，那么点M就对应唯一确定的有序实数组 （x，y，z）． ， ， ）． z
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |= x + y
2
2
思考4:基于上述分析， 思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， 4:基于上述分析 与坐标原点O的距离公式吗？ z）与坐标原点O的距离公式吗？
z O x P y M
| OP |= x + y + z
2
2
2
思考5:在空间直角坐标系中， 思考5:在空间直角坐标系中，方程 5:在空间直角坐标系中 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 0为常数） 图形是什么？ 图形是什么？
z
(0，0，1) ， ， (1，0，1) ， ，

解：以底面中心作为坐标原点O，建立如图所示坐标系， 则P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上，且P1、P2、P3、P4 均在xOy平面上. ∵正四棱锥的所有棱长为a， a a a a 0) . ∴P1 ( ， ， 0) ，P2 ( ， ，
2 2
2 2
∵P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称.
dx dy dz
y z
2 0
2 0 2 0 2 0
O x
x z
2 0 2 0
x y
规律：谁没有，就等于谁.
练 5 ．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________ ． 1. 习 5
[解析]
d＝|z|＝5.
6．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个 2.
[答案] ．(1,1,1)或(－1，－1，－1) 坐标同号，则点M的坐标为________
3 解： M的坐标为 (4, ,5) 2 5 N的坐标为 (4,3, ) 2
(0,0,5) (4,0,5) (4,3,5)
(0,3,5)
3 AC与BO交点的坐标 (2, ,0) 2
3 5 AC1与A1C的交点的坐标 (2, , ) 2 2
(0,3,0)
(0,0,0)
(4,0,0) (4,3,0)
练 7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的 1 习 中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系， 写出E、F、G、H点的坐标. 4 z (0,0,1) 解:如图所示,以D为原点,DA所在直线为x 轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系. (1,0,1)
(2)求EF的长．

一、两点间距离公式
平面：|P1P2 |= (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2，
类比
猜想
空间：|P1P2 |= (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 +(z1 - z2 )2 .
4.3.2 空间两点间的距离公式
1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
类比推理，那么，如何求空间中两点间的 距离呢？
1.空间点到原点的距离
z
P(x, y, z)
o
|BP|=|z|
y |OB|= x2 + y2
C
|OP|= x2 + y2 + z2
xA
B
探究：
如果 OP 是定长r,那么x2 y2 z2 r2 表示什么图形？
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是
P
以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
O
y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
P2（x2，y2，z2）
z
在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M（x1，y1， 0）， N（x2，y2，0）.
O
M1 N1
P2 P1
H
M M2
N2 y
N
x
在xOy平面上, MN = (x2 - x1 )2 +(y2 - y1 )2 .
过点P1作P2N的垂线，垂足为H, 则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 . 在 R t Δ P1H P2中 ， P1H = MN = (x2 - x1 )2 +(y2 - y1 )2 , x

4.3.2 空间两点间的距离公式
1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.
2.掌握空间两点间的距离公式及其简单应用.
空间两点间的距离公式
空间中点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=
(1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
regrets take the place of dreams.
只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
►Suffering is the most powerful teacher of life.
苦难是人生最伟大的老师。
►For man is man and master of his fate.
所以点 M 的坐标为(1,1,2).
由两点间的距离公式,得
|MN|=
3
-1
2
2
+ (3-1)2 + (1-2)2 =
故 M,N 两点间的距离为
21
2
21
2
.
.
反思求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应
用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系,以确定两点的坐标.
确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. ·
命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。
因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰
凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯

例4 课本P139.B3
z
D′ A′ B′ C′
Q(0,a,z2) C
P(x,x,z1) O A x H(x,x,0) B
y
作业:
1.课本P138练习：2.4. P139习题：B组 2.《课时作业》P124 1.
2
45 9 z 2 2
9 70 2 5 AC 1 5 2 2 2 2 2
2
例2:设P在x轴上，它到 P1 (0, 2,3)的距离为
到点 P2 (0,1,1) 的距离的两倍，求点P的坐标。 解:
设P ( x ,0,0),
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中,设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 射影分别为M、N.
思考1:点M、N之间的距离如何？
P2
z O P1 N y
| MN |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )
2
2
x
M
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
PP1 x 2 2 2 32
x 11,
2
PP2 x 1 1
2 2 2
x 2,
2
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
•
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面 ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AD=a，E 是侧棱PC的中点，F是对角线BD上的动点，试建 立适当的空间直角坐标系. • （Ⅰ）写出P,A,B,C,D,E的坐标； • （Ⅱ）求|EF|的最小值.