最新高考数学练习题限时训练(33)答案

限时训练（二十二）答案部分一、选择题二、填空题9. 2- 10. 6 11.85；9π1012. ()22116x y ++=；224x y += 13. [)1,-+∞ 14. 69；()12n n + 解析部分1. 解析 将集合A ，B 都表示在数轴上，如图所示，可知B A ⊆.故选A .2. 解析 函数12log y x =的定义域为()0,+∞，不符合题意；函数21xy =-在R 上单调递增，且0x =时，0y =，符合题意；函数212y x =-在(),0-∞内单调递减，在()0,+∞内单调递增，不符合题意；函数2y x=-的定义域为()(),00,-∞+∞，不符合题意. 故选B .3. 解析 因为112<，所以21log 12S ==-.故选C .4. 解析 当1a b >>时，有log log 1a a b a <=；当log 1a b <时，有log log a a b a <， 若1a >，则b a <，但b 与1的大小无法确定，所以“1a b >>”是“log 1a b <”的充分不必要条件.故选A.5. 解析 若选甲或乙，则共有123253C C A 120⨯⨯=种方法；若甲、乙都不选，则共有35A 60=种方法，所以共有12060180+=种填报方法. 故选B.6. 解析 双曲线的左顶点为(),0a -，抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以42p a +=.①由双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，得2212pp ba⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，②由式① ，式② 解得4p =，2a=，1b =，所以c ，2c = 故选D.7. 解析 由三视图可知该几何体是正方体和四棱锥的组合体，如图所示，正方体的棱长为4，四棱锥的高为3，所以几何体的体积()314443803V =+⨯⨯⨯=.故选B.8. 解析 解法一：由题可得()()22t --a e a e …恒成立，化简得22210t t -⋅+⋅-a e a e …恒成立，所以()24840∆=-⋅+a e a e …， 即()2210-⋅+a e a e …，()210-a e …，10-=a e ， 所以20-=a e e ，即()0-=e a e ，所以()-⊥a e e .故选C.解法二：设OA =a ，OB =e ，如图所示，BA 表示-a e ，若t --a e a e …，则AB 的长为点A 与直线l 所有点的距离的最小值，故AB l ⊥，即()-⊥a e e .故选C.9. 解析()()22i 1i 2i 22i 1i 1i 22b b b b+++-+==+--.若2i 1i b +-为实数，则2=02b +，所以34442b =-.10. 解析 连接CE ，如图所示.因为CD 为小圆的直径，所以90AEC DEC ∠=∠=，所以90B ∠=.又因为CDE ADB ∠=∠，所以Rt Rt CDE ADB △∽△，所以DE CDBD AD=，即4310CD CD =+，得23400CD CD +-=，解得5CD =，所以3CE =.又由Rt Rt CDE ADB △∽△得CE CD AB AD =，所以31065CE AD AB CD ⨯===.11. 解析 由图可得3π5ππ288T =-=，得5π4T =，所以2π85T ω==， 所以()8sin 5f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将3π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得3πsin 15ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以3π3π2π52k ϕ+=+，k ∈Z ，得9π2π10k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，当0k =时，9π10ϕ=.12. 解析 因为()1,0A -，4AC =，所以点C 的轨迹是以点A 为圆心，4为半径的圆，所以点C 的轨迹方程为()22116x y ++=.根据题意，作出图形，如图所示，四边形ABEC 为平行四边形，点D 为AE 的中点，连接OD .111222OD OA AD OA AB AC AC =+=++=，所以122OD AC ==，所以点D 的轨迹是以点O 为圆心，2为半径的圆，其轨迹方程为224x y +=.DCEAB13. 解析 不等式组对应的可行域如图所示，联立340y xx y =⎧⎨++=⎩，解得()1,3A --.若要直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件，则直线x m =需过点A 上或位于点A 右侧，所以实数m 的取值范围是[)1,-+∞.14. 解析 由题可得()1,36A =，()2,3639A =+=，()3,363413A =++=，()4,3634518=+++=A ，依次进行下去可得()10,363451169A =+++++=;()()11,1232n n A n n +=++++=.高难拉分攻坚特训(一) 1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D.2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n ，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1.若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m . 易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ，易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ， ∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1. ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．。

