2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第十一章 算法初步(含解析)

第二章 函数第一节 函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-， 所以()f x 是奇函数． 又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．解析 由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况． 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．第三节 二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关 解析 函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析 解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟， 即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号）， 所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =，()h x=222x x +=…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ． 解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x+>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节 指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg 3lg10361lg 380x =-=⨯-，即93.28x =， 所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（ ）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析 设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx =3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x =，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无 题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析 因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m =的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x =-与y m =有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷理 科 数 学（十一）注意事项：、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}33,log M a =，{},N a b =，若{}0MN =，则M N =（ ）A ．{}30,B ．{}301,, C ．{}302,,D ．{}3012,,,【答案】B 【解析】因为{}0MN =，0a >，所以0b =，所以3log 0a =，所以1a =，所以{}3,0M =，{}1,0N =，所以{}3,0,1MN =，故选B ．2．已知a ∈R ，ia 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号【解析】则10a -=，即1a =，故选C ．3，则sin 2a 的值为（） ABCD【答案】A【解析】 又因为sin 0α<，所以339⎝⎭，故选A ． 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足54643S S S =+，且21a =则4a 等于（ ）A ．127B ．27C ．19D ．9【答案】D 【解析】因为54643S S S =+，所以546533S S S S -=-，所以563a a =，故3q =，由等比数列的通项公式得42242139a a q -==⨯=，故选D ．5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】C【解析】将5张奖票不放回地依次取出共有35C 10=种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有23C 3=种取法，所以概率为310P =，故选C ．6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π【答案】D【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD =，2AB =．由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E ，且152r CD ==， 设外接球的球心为O ，如图所示，由题得222591(4R =+=，所以该几何体的外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=，故选D ．7．执行如下图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．920 B ．940 C ．29D ．49【答案】B【解析】运行程序如下：124S =⨯，4n =，419<；112446S =+⨯⨯，6n =，619<；111244668S =++⨯⨯⨯，8n =，819<；11112446681820S =++++⨯⨯⨯⨯，20n =，2019>；111111111119()244668182022446182040S =++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯；故选B ．8．()()3212x x x +--的展开式中，含5x 项的系数为（ ）A ．6-B ．12-C ．18-D ．18【答案】A【解析】由题得()()()()()()()3334321212112x xx x x x x x +--+-+=+-=，因为()41x +的展开式中4x 的系数为04C 1=，()32x -的展开式中x 的系数为()2232C 12-=，所以此时5x 项的系数为11212⨯=．因为()41x +的展开式中3x 的系数为14C 4=，()32x -的展开式中2x 的系数为 ()1132C 6-=-，所以此时5x 项的系数为()4624⨯-=-，因为()41x +的展开式中2x 的系数为24C 6=，()32x -的展开式中3x 的系数为()3C 21-=，所以此时5x 项的系数为616⨯=．综上所述，展开式中含5x 项的系数为122466-+=-， 故选A ．9()f x 在区间ω的值为（ ）A ．2B ．103 C ．23D ．38【答案】C 【解析】由题意4，所以42，k ∈Z ，即3，k∈Z ， ()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，所以π2π3ω≥，所以32ω≤，令0k =C ．10．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ） A ．αβ∥，且l α∥，l β∥ B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥ C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥， 又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥，由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．11的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P 、Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，且2QM MF =，则双曲线C的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】，得(),0A a -，(),0B a ，(),0F c -，又过点F 作垂直与x 轴的直线分别在第二，第三象限角双曲线C 于P 、Q两点，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，如图所示，设()11,M x y ，因为2QM MF =，解得213b y a =-，即2,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又由直线PB 的方程为()a cy x a a-=-，令0x =，得y c a =-，即()0,E c a -， 又由M ，A ，E 三点共线，所以AE MA k k =，即23b c aa a c a-=-，又因为222b c a=-，整理得()223c a c a a a c a --=-，即2c a =，所以2ce a==，故选B ．12．已知函数()()()211e 2x f x ax x a =--∈R 若对区间[]01，内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123fx f x f x +≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]e,4C ．[]1,4D ．[)[]1,2e,4【答案】C【解析】由题得()()()e 1e e e x x x xf x ax x ax x x a '⎡⎤=-+-=-=-⎣⎦，当1a <时，()0f x '<，所以函数()f x 在[]0,1单调递减，因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，所以()()()110f f f +≥，所以11122a a +≥，故1a ≥，与1a <矛盾，故1a <不成立． 当1e a ≤<时，函数()f x 在[]0,ln a 单调递增，在(]ln ,1a 单调递减．所以()()2max 1ln ln ln 2f x f a a a a a a==-+，因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，所以()()()01ln f f f a +≥，所以2111ln ln 22a a a a a a +≥-+， 即211ln ln 1022a a a a a -+-≤，令()211ln ln 122g a a a a a a =-+-，()1e a ≤<，所以()()21ln 102g a a '=-<，所以函数()g a 在()1,e 上单调递减，所以()()max 10g a g ==，所以当1e a ≤<时，满足题意．当e a ≥时，函数()f x 在()0,1单调递增，因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，所以()()()001f f f +≥，故1112a+≥，所以4a ≤，故e 4a ≤≤；综上所述，[]1,4a ∈；故选C ．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

