四川省成都七中2014届高三4月适应性训练（一）理科数学试卷（带解析）1．数列{}n a 满足:*112,2()n n a a a n N +==+∈,则其前10项的和10S =（ ） A.100 B.101 C.110 D.111 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，这是一个等差数列，101109101102S a d ⨯=+=. 考点：等差数列及其前项n 和.2．命题甲:2≠x 或3≠y ;命题乙:5≠+y x ,则甲是乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分条件也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：该命题的逆否命题为：5x y +=，则2x =且3y =，这显然不成立，从而原命题也不成立，所以不是充分条件；该命题的否命题为：2x =且3y =，则5x y +=，这显然成立，从而逆命题也成立，所以是必要条件. 考点：逻辑与命题.3．程序框图如右图所示,则该程序运行后输出k 的值是（ ）A.5B.6C.7D.8 【答案】A【解析】试题分析：这是一个含有条件结构的循环结构，循环的结果依次为：16,1;8,2;4,3;2,4;1,5n k n k n k n k n k ==========.最后输出5. 考点：程序框图. 4．已知直线2x =22221x y a b -=的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.3【答案】C【解析】试题分析：焦点到渐近线的距离等于b ，所以由题设可得：2222b a b a c e a c⨯⨯=⇒=⇒=.考点：双曲线.5．设0a >且1a ≠.若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立,则a 的取值范围是（ ）A.(0,)4πB.(0,]4πC.(,1)(1,)42ππ⋃D.[,1)4π【答案】D【解析】试题分析：1a >时显然不成立.当01a <<时，结合图象可知：log sin(2)1log ,444aa a a πππ≥⨯==∴≥. 考点：对数函数与三角函数.6．在用土计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度与时间的关系是21()cos (0)2f t t t t ππ=+<<,则（ ）A.()f t 有最小值16π+ B.()f t 有最大值16π+C.()f t 有最小值14π+D.()f t 有最大值14π+ 【答案】B【解析】试题分析：求导得2()1s i n 12s i n f x t t ππππ'=-=-，所以16t =时取得最大值：11()66f π=+.选B. 考点：导数及其应用.7．定义集合A 与B 的运算“*”为:{A B x x A *=∈或x B ∈,但}x A B ∉I ,按此定义,()X Y Y **=（ ）A.XB.YC.X Y ID.X Y U 【答案】A 【解析】试题分析：特殊法.不妨设X 是偶数集，{1,2,3,4,5}Y =，首先可求出{2,4}XY =，,X Y的并集再去掉交集即得*{1,3,5,6,8,10,}X Y =.同理可得(*)*{2,4,6,8,10,}X Y Y X ==.由此可知，应选A.考点：新定义及集合基本运算.8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱1BB 在下底面的射影BD 与AC 平行,若1BB 与底面所成角为30,且160B BC ∠=o ,则ACB ∠的余弦值为（ ）A.6B.2C.3【答案】C 【解析】试题分析：由三余弦公式得cos60cos30cos cos DBC DBC =∠⇒∠=.又BD AC，所以cos cos ACB DBC ∠=∠==. 考点：空间几何体及空间的角.9．已知,x y R ∈且4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,则存在R θ∈,使得(4)cos sin 0x y θθ-+=的概率为（ ） A.4π B.8π C.24π- D.18π-【答案】D【解析】试题分析：可行域是一个三角形,面积为2;又直线系(4)cos sin 0x y θθ-+=与圆22(4)2x y -+=相切,故该三角形不被该直线系扫到的部分是一个半径为4π的扇形,面积为4π,从而被直线系扫到部分的面积为24π-,故所求概率为18π-.考点：1、不等式组表示的平面区域；2、几何概型.10．将一个44⨯棋盘中的8个小方格染黑,使每行每列都恰有两个黑格,则不同的染法种数是（ ）A.60B.78C.84D.90 【答案】D 【解析】试题分析：在第一行任选两格涂黑，有246C =种涂法.在第二行选两格涂黑，可分以下三种情况：第二行所选两格与第一行涂黑的两格相同，则剩下的两行只有一种涂法，故共有246C =种涂法；第二行所选两格与第一行涂黑的两格中只有一格相同，则还需要在另两格中再选一格涂黑，这时剩下的两行有两种涂法，故共有211422248C C C ⨯=种涂法；第二行所选两格与第一行涂黑的两格不相同，则第三行可任选两格涂黑，而第四行就只有一种涂法，故共有224436C C =种涂法；所以总共有6483690++=种涂法.考点：计数原理及组合数公式.11．已知8()x a +的展开式中5x 的系数是7-,则实数a =________. 【答案】12- 【解析】试题分析：由通项公式得：3535388761773212C x a x a a ⨯⨯⨯=-⇒⨯=-⇒=-⨯⨯.考点：二项式定理. 12．若22i x yi i -=++,其中,,x y R i ∈为虚数单位,则=xy_________.