限时训练（二十三）答案部分一、选择题二、填空题 9. 80- 10.11. 1 12. 1 13. 2 14. [)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析部分1. 解析 由()2i 2i 2i i 12i -=-=+.故选A .2. 解析 作出不等式组020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩………所表示的平面区域，如图所示．依题意，z ax y =+的最大值必在点()1,1A 或()2,0B 处取得．①当在点()1,1A 处取得时，14a +=，则3a =，经检验，不合题意；②当在点()2,0B 处取得时，204a +=，则2a =，经检验，符合题意．故选B ．3. 解析 运行程序的过程如下：0s =，2t =，0x =，2y =，1k =；2s =-，2t =，2x =-，2y =，2k =；4s =-，0t =，4x =-，0y =，3k =；结束.所以输出的结果为()4,0-.故选B.4. 解析 根据面面平行的性质，若两个面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行；根据面面平行的判定，当一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面时，才能推出面面平行，所以“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件.故选B.5. 解析 根据三视图知，该几何体是正方体1111ABCD A B C D -的基础上截取三棱锥1B ACB -，剩余部分的体积为1151111326-⨯⨯⨯⨯=，因此截去部分体积与剩余部分体积之比为1:5. 故选D.6. 解析 对于选项A ，可取1234,3,10a a a ==-=-，则120a a +>，但230a a +<，故选项A 不正确；对于选项B ，可取1234,1,6==-=-a a a ，则130a a +<，但120a a +>，故选项B 不正确；对于选项C ，若120a a <<，则210d a a =->，所以3210a a a >>>，所以2132a a a =+>，即2a C 正确；对于选项D ，若10a <，则()()221230a a a a d --=-…，并不能推出()()21230a a a a -->，故选项D 不正确.故选C.7. 解析 若函数()212x x f x a +=-是奇函数，则满足()()f x f x -=-，即212122x x x x a a --++=---，得21210122x x x xa a +++=--，故1220x x a a -+-=，即()()1210xa a -+-=， 得()()1210xa -+=，故1a =，所以()2121x x f x +=-.由()3f x >，得21321x x+>-， 即()21321021x x x +-->-，即422021xx->-，得()()222210x x -->， 即()()21220xx--<，解得01x <<.故选C. 8. 解析 通过图像逐一研究.对于选项A ，由图可得，乙图纵坐标的最大值大于5，故选项A 不正确；对于选项B ，由图D 1DB 1A 1C 1A BC可得，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故选项B 不正确；对于选项C ，由图可得，甲车以80km /h 的速度行驶，其“燃油效率”为10km /L ，若甲车行驶1小时，消耗8升汽油，故选项C 不正确；对于选项D ，对于机动车最高限速80km /h ，相同条件下，丙车比乙车更省油.故选D.9. 解析 依题意，展开式的项是()()155C 22C rrr r r r T x x +=⨯-=-，令3r =得3x 的系数是()335C 280⨯-=-. 10. 解析 由双曲线()22210y x a a-=>的渐近线方程为()0y ax a =±>，且由已知得渐近线方程为y =，故a =11. 解析 将极坐标方程转化为直角坐标系的方程求解.在极坐标中，点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭所对应的直角坐标为(，直线()cos 6ρθθ=转化为直角坐标方程为60x +-=，因此点(到直线60x +-=的距离13612d +-==，所以在极坐标系中，点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭到直线()cos 6ρθθ=的距离为1. 12. 解析s i n 22s i n c o s s i n s i n A A A C C =，由正弦定理得sin sin a c A C =，即sin 4sin 6A a C c ==，且2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=.13. 解析 直线()210mx y m m ---=∈R 过定点()2,1-.若以点()1,0为圆心且与直线()210mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大，则max r ==，此时圆的标准方程为()2212x y -+=.14. 解析 （1）若1a =，则()()()21,1412,1xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩….函数()f x 的值域为[)1,-+∞，因此()f x 的最小值为1-. （2）依题意，函数()21x y a x =-<至多有一个零点.若函数()f x 恰有两个零点，则有两种情形：①函数2xy a =-，1x <无零点，函数()()()42f x x a x a =--，1x …有两个零点，此时可得20121a a a -⎧⎪⎨⎪⎩………，解得2a …；②函数2xy a =-，1x <有一个零点，函数()()()42f x x a x a =--，1x …有一个零点，此时可得20121a a a ->⎧⎪<⎨⎪⎩…，解得112a <….综上所述，若函数()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

