2021年江苏省南京市中考数学模拟测试试卷附解析

2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（共6小题）.1．2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（）A．0.618×105B．6.18×104C．61.8×103D．618×1022．下列计算中，结果是a6的是（）A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）33．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．|a|＞b C．a＞|b|D．|a|＜|b|4．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．10°B．20°C．40°D．50°5．如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都错误D．甲、乙都正确6．已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题）.7．﹣3的相反数是，的倒数是．8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．分解因式：2a2﹣8的结果为．10．计算的结果是．11．设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝．12．圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是．13．如图，在正五边形ABCDE中，M是CD的中点，连接AC，AM，则∠CAM的度数是°．14．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为．16．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°；（2）（a﹣）÷（a﹣2+）．18．解不等式组，并写出它的正整数解．19．某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．20．随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：℃）进行了统计，得到下列统计图．（1）小明家这5个月的月平均用水量为吨．（2）下列四个推断：①当地当年月平均气温的极差为20℃；②当地当年月平均气温的中位数为17.5℃；③当地当年月平均气温的平均数在15℃～25℃之间；④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大．所有合理推断的序号是．（3）如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由．21．一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为；（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．22．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．23．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）24．某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．（1）早餐机的加热速度为℃/s；（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要s．25．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）．（1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围；（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是．26．如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；（2）若AB＝AC，BC＝4，tan C＝2，①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为．27．八上教材给出了命题“如果△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，那么AD＝A'D'”的证明，由此进一步思考…【问题提出】（1）在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，如果BC＝B'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，AD＝A'D'，那么△ABC与△A'B'C'全等吗？（ⅰ）小红的思考如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A'B'C'，作法如下：①作△ABC的外接圆⊙O；②过点A作AA'∥BC，与⊙O交于点A'；③连接A'B'（点B'与C重合），A'C'（点C'与B重合），得到△A'B'C'．请说明小红所作的△A'B'C'≌△ABC．（ⅱ）小明的思考如图，对于满足条件的△ABC，△A'B'C'和高AD，A'D'；小明将△A'B'C'通过图形的变换，使边C'B'与BC重合，A'B'，AB相交于点M，连接A'A，易证A'A∥BC．接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．【拓展延伸】（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，（AD＜A'D'），且∠BAC＝∠B′A′C′，＝，求证△ABC∽△A'B'C'．参考答案一、选择题（共6小题）.1．2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（）A．0.618×105B．6.18×104C．61.8×103D．618×102解：61800＝6.18×104．故选：B．2．下列计算中，结果是a6的是（）A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）3【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．B：根据同底数幂的乘法法则计算即可．C：根据同底数幂的除法法则计算即可．D：幂的乘方的计算法则：（a m）n＝a mn（m，n是正整数），据此判断即可．解：∵a2+a4≠a6，∴选项A的结果不是a6；∵a2•a3＝a5，∴选项B的结果不是a6；∵a12÷a2＝a10，∴选项C的结果不是a6；∵（a2）3＝a6，∴选项D的结果是a6．故选：D．3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．|a|＞b C．a＞|b|D．|a|＜|b|解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，故选：B．4．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．10°B．20°C．40°D．50°解：如图，∵BC∥OA，∠A＝20°，∴∠A＝∠C＝20°，∠AOB＝∠B，∵＝，∴∠AOB＝2∠C＝40°．∴∠B＝∠AOB＝40°．故选：C．5．如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都错误D．甲、乙都正确解：乙的作法正确．理由：∵B，C，Q，P四点共圆，∴∠B+∠CQP＝180°，∵∠AQP+∠CQP＝180°，∴∠AQP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC．甲的作法，无法证明∠AQP＝∠B，故甲的作法错误．故选：A．6．已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象知：k1＜0，k2＞0，且﹣2k2+b2＝0，k1+b1＝0，∴y＝y1•y2，∴y＝（k1x+b1）（k2x+b2），∴当x＝﹣2，y＝0，当x＝1时，y＝0，∴抛物线过（﹣2，0），（1，0），且k1k2＜0，抛物线开口向下，由图象知：b1＞1，b2＞1，∴b1×b2＞1∴D错误，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）7．﹣3的相反数是3，的倒数是3．解：﹣3的相反数是：3，的倒数是：3．故答案为：3，3．8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．解：由题意，得x﹣2≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2．9．分解因式：2a2﹣8的结果为2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．10．计算的结果是．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．11．设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝﹣6．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，将其代入x1+x2﹣x1x2＝2中即可求出结论．解：∵设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，∴x1+x2﹣x1•x2＝﹣4﹣m＝2．∴m＝﹣6，故答案为：﹣6．12．圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是120°．【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷15π计算．解：圆锥底面周长＝2×3π＝6π，∴扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷9π＝120°．故答案为：120°．13．如图，在正五边形ABCDE中，M是CD的中点，连接AC，AM，则∠CAM的度数是18°．解：连接AD，∵正五边形ABCDE中，M是CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠AED＝＝108°，＝36°，∵在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，∴∠ACM＝108°﹣36°＝72°，∠AMC＝90°，∴∠CAM＝180°﹣∠ACM﹣∠AMC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，故答案为：18．14．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为36．解：当x＝2时，y＝＝6，则A（2，6），∵AC∥x轴，∴C点的纵坐标为6，设C（，6），∵BC∥y轴，∴B点的横坐标为，∴B（，），∵CA＝CB，∴﹣2＝6﹣，整理得k2﹣48k+432＝0，解得k1＝36，k2＝12，经检验k1＝36，k2＝12都为原方程的解，∴k＝36．故答案为36．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为7﹣2．解：连接OA、ON、OM，延长NO交AB于E，如图，设⊙O的半径为r，∵⊙O与BC，DC分别相切于点M，N，∴OM⊥BC，ON⊥CD，∵AB∥CD，∴NE⊥AB，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，∴BE＝OM＝r，OE＝BM，CM＝ON＝r，∴OE＝BM＝BC﹣MC＝3﹣r，AE＝AB﹣BE＝4﹣r，在Rt△AOE中，（3﹣r）2+（4﹣r）2＝r2，整理得r2﹣14r+25＝0，解得r1＝7﹣2，r2＝7+2（舍去），∴⊙O的半径为7﹣2．故答案为7﹣2．16．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为3．解：如图，延长AF交BC的延长线于T．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝AD，AD∥BC，AB∥CD，由翻折的性质可知，AB′＝AB，∴AD＝AB′，∴∠ADB′＝∠AB′D，∵∠AB′E+∠AB′D＝180°，∠ABE+∠DCE＝180°，∠ABE＝∠AB′E，∴∠AB′D＝∠DCE，∵∠ADB′＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝DE＝BC，∵BE＝EC＝EB′，∴DB′＝EB′，∵AD∥ET，∴＝＝1，∴AD＝ET＝BC，AB′＝B′T∴BE＝CT＝EC，∵＝＝2，∴AF＝2FT，设FT＝m，则AF＝2m，AT＝3m，∴AB′＝B′T＝1.5m，∴B′T＝0.5m，∴＝＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°；（2）（a﹣）÷（a﹣2+）．【分析】（1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题；（2）根据分式的加减法和除法可以解答本题．解：（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°＝﹣1+3×2﹣4×＝﹣1+6﹣2＝﹣1+4；（2）（a﹣）÷（a﹣2+）＝÷＝＝．18．解不等式组，并写出它的正整数解．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．解：，由①得x＜，由②得x≥﹣5，不等式组的解集为﹣5≤x＜，则它的正整数解为1，2．19．某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．解：设骑车学生的速度为xkm/h，由题意得，﹣＝，解得：x＝15．经检验：x＝15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/h．20．随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：℃）进行了统计，得到下列统计图．（1）小明家这5个月的月平均用水量为20吨．（2）下列四个推断：①当地当年月平均气温的极差为20℃；②当地当年月平均气温的中位数为17.5℃；③当地当年月平均气温的平均数在15℃～25℃之间；④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大．所有合理推断的序号是②③④．（3）如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由．解：（1）（5+23+30+32+10）÷5＝20（吨），故答案为：20；（2）月最高气温是30℃，月最低气温是5℃，月平均气温的极差为30℃﹣5℃＝25℃，因此①不正确；将12个月的平均气温从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝17.5，因此中位数是17.5℃，所以②正确；通过取近似值计算平均数可得，（5+8+10+15+20+25+28+30+26+20+12+7）÷12≈17.2℃，因此③正确；从两个统计图中数量的变化情况可知，小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大，因此④正确；故答案为：②③④；（3）不合理，选取的5、7、8这三个月的当地月平均气温都比较高，这三个月的月平均用水量都比较多，这样选取的样本缺乏代表性．21．一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为；（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．解：（1）棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为，故答案为：；（2）把剩余的5个方格记为1、2、3、4、5，画树状图如图：共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，∴仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为＝．