【答案】34- 【解析】 试题分析：2(2)(2)342555i i i i i ---==-+，所以=x y 43-. 考点：复数基本运算.13．若1(1)(1)2n nM n+--<+对*n N ∈恒成立,则实数M 的取值范围是___________.【答案】3[2,)2- 【解析】试题分析：当n 为偶数时，12M n <-，而113322,222M n -≥-=∴<；当n 为奇数时，12M n -<+，而122,2,2M M n +>∴-<>-.所以M 的取值范围是3[2,)2-.考点：不等式.14．已知()20OB =，,()22OC =，,(2)CA αα= ,则OA 与OB 的夹角的取值范围是______________. 【答案】]125,12[ππ 【解析】试题分析：法一、(2,2)OA OC CA αα=+=，设(,)A x y ，则222(2)(2)22x x y y αα⎧=⎪⇒-+-=⎨=⎪⎩，所以点A 在以C .作出图形如下图所示，从图可知OA 与OB 的夹角的取值范围是]125,12[ππ. 因为(2)CA =，所以(2CA ==，所以为圆心. 作出图形如下图所示，从图可知OA 与OB 的夹角的取值范围是]125,12[ππ. 考点：向量.15．设,A B 分别为椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,F 为右焦点,l 为Γ在点B处的切线,P 为Γ上异于,A B 的一点,直线AP 交l 于D ,M 为BD 中点,有如下结论:①FM 平分PFB ∠;②PM 与椭圆Γ相切;③PM 平分FPD ∠;④使得PM =BM 的点P 不存在.其中正确结论的序号是_____________.【答案】①② 【解析】试题分析：设00(,)P x y ，则PA 的方程为：00()y y x a x a=++，令x a =得00002(,),(,)ay ay D a M a x a x a++. 对①，PF 的方程为：00()y y x c x c=--即000()0y x x c y y c ---=，所以点M 到直线PF 的距离为000020000()|()|||ay c x a y a x c y c a c ay ay d x a x a +---+-===++22200000000ay ay ay ay x a x a x a x a ====++++即点M 到PF 到距离等于M 到FB 的距离，所以FM 平分PFB ∠，成立；对②，直线PM 的斜率为0022000000222220000PM ay y x a x y x y b x b k x a x a a y a y -+====----，将22221(0)x y a b a b +=>>求导得∆=求与直线l交F PF'∠，相等),将1618全部取出称为试验成功.(1)求恰好在第3次试验成功的概率(要求将结果化为最简分数).(2)若试验成功的期望值是2,需要进行多少次相互独立重复试验?【答案】(1)试验一次就成功的概率为3618000p=； (2)4.【解析】试题分析：(1) 从6杯中任选3杯,不同选法共有3620C=种，而选到的3杯都是1618的选法只有1种，由古典概型概率的求法可得试验一次就成功的概率为120. 恰好在第3次试验成功相当于前两次试验都没成功，第3次才成功.由于成功的概率为120，所以一次试验没有成功的概率为1920，三次相乘即得所求概率.（2）该例是一个二项分布，二项分布的期望是E npξ=，解此方程即可得次数n.试题解析：（1）从6杯中任选3杯,不同选法共有3620C=种,而选到的3杯都是1618的选法只有1种,从而试验一次就成功的概率为120.恰好在第3次试验成功相相当于前两次试验都没成功,第3次才成功,故概率为2191361()20208000P=⋅=.(2)假设连续试验次,则试验成功次数,从而其期望为,再由可解出.考点：1、古典概型；2、二项分布及其期望. 17．已知1)4(cos 2)sin (cos 3)(222++--=πx x x x f 的定义域为[2,0π]. (1)求)(x f 的最小值.(2)ABC ∆中,45=A ,23=b ,边a 的长为函数)(33x f -的最大值,求角B 大小及ABC ∆的面积.【答案】(1)函数)(x f 的最小值(2) ABC ∆的面积1)S =. 【解析】试题分析：(1)先化简()f x 的解析式可得: ()2sin(2)3f x x π=+.将23x π+看作一个整体，根据x 的范围求出23x π+的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数)(x f 的最小值.(2)由(1)知函数的最大值，这样，在ABC ∆中，便已知了两边及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积. 试题解析：(1)先化简()f x 的解析式:()2[1cos(2)]12f x x x π=-+++sin 2x x =+2sin(2)3x π=+由3432320ππππ≤+≤⇒≤≤x x ，得1)22sin(23≤+≤-πx ， 所以函数)(x f 的最小值3)23(2-=-=，此时2π=x .(2) 由(1)知函数的最大值.ABC ∆中，45=A ，23=b ，6=a ，故21645sin 23sin sin === a A b B (正弦定理),再由a b <知 45=<A B ，故30=B ，于是105180=--=B A C ，从而ABC ∆的面积1sin 1)2S ab C ==. 考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.18．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，已知E 为棱1CC 上的动点.