限时训练（四十一）答案部分一、选择题二、填空题13. 1.96 14.1 15.21nn + 16. 6 解析部分1．解析()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D. 2．解析 由题意知1x =是方程240x x m -+=的解，代入解得3m =，所以2430x x -+=的解为1x =或3x =，从而{}13B =，.故选C.3．解析 设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．故选B.4．解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，如图所示．2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.5．解析 目标区域如图所示，当直线2y =x+z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-． 故选A.6．解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.7．解析 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）.乙看了丙成绩，知道自己的成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知道自己的成绩．故选D.8．解析 0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．故选B. 9．解析 取渐近线by x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线的距离为=，得224c a =，24e =，2e =．故选A.10．解析 设M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 的中点，则1AB 和1BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）.可知112MN AB ==，112NP BC ==，取BC 的中点Q ，联结,,PQ MQ PM ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，12MQ AC =.在ABC △中，2222c o s A C A B B C A B B C AB C =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，即ACMQ ，则在MQP △中，MP . 在PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MN NP +-∠=⋅⋅222+-==. 又异面直线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，．故选C.(6,311．解析 ()()2121e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦.由()()324221e 0f a a -'-=-++-⋅=⎡⎤⎣⎦，解得1a =-，所以()()211e x f x x x -=--⋅，()()212e x f x x x -'=+-⋅.令()0f x '=，得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>；当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 的极小值为()11f =-.故选A.12．解析 解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ,取AD 的中点E ，由2PB PC PD+=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-= 2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y =-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.13．解析 有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =， 则()()11000.020.98 1.96D X np p =-=⨯⨯=.14．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1． 15．解析 设{}n a 首项为1a ，公差为d ．由3123a a d =+=，414610S a d =+=，得11a =，1d =，所以n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kSn n n n ==++++=⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭. 16．解析 由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =，且MN MF =，所以6NF NMMF =+=.高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n ，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1.若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m . 易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0，所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ， ∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x －x 2－1x对任意的x >0恒成立．设g(x)＝e x－x2－1x，则g′(x)＝(x－1)(e x－x－1)x2.设h(x)＝e x－x－1，则h′(x)＝e x－1.∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，即e x>x＋1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。