22．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵BE＝DF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．23．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）解：延长CE、DF交AB于H、G，由题意知，∠AGD＝∠AHC＝90°，在Rt△AGD中，∠ADG＝35°，∴tan35°＝，即DG＝，在Rt△ACH中，∠ACH＝42°，∴tan42°＝，即CH＝，∵AH＝AG+GH，GH＝0.3，∴CH＝，∵DG﹣CH＝1，∴﹣＝1，∴﹣＝1解得：AG≈4.2，∴AB＝AG+GH+BH＝4.2+0.3+0.6＝5.1．答：银幕AB的高度约为5.1m．24．某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．（1）早餐机的加热速度为4℃/s；（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要115s．解：（1）早餐机的加热速度为：（220﹣20）÷50＝4（℃/s），故答案为：4；（2）设线段AB所表示的w与t之间的函数表达式为w＝kt+b，由降温温度是加热速度的2倍，所以降温速度为8℃/s，即k＝﹣8，∵图象经过（50，220），∴220＝﹣8×50+b，解得b＝620，∴w＝﹣8t+620；（3）由题意可知，机内温度由220℃降至180℃所需时间为：（220﹣180）÷8＝5（s）；机内温度由140℃升高到220℃所需时间为：（180﹣140）÷4＝10（s），∵10+5+10+5+10+5＝45（s），∴需升高到220℃时再降温3次，∴自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要：50+10+20+10+20+5＝115（s）．故答案为：115．25．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）．（1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围；（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是m≤0或m＝1．【解答】（1）解：令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，解得：m＜2，∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点；（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，得顶点坐标为（m，﹣m+2），将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴得出m≤1，当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．要使y2＜y1＜1恒成立，则﹣m2+m+1≤1，∴m2﹣m≥0，解得：m≥1或m≤0，综上所述：m≤0或m＝1．故答案为：m≤0或m＝1．26．如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；（2）若AB＝AC，BC＝4，tan C＝2，①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为．解：（1）如图：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDB＝∠BFD＝90°，在Rt△BFD中，∠B+∠BDF＝90°，∵∠EDF+∠BDF＝∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EDF，∵四边形EFGD是⊙O的内接四边形，∴∠FGB＝∠FED，∴△BGF∽△DEF；（2）①连接EG，如图：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴tan B＝tan C＝2，Rt△EDC中，∠EDC＝90°，∴tan C＝＝2，∵DC＝1.5，∴DE＝2DC＝3，Rt△BFD中，∠BFD＝90°，∴tan B＝＝2，∵△BGF∽△DEF，∴＝，∴＝2，∴BG＝，∴GD＝BC﹣BG﹣DC＝1，Rt△GED中，∠GDE＝90°，∴GD2+DE2＝GE2，∴GE＝＝，∵D在⊙O上，且∠GDE＝90°，∴GE是⊙O的直径，∴r＝GE＝；②如图：设DC＝x，同①的道理，∵tan C＝＝2，∴DE＝2x，∵tan B＝＝tan C＝2，且△BGF∽△DEF，有＝，∴BG＝x，∴GD＝4﹣2x，Rt△GDE中，GD2+DE2＝GE2，∴GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2＝8x2﹣18x+16＝8（x﹣1）2+8，∴当x＝1时，GE2有最小值，最小值为8，∴GE的最小值为2，半径最小值是，故答案为：．27．八上教材给出了命题“如果△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，那么AD＝A'D'”的证明，由此进一步思考…【问题提出】（1）在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，如果BC＝B'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，AD＝A'D'，那么△ABC与△A'B'C'全等吗？（ⅰ）小红的思考如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A'B'C'，作法如下：①作△ABC的外接圆⊙O；②过点A作AA'∥BC，与⊙O交于点A'；③连接A'B'（点B'与C重合），A'C'（点C'与B重合），得到△A'B'C'．请说明小红所作的△A'B'C'≌△ABC．（ⅱ）小明的思考如图，对于满足条件的△ABC，△A'B'C'和高AD，A'D'；小明将△A'B'C'通过图形的变换，使边C'B'与BC重合，A'B'，AB相交于点M，连接A'A，易证A'A∥BC．接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．【拓展延伸】（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，（AD＜A'D'），且∠BAC＝∠B′A′C′，＝，求证△ABC∽△A'B'C'．解：（1）（ⅰ）∵AA′∥BC，∴∠A′AB＝∠ABC，∵∠A′AB＝∠A′B′C′，∴∠A′B′C′＝∠ABC，∵∠B′A′C′＝∠BAC，B′C′＝BC，∴△A′B′C′≌△ABC（AAS）．（ⅱ）①；②△A′MC∽△AMC；③∠A′B′C′＝∠ABC．（2）如图，在A′D′上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，∴∠A′EG＝∠A′D′C′，△A′FG∽△A′B′C′，∵A′D′是△A′B′C′的高，∴A′D′⊥B′C′，∴∠A′EG＝∠A′D′C′＝90°，∴A′E⊥FG，∵△A′FG∽△A′B′C′，∴，∵，A′E＝AD，∴，∴FG＝BC，在三角形ABC和三角形A′FG中，AD、A′E分别是△ABC和△A′FC的高，BC＝FG，∠BAC＝∠FA′G，AD＝A′E，由（1）知△A′FG∽△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′．。

江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≥15．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是，的倒数是．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是．10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= ．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= °．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是°时，CD∥AB．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，甲乙两地的距离为km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：；定理2：；定理3：．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元【解答】解：将32800万用科学记数法表示为：3.28×108，故选：C．2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣【解答】解：3﹣2=，故选：C．4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≥1【解答】解：根据题意，得2x﹣2≥0，解得，x≥1．故选：D．5．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．【解答】解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得．故选：B．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大【解答】解：A、正确．正方形有且只有一个内切圆；B、错误．正方形有且只有一个外接圆；C、错误．对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形；D、错误．用一根绳子围成一个平面图形，圆形的面积最大；故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是﹣，的倒数是．【解答】解：的相反数是﹣，倒数是．故答案为﹣，．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等．【解答】解：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等；故答案为：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是4（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）故答案为：4（x+2）（x﹣2）10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= 16 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1，x1x2=﹣5，所以x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=（﹣1）2﹣3×（﹣5）=16．故答案为16．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是2（答案不唯一）．【解答】解：∵y=的图象位于一三象限，点A在第一象限，∴y1＞0，y随x的增大而减小．∵当m＜0时，点B位于第三象限，∴y2＜0．故假设不成立．当m＞0时，点B位于第一象限，∴y2＞0．又∵y1＜y2，∴m＜3．∴0＜m＜3．所以m的值可为2．故答案为：2．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= 220 °．【解答】解：如图，∵直线b平移后得到直线a，∴a∥b，∴∠1+∠4=180°，即∠4=180°﹣∠1，∵∠5=∠3=40°，∴∠2=∠4+∠5=180°﹣∠1+40°，∴∠1+∠2=220°．故答案为220．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是ab ．【解答】解：∵点E、F分别是菱形AB、BC边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AC，且EF∥AC．同理，HG=AC，且HG∥AC，∴EF=HG，且EF∥HG．∴四边形EFGH是平行四边形．∴EH∥FG，EH=FG=BD．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH的面积=EF•EH=a•b=ab．故答案是：ab．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是100或280 °时，CD∥AB．【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：100或280．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是（，）．【解答】解：如图，∵原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1，∴OO1⊥AB，设O1O与直线y=﹣x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，由直线y=﹣x+4可知A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S△AOB=OA•OB=AB•OD，∴OD==，∴OO1=，∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，∴△AOD∽△O1OE，∴=，即=，∴OE=，∴O1E==，∴点O1的坐标是（，），故答案为（，）．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 5 ．【解答】解：∵PC、PB是⊙O的切线，∴∠PCO=∠PBO=90°，∴点C、B在以OP为直径的圆上，∵BC是这个圆的弦，∴当BC=OP=5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．故答案为5．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．【解答】解：原式=+•=+1=，当x=3时，原式==2．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3 ．【解答】解：（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，∴2x﹣3x+3≤6，解得x≥﹣3，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．故答案为：﹣4＜a≤﹣3．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．【解答】解：（1）用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如下：；（2）小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：=×（2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0）=1.9（万步）．（3）小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9×28=53.2（万步）．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，故转动一次，指针指向白色区域的概率为：=，则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：，故让转盘自由转动两次．指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区域的概率是：2××=．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据题意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120=180，解得x1=﹣2，x2=1.5．所以x=1.5，x+0.5=2．