立体几何初步教学建议
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必修二立体几何初步教学建议
2015.9
一、课程标准体系下立体几何的基本特点
1、 立体几何课程容的改革是延续义务教育阶段几何的调整
《大纲》要从初中开始讲立体几何， 《标准》要从小学开始渗透对空间图形的认识。
《义务教育数学课程标准（实验稿）》对知识与技能的划分：
第一学段（1〜3年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动
第二学段（4〜6年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用
第三学段（7〜9年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习
其中第三学段“空间与图形”中关于“图形的认识” ：（8）视图与投影
① 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图） ，会
判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
② 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③ 了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型案例，知道这种
关系在现实生活中的应用（如物体的包装） 。
④ 观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等） ，了解并欣赏一
些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带、椭球）
⑤ 通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认事物的
阴影（如在或灯光下，观察手的阴影或人的身影） 。
⑥ 了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
⑦ 通过实例了解中心投影和平行投影。
2、 立体几何课程容的 “知识链”
① 必修2:立体几何初步T选修 2 :空间向量与立体几何T选修 4 — 1:几何证明选讲（圆
柱、圆锥与圆锥曲线）7选修 3系列：球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类
② 立体几何课程容的分层展开：
第一层次：借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体， 通过对这些空间
几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征， 运用这些特征描述现实生活中的一些简单物
体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解， 帮助学生运用平行投影与中
心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。 .z
第二层次：在上述基础上，以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、线、面之间的
位置关系，抽象出空间线、面的位置关系的定义； 用数学语言表述有关平行、垂直的性质与
判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理。 （这两个层次的顺序怎样讲好？）
第三层次：以空间几何体的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归 纳出一些判定定理与性质定理，并对性质定理加以逻辑证明。至于判定定理，在选修系列 2
中，用向量的方法加以严格的证明。
第四层次：利用向量来解决立体几何问题是学习空间向量这部分容的重点， 也是立体几何学
习的第四个层次。要让学生体会向量的思想方法， 以及如何用向量来表示点、线、 面及其位
置关系。用向量的方法来计算空间中的角度问题。 在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向
量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。
3、 强调培养和发展把握图形、空间想象与几何直觉能力
与《大纲》相比，《标准》中立体几何的定位主要做了三个方面的调整：强调把握图形
能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养， 强调逻辑思维能力的培养。 英国著名数
学家M •阿蒂亚说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则 是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与’严 格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。这就明确指出，几何学不只是一个数学分 支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。
4、 全面地看待推理与证明在立体几何中的地位
《大纲》中的立体几何容是一套演绎的体系，侧重推理与证明（课时相对充裕） 。现在
《标准》中的几何容是由一个视角变成两个视角， 即有传统的演绎的体系，又有向量工具辅
助。
灵活选用向量方法或传统方法解决立体几何问题（两种方法并重？）
平面几何对学生思维的训练是任何其它数学分支所无法比拟的！
、《课程标准》与《教学大纲》容及要求的对比
项目 课标 大纲
顺序 必修2第1章（18课时） 第二册下（A）第九章（36课时）
