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第四章 导数及其应用

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第四章 导数及其应用
一、选择题
1．函数cosx x y 2=的导数为 ( ）
A ．xsinx 2cosx x y'2-=
B ．sinx x xcosx 2y'2+=
C ．sinx x xcosx 2y'2-=
D ．sinx x xcosx y'2-= 2．设P 为曲线C ：y=2x +2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,
]4π，则点P 横坐标
的取值范围为 ( ) A ． 1[1,]2--
B ．［-1,0］
C ．［0,1］
D ． 1[,1]2
3．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(2,8)和(1,4)--
D ．(1,0)和(1,4)--
4．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h
→+--=（ ） A ．3- B ．6- C ．9- D ．12- 5．曲线
x x y 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( ) A ．34π B ．2π C ．4π D ．6
π 6．函数f (x
的最大值为（ ） A ．25 B ．12 C
D ．1
7． 函数x x
x x
e e y e e --+=-的图像大致为
( ).
8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121
()()0f x f x x x -<-.
则 ( )
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ． (1)(2)(3)f f f <-<
C ． (2)(1)(3)f f f -<<
D ． (3)(1)(2)f f f <<- 9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y
＝f (x )的图像是( )
10．函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围
为 ( ） A ．（-24,8） B ．（-24,1] C ．[1,8]
D ．[1,8） 二、填空题 11． 质量为5 kg 的物体运动的速度为v =(18t －3t 2) ms,在时间t =2 s 时所受外力为______N.
12． 已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，则a 的取值范围是
13．设函数 f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈（－1,1），都有 f (x )≥0成立，则实数a 的值为
________．
三、解答题
14．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位一：千克）与销售价格x （单位：元千克）满足关系式2a y 10(x 6)x 3
=
+--其中3x 6<<，a 为常数，已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克。

(1）求a 的值
(2）若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

15．已知函数
32()2f x x ax x =+++．
(Ⅰ)若1a =-,令函数()2()g x x f x =-,求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值；
(Ⅱ)若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,求实数a 的取值范围. 16．已知函数()(1),x f x ax e a R =-∈
(1）当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2）若函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a 的取值范围.。

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四章节中值定理与导数应用

四章节中值定理与导数应用


9/26/2024
第四章 中值定理与导数应用
第20页
小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间旳关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F ( x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立旳条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式旳环节.
嘉兴学院
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欲证: ( x1 , x2 ), 使 f ( ) f ( ) 0 只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即 [ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
嘉兴学院
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设
F (x ) f (x )sin x
验证 F (x ) 在 [ 0, π ] 上满足罗尔定理条件.
嘉兴学院
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第四章 中值定理与导数应用
第22页
3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f (x ) f (x ) 旳零点.
提醒: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,
x＋
嘉兴学院
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第四章 中值定理与导数应用
三、柯西(Cauchy)中值定理
第15页
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x) 满
足(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b)内可导,
(3) 对(a, b)内每一点均有F ' ( x) 不为零，那么在
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1)
(高等数学)第四章 导数的应用

(高等数学)第四章 导数的应用

第四章 导数的应用第一节 中值定理一.费马定理1.定义1.极值设函数()x f 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有()()0f x f x ≤或（()()0f x f x ≥），则称()x f 在点0x 处取得极大值（或极小值）；并称0x 为()x f 的极大值点（或极小值点）.注意：极大值、极小值在今后统称为极值；极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设()x f 在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，且在0x 处可导,若()0f x 为极值，则必有：()00f x '=.证明：不妨设()0f x 为极大值。

按极大值的定义，则0x ∃的某个邻域，使对一切此邻域内的x 有()()0f x f x ≤--------------（1） 所以，()()()0000lim 0;x x f x f x f x x x --→-'=≥-()()()0000l i m 0;x x f x f x f x x x ++→-'=≤---------（2）又因为()0f x '存在，所以应有()()00f x f x -+''=---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有()00f x '=.1．注意：使()00f x '=的点0x 可能为()x f 的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：20,0.y x x == 二．中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数()x f 满足：（1）()x f 在区间[]b a ,上连续； （2）()x f 在区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =.则，必至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0f ξ'=注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明） 证明：由闭区间上连续函数的性质，()x f 在[]b a ,上有最大值M 及最小值m. （1） 若M=m ，则()M x f ≡，[]b a x ,∈∀.所以，()()0,,.f x x a b '≡∀∈任取()b a ,∈ξ，均满足()0f ξ'=；（2） 若m M ≠，则M 和m 中至少有一个不等于()()b f a f =，因此则M 和m中至少有一个在区间内部某点()b a ,∈ξ处取到.不妨设()ξf 为()x f 的最大值，从而也是极大值。

高中数学《导数及其应用》知识点讲解附真题PPT课件

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- ln
k
k
1 k 1 k
b, -1
b
⇒
b k
1-ln 2.
2,
答案 1-ln 2
例5 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0, 则点P的坐标为 ( )
A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)
=ln(x+1)的切线,则b=
.
解题导引 与例3的不同之处是:有两条曲线,且两切点未知,因此转化为求
两条曲线上两个点处的切线方程问题.第一步,先设出两个切点;第二步,用k
表示出两个切点的坐标;第三步,建立方程组,求解.
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),
2
分别令x=1,x=0,得
f f
'(1) f '(0) f
'(1)-f '(0) 1, '(1)e-1-f '(0) 0,
解得
f f
'(0) '(1)
1, 2e,
因此f(x)=2e·ex-1-x+
1 2
x2=2ex-x+
1 2
x2.
方法总结 与含参数问题相结合,类似于抽象函数问题,用赋值法求解.
B(x2,y2),
由y=ln x+2得y'= 1 ,由y=ln(x+1)得y'= 1 ,
x
x 1
∴k=
1 x1
=
1 x2
1
,∴x1=
高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性ppt课件

高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性ppt课件

证明
y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，由于ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，由于ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
12345
4 B.m>3
C.m≤43
4
D.m<3 ，3)内可导，其图像如下图，记y＝f(x)的导
函数为y＝f′(x)，那么不等式f′(x)≤0的解集是 答案 解析
√－1 3
12345
3.假设函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，那么m的 取值范围答是案 解析
√
No
Image
∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，
答案
如下图，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0) 内导数的绝对值较大，图像“峻峭〞， 在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值 较小，图像“平缓〞.
梳理
普通地，假设一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“峻峭 〞(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓〞一些.
第四章 §1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
学习目的 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判别(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超越三次多项式函数的单调 区间.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思索
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