【精编】2008年华侨、港澳、台联考高考数学试卷和参考答案和答案

专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 绝密*启用前2008年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学本试卷共10页，满分150分，考试用时120分钟。

题号一二三总分专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做第一、二题，在第三（21、22、23）题中任选两题；报考理工农医类的考生做第三（24、25）题，报考文史类的考生做第三（26、27）题。

得分评卷人一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内. 北京博飞教育中心（1）设a=sin210°,b=cos210°,c=tan210°,则（A）a<b<c （B）b<c<a （C）c<b<a （D）b<a<c【】（2）复数z=(A) (2+i)(1+2i)的模z= 2(1+i) 5533 (B) (C) (D) 4242【】（3）设不等式x2+ax+b<0的解为{x|−2<x<3},则a−b=(A) 7 (B) 5 (C) -5 (D) -7】北京博飞教育中心 【（4）若直线l与曲线xy=6相切于点p(2,3)，则直线l的斜率为(A) 3333 (B) (C) − (D) − 24421 【】专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 （5）设y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x3+lg(1+x),则当x<0时，f(x)=(A) −x3−lg(1−x) (B) x3+lg(1−x) (C) x3+lg11 (D) −x3−lg1−x1−x【】（6）函数f(x)=x3−12x+3(−3≤x≤3)的值域为区间(A) [−13,19] (B) [−13,21] (C) [−6,12] (D)[−6,19]】北京博飞教育中心 【（7）从1，2,···，8，9这九个数中,任取两个不同的数，其乘积为奇数的概率为 (A) 5512 (B) (C) (D) 91837【】（8）在公比大于1的等比数列{an} 中，若a1a9=72,a2+a8=27，则a10=(A) 48 (B) 38 (C) 32 (D) 26【】（9）若椭圆的焦距等于短轴长的二倍，则该椭圆的离心率为(A) 41 (B) (C) (D) 5533【】（10）在极坐标系中，以点N(4,0)为圆心，且与圆ρ=6sinθ外切的圆的方程为(A) ρ2=8ρcosθ+12 (B) ρ2=8ρcosθ−12(C) ρ2=8ρsinθ+12 (D) ρ2=8ρsinθ−12北京博飞教育中心 【】（11）若抛物线y=ax2的焦点在直线y=2x+3上，则a=11(A) 12 (B) 6 (C) (D) 612【】（12）给定两点A(1,2)、B(3,4)，若点P在x轴上移动，则使∠APB达到最大的点P的横坐标为(A) −5 (B) 1 (C) 3 (D) 5【】专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人二、填空题：本大题共八小题；每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上. 北京博飞教育中心x2y2（13）双曲线−=1两条准线的距离为__________________. 272，则tanθ+cotθ的值为___________________. 3n(2n+1)（15）lim=___________________.北京博飞教育中心 n→∞3+4n2（14）设sin2θ=（16）函数y=(2x+1)2(x+1)(4x+1)(x≥0)的最小值为_____________________.（17）在空间直角坐标系O−xyz中，经过点p(3,1,0)且与直线程为________ _. {2x+y=2x−2y+z=4垂直的平面的方（18）用(x+2)(x−1)除多项式p(x)=x6+x5+2x3−x2+3所得的余式为1（19）设球面上的三个点A,B和C，每两点间的球面距离都等于该球大圆周长的.若经过这6 三个点的圆的半径为2cm,则该球的直径为___________________cm.（20）一个正五棱柱有10个顶点，以其中的4点为顶点的不同三棱锥，总共有_________个.专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心三．解答题：在第21、22、23题三个题目中任选两题作答.在第24、25、26、27这四个题目中按考生报考专业的类别完成两题. 北京博飞教育中心得分评卷人（21）（本题满分14分）JJJG5JJJG3JJJG如图，在ΔABC中，点D、E分别在边AB、BC上，且DE=BA+AC. 求ΔDBE与ΔABC124的面积比. 专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心ADBE4C专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人（22）（本题满分14分）如图，三棱锥P−ABC的底面是正三角形，侧棱PA⊥底面ABC,D是AC中点，PD=BD=a, （I）证明BD⊥PC；北京博飞教育中心 （II）求三棱锥P−ABC的体积. PB 专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心5A D C专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人（23）（本题满分14分）求函数f(x)=cosxsinx+2(cosx+sinx)(x∈R)的值域.专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人（24）（本题满分15分，文史类考生不做）n设an=∫n+1nxdx,Sn=∑ak,n=1,2,3···.k=1（I）求an和Sn；北京博飞教育中心 （II）设Tn=∑(31−k−k=1n221<Tn<. .证明：当n≥4时，都有n+2n+1Sk专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人（25）（本题满分15分，文史类考生不做）x2y2设椭圆+=1的右焦点为F，经过点F的直线l与椭圆相交于A、B两点，与椭圆的43JJJGJJJGJJJG右准线相交于点C，且AC=3AB.求点F分有向线段AB所成的比，以及坐标原点O到直线l的距离. 专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人（26）（本题满分15分，理工类类考生不做）x数列{an}的首项a1>0且a1≠1，当n≥2时，an=3f(an−1)−x>0)，3设函数f(x)= （I）求函数f(x)的最小值以及对应的x值；北京博飞教育中心 （II）证明：当n≥2时，都有an>an+1>1.专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心 得分评卷人（27）（本题满分15分，理工类类考生不做）北京博飞教育中心x2y2设椭圆+=1的右焦点为F，经过点F的直线l与椭圆相交于A、B两点，与椭圆的43JJJG右准线相交于点C，且B是AC的中点，求点F分邮箱线段AB所成的比，以及点C的坐标.专业，专注，专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件互斥，那么球的表面积公式球的体积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，（ ） A ．B ．C ．D ．2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数，则是（ ） A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数 4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为（ ） A ．6B ．2C ．D6．设集合，，，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．或7．设函数的反函数为，则（ ）A ．在其定义域上是增函数且最大值为1B ．在其定义域上是减函数且最小值为0C ．在其定义域上是减函数且最大值为1D ．