（1）求证：1A E BD ⊥；（2）当E 为棱1CC 的中点时，求直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】(1)详见解析；(2)直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦是【解析】 试题分析：(1) 空间中证线线垂直，一般先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？从图形可看出，可证BD ⊥面1ACEA . (2)思路一、为了求直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值，首先作出直线1A E 在平面1A BD 内的射影. 连AC 设AC DB O =I ,连1,AO OE ，可证得EO ⊥面1A BD ,这样1EA O ∠便是直线1A E 与平面1A BD 所成角.思路二、由于两两垂直，故可分别以为z y x ,,轴正向,建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.试题解析：连AC 设AC DB O =I ,连1,AO OE . (1)由1A A ⊥面ABCD ,知1BD A A ⊥, 又AC BD ⊥, 故BD ⊥面1ACEA . 再由1A E ⊂面1ACEA 便得E A 1⊥BD .(2)在正1A BD ∆中,1BD AO ⊥,而E ABD 1⊥, 又1AO ⊂面OE A 1,⊂E A 1平面OE A 1,且111AO A E A =I , 故BD ⊥面OE A 1,于是OE BD ⊥,OE A 1∠为二面角E BD A --1的平面角.正方体ABCD —1111D C B A 中,设棱长为a 2,且E 为棱1CC 的中点,由平面几何知识易得满足22211A E AO EO =+,故1EO AO ⊥. 再由EO BD ⊥知EO ⊥面1A BD ,故1EAO 是直线1A E 与平面1A BD 所成角.故直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦是 解二.分别以为z y x ,,轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a .(1)易得11(,0,0),(,,0),(0,,0),(,0,),(0,,)A a B a a C a A a a C a a . 设(0,,)E a z ,则,,从而,于是.1BD E A ⊥(2)由题设则,.设是平面1A BD 的一个法向量,则,即0ax az ax ay y z x +=+=⇒==-于是可取,.易得,故若记与的夹角为θ,则有,故直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦是考点：1、空间的直线与直线垂直；2、空间的直线与平面所成的角.19．设2()f x x x =+,用)(n g 表示()f x 当[,1](*)x n n n N ∈+∈时的函数值中整数值的个数.(1)求)(n g 的表达式.(2)设32*23()()n n n a n N g n +=∈,求2121(1)nk n k k S a -==-∑.(3)设12(),2n n n n g n b T b b b ==+++L ,若)(Z l l T n ∈<,求l 的最小值. 【答案】（1）*()23()g n n n N =+∈；(2)2(1)n S n n =-+；(3)l 的最小值是7. 【解析】试题分析：（1）求出函数x x x f +=2)(在[,1]n n +上的值域，根据值域即可确定其中的整数值的个数，从而得函数)(n g 的表达式.(2)由（1）可得322*23()()n n n a n n N g n +==∈.为了求2n S ，可将相邻两项结合，看作一项，这样便可转化为一个等差数列的求和问题，从而用等差数列的求和公式解决. (3) 易得232n nn b +=.由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法. )(Z l l T n ∈<，则l 大于等于n T 的上限值.试题解析：对*n N ∈,函数x x x f +=2)(在[,1]n n +单增,值域为22[,32]n n n n +++, 故*()23()g n n n N =+∈.(2)322*23()()n n n a n n N g n +==∈,故21234212()()()n n n S a a a a a a -=-+-++-L 222222(12)(34)((21)(2))n n =-+-++--L[37(41)]n =-+++-L 3(21)(1)2n n n n +-=-⋅=-+. (3)由()2n n g n b =得231579212322222n n nn n T -++=+++++L ,且231157212322222n n n n n T +++=++++L 两式相减,得1231523222()()222222n n n n T ++=-++++L 11111(1)52372722()1222212n n n n n -++-++=-+=--于是.2727nn n T +-=故若2772nn n T l +=-<且l Z ∈,则l 的最小值是7. 考点：1、函数与数列；2、等差数列的求和；3、错位相消法求和.20．设1C :24(0)y mx m =>的准线与x 轴交于点1F ,焦点为2F ;椭圆2C 以12,F F 为焦点,离心率12e =.设P 是12,C C 的一个交点.(1)当1m =时,求椭圆2C 的方程.