最新高考数学练习题限时训练(25)答案
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限时训练（二十五）答案部分二、填空题：9.{}2,3,4- 10. 9 11.3 12. 6 13.2314.2,⎡⎣解析部分1. 解析 解法一: ()()()()i 1i i 12i a b a b a b ++=-++=+，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选D.解法二: ()()()()12i 1i 12i 12i i 231i i 1i 1i 1i 222a b +-++-++====+++-.故选D.2.解析 若1a =，则()1f x x =-，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增；若函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数，可得1a …，不一定得出1a =.所以“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的充分不必要条件.故选A. 3.解析ππtan 2tan 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据函数图像平移左加右减的规律，将tan 2y x =向右平移π6个单位长度可得πtan 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πtan 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选C.4.解析输出()440134710402862s +⨯=+++⋅⋅⋅+==.故选B.5.解析 91x ⎫⎪⎭的通项为()92191C rr rr r T x x --+=-，令902r r --=，解得3r =，所以91x ⎫⎪⎭的常数项为()3391C 84-=-.故选C.6.解析 解法一（图像法）：函数()f x 的图像如图所示，观察图像可得函数()f x 的零点个数为2. 故选B.解法二：令()()310x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）；令2ln 0x -+=，解得2e x =，所以函数()f x 有2个零点.故选B.7.解析 由于()2y f x =-是由()y f x =向右平移2个单位长度得到的，且()2y f x =-在[]0,2上单调递减，所以()f x 在[]2,0-上单调递减.由题可得()()22b f f ==-，又因为210-<-<，所以()()()210f f f ->->，即b c a >>.故选A.8.解析 由定义的新运算可得()()()()1x y x y x y x y +⊗-=+-+，所以()()11x y x y +-+<，整理得2210x x y y -+++-<.因为此不等式对任意实数x 恒成立，所以()()2214110y y ∆=-⨯-+-<.解得3122y -<<，即y 的取值范围为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选D. 9.解析 解方程得{}2,3A =，{}4,2B =-，所以{}2,3,4A B =-.10.解析 画出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z x y =+过A 点时，z 有最大值， 联立方程105350x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩，即()4,5A ，所以max 9z =.11.解析 依题意，设抛物线22y bx =的焦点为A ，则,02b A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为12:5:3F A F A =，1=0所以:5:322b b c c ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2c b =，所以c e a ====3=. 12.解析 利用正弦定理将cos cos b c B C =中边的关系转化为角的关系，得sin sin cos cos B CB C=，即tan tan B C =，又因为(),0,πB C ∈，所以B C =.因为cos A =()cos πcos2B C B -+=-=⎡⎤⎣⎦()22cos 1B --，所以222cos 13B -=-，得21cos 6B =，又由题可得cos 0B >，故cos B =. 13.解析 因为2AB =，60ABC ∠=， AD 为BC 边上的高，所以1BD =.又因为3CB =，所以13BD BC =.如图所示，13AD AB BD AB BC =+=+，所以111226AO AD AB BC ==+， 所以11,26λμ==，则23λμ+=.14.解析 设平面1AD Q 与直线BC 交于点P ，则P 为BC 的中点，连接,AP QP ，取1BB 的中点E ，11B C 的中点G ，连接11,,A G A E EG .如图所示.易证QP EG ∥，又因为QP ⊂平面1AD Q ，EG ⊄平面1AD Q ,所以//EG 平面1AD Q .同理1//A G 平面1AD Q ，又因为1AG EG G =，所以平面1A GE ∥平面1AD Q .由已知1A F ∥平面1AD Q ，所以1A F ⊂平面1A GE ，设1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111tan A B B Fθ=，当点F 与点E 或点G 重合时，1B F 最大，tan θ有最小值，此时1111tan 212A B B F θ===；当点F 为EG 中点，即1B F EG ⊥时，1B F 最小，tan θ有最大值，此时111tan A B B F θ===所以tan θ的取值范围是2,⎡⎣.高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C在CBPGED1C1B 1A 1DCBAQ点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D.2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1.若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m . 易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1，所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1. ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2，∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。