容 （1） 柱、锥、台、球及其简单组合体
（2） 简单空间几何体（长方体、球、圆
柱、圆锥、棱柱等的简单组合）的三视 图与直观图
（3） 球、棱柱、棱锥、台的表面积与体 积的计算公式 （1）平面及其基本性质
（2 ）平面图形直观图的画法
（3） 平行直线；对应边分别平行的角
（4） 异面直线所成的角；异面直线的公
垂线；异面直线的距离
（5） 直线和平面平行的判定和性质；直 .z
(4) 四个公理及一个定理(等角)
(5) 空间直线、平面的位置关系
(6) 空间中线面平行、垂直的有关性质
与判定定理 线和平面垂直的判疋和性质；点到平面 的距离；斜线在平面上的射影；直线和 平面所成的角，三垂线定理及其逆定理
(6)平面和平面平行的判定和性质；平 行平面间的距离；二面角及其平面角， 两个平面垂直的判疋和性质
(7 )多面体；棱柱；棱锥；球
要求 (1) 认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征，并描述现实生活中简单 几何体的结构
(2) 能画出简单空间几何体(长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合) 的三视图，会用斜二侧的画法画出它们 的直观图
(3) 会用平行投影与中心投影画出简单 空间图形的三视图与直观图
(4) 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积 与体积的计算公式(不要求记忆公式)
(5) 抽象出空间直线、平面位置关系的
定义，并了解可以作为推理依据的 4个
公理和1个定理
(6) 通过直观感知、操作确认归纳出空 间线面平仃、垂直的判疋疋理
(7) 通过直观感知、操作确认归纳出空 间中线面平行、垂直的性质定理，并加 以证明
(8) 能运用公理、定理和已获得的结论 证明一些空间位置关系的简单命题 (1 )掌握平面的基本性质；会用斜二侧 的画法画出水平放置的平面图形的直观 图；能够画出空间两条直线、直线和平 面的各种位置关系的图形；能够根据图 形想象它们的位置关系
(2) 掌握两条直线平行和垂直的判定定 理和性质定理；掌握两条直线所成的角 和距离的概念(对于异面直线的距离， 只要求会利用给出的公垂线段计算距 离)
(3) 掌握直线和平面平行和垂直的判定 疋理和性质疋理；掌握斜线在平面上的 射影、直线和平面所成的角、直线和平 面距离的概念，了解三垂线定理及其逆 定理
(4) 掌握两个平面平行和垂直的判定定 理和性质定理；掌握二面角、二面角的 平面角、两个平行平面间的距离的概念
(5) 熟悉反证法；会用反证法证明简单 的问题
(6) 了解多面体、凸多面体的概念
(7 )了解棱柱、棱锥的概念、掌握棱柱 .Z
和正棱锥的性质，会画直棱柱和正棱锥 的直观图
（8） 了解正多面体的概念和欧拉公式
（9） 了解球的概念，掌握球的性质，掌
握球的表面积和体积公式
（10） 培养空间想象能力，发展逻辑思
维能力，培养辩证唯物主义观点
关于“点到平面的距离”：等积、（作出垂线段、向量角度）
、高考中的相关要求及考查特点
考试内容 多求层欢
A B C
立休
几何
初步 空间 几何林 柱、锥、台*球及冀简单绢合体 X
三视图
V
轩二侧进岡簡单空间圏形的直观圏 V
球、棱性、楼链的翟面积和体枳 7
点、直纵
平面间的
位習关系 牢间线.面的位置关系
P
公理一公埋2、公理3、公理4、
定理" V
V 线、面平衍或垂直的刿定
线、面平行成垂玄的性质 V
【2011卷理科】（7）某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中最大的是
（A） 8
（B） 6.2
（C） 10
（D） 82 侧（左）视图 D(1,1, 2) •若 3 , S2 , S3分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy, yOz, zOx坐标平面上的正投影图形
的面积，则
(A) S. S2 S3 (B) S2 S且S2 S3
(C) S3 S1 且 S3 S2 (D) S3 S2 且 S3 S|
【2015卷理科】（5）某三棱锥的三视图如图
所示，则该三棱锥的表面积是
（A） 2 5【2012卷理科】（7）某三棱锥的三视图如图
所示，该三棱锥的表面积是
(A) 28 6.5
(B) 30 6 5
(C) 56 12 5
(D) 60 12 5
【2013卷理科】（14）如图，在棱长为 2的正方体
ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点 P在线段D1E
上•点P到直线CC1的距离的最小值为 ___________________ .
【2014卷理科】（7）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2, 0,0),B(2, 2,0),C(0, 2,0), 正（主）视图 侧（左）视图 .z
(B) 4 5
(C) 2 25
(D) 5
【2015卷理科17】如图，在四棱锥 A EFCB中，
△ AEF为等边三角形，平面 AEF 平面EFCB , EF II BC ,
I) AO EF , 【1分］
平面 AEF 平面EFCB, 【1分］
AO 平面 EFCB, 【1分］
AO BE.
【1分］
注：最后1分仅在推理正确的前提下给分。
(n)建系前有简单说明：① OG EF ;
② OG BC ;
③ OG 平面 AEF ;
④ OA, OE, OG两两垂直… 【1分］
建系 【1分】 注：图中标明或文字叙述有其一即可。
平面AEB的法向量n (、3, 1,1). 【2 分］
注：若结论不对，方确给 1分.
BC 4 , EF 2a , EBC FCB 60 , O为EF的中点
(I) 求证： AO BE;
(n) 求二面角 F AE B的余弦值；
(出) 若BE 平面 AOC ，求a的值.
夹角公式cos n, p |n|| pT 【1分］ C