限时训练（五十）答案部分一、选择题二、填空题 13.25 14.3 15. 2 16. 20172018解析部分1.解析 由题可得()()2i 1i 2i 13i 1i 222z +++===+-，所以13i 22z =-.故选B. 2.解析 由题得{}2,4B =，所以{}1,2,4,5AB =.故选C.3.解析 由题得2xz y =，24y =，且0y <，所以8xyz =-.故选A.4.解析 由三视图可得该几何体是半径为1的半球，和底面半径为1，高为2的圆锥的组合体，所以3314141122333V π=⨯π⨯+⨯π⨯⨯=.故选A. 5.解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示，当直线2y x z =-的截距最大时，z 最小，联立5302330x y y -+=⎧⎨++=⎩，解得30x y =-⎧⎨=⎩，所以()min 236z =⨯-=-.故选A.6.解析 先排两位爸爸，有2种排法，中间4个空位排在一起的有3种情况，所以孩子的排法有1232C A 6⨯=（种），最后排妈妈，有2种排法，所以共有262=24⨯⨯（种）.故选B.7.解析 由题可得C 和D 所说的互相矛盾，故一真一假.若C 为假，则D 为真，同时B 为真；若C 为真，则D 为假，A,B 都为假，由此可从B 的话判断获特等奖的是3号同学.故选C. 8.解析 10,1,21,2,2i S A i S A ===→===→2,1,1i S A ===-→13,1,24,2,5,1,12i S A i S A i S A==-=→==-=→==-=-→6,1,2i S A ===，由此可得S 的值以6为周期循环，循环体为1,2,1,1,2,1---.因为i 的初始值为0，2016i =时结束循环，且2017=63361⨯+，所以1S =.故选B.9.解析 由题可得圆()22:34C x y -+=，设双曲线的渐近线方程为y kx =±，则2=，解得245k =，即2245b a =，所以该双曲线的离心率e ==.故选D.10.解析 如图所示，因为11A BCD ，所以1EBA ∠为异面直线BE 与1CD 所成的角，在1A BE △中，BE =11A E =，1A B =1=10EBA ∠.故选D.11.解析 由题可得()3,3OC mOA nOB m n m n =-=+-，则(3OC ==t ==10OC t .因为[]1,2m n +∈，在直角坐标系中表示如图阴影部分所示，则t 2t ≤210OC ≤.故选D.12.解析 因为11e xax =，22ex ax =，所以2121e x x x x -=.设21xt x =，则1t >，21x tx=，所以ED 1DB 1A 1C 1ABC()11e t x t -=，所以1ln 1tx t =-，所以()12111212ln 2=11t t x x t x t t t +-⎛⎫+-=+-=-⨯ ⎪-+⎝⎭14ln 211t t t t +⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭.令()4ln 21g t t t =-++，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()()10g t g >=，所以1220x x +->，即122x x +>.选项A 正确；方程()e x f x ax=-有两个不等的零点，即y a =与e x y x =有两个不同的交点.因为e xy x=的导函数()2e 1x x y x -'=，所以e xy x=在()0-∞，上单调递减且0y <，在()0,1上单调递减且e y >，在()1+∞，上单调递增且e y >，所以e a >且1201x x <<<.选项B错误；21211111ln 11x x tx t t ⎛⎫⎫-=-=-=+⎪⎪ -⎭⎭⎝.令()ln h t t =，则()2110h t t '=-=<，所以()()10h t h <=.又因为10+>，所以1210x x -<，即121x x <.选项C 错误；由()e 0x f x a '=-=，得ln 1x a =>，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，所以()e x f x ax=-有极小值点0ln x a =.由11e xax =，22ex ax =，得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+，因此12122ln ln ln x x a x x +=++，()12122ln ln ln10x x a x x +-=<=，所以1202ln 2x x a x +<=.选项D 正确.故选D.13.解析 222s i n c o s t a n 2s i n c o s s i n c o s t a n 15θθθθθθθθ===++. 14.解析 由题可得11y a x '=-+，0'12x y a ==-=，所以3a =.15.解析 由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中0.02p =，100n =，所以()2E X np ==.16.解析 将原式因式分解可得()()1110n n n n S S +-+=⎡⎤⎣⎦，又因为数列的各项为正数，所以()11111n S n n n n ==-++，所以12201711111223S S S +++=-+-++1112017=12017201820182018--=.高难拉分攻坚特训(一) 1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m .易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ， ∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a≤0时，f(x)有1个极值点；当a>0且a≠12时，f(x)有2个极值点；当a＝12时，f(x)没有极值点．(2)由f(x)＋e x≥x3＋x得x e x－x3－ax2－x≥0. 当x>0时，e x－x2－ax－1≥0，即a≤e x－x2－1x对任意的x>0恒成立．设g(x)＝e x－x2－1x，则g′(x)＝(x－1)(e x－x－1)x2.设h(x)＝e x－x－1，则h′(x)＝e x－1.∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，即e x>x＋1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。