(2)在(1)的条件下,直线l 过2C 的右焦点2F ,与1C 交于12,A A 两点,且12A A 等于12PF F ∆的周长,求l 的方程.(3)求所有正实数m ,使得12PF F ∆的边长是连续正整数.【答案】(1)2C 的方程为22143x y +=.(2)l的方程为1)y x -或1)y x =-.（3）3m =【解析】试题分析：(1)已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，即可得椭圆2C 的故半焦距为1,又已知离心率为12，故可求得半长轴长为2,从而知椭圆2C 的方程为22143x y +=.(2)由(1)可知12PF F ∆的周长12126PF PF F F ++=，即12A A 等于6. 设l 的方程为(1)y k x =-代入24y x =，然后利用弦长公式得一含k 的方程，解这个方程即得k 的值，从而求得直线l 的方程. (3)由12m a =得2a m =.根据题设，将12PF F ∆的三边用m 表示出来，再根据12PF F ∆的边长是连续正整数，即可求得m 的值.试题解析：(1)由条件,12(1,0),(1,0)F F -是椭圆2C 的两焦点,故半焦距为1,再由离心率为12知半长轴长为2,从而2C 的方程为22143x y +=,其右准线方程为4x =. (2)由(1)可知12PF F ∆的周长12126PF PF F F ++=.又1C :24y x =而2(1,0)F . 若l 垂直于x 轴,易得124A A =,矛盾,故l 不垂直于x 轴,可设其方程为(1)y k x =-,与1C 方程联立可得2222(24)0k x k x k -++=,从而2121224(1)k A A x x k+=-==, 令126A A =可解出22k =,故l的方程为1)y x =-或1)y x =-.(3)由12m a =得2a m =.设00(,)P x y ，由于点P 在椭圆上，所以20122PF m x =-；由点P 在抛物线上知，20PF x m =+，所以200122PF m x x m =-=+，023x m =，所以21252233m P F m m =-⨯=，11272233m PF m m =+⨯=.又12623mF F m ==.由此可得，若12PF F ∆的边长是连续正整数,则67133m m +=，解之得3m =，其对应的三边为5，6，7.考点：1、椭圆与抛物线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系.21．设函数()(1)f x x α=+的定义域是[1,)-+∞,其中常数0α>.(1)若1α>,求()y f x =的过原点的切线方程.(2)当2α>时,求最大实数A ,使不等式2()1f x x Ax α>++对0x >恒成立.(3)证明当1α>时,对任何*n N ∈,有12111(())n k k n k kααα+=-<+<∑.【答案】(1)切线方程为1y x α=+和1()(1)1y x ααααααα-=+--.(2)A 的最大值是.（3）详见解析.【解析】试题分析：(1) 一般地，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-.注意，此题是求过原点的切线，而不是求()y f x =在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令2()()1g x f x x Ax α=---,则问题转化为()0g x >对0x >恒成立.注意到(0)0g =,所以如果()g x 在[0,)+∞单调增,则必有()0g x >对0x >恒成立.下面就通过导数研究()g x 的单调性.（3）不等式12111(())n k k n k k ααα+=-<+<∑可变形为：121(1)n k n n k k ααα+=<-+<∑.为了证这个不等式，首先证11(1)k k ααα<-+<；而证这个不等式可利用导数证明1(1)x x ααα<+-<.故令()()h x f x x α=-，然后利用导数求()()h x f x x α=-在区间[1,0]-上范围即可.试题解析：(1)1()(1)f x x αα-'=+.若切点为原点,由(0)f α'=知切线方程为1y x α=+; 若切点不是原点,设切点为000(,(1))(0)P x x x α+≠,由于100()(1)f x x αα-'=+,故由切线过原点知1000(1)(1)x x x ααα-+=+,在(1,)-+∞内有唯一的根011x α=-. 又11()1(1)f ααααα-'=--,故切线方程为1()(1)1y x ααααααα-=+--.综上所述,所求切线有两条,方程分别为1y x α=+和1()(1)1y x ααααααα-=+--. (2)令,则,,显然有,且的导函数为：.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当1α>时，令()()h x f x xα=-，则1()[(1)1]h x xαα-'=+-，故当(1,0)x∈-时，恒有()0h x'<，即()()h x f x xα=-在[1,0]-单调递减，故(0)()(1)h h x h<<-，对(1,0)x∈-恒成立.又(0)1,(1)h hα=-=，故1()h xα<<，即对(1,0)x∈-恒有：1(1)x xααα<+-<，在此不等式中依次取1111,,,,2341xn=----+，得：11(1)22ααα<-+<，，11(1)33ααα<-+<，11(1)44ααα<-+<，11(1)55ααα<-+<，…………………………11(1)11n nααα<-+<++，将以上不等式相加得：121(1)nkn nk kααα+=<-+<∑，即12111(())nkkn k kααα+=-<+<∑.考点：导数及其应用.。