第十章 圆锥曲线第一节 椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆22194x y +=的离心率是（ ）.23 D. 594.解析 由椭圆方程可得，229,4a b ==，所以2225c a b =-=，所以3a =，c =，3c e a ==.故选B ． 5.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；5.解析 （1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． 6.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；6.解析 （1）由题意知ce a ==，22c =，所以a =1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.7.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；7. 解析 （1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A ．3B ．3C ．3D ．138．解析 因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d等于半径，即d a =，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =，所以c e a ==故选A.题型115 椭圆焦点三角形——暂无第二节 双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线221y x m-=的离心率为，则实数m =_________.9. 解析 =2m =. 10.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为若经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）.A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 10.解析 由题意得a b =，41c=--，所以4c =.又因为22216c a b =+=，所以28a =，28b =，则双曲线方程为22188x y -=.故选B.11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）.A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=11．解析 因为双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =①又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①,②，解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．12.解析双曲线的渐近线方程为y x=，而右准线为32x=，所以3,22P⎛⎝⎭，3,22Q⎛-⎝⎭，从而1214222F PF QS⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭13（2017山东理14）.在平面直角坐标系xOy中，双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的右支与焦点为F的抛物线()220x py p=>交于,A B两点，若4AF BF OF+=，则该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析设()(),,,A B B BA x yB x y，由题意得||||4222A B A Bp p pAF BF y y y y p+=+++=⨯⇒+=.又22222222221202x ya y pb y a ba bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A Bpby y pa+==a⇒=，从而双曲线的渐近线方程为y x=.题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）. A．2 B．C．D14．解析取渐近线by xa=，化成一般式0bx ay-=，圆心()20，到直线=，得224c a=，24e=，2e=．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若60MAN∠=，则C的离心率为________.15. 解析如图所示，OA a=，AN AM b==.因为60MAN∠=，所以AP=，OP==从而tanAPOPθ==.又因为tan baθ=，所以ba=，解得223a b=，则e=题型119 双曲线的焦点三角形第三节抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px=：过点()11P，.过点12⎛⎫⎪⎝⎭，作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；16.解析 （1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-. 17.（2107全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．17．解析 由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF=，且MNMF=，所以6NF NM MF =+=.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无18.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE+的最小值为（ ）.A ．16 B ．14 C ．12 D ．1018. 解析 解法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=， 所以2122224424k AB x x p k k +=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当1k =± 时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ，2AK 垂直x 轴于点2K ，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以cos AF p AFθ⋅+=，即1cos pAF θ=-，同理1cos p BF θ=+，所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.而24y x =，即2p =，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=时取等号，即AB DE +的最小值为16.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无第四节 曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程； 19．解析 （1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又NM ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上，所以221x +=，即222x y +=．第五节 直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．20解析 （1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． （2）由（1）知()11,0F -，()21,0F ．设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>．当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符． 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -． 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y --，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①②，解得20001,x x x y y =-=-，所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上，由对称性得20001x y y =±-，即22001x y -=或22001x y +=． 又点P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为⎝⎭． 21.（2017北京理18）已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.21.解析 （1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =-. （2）解法一：由题意，设直线l 的方程为()102y kx k =+≠，l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=.则1221kx x k -+=，12214x x k =.因为点P 的坐标为()1,1，所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y .因为直线ON 的方程为22y y x x =，所以点B 的坐标为2112,y x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420kk k k x --⨯+==，所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.解法二：要证A 为BM 的中点，且,,A B M x x x 相同，只需证2A M B y y y =+，等式两边同时除以M x ，则有2OA OM ON k k k =+.因为1221121*********11++22OM ONkx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+=== ()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又1OA OP k k ==，所以等式成立，即M 为OB 的中点. 题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △求直线AP的方程.22.解析 (1)依题意设点F (,0)c -，由题意知21==a c e ，且2pa =.由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -=，则12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b a c =-=.从而椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.(2)由于准线l 的方程为1x =-，依题意设),1(t P -(0≠t )，则),1(t Q --.因为)0,1(A ，则2tk AP -=，得直线AP 的方程为()12t y x =-- ① 将①式代入方程34322=+y x 中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点),(00y x B ，由韦达定理得332200+-==t t x x x A ，则()0023123t t y x t =--=+，即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则t t k BQ 262+=，于是得直线BQ 方程为26(1)2t y t x t ++=+. 令0=y ，解得6622+-=t t x ，即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.则612661||222+=+--=t t t AD ，211226APD S t t ==⋅⋅+△，化简得(2||0t =，即得6±=t .代入①式化简得直线AP 方程为330x -=，或330x -=. 23.（2017山东理21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图所示，动直线l：1y k x =-E 于,A B 两点，C 是椭圆E上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M的半径为MC ，OS ，OT 是M的两条切线，切点分别为S ，T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时，直线l 的斜率.23.解析（1）由题意知 ce a ==，22c =，所以 a =1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设点()()1122,,,A x yB x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 整理得()22114210kx x +--=，由题意知0∆>，且121x x +=()12211221x x k =-+，所以121AB x =-，由题意可知圆M的半径123r AB==由题设知12k k =21k=，因此直线OC 的方程为1y=.