答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）【解答】解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ=xm，则PE=（x﹣1.6）m，PF=（x﹣1.2）m．在△PEA中，∠PEA=90°．则tan∠PAE=．∴AE=．在△PCF中，∠PFC=90°．则tan∠PCF=．∴CF=．∵AE+CF=BD．∴+=200．解，得x=．答：气球的高度是m．23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS ；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．【解答】解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，故答案为AAS．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴BE=CF，DE=DF．在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD．∴AE=AF．∴AE+BE=AF+CF．即AB=AC．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O是所求作的图形．（2）如图，作⊙O的直径AE，连接BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，∴△ABE∽△ADC，∴=．即=，解得AE=．∴⊙O的半径为．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为km/h，慢车的速度为150 km/h，甲乙两地的距离为50 km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）快车的速度为300÷2=150km/h，慢车的速度为：300÷6=50km/h，甲乙两地的距离为300km，故答案为：150，50，300；（2）快车在行驶过程中离A地的路程y1与时间x的函数关系式：当0≤x＜2时，y1=150x，当2≤x≤4时，y1=300﹣150（x﹣2），即y1=600﹣150x．慢车在行驶过程中离A地的路程y2与时间x的函数关系式：当0≤x≤6时，y2=50x，由题意，得①当0≤x＜2时，y1﹣y2=100，150x﹣50x=100，解得x=1；②当2≤x＜3时，y1﹣y2=100，600﹣150x﹣50x=100，解得x=2.5；③当3≤x＜4时，y2﹣y1=100，50x﹣（600﹣150x）=100，解得x=3.5；④当4≤x≤6时，两车相距大于100km．答：出发1 h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；（3）s与x的函数图象如图所示：26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．【解答】（1）由题意知：，解得．∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；（2）①∵当x=0时，y=﹣4．∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，∴BD==8，即BD=2OB，∴∠ODB=30°．∴∠OBD=60°；②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，∵x=3时，m=﹣4．∴点C的坐标为（3，﹣4）．∵CD∥x轴，∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．∴DF=CD=，CF==，∵BD=8，∴BF=8﹣=，设点P的坐标为（x，x2﹣3x﹣4）．则PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，∵∠CBP=∠OBD=60°，∴∠CBF=∠PBE．∵∠CFB=∠PEB=90°．∴△CBF∽△PBE．∴=．∴=．解得：x1=4（舍去），x2=﹣．∵当x=﹣时，y=﹣．∴点P的坐标为（﹣，﹣）．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①A B=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；⑤∠BAD=∠BCD；⑥∠ABC=∠ADC；⑦OA=OC；⑧OB=OD．【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．【解答】（1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠AD C，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C．在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABC D不一定是平行四边形．反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．。

江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在下列实数中，无理数是（）A．sin45°B．C．0.3 D．3.142．计算（2a2）3的结果是（）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a63．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）分数50 60 70 80 90 100人数1 2 8 13 14 4A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．90，1004．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则劣弧的度数是（）A．80°B．100°C．130°D．160°6．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x的图象为直线l，作点A1（1，0）关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A．（1007，1008）B．（1008，1007）C．（1006，1007）D．（1007，1006）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．﹣3的倒数是，﹣3的绝对值是．8．使式子1+有意义的x的取值范围是．9．分解因式：4a2﹣16= ．10．计算（﹣）×= ．11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果，那么．12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为．14．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（﹣1，2）和点B．当y1＜y2时，自变量x的取值范围是．15．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为．16．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．18．化简：（1+）÷．19．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m= ，n= ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．20．一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，它们除了编号外其余都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为；（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．22．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73）23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP 上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．25．已知二次函数y=x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．26．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD= cm，BC= cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．27．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d （∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= ，d（∠xOy，B）= ．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．江苏省南京市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在下列实数中，无理数是（）A．sin45°B．C．0.3 D．3.14【考点】无理数．【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．【解答】解：∵0.3、3.14是有限小数，∴0.3、3.14是有理数；∵，0.是循环小数，∴是有理数；∵sin45°=是无限不循环小数，∴sin45°是无理数．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．计算（2a2）3的结果是（）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据即的乘方法则，即可解答．【解答】解：（2a2）3=23•a6=8a6，故选：D．【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方法则．3．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）分数50 60 70 80 90 100人数1 2 8 13 14 4A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．90，100【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（80+80）÷2=80，则该班学生成绩的中位数是80；90出现了14次，出现的次数最多，则众数是90；故选C．【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．4．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为3【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可．【解答】解：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故A选项错误；B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项正确；C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误；D、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则劣弧的度数是（）A．80°B．100°C．130°D．160°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角与弧的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°，∴劣弧=160°．故选D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x的图象为直线l，作点A1（1，0）关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A．（1007，1008）B．（1008，1007）C．（1006，1007）D．（1007，1006）【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据对称和平移，可得A1的坐标（1，0），A3的坐标（2，1），A5的坐标（3，2），A7的坐标（4，3），根据观察，发现规律：A点的横坐标是顺序，纵坐标是顺序减1，根据规律，可得答案．【解答】解：由题意可知：A1（1，0），A3（2，1），A5（3，2），A7（4，3），点的横坐标为：=1008，纵坐标为：1007，∴A2015的坐标是：（1008，1007）．∴点A2015故选：B．【点评】本题考查了轴对称，利用对称、平移发现规律是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是 3 ．【考点】倒数；绝对值．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【解答】解：﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是3，故答案为：，3．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．使式子1+有意义的x的取值范围是x≥﹣2 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可解答．【解答】解：根据题意，得x+2≥0，解得x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质、概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．分解因式：4a2﹣16= 4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．10．计算（﹣）×= 2﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=﹣2=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．【考点】命题与定理．【分析】如果后面应是命题中的条件，那么后面是由条件得到的结论．【解答】解：原命题的条件是：四边形的对角线互相平分，结论是这个四边形是平行四边形；如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是准确找到所给命题的条件和结论．12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），的坐标是（2，1）．∴O1故答案为：（2，1）．【点评】此题考查了垂径定理的推论以及三角形的外心的性质，利用垂径定理的推论得出是解题关键．13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为π．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OM，ON，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．【解答】解：如图：连接OM，ON，∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠A=108°，∴∠MON=72°，∵半径为1，∴劣弧的长度为：=π，故答案为π．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够连接OM和ON，从而求得劣弧所在扇形的圆心角，利用扇形弧长公式求解．14．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（﹣1，2）和点B．当y1＜y2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据对称性由A的坐标确定出B坐标，根据两点横坐标，利用函数图象即可确定出当y1＞y2时的变量x的取值范围．