基本不等式1

§3.4基本不等式ab≤

2

ab

一、学习目标 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求特确定如下目标： 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。 2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 二、学习重点 1．应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明过程； 2．用基本不等式解决一些简单的最值问题。 三、学习难点 1．在几何背景下抽象出基本不等式；

2．基本不等式ab≤2ab等号成立条件； 3．应用基本不等式解决实际问题； 四、教学方法 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、归纳类比、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。 五、教学过程 1．新课引入 探究一：右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形． 设直角三角形两条直角边长为a、b，

那么正方形的边长为________． 于是，4个直角三角形的面积之和

1S=_____，正方形的面积2S=_______． 由图可知2S>1S，即___________． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有______________.

所以，一般地，对于任意实数a,b有______________，当且仅当a=b时，等号成立。

思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2a+2b-2ab=___________ 当a≠b时，___________,a=b时，____________ 所以__________，即_____________ 2．讲授新课

探究二：当a>0,b>0时，在不等式2a+2b≥2ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？ 如果a、b都是正数，那么____________，当且仅当a=b时，等号成立。 我们称此不等式为基本不等式。 其中______称为a、b的算术平均数，________称为a、b的几何平均数。基本不等式___________又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。 思考证明：请同学们用代数方法给出这个不等式的证明． 证明：（分析法）由于a,bR，于是

要证明 2ab≥ab， 只要证明 _________ ， 即证 ______________ ，

即 ___________ ，该式显然成立，所以2ab≥ab，当且仅当ba时取等号． 3．理解基本不等式ab≤2ab的几何意义 探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD． 易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2＝CA·CB 即CD＝ab.

由于Rt△COD中直角边CD当且仅当点C与圆心O重合时，即ba时等号成立． 故而再次证明：当a>0,b>0时，ab≤2ab（当且仅当ba时，等号成立） 4．应用举例 例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为 2（x+y） m。

由2xy≥xy，可得x+y≥2100，2(x+y) ≥40。当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2。

由xy2xy=182=9，可得 xy81 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2 归纳： 1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b=M,M为定值，

则ab≤42M，等号当且仅当a=b时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，

则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立. 5.巩固练习 课本P100练习1、2、3题

6.课时小结 本节课我们学习了基本不等式并顺利应用基本不等式解决了函数的一些最值问题。用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 7．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P103习题A组6、7题 （2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

D C A B E O §3.4基本不等式ab≤

2

ab

讲 课 人：王伦国 时 间：2013年5月10日 教学目标： 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求特确定如下目标： 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。 2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 教学重点： 1．应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明过程； 2．用基本不等式解决一些简单的最值问题。 教学难点： 1．在几何背景下抽象出基本不等式；

2．基本不等式ab≤2ab等号成立条件； 3．应用基本不等式解决实际问题； 教学方法： 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、归纳类比、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。 教学过程： 1．新课引入 探究一：右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形． 设直角三角形两条直角边长为a、b， 那么正方形的边长为22ab． 于是，4个直角三角形的面积之和1S=2ab，正方形的面积2S=2a+2b． 由图可知2S>1S，即2a+2b>2ab． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2a+2b=2ab.

所以，一般地，对于任意实数a,b，有2a+2b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2baabba 当22,()0,,()0,abababab时当时 所以，0)(2ba，即.2)(22abba 2．讲授新课

探究二：当a>0,b>0时，在不等式2a+2b≥2ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

如果a、b都是正数，那么ab≤2ab，当且仅当a=b时，等号成立。 我们称此不等式为基本不等式。 其中2ab称为a、b的算术平均数，ab称为a、b的几何平均数。基本不等式ab≤

2ab又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

思考证明：请同学们用代数方法给出这个不等式的证明． 证明：（分析法）由于a,bR，于是

要证明2ab≥ab，