联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OC r令2112t k =+，则()11,0,1t t >∈，因此1OC r ===， 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin22SOT ∠…， 因此26SOT ∠π…，所以SOT ∠的最大值为3π.综上所述，SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 24．解析 （1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1. ①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =，则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题——暂无25. （2017全国2卷理科20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 25．解析 （1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又NM ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上，所以2212x +=，即222x y +=．（2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–12P ⎛ ⎝⎭，，412P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.26. 解析 （1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点， 故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=22228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--. 当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，． 题型129 定值问题 题型130 最值问题——暂无27. （2107浙江21）如图所示，已知抛物线2x y =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，抛物线上的点(),P x y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求PA PQ ⋅的最大值.27.解析 （1）设直线AP 的斜率为k ，已知1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(),P x y ，则21114411222y x k x x x --===-++.因为1322x -<<，所以111x -<-<，所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）因为直线AP ⊥BQ ，且3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<，2Q PQ x -+=-=，11k -<<，所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<，令()()()311,11f k k k k =--+-<<， 因为()()()2421f k k k '=--+，当112x -<<时，()0f k '>，当112x <<时，()0f k '<，所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因此当12k =时，PA PQ ⋅取得最大值2716.。

第十六章 选讲内容第一节 极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1、（2017天津理11）在极坐标系中,直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________、 1、解析直线14sin 1022ρθθ⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=,由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=,得其直角坐标方程为222x y y +=,即()2211x y +-=,则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<,知直线与圆相交,得它们的公共点的个数为2、2、（2017北京理11）在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为()1,0,则AP 的最小值为___________、2、 解析 由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,化为普通方程为222440x y x y +--+=, 即()()22121x y -+-=,由圆心为()1,2,P 为()1,0,则AP 最小值为1、故选D 、3、（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值． 3．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，,则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,解得4cos ρθ=,化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠、（2）联结AC ,易知AOC △为正三角形,||OA 为定值．所以当高最大时,AOB △的面积最大,如图所示,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于点H ,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大, max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2、题型161 直角坐标方程化为极坐标方程 题型162 参数方程化普通方程4、（17江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数）,曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．4、解析 直线l 的普通方程为280x y -+=． 因为点P 在曲线C 上,设()22P s ,从而点P 到直线l的距离224s d +==当s =,min 5d =． 因此当点P的坐标为()4,4时,曲线C 上点P 到直线l5、（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数、 （1）若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l求a 、5、解析 （1）当1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程为2219xy +=、联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，、 （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==其中3tan 4ϕ=． 依题意得max d 解得16a =-或8a =、6、（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数）,直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3cos sin 0l ρθθ+=：,M 为3l 与C的交点,求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ① ()21:2l y x k=+ ② ⨯①②,消k 可得224x y -=,即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠、⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y+=,联立2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,解得ρ=即M．题型163 普通方程化参数方程——暂无 题型164 参数方程与极坐标方程的互化——暂无第二节 不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式7、（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++,()11g x x x =++-、（1）当1a =时,求不等式()()f x g x …的解集； （2）若不等式()()f x g x …的解集包含[]–11，,求a 的取值范围、 7、解析 （1）当1a =时,()24f x x x =-++为开口向下,对称轴为12x =的二次函数, ()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，剟,当(1,)x ∈+∞时,令()()f x g x 単,即242x x x -++…,解得x ⎛∈ ⎝⎦、当[]11x ∈-，时,令()()f x g x 単,即242x x -++…,解得[]1,1x ∈-．当()1x ∈-∞-，时,令()()f x g x 単,即242x x x -++-…,解得x ∈∅． 综上所述,()()f x g x …的解集为1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立,即220x ax --≤在[]11-，恒成立, 则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩……,解得11a -剟． 故a 取值范围是[]11-，． 8、（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--． （1）求不等式()1f x …的解集； （2）若不等式()2–f x x x m+…的解集非空,求m 的取值范围．8．解析 （1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩……、由()1f x …,可得①当1x -…时显然不满足题意； ② 当12x -<<时,211x -…,解得1x …； ③ 当2x …时,()31f x =…恒成立、综上,()1f x …的解集为{}1x x …、 ⑵不等式()2f x x x m -+…等价于()2f x x x m -+…, 令()()2g x f x x x =-+,则()g x m …的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦…、 而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩……、①当1x -…时,()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时,()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x …时,()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦、综上所述,()max 54g x =⎡⎤⎣⎦,故54m …、题型166 不等式的证明题型167 函数单调性在证明不等式中的应用 题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无9、（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明：8ac bd +…．9、解析 由柯西不等式可得()()()22222ac bd a bcd +++…,因为224a b +=,2216c d +=,所以()264ac bd +…,因此8ac bd +…． 10、（2107全国2卷理科23）已知0a >,0b >,332a b +=,求证：（1）()()554a b a b ++…； （2）2a b +…．10．解析 （1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥,即1a b ==时取等号．（2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…,所以()38a b +≤,即2a b +≤,当且仅当1a b ==时等号成立．。