【解答】解：由题意及A（﹣1，2），利用对称性得：B（1，﹣2），根据图象得：当y1＞y2时的变量x的取值范围为﹣1﹣1＜x＜0或x＞1．故答案为﹣1＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．15．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为x[1200﹣20（x﹣30）]=38500 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程．【解答】解：设票价应定为x元，依题意有x[1200﹣30（x﹣30）]=38500，故答案为：x[1200﹣20（x﹣30）]=38500．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．16．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为2．【考点】轨迹．【分析】因为MN是三角形EMN的中位线，所以MN∥BD，所以在运动过程中线段MN所扫过的区域为梯形，然后分别求得梯形的上底、下底和高，然后利用公式计算即可．【解答】解：在运动过程中线段MN所扫过的区域面积如图阴影所示：∵MN是△BDE的中位线．∴MN===1，且MN∥BD．同理：M′N′=3，且M′N′∥BD∴四边形MNN′M′为梯形．MG=MB•sin30°=1×=，N′F=N′C•sin30°=3×=．∴梯形MNN′M′的高==．∴梯形MNN′M′的面积=（FN﹣MG）=×=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查轨迹的问题，由三角形中位线的性质判断出MN扫过的区域的形状是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【考点】实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=4+1+﹣1=4+；（2），①×2+②，得5x=5，即x=1，将x=1代入①，得y=﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．化简：（1+）÷．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m= 30 ，n= 20 ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是90°；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图和扇形图确定B组的人数环绕所占的百分比求出样本容量，求出m、n的值；（2）求出C组”所占的百分比，得到所对应的圆心角的度数；（3）求出不合格人数所占的百分比，求出该校本次听写比赛不合格的学生人数．【解答】解：（1）从条形图可知，B组有15人，从扇形图可知，B组所占的百分比是15%，D组所占的百分比是30%，E组所占的百分比是20%，15÷15%=100，100×30%=30，100×20%=20，∴m=30，n=20；（2）“C组”所对应的圆心角的度数是25÷100×360°=90°；（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的学生人数为：900×（10%+15%+25%）=450人．【点评】本题考查的是频数分布表、条形图和扇形图的知识，利用统计图获取正确信息是解题的关键．注意频数、频率和样本容量之间的关系的应用．20．一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，它们除了编号外其余都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为；（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）用奇数球的个数除以球的总个数即可求得编号为奇数的概率；（2）将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有4个球，为奇数的有2个，∴P（编号为奇数）==；（2）从袋中任意摸出两个球，有①②、①③、①④、②③、②④，③④共6种可能，且都是等可能的，其中，都为奇数只有①③一种可能，所以摸到的球的编号都为奇数的概率为．【点评】本题考查了概率的求法，能够将所有等可能的结果列举出来是解答本题的关键，难度不大．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；（2）设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵四边形AFCE是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=，∴菱形AFCE的边长为．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．22．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】如图，过点C作CD⊥AB，构建直角△ACD和直角△BCD．通过解Rt△BDC得到BD=0.5CD．通过解Rt△ADC得到AD=CD，所以由AB=4km科研求得CD的长度．最后通过解Rt△ADC来求AC的长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，在Rt△BDC中，由tan∠BCD=，∴BD=CD tan27°=0.5CD．在Rt△ADC中，由tan∠ACD=∴AD=CD•tan60°=CD．∵AD+BD=CD+0.5CD=4，∴CD=．在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，∴∠CAD=30°，∴AC=2CD=≈3.6．∴灯塔C与观测点A的距离为3.6km．【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意可得，乘坐高铁行驶400千米比乘坐普通列车行驶520千米少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得+3=，解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，则2.5x=300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP 上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．已知二次函数y=x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0可求得方程的两个根一正一负，可证得结论；（2）把（0，﹣2）代入抛物线的解析可求得a的值，进一步可求得其顶点坐标．【解答】（1）证明：y=x2﹣ax﹣2a2=（x+a）（x﹣2a），令y=0，则x1=﹣a，x2=2a，、x2的值必为一正一负，∵a≠0，x1∴该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）解：由题意，得﹣2a2=﹣2，所以a=1或﹣1．当a=1时，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，顶点坐标为（，﹣），当a=﹣1时，y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），该函数图象的顶点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数与x轴的交点和顶点坐标，掌握二次函数与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键．26．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD= 2 cm，BC= 5 cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．【考点】四边形综合题；动点问题的函数图象．【分析】（1）此题的关键是要理解分段函数的意义，OM段是曲线，说明E、F分别在BA、BC 上运动，此时y、t的关系式是二次函数；MN段是线段，且平行于t轴，那么此时F运动到终点C，且E在线段AD上运动，此时y为定值；NP段是线段，此时y、t的函数关系式是一次函数，此时E在线段CD上运动，此时y值随t的增大而减小；根据上面的分析，可知在MN之间时，E 在线段AD上运动，在这个区间E点运动了2秒，所以AD=2cm；根据OM段的函数图象知：当t=5时，E、F分别运动到A、C两点，那么AB=BC=5；（2）利用待定系数法分别求两个解析式．【解答】解：（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；当E、A重合，F、C重合时，t=5s，∴AB=BC=5cm；故答案为：2，5；（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH=3，BA=BC=5，∴AH=4∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：×BC×AH=×5×4=10，即a的值为10，点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C并停止运动，这时△EBF的面积为10 cm2；（3）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at2，把M点的坐标（5，10）代入得a=，∴y=t2，0＜t≤5；当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y=kt+b，把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=﹣，b=，所以y=﹣t+，（7≤t＜11）把y=5分别代入y=t2和y=﹣t+得，5=t2和5=﹣t+，解得：t=或t=9．【点评】此题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．27．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d （∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= 5 ，d（∠xOy，B）= 5 ．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先根据点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，可得d（∠xOy，A）=0+5=5；然后根据点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可．（2）首先设点P的坐标是（x，y），然后根据d（∠xOy，P）=5，可得x+y=5，据此求出点P运动所形成的图形即可．（3）①首先作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，然后设直线OT 对应的函数关系式为y=x（x≥0），求出点H的坐标为H（4，），进而求出CH，OH的值各。

2021年南京市中考数学模拟题解析版一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）在数轴上表示﹣3与表示1的点之间的距离是（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】可借助数轴直接得结论，亦可用右边点表示的数减去左边点表示的数得结论．【解答】解：表示﹣3的点与表示1的点间距离为：1﹣（﹣3）＝1+3＝4．故选：B．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点间的距离＝右边点表示的数﹣左边点表示的数．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a5B．a2+2a2＝3a4C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a5【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵a3•a2＝a5，∴选项A符合题意；∵a2+2a2＝3a2，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2＝a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2＝a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．3．（2分）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是（）A．主视图的面积最大B．俯视图的面积最大C．左视图的面积最大D．三个视图的面积一样大【分析】先得出三视图：正视图为3个小正方形；俯视图为3个小正方形；左视图为3个小正方形；再求其面积，比较大小即可．【解答】解：正视图：3个小正方形；俯视图：3个小正方形；左视图：3个小正方形；则三个视图的面积一样大，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，是基础知识比较简单．4．（2分）如图，平面上有两个全等的正八边形ABCDEFGH、A′B′C′D′E′F′G′H′，若点B与点B′重合，点H与点H′重合，则∠ABA′的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】利用正多边形的性质可以得到四边形ABA′H为菱形，计算其内角后，用多边形的内角减去即可得到答案．【解答】解：∵两个图形为全等的正八边形，∴ABA′H为菱形，∵∠HAB＝∠HA′B＝＝135°∴∠ABA′＝180°﹣135°＝45°．故选：C．【点评】本题考查了正多边形与圆的计算，解题的关键是利用正多边形的性质判定菱形．5．（2分）如图，在△ABC中，∠A是钝角，若AB＝1，AC＝3，则BC的长度可能是（）A．π﹣1B．3C．D．【分析】根据三角形三边关系，第三边小于AB+AC，且BC的长度大于当∠A是直角时BC的长度，根据勾股定理即可计算∠A为直角时BC的长度．【解答】解：根据三角形三边关系，第三边小于AB+AC＝4，当∠A为直角时，AB，AC分别是两直角边，则第三边即斜边的长度为BC＝＝，故＜BC＜4，只有C选项符合题意，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形三边关系，本题中正确的根据勾股定理计算当∠A为直角时BC的长是解题的关键．6．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，且DE：CE＝1：3，以点A为圆心，AE 为半径画弧，交BC于点F，若F是BC中点，则AD：AB的值是（）A．6：5B．5：4C．6：D．：2【分析】设DE＝a，CE＝3a，可得CD＝4a＝AB，由勾股定理可得+16a2＝a2+AD2，可得AD＝2a，即可求解．【解答】解：∵DE：CE＝1：3，∴设DE＝a，CE＝3a，∴CD＝4a＝AB，∵F是BC中点，∴BF＝BC＝AD，∵以点A为圆心，AE为半径画弧，交BC于点F∴AE＝AF∵AF2＝BF2+AB2，AE2＝DE2+AD2，∴+16a2＝a2+AD2，∴AD＝2a，∴AD：AB＝：2故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，用参数表示AB 和AD的长是本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上）7．（2分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【解答】解：若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．8．（2分）将0.00806用科学记数法表示为8.06×10﹣3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00806＝8.06×10﹣3．故答案为：8.06×10﹣3．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（2分）分解因式：2a2﹣8的结果为2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式分解因式是解题关键．10．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标（2，3）．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．（2分）若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2﹣11x+5＝0的两个根，则长方形的面积是．【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得ab＝，即可得到结论．【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，根据题意得，ab＝，所以长方形的面积＝ab＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．（2分）甲、乙两人5次射击命中的环数如下：甲78988乙789610则这两人5次射击命中的环数的平均数都是8，s甲2＜s乙2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】分别计算出甲、乙两人的方差，再比较即可．【解答】解：由题意得：S甲2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝，S乙2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴s甲2＜s乙2．故答案为＜．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，若AB＝5，BC＝3，则sin∠ACD＝．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD，利用等边对等角得出∠A＝∠ACD，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD．∵AB＝5，BC＝3，∠ACB＝90°，∴sin∠A＝＝，∴sin∠ACD＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，正弦函数的定义，难度适中．得出∠A＝∠ACD是解题的关键．14．（2分）如图，点A、B、C在半径为2的⊙O上，BC∥OA，∠A＝25°，则劣弧AB的长为．【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据圆周角定理求出∠AOB，根据弧长公式求出即可．【解答】解：∵BC∥OA，∠A＝25°，∴∠C＝∠A＝25°，∴由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝50°，∴劣弧AB的长是＝π，故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理、平行线的性质等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．15．（2分）如图，菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，点B、C的坐标分别为（0，2）、（3，0），点A、D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为12．【分析】由菱形对角线互相垂直平分，对角线BD与x轴平行，结合已知可求A点坐标，即可求k；【解答】解：菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，点B、C的坐标分别为（0，2）、（3，0），∵菱形对角线互相垂直平分，∴A（3，4），将点A（3，4）代入中，∴k＝12；故答案为12；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，菱形的性质；根据根据菱形对角线的性质求出点A的坐标是解题的关键．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，D是AB上一个动点，将点D绕点C顺时针旋转60°，得到点E，连接AE．若AE＝，则BD＝1或3．【分析】取AB中点F，连接EF，直线EF交AC于点K．分点E在△ABC内部或外部两种情形分别求解即可．【解答】解：取AB中点F，连接EF，直线EF交AC于点K．情形1：当点E在△ABC内部时，如图1中，连接CF，DE．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，AC＝BC＝4，∵AF＝FB，∴CF＝BF＝AF，∵∠B＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴CF＝CB，∠BCF＝60°，∵CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠BCF＝∠DCE，∴∠BCD＝∠FCE，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴BD＝EF，∠B＝∠CFE＝60°，∴∠CFE＝∠BCF＝60°，∴EF∥BC，∵AF＝FB，∴AK＝CK＝2，FK＝BC＝2，在Rt△AEK中，EK＝＝＝1，∴EF＝FK﹣EK＝1．情形2：当点E在△ABC外部时，同法可得：BD＝EF＝FK+EK＝2+1＝3，故答案为1或3．【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．18．（7分）化简：【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和△CDF，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，由等边三角形的性质可得BE＝EA＝AB＝CD＝CF＝DF，∠EBA＝∠CDF＝60°，由“SAS”可证△ADF ≌△CBE，可得EC＝AF，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形AECF为平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC∵△ABE和△CDF是等边三角形∴BE＝EA＝AB＝CD＝CF＝DF，∠EBA＝∠CDF＝60°∴∠ADF＝∠EBC，且AD＝BC，BE＝DF∴△ADF≌△CBE（SAS）∴EC＝AF，且AE＝CF∴四边形AECF为平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．20．（8分）为了解全区3000名九年级学生英语听力口语自动化考试成绩的情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分30分且得分均为整数），制成下表：分数段（x分分）0≤x≤1819≤x≤2122≤x≤2425≤x≤2728≤x≤30人数101535112128（1）填空：①本次抽样调查共抽取了300名学生；②学生成绩的中位数所在的分数段是25≤x≤27；③若用扇形统计图表示统计结果，则分数段为0≤x≤18的人数所对应扇形的圆心角为12°；（2）如果将25分以上（含25分）定为优秀，请估计全区九年级考生成绩为优秀的人数．【分析】（1）①将表中各分数段数据相加即可得；②根据中位数的定义即可得；③用360°乘以对应的比例即可得；（2）用总人数乘以后两组人数和所占比例即可得．【解答】解：（1）①由表格可知，本次抽样调查的人数＝10+15+35+112+128＝300（人）．②成绩的中位数是第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据均落在25≤x≤27，所以中位数落在25≤x≤27；③分数段为0≤x≤18的人数所对应扇形的圆心角为360°×＝12°，故答案为：①300；②25≤x≤27；③12；（4）该区九年级考生成绩为优秀的人数＝×3000＝2400（人）．【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总人数及中位数的定义、样本估计总体思想的运用．21．（8分）小建和小邺来到绿博园游玩，现有A、B、C三条观光路线可随机选取．（1）小建恰好选择A路线的概率是；（2）求小建和小邺都选择A路线的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求出答案；（2）首先画出树状图，进而得出符合题意的路径，即可求出小建和小邺都选择A路线的概率．【解答】解：（1）∵小建到绿博园有A、B、C三条路线，∴小建恰好选择A路线的概率是，故答案为：；（2）如图所示：，由树状图可得，一共有9种可能，小建和小邺都选择A路线的有1种，故小建和小邺都选择A路线的概率为．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题关键．22．（6分）（1）我们把邻边之比为：1的矩形叫做标准矩形．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图作出标准矩形ABPQ，使得点P、Q分别在线段BC、AD上．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若AB＝2，则（1）中的矩形ABPQ的面积为6．【分析】首先构造等腰直角△AEB，AE＝EB，∠AEB＝90°，再分别以A，B为圆心，AE为半径画弧交AD于Q，交BC于P，四边形ABPQ即为所求．【解答】解：（1）如图，四边形ABPQ即为所求．（2）∵四边形ABPQ是矩形，AB＝2，AQ＝，∴S矩形ABPQ＝2×＝6，故答案为6．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（8分）下框中是小淇、小尧对南京2018年一道中考题目的部分解答．题目：刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？小淇：；小尧：根据以上信息，解答下列问题．（1）小淇同学所列方程中的x表示这种大米的原价，小尧同学所列方程中的y表示第一次购买大米的质量；（2）在上述两个方程中任选一个求解，并回答题目中的问题．【分析】（1）设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程．（2）解分式方程即可．【解答】解：（1）设这种大米的原价是每千克x元，则第二次购买的大米的单价是每千克0.8x．根据两次购买的总数量为40kg，列方程为：；若设第一次购买大米的质量为y，则第二次购买大米的质量是（40﹣y）kg，根据两次购买大米的单价间的数量关系列出方程：故答案是：这种大米的原价；第一次购买大米的质量；（2）选择．整理，得84+140＝32x．x＝7．经检验：x＝7是原方程的解．答：这种大米的原价是7元/千克．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24．（8分）甲、乙两人在笔直的道路AB上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为千米/分，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的部分函数图象如图．（1）A、B两地相距24千米，甲的速度为千米/分；（2）求线段EF所表示的y与x之间的函数表达式；（3）当乙到达终点A时，甲还需多少分钟到达终点B？【分析】（1）观察图象知A、B两地相距为24km，由纵坐标看出甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用了6分钟，则甲的速度是千米/分钟；（2）列方程求出相遇时的时间，求出点F的坐标，再运用待定系数法解答即可；（3）根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案【解答】解：（1）观察图象知A、B两地相距为24km，∵甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用了6分钟，∴甲的速度是千米/分钟；故答案为：24，；（2）设甲乙相遇时甲所用的时间为a分钟，根据题意得，，解得，a＝18，∴F（18，0），设线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得，，解得，∴线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣x+33；（3）相遇后乙到达A地还需：（18×）÷＝4（分钟），相遇后甲到达终点B还需：（12×）÷＝54（分钟）当乙到达终点A时，甲还需54﹣4＝50分钟到达终点B．【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲、乙的速度是解题关键．注意求出相遇后甲、乙各自的行驶路程和时间．25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CD＝6cm，DE＝5cm，求⊙O直径的长．【分析】（1）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E 为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC ＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO ＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连结DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，BC＝＝＝8，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴⊙O直径的长为．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．26．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1（m为常数）．（1）证明：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，求m 的值．【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m ＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【解答】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而增大，则x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝1，m2＝﹣3（舍去）；综上所述，m的值为﹣5或1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．27．（12分）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD．证明：四边形ABCE是“等对角四边形”．（2）如图②，在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，AB ＝17，BC＝18，求CD的长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠B＝∠D，则BD的最大值是4+．（直接写出结果）【分析】（1）证明∠B＝∠E，即可证明四边形ABCE是“等对角四边形”；（2））过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，先证明四边形EBFD为矩形，于是BE＝DF，BF＝DE，在Rt△CDF中，tan∠FCD＝＝tan53°＝，可设DF＝4x，CF ＝3x，则CD＝5x则BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A ＝，于是3DE＝4AE，列出方程3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），求得x＝2，即CD＝5x＝10；（3））由∠ABC＝60°，可知点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的上运动，当BD经过圆心O时，BD最长，即为B1D的长，求出即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADE，∵AE＝AD，∠E＝∠ADE，∴∠B＝∠E，∴四边形ABCE是“等对角四边形”；（2）如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠BED＝∠BFD＝90°，又∠B＝90°，∴四边形EBFD为矩形，∴BE＝DF，BF＝DE，在Rt△CDF中，tan∠FCD＝＝tan53°＝，设DF＝4x，CF＝3x，则CD＝5x∴BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A＝，∴3DE＝4AE，3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），∴x＝2，CD＝5x＝10（3）∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴∠CDA＝60°，∠ABC＝60°，∴点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的上运动，∴当BD经过圆心O时，BD最长，即为B1D的长，如图③，连接DO，与弧交于点B1，连接OC，作OE∥AC，与DC的延长线交于点E ∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，∴AC＝4，易知∠OCA＝30°，∠COE＝∠OCA＝30°，∴OC＝OB＝4，CE＝2，OE＝，∴DE＝CE+DC＝2+4＝6∴OD＝，∴DB1＝OD+OB1＝4+4，则BD的最大值是．故答案为．【点评】本题是圆综合题，熟练运用圆的相关性质与三角函数是解题的关键．。

2021年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共14小题，共36.0分）1.下列数中值最小的是()A. 12B. −12C. −2D. 22.逢山开路，遇水搭桥，中国高速的发展势不可挡.截至2021年3月底，中国高速公路里程已超15万公里，居世界第一!数据15万用科学记数法表示为()A. 1.5×104B. 1.5×105C. 15×104D. 0.15×1063.a4⋅a2=()2，则()里可以填写的式子是()A. a1B. a2C. a3D. a44.如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是()A. 212B. 444C. 535D. 8085.某班级采用小组学习制，在一次数学单元测试中，第一组成员的测试成绩分别为：95、90、100、85、95，其中得分85的同学有一道题目被老师误判，其实际得分应该为90分，那么该小组的实际成绩与之前成绩相比，下列说法正确的是()A. 数据的中位数不变B. 数据的平均数不变C. 数据的众数不变D. 数据的方差不变6.文昌阁是扬州的标致性建筑，其阁高约24米，数据24中最多包含多少个√10()A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，已知∠MON=α，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB=6，则直线AB与ON之间的距离d的范围是3< d<3√3，则α的度数可能是()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°8.如图，已知点D是△ABC的边AC的中点，点O为△ABC内部上的一点，已知∠AOB=90°，OD=1，BC=5，则AB的最小值为()A. 2.5B. 3C. 3.5D. 49.32的倒数是()A. 32B. −32C. 23D. −2310.计算(−ab2)3的结果是()A. ab6B. −ab6C. a3b6D. −a3b611.数轴上表示a、b两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是()A. a+b>0B. a−b>0C. a⋅b>0D. a÷b<012.如图，过反比例函数y=kx(x<0)的图象上的一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，连接PO.若△OPQ的面积是2，则k的值是()A. 4B. −4C. 2D. −213.用一个平面截棱长为1的正方体(如图)，截面形状不可能是()A. 边长为1的正方形B. 长为√2、宽为1的矩形C. 边长为√2的正三角形D. 三边长分别为1、1、√2的三角形14.百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD(如图)，以下结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD，BC=CD，则AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；④存在凹四边形ABCD，有AB=CD，AD=BC．其中所有正确结论的序号是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共20小题，共50.0分）15.函数y=√x−3中，自变量x的取值范围是______．16.因式分解：2x4−8x2=______ ．17.如图是由6个大小相同的小正方体拼成的几何体，若去掉最左面的小正方体，则视图不发生改变的是______ .(填主视图、左视图或俯视图)18.如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的8×4网格，且点A，B，C都是格点，则△ABC的重心坐标为______ ．b2的值等于______ ．19.若2a−3b=2√2，则a2−3ab+9420.如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知AB=5m，AC=4m，BC=3m，若从天空飘落下一片树叶恰好.(填>、<或=)．落入花园里，则落入水池的概率______ 1221.中国清代数学著作《御制数理精蕴》中有这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(“两”是我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．则马每匹价______两．22.平面直角坐标系中的点(−2,m)(m>0)绕原点顺时针旋转90度得点(4,n)，则m+n的值等于______ ．23.如图，已知圆锥底面半径是2√3，母线长是6√3.如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是______ ．24.定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为(x,y)，当x<0时，点P的变换点P′的坐标为(−x,y)；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为(−y,x)．抛物线y=(x−2)2+n与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，顶点为E，点P 在该抛物线上.若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为______ ．+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．25.若式子2x−126.计算√18−2√8的结果是______ ．27.新冠病毒粒径约为0.1μm(1μm=10−6m)，用科学记数法表示0.1μm是______ m.28.若x1、x2是一元二次方程−2x2+3x+1=0的两个根，则x1+x2的值是______ ．29.顶角是36°的等腰三角形叫做黄金三角形.如图，AC、AD、BE是正五边形ABCDE的3条对角线，图中黄金三角形的个数是______ ．30.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转后得△A′B′C，且点B′落在AB边上，连接AA′.若BC=2，则四边形AB′CA′的面积为______ ．31.已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，则得到结论∠A+∠C=180°.上述推理由因到果的依据是______ ．32. 将二次函数y =2x 2−4x −1的图象沿着y 轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______ ．33. 如图，线段AB 、CD 的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M.若每个小正方形的边长都是1，则MC MD 的值是______ ．34. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心，2个单位长度为半径画圆.若一次函数y =kx +5k(k 为常数，k ≠0)的图象与⊙O 有公共点，则k 的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）35. (1)计算：2−1−√3cos30°+(π−3.14)0；(2)化简：m−1m ÷m 2−2m+12m ．四、解答题（本大题共20小题，共176.0分）36. 解不等式组{2x −3≥03x−54−1<0并写出不等式组的整数解．37. 为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A(洪家关)，B(天门山)，C(大峡谷)，D(黄龙洞)”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：(1)本次调查的学生人数为______；(2)在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为______；(3)请将两个统计图补充完整；(4)若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为______．38.为了响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文学科王老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．(1)李佳同学被王老师选为家访对象的概率是：______ ；(2)请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．39.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得△A′B′C′，边A′B′交BC于点D．(1)求cos∠BDB′；(2)连接BB′，判断四边形BCC′B′的形状，并说明理由；(3)若四边形BCC′B′为正方形，则平移得距离为______ ．40.为了支援帮扶结对学校的建设，某学校号召同学们捐出自己的零花钱帮助结对学校的同学们购买图书.已知该校中学部的捐款总额为9000元，小学部的捐款总额为12000元，中学部和小学部的人均捐款额相等，但小学部的捐款人数比中学部的捐款总数多50人，求该校小学部参与捐款的人数．41.如图，已知△ACD是底角为30°的等腰三角形，B为AD上一点，以AB为直径的⊙O恰好过点C．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)M 为⊙O 下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足∠MCB =∠DCB ，已知半径等于2，求弧AM 的长．42. 我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标.如：求直线y =2x +3与y =−x +6的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组{y =2x +3y =−x +6，解得{x =1y =5，所以直线y =2x +3与y =−x +6的交点坐标为(1,5).请利用上述知识解决下列问题：(1)求直线y =x −2和双曲线y =3x 的交点坐标；(2)已知直线y =kx −3和抛物线y =x 2+2x +4，若直线与抛物线只有一个交点，则k 的值为______ ；(3)如图，已知点A(a,0)是x 轴上的动点，B(0,4√2)，以AB 为边，在AB 右侧作正方形ABCD ，当正方形ABCD 的边与反比例函数y =2√2x 的图象有4个交点时，请直接求出a 的取值范围．43.如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为a cm/s(当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止).连接PQ，设P 的运动的时间为t(单位：s).设CQ=y，运动时间为(s)，y与t的函数关系如图②所示，解答下列问题：(1)a的值______ ；当t=______ 时，PQ//BC；(2)设△AQP面积为S(单位：cm2)，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．(3)是否存在某一时刻使得△AQP为等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．(4)如图3，连接BQ、CP交于点E，求当∠CPQ=∠CBQ时，t的值．44. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2√3，BC =2，点D 是AC 上的一个动点，将△ABD 沿BD 折叠得到△A′BD ，A′B 交AC 于F 点．(1)∠A′的度数为______ ；(2)当△A′DF 为直角三角形时，求A′D 的长；(3)如图2，若点E 为线段A′B 的四等分点(A′E <BE)，连接线段CE ，当D 点从点A 移动到点C ．①当D 点在AB 的垂直平分线上时，CEDB 的值为______ ；②求线段CE 扫过的面积______ ．45. 解方程组{x −2y =33x =2y +5．46.解一元一次不等式1−x2−6<x−43，并把它的解集在数轴上表示出来．47.已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等.若乙比甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？48.某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示(统计图中乙的第8次射击成绩缺失)．甲、乙两人连续8次射击成绩统计表平均成绩(环)中位数(环)方差(环 2)甲______ 7.5______乙6______ 3.5(1)补全统计图和统计表；(2)如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由．49.在4张完全一样的纸条上分别写上1、2、3、4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀.甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支．(1)甲抽到写着数字“1”的签的概率是______ ．(2)乙抽到写着数字“1”的签的概率与(1)的结果相同吗？请通过计算说明．50.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作DE//AC且DE=AC，交BC于点O，连接CD、BE、CE．(1)求证：四边形BECD是菱形；(2)当AB和AC满足数量关系______ 时，四边形BECD是正方形．51.如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB=CD.求证PB=PD．52.如图，有一垂直于地面的电线杆AB.在一建筑物二楼平台上的C处和三楼平台上的D处测得A的仰角分别为45°、35°.已知建筑物的层高CE和DF都是3.3m，CF的长为3m.求电线杆AB的高度．(图中所有点都在同一平面内，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.)53.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使CE⋅FC=DE⋅AD．(1)求证∠D=∠F；(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹，不写作法)．54.如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B(抛出前两小球在同一水平面上)，小球到达最高点后会自由竖直下落到地面.A、B两球到地面的距离y1(m)和y2(m)与小球A离开小明手掌后运动的时间x(s)之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2.已知抛物线C1经过点P(0,2)，顶点是Q(1,7)，抛物线C2经过M(1,2)和N(2,5)两点，两抛物线的开口大小相同．(1)分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．(2)在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．①当x的值为______ 时，两小球到地面的距离相等；②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？55.如图，E是边长为4的正方形ABCD边BC上一点，BE长为1.点F从点B开始，在正方形的边上，沿着B−A−D−C方向运动，到达点C后停止运动.点A关于直线EF的对称点为A′.从“点”开始(1)求点A′与点D的最小距离和最大距离．由“点”到“线”(2)当直线A′D与点A′的轨迹(即点A′运动形成的图形)有且只有1个公共点时，DA′的长是______ ．拓“线”成“形”(3)在点F经过点A后至点F到达点C前的过程中，当点A′恰好落在正方形ABCD的边所在直线上时，直接写出此时点F运动的路程．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵−2<−12<12<2，∴最小的数是−2，故选：C．根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可作出判断．本题考查了有理数的比较大小，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2.【答案】B【解析】解：15万=150000=1.5×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：a4⋅a2=a6=(a3)2，所以()里可以填写的式子是a3．故选：C．根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则求解即可．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：这四个图案具有的性质是轴对称图形，在212、444、535、808中，是轴对称图形的是808．故选：D．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．本题考查了轴对称图形，掌握定义是解答本题的关键．5.【答案】A【解析】解：因为得分85的同学有一道题目被老师误判，其实际得分应该为90分，所以数据的平均数变小，数据的方差变大，数据的众数改变，只有数据的中位数不变，仍为95，故选：A．根据算术平均数的计算公式、中位数、众数的概念和方差的性质进行判断即可．本题考查的是算术平均数、中位数、众数和方差的计算和性质，掌握它们的概念、性质和计算公式是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：9<10<16，3<√10<4，6<24÷√10<8，数据24中最多包含7个√10，故选：C．先估算√10的取值范围，再求出24÷√10的取值范围可得答案．本题考查无理数的估算，正确估算出√10的取值范围是解关键．7.【答案】C【解析】解：由作法得OP平分∠MON，∴∠MOA=∠NOA，∵AB//ON，∴∠NOA=∠BAO，∴∠BOA=∠BAO，∴BO=BA=6，过B点作BH⊥ON于H，如图，则3<BH<3√3，∵sin∠BOH=BHOB，∴12<sin∠BOH<√32，即sin30°<sin∠BOH<sin60°，∴30°<∠BOH<60°．故选：C．利用作法得到OP平分∠MON，则∠MOA=∠NOA，再证明∠BOA=∠BAO得到BO=BA=6，过B点作BH⊥ON于H，如图，利用正弦的定义得到sin∠BOH=BHOB ，则12<sin∠BOH<√32，所以sin30°<sin∠BOH<sin60°，于是可对各选项进行判断．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了特殊角的三角函数值．8.【答案】B【解析】解∵D是△ABC的边AC的中点，OD=1，∴O点在以D为圆心，1为半径的圆上，∵∠AOB=90°，∴O点在以AB为直径的圆上，∴O点在⊙D与⊙E的交点上，∴当两圆相切时，AB最小，连接DE，∵BC=5，∴DE=52，∴OE=52−1=32，∴AB=3，∴AB的最小值为3，故选：B．O 点在以D 为圆心，1为半径的圆上，O 点也在在以AB 为直径的圆上，由此可知O 点在⊙D 与⊙E 的交点上，当两圆相切时，AB 最小．本题考查最短路径问题，由定点定长、∠AOB =90°，确定O 点的轨迹是在⊙D 与⊙E 的交点处是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：32的倒数是23．故选：C ．根据倒数的定义解答．主要考查倒数的概念及性质．考察了学生对概念的记忆，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：(−ab 2)3=−a 3b 6．故选：D ．根据积的乘方法则先展开得出(−a)3×(b 2)3，再求出结果即可．本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．11.【答案】A【解析】解：∵a 、b 两数的点分别在原点左、右两侧，∴a <0，b >0，A 、a +b >0，是随机事件；B 、a −b >0，是不可能事件；C 、a ⋅b >0，是不可能事件；D 、a ÷b <0，是必然事件；故选：A ．根据数轴的概念得到a <0，b >0，根据有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则计算，判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12.【答案】B【解析】解：∵△OPQ的面积是2，∴k的绝对值为4，∵反比例函数的图象在第二象限，∴k的值为−4，故选：B．根据反比例函数系数k的几何意义，可知k的绝对值为2S△OPQ，反比例函数的图象在第二象限，即可判断出k的值．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解k与△OPQ的面积的关系，是解决问题的关键．13.【答案】D【解析】解：如果沿垂直于底面的方向截正方体，得到边长为1的正方形，故A选项可能，不合题意；如果沿正面的上面的棱和背面下面的棱构成的平面斜截正方体，得到长为√2，宽为1的矩形，故B选项可能，不合题意；如果沿三个面的对角线截，得到边长为√2的正三角形，故C选项可能，不合题意；∵12+12=(√2)2，∴这个截面是直角三角形，而正方体的截面不可能是直角三角形，故D选项不可能，符合题意；故选：D．根据用平面截正方体不同的截法，逐一排除各选项即可．本题考查了正方体的截面，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握正方体的截面是解题的关键．14.【答案】B【解析】解：①连接AC并延长至点E，∵∠BCE为△ABC的外角，∴∠BCE=∠BAC+∠B，∵∠DCE为△DAC的外角，∴∠DCE=∠CAD+∠D，∴∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠DAC+∠B+∠D=∠BAD+∠B+∠D．故①正确，符合题意．②连接AC，BD，在△ABC和△ACD中，{AB=AD BC=DC AC=AC，∴△ABC≌△ACD(SSS)．∴∠BAC=∠DAC，又∵AB=AD，∴△ABD为等腰三角形，∴AC⊥BD，故②正确，符合题意．③若∠BCD=2∠A，则点A，B，D在以C为圆心，CB长为半径的圆上，∴CB=CD，故③正确，符合题意．④连接BD，在△ABD和△CDB中，{AB=CD AD=BC AC=AC，∴△ABD≌△CDB(SSS)．∴∠A=∠BCD，又∵∠BCD=∠A+∠B+∠D，故④错误，不符合题意．故选：B．①连接AC并延长至点E，由三角形外角定理可得∠BCD=∠A+∠B+∠D．②连接AC，BD，证明△ABC≌△ACD，由等腰三角形三线合一求解．③若∠BCD=2∠A，则点A，B，D在以C为圆心，CB长为半径的圆上，即可判断．④连接BD，证明△ABD≌△CDB进行判断．本题考查四边形及三角形的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角定理，等腰三角形的性质，通过添加辅助线求解．15.【答案】x≥3【解析】解：根据题意得：x−3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．根据二次根式√a有意义的条件是a≥0，即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16.【答案】2x2(x+2)(x−2)【解析】解：2x4−8x2=2x2(x2−4)=2x2(x+2)(x−2)．故答案为：2x2(x+2)(x−2)．直接提取公因式2x2，再利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．17.【答案】左视图【解析】解：若去掉最左面的小正方体，其左视图不变，即左视图依然还是三层，底层两个正方形，第二层有一个，顶层有一个正方形．故答案为：左视图．根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．18.【答案】(4,2)【解析】解：作出BC边中线AD、AC边上的中线BF，AD和BF交于点G，则点G为重心．由图观察可知点G坐标为(4,2)，故答案为：(4,2)．三角形重心是三角形的中线的交点，作出BC边中线AD、AC边上的中线BF，AD和BF交于点G，则点G为重心．本题考查了三角形重心，坐标与图形性质，掌握重心的定义以及画出中线是解题关键．19.【答案】2【解析】解：∵2a−3b=2√2，∴a2−3ab+94b2=14(2a−3b)2=14×(2√2)2=2．故答案是：2．利用完全平方公式将a2−3ab+94b2的变形为14(2a−3b)²，然后将已知条件整体代入求值即可．本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，然后化简后代入求值计算，把(2a−3b)看成一个整体比较关键．20.【答案】>【解析】解：如图如示，圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D、E、F，圆形水池中心为O，连接DO、OF、OE，设CF为x m，则CF=x m，AD=AE=AC−DC=(4−x)m，BF=BE=BC−CF=(3−x)m，由AB=AE+BE可得(3−x)+(4−x)=5，解得x=1，AC²+BC²=4²+3²=25，AB²=5²=25，由勾股定理逆定理得△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，D、F分别是圆O与AC、BC相线切的切点，∴∠ODC=∠OFC=90°，OD=OF，∴四边形DOFC为正方形，∴CF=DO=1m，∴水边的面积为：π×1²=πm2，S△ACB=12BC×AC=12×4×3=6m，S圆O S△ACB =π6>12，故答案为：>．圆形水池与△ABC 三边相切且切点分别为D 、E 、F ，圆形水池中心为O ，由切线长定理求出CF 的长，再由勾股定理逆定理得出△ACB 为直角三角形，由圆的面积公式和直角三角形的面积公式可求出结果．本题考查勾股定理逆定理，切线长定理，解本题关键熟练掌握勾股定理逆定理，切线长定理和圆的面积公式以及三角形的面积公式．21.【答案】6【解析】解：设马每匹价x 两，牛每头价y 两，依题意，得：{4x +6y =483x +5y =38， 解得：{x =6y =4． 故答案为：6．设马每匹价x 两，牛每头价y 两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．22.【答案】6【解析】解：观察图象可知：点A(−2,m)绕原点顺时针旋转90度得点B(4,n)，∴m =4，n =2，∴m +n =6，故答案为：6．利用图象法解决问题即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是画出图形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】18【解析】解：设∠ABC=n°，∴底面圆的周长等于：2π×2√3=nπ×6√3，180解得：n=120°；连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°．∵AB=6√3，∴BD=3√3，∴AD═3√3×√3=9，∴AC=2AD=18，即这根绳子的最短长度是18．故答案为：18．利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数，从而求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．此题考查了圆锥的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．24.【答案】−8或−2或−3【解析】解：∵四边形ECP′D是菱形，∴点E与点P′关于x轴对称．∵点E的坐标为(2,n)，∴点P′的坐标为(2,−n)．当点P在y轴左侧时，点P的坐标为(−2,−n)．代入y=(x−2)2+n，得−n=(−2−2)2+n．n=−8．当点P在y轴右侧时，点P的坐标为(−n,−2)．代入y=(x−2)2+n，得−2=(−n−2)2+n.n1=−2，n2=−3．综上所述，n的值是n=−8，n=−2，n=−3．故答案为：−8或−2或−3．利用菱形的性质，可知E，P′关于x轴对称，分两种情形分别构建方程即可解决问题．本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．25.【答案】x≠1【解析】解：根据分式有意义的条件得：x−1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠1．分式有意义的条件为：分母≠0，列出不等式计算即可．本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件分母≠0是解题的关键．26.【答案】−√2【解析】解：原式=3√2−4√2=−√2．故答案为−√2．根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．本题主要考查二次根式的加减法，合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．27.【答案】1×10−7【解析】解：0.1μm=0.1×10−6m=1×10−7m，故答案为：1×10−7．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．28.【答案】32【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程−2x2+3x+1=0的两个根，∴x1+x2=−3−2=32，故答案为：32．根据根与系数的关系得出即可．本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．29.【答案】6【解析】解：∵ABCDE是正五边形，∴∠ABC=∠BAE=∠AED=108°，∵AB=BC=AE=ED，∴∠BAC=∠BCA=36°，∠EAD=∠ADE=36°，∴∠CAD=36°，∵AC=AD，∴△ACD、△AMN是黄金三角形，同理可证：△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．根据正五边形的性质和黄金三角形的定义进行分析．此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．30.【答案】4√3【解析】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠B=60°，AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，∵△ABC绕点C顺时针旋转后得△A′B′C，且点B′落在AB边上，∴CB′=CB，A′B′=AB=4，∠CB′A′=∠B=60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′=60°，∵∠BCB′=∠CB′A′，∴A′B′//BC，而BC⊥AC，∴A′B′⊥AC，×4×2√3=4√3．∴四边形AB′CA′的面积=12故答案为4√3．先计算出∠B=60°，AB=2BC=4，AC=2√3，再根据旋转的性质得到CB′=CB，A′B′=AB=4，∠CB′A′=∠B=60°，则可判断△CBB′为等边三角形，接着证明A′B′//BC，所以A′B′⊥AC，然后根据三角形面积公式计算四边形AB′CA′的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．证明AC⊥A′B′为解决问题的关键．31.【答案】圆内接四边形的对角互补【解析】解：∵四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∴∠A+∠C=180°(圆内接四边形的对角互补)．故答案为：圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的性质解决问题即可．本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是掌握圆内接四边形对角互补的性质．32.【答案】y=2x2+4x−1【解析】解：将二次函数y=2x2−4x−1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是y=2(−x)2−4⋅(−x)−1，即y=2x2+4x−1，故答案为y=2x2+4x−1，根据二次函数图象与几何变换，将x换成−x，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．本题考查了二次函数图象与几何变换，明确关于y轴对称的点的横坐标化为相反数是解。

2021年江苏省中考数学全优模拟试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示，CD 是平面镑，光线从A 点出发经 CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为 C ．D ，且 AC= 3，BD=6，CD= 11，则tan α的值为（ ）A ．113B ．311C ． 911D ．1192．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．61B ．81C ．91D ．121 3．下列说法中，错误的是（ ）A ．长方体、立方体都是棱柱B ．竖放的直三棱柱的侧面是三角形C ．竖放的直六棱柱有六个侧面，侧面为长方形C ．球体的三种视图均为同样大小的图形4．如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）A ．k>0，b>OB ．k>0，b<0C ．k<0,b>0D ．k<0，b<05．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，若△A ′B ′ C ′与△ABC 关于y 轴对称，则点A 的对称点A ′的坐标为（ ）A ．（-4，2）B ．（-4，-2）C ．（4，-2）D ．（4，2）6．方程27x y +=在自然数范围内的解有（ ）A ．1个B ． 2个C ．3个D ．4个7．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（）A．x3－x＝x（x2－1）B．x2－2xy＋y2＝（x－y）2 C．x2y－xy2＝xy（x－y） D．x2－y2＝（x－y）（x＋y）8．梯形的面积为 S，上底为 a，下底为 b，那么高h等于（）A．1()2S a b+B．2Sa b+C．2S()a b+D．2()a bS+9．下列说法正确的个数为（）①一个数的倒数一定小于这个数；②一个数的倒数一定大于这个数；③0 除以任何数都得0；④两个数的商为 0，只有被除数为 0.A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个二、填空题10．如图，在高为 2m，坡角为 30°的楼梯上铺地毯，则地毯长度至少要 m．11．若等腰三角形的顶角为 120°，腰长2cm，则周长为 cm．12．两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为_____________．13．如图，已知M是平行四边形ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比为______．14．已知⊙O的半径OA=1，弦 AB、AC 的长分别是2、3，则∠BAC的度数为．15．如图，数轴上表示的关于x的一元一次不等式组的解集为．16．从某鱼塘里捕上l50条鱼做上标记，然后放回鱼塘里去，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，再捕第二次样品鱼200条，若其中带标记的鱼有10条，可估计鱼塘里有条鱼．17．如图，AB∥CD，∠B=x，∠D=y，那么∠BCD可用含x、y的代数式表示为 .解答题18．已知∠AOB是由∠DEF经过平移变换得到的，且∠AOB+∠DEF=120°，则∠AOB= .解答题19．如果一个三角形的两个角都是80°，那么第三个角的度数是 .∠= ．20．如图，图中的121．某商店销售一批色拉油，若按每瓶 40 元出售，则相对于进价来说，每瓶可获利 25%，这种色拉油每瓶的进价是元.22．由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变(大小可以改变)．这样的图形改变叫做图形的；原图形和经过相似变换后得到的像．我们称它们为．23．合并同类项2222-+= .4-25x xy x y x三、解答题24．小明和小乐做摸球游戏，一只不透明的口袋里放有 3 个红球和 5 个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球，小明得 3 分，若是绿球，小乐得 2 分，游戏结束时得分多者获胜.(1)你认为这个游戏对双方公平吗？(2)若你认为公平，请说明理由；：若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则. 使该游戏对双方公平.25．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.(1)若PA=4,求△PED的周长；(2)若∠P=40°,求∠DOE的度数．26．已如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠ABC=2∠A, BM平分∠ABC 交外接圆于点M,ME∥BC交AB于点 E. 试判断四边形EBCM的形状，并加以证明.27．如图，已知直线l，求作一条直线m，使l与m的距离为 1.4 cm(只作一条)．28．(不要求写作法)：如图，在10×1O的方格纸中，有一个格点四边形ABCD(即四边形的顶点都在格点上).(1)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形A1B1C2D1；(2)在给出的方格纸中，画出与四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2.29．如图，已知∠AOB=90°，∠AOC为锐角，0D平分∠AOC，OE平分∠BOC．(1)求∠DOE的度数．(2)当∠AOB=m°时，∠DOE等于多少度?30．一个角的补角比它的余角的2倍还大18°，求这个角．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．D7．A8．B9．B二、填空题10．(2 11．4+．613．１：314．75°或15°15．13x-<≤16．300017．1800+x-y18．60°19．20°20．50°21．3222．相似变换，相似图形23．2224x xy+三、解答题24．(1)不公平；(2)()3 8P=摸出红球，()58 P=摸出绿球∵小明平均每次得分39388⨯=(分)小乐平均每次得分55284⨯=(分)∵9584<，∴游戏不公平.可修改为：①口袋里只放 2 个红球和 3 个绿球；或②摸出红球小明得 5 分，摸出绿球小乐得3分.25．（1）8；（2）70°．26．四边形 EBCM是菱形.∵∠ABM=∠MBC=12∠ABC,∠ABC= 2∠A , ∴∠A=∠ABM,∵∠A=∠BMC,∴∠ABM=∠BMC,∴BE∥CM，∵ME∥BC，∴四边形 EBCM 是平行四边形.∵∠A= ∠MBC, ∴⌒BC =⌒MC , ∴BC=MC,∴□EBCM 是菱形. 27．略28．如图：29．(1)45° (2)12 m°30．18°。

2021年江苏省南京市中考数学全真试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，已知 PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 为过圆心0 的割线，DB ⊥PC 于点B ，DB=3 ㎝，PB=4cm ，则⊙O 的直径为（ ）A ．10 cmB ．12 cmC ．16 cmD ．20 cm2．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ）A.扩大为原来的5倍B.扩大为原来的10倍C.都扩大为原来的25倍D.与原来相等3． 方程2850x x -+=的左边配成完全平方后所得的方程是（ ）A ．2(6)11x -=B ．2(4)11x -=C ．2(4)21x -=D ．以上答案都不对 4．232x x -+ =2(___)x -（ ）5．在Rt ΔABC 中，∠C ＝Rt ∠，BC:AC ＝1:2，AB ＝5，则斜边上的高长为（ ）A ．315B ． 2C ． 1D ． 3152 6．已知a +b =2，则224a b b -+的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 7．如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠=，则AOD ∠等于（ ）A ．55B ．45C ．40D ．35 8．已知关于x 的方程3x ＋2a ＝2的解是a －1，则a 的值是（ ） A ．1B ．53C ．51D ．－1 9．若x y z <<，则x y y z z x -+-+-的值为（ ）A ． 22x z -B ．0C ．22x y -D ．22z x - 10． 在数轴上表示-1.2 的点在（ ）A ．-1 与0之间B ．-2 与- 1 之间C ．1 与2之间D ．-1 与 1 之间 11．如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（）A．100cm B．60cm C．50cm D．10cmA二C·B12．正方形边长为 2 ，若边长增加x，那么面积增加y，则y与ｘ的函数关系式．ｙ＝x2＋4x13．如果□ABCD和□ABEF有公共边AB，那么四边形DCEF是．14．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，求证：AD∥BC分析：连结AC，要证AD∥BC，只要证∠3= ，只要证△ABC≌，已有两个条件AB=CD，AC=CA，只需证∠1= ，易由证得．15．如图，已知AB∥CD，∠B=80°，∠BMD=30°，则∠D= ．16．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示．这个几何体最多可以由个这样的正方体组成．17．已知一次函数y=-2x+7，当y≤2时，自变量x的取值范围是．18．如图，AD是△ABC 的中线. 如果△ABC 的面积是18 cm2，则△ADC 的面积是cm2.19．某商品原价为a元，若按此价的8折出售，仍获利 b%，则此商品进价是元.20．比较大小：(1）1-_____－2 (2）2_____3 (3）3．14_____π21．一个多项式因式分解的结果为(3)(3)a a a -+-，则这个多项式是 .22．200629的个位数是 ；200623的个位数是 ．23．比 0 小 8 的数是 ，比 3 小 7 的数是 ，5℃比-2℃高 ．三、解答题24．为了解某城镇中学学做家务的时间，一综合实践活动小组对该班50•名学生进行了调查，根据调查所得的数据制成如右图的频数分布直方图．(1）补全该图，并写出相应的频数；(2）求第1组的频率；(3）求该班学生每周做家务时间的平均数；(4）你的做家务时间在哪一组内？请用一句话谈谈你的感受．25．在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字 1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字 1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同.(1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1 的概率；，(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率.26．化简求值：22(2)(1)(1)(1)a b a b a b a +-+-++++，其中12a =，2b =-．27．705班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长史小青去商店购买奖品，下面是史小青与售货员的对话：史小青：阿姨，你好！售货员：同学你好，想买点什么？史小青：我只有100元，请帮助我安排买10支钢笔和15本笔记本．售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见！根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？28．同时抛掷两枚普通的骰子. 把朝上的点数之和作为结果. 则所得的结果有几种可能性？如果掷出的结果是“8 点”，则甲胜，掷出的结果是“9 点”.则乙胜，他们的赢的机会相同吗？为什么？29．把20 cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm2，求这两段铁丝的长.30．某商店将进货每个10元的商品按每个18元售出，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一翻调查发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每个提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每个降低1元，则日销售就增加10个.为获得每日最大利润，此商品售价应定为多少元？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．D3．B4．9 16，345．B 6．C 7．D 8．A 9．D 10．B 11．C二、填空题12．13．平行四边形14．∠4，△CDA ，∠2，AB ∥CD15．50°16．817．52x ≥18．919．80100a b+20． >，<，<21．39a a -+22．1,923．-8，-4，7三、解答题24．（1）图略，频数为14；（2）频率为0.52；（3）1.24；（4）略．25．(1)在7张卡片中，共有两张卡片写有数字1，从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字 1 的概率是27(2)组成的所有两位数列表为：这个两位数大于22的概率为712. 26．22424a b ab ++，527．5元和3元．28．它们的结果有36种可能；不同，甲赢的机会大，理由略29．设较长的线段长为x ，则有2220()()544xx --=，解这个方程得12x =， 所以这两段铁丝的长分别为 l2cm 、8 cm.30．设此商品每一个售价为ｘ元，每日利润S 最大．当ｘ>18时，S ＝[60－5（ｘ－18）]（ｘ－10）＝－5（ｘ－20）2＋500；即商品提价，当ｘ＝20时，每日最大利润为500元．当ｘ<18时，S ＝[60＋10（18－ｘ）]（ｘ－10）＝－10（ｘ－17）2＋490；即商品降价，当ｘ＝17时，每日最大利润为490元．综上所述：此售价应定为每个20元，每日利润最大.。