在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A B ，24πS R =()()()P A B P A P B +=+34π3V R =A B ，R ()()()P A B P A P B =i 3i (i 1)i 1+=-1-1i -i x y ，012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥5z x y =+()sin 22f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，()f x πππ2π2a b ，αβ，a b ⊥a b αβαβ⊥⊥，∥，a b αβαβ⊥⊥，，∥a b αβαβ⊂⊥，，∥a b αβαβ⊂⊥，∥，22221(1)1x y m m m +=>-P P 12{}23S x x =->{}8T x a x a =<<+S T =R a 31a -<<-31a --≤≤3a -≤1a -≥3a <-1a >-()1)f x x =<≤1()f x -1()f x -1()f x -1()f x -1()fx -10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，(1)(1)1x x f x +++≤{}11x x -≤{}1x x ≤{}1x x {}11x x ≤()f x R [)0+，∞2sin7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b a c <<c b a <<b c a <<a b c <<A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．的二项展开式中的系数是 （用数字作答）． 12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ． 13．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．14．如图，在平行四边形中，，， 则 ．15．已知数列中，，，则 ． 16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为． （Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数，其中． （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．21．（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 43πC 24y x =y x =4320x y --=C A B ，6AB =C ABCD (12)AC =，(32)BD =-，AD AC ={}n a 11a =111()3n n n a a n ++-=∈*N lim n n a →∞=1a >c []2x a a ∈，2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，log log a a x y c +=a 2cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin x sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭12p 116p ξξP ABCD -ABCD 3AB =2AD =2PA =22PD =60PAB =∠AD ⊥PAB PC AD P BD A --()(0)af x x b x x=++≠a b ∈R ，()y f x =(2(2))P f ，31y x =+()f x ()f x 122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()10f x ≤114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b C 1(30)F -，520x y -=C (0)k k ≠l C M N ，MN A BCDP BACD标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．22．（本小题满分14分）在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设，证明．2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A2．D3．B4．C5．B6．A7．D8．C9．A10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．11．4012．2413．14．315．16．三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是．．，即．又，从而，解得或．因为，所以．（Ⅱ）解：因为，故．，．所以，．18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．（Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，．可能的取值为0，1，2，3，故812k{}na{}n b11a=14b={}n a n n S1(3)0n nnS n S+-+=12na+nb1nb+n∈*N2a2b{}na{}n b1212(1)(1)(1)n aa an nT b b b n=-+-++-∈*N…，223nT n n<，≥22(1)10x y+-=76{}2324xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，442xπππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin410xπ⎛⎫-==⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin444444x x x x⎛ππ⎫ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭41021025=+=x x=1cos sin5x x+=22sin cos1x x+=225sin5sin120x x--=4sin5x=3sin5x=-324xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5x=324xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos5x===-24sin22sin cos25x x x==-27cos22cos125x x=-=-sin2sin2cos cos2sin333x x xπππ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭A B221(1())(1)16P B p-=-=34p=54p=341()2P A=1()2P A=3()4P B=1()4P B=ξ，， ，． 的分布列为的数学期望． 19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角． 在中，由余弦定理得 ．由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形， 故． 所以异面直线与所成的角的大小为．（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结． 因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．由题设可得，，，，，． 于是在中，． 所以二面角的大小为． 20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． （Ⅱ）解：． 当时，显然，这时在，内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表：2111(0)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==+211311722444232⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭2139(3)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξξ0123P 1327321532932ξ171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=PAD △2PA =2AD =22PD =222PA AD PD +=AD PA ⊥ABCD AD AB ⊥PA AB A =AD ⊥PAB BC AD ∥PCB ∠PC AD PAB △222cos 7PB PA AB PA AB PAB =+-=AD ⊥PAB PB ⊂PAB AD PB ⊥BC PB ⊥PBC △7tan 2PB PCB BC ==PC AD 7arctan 2P PH AB ⊥H H HE BD ⊥E PE AD ⊥PAB PH ⊂PAB AD PH ⊥ADAB A =PH ⊥ABCD HEPE ABCD BD PE ⊥PEH ∠P BD A --sin 603PH PA ==cos601AH PA ==2BH AB AH =-=2213BD AB AD =+=413AD HE BH BD ==Rt PHE △39tan 4PH PEH HE ==P BD A --39arctan42()1af x x'=-(2)3f '=8a =-(2(2))P f ，31y x =+27b -+=9b =()f x 8()9f x x x=-+2()1af x x'=-0a ≤()0(0)f x x '>≠()f x (0)-∞，(0)+，∞0a >()0f x '=x a =±x ()f x '()f x x ()a --∞，a -(0)a -，(0)a ，a ()a +，∞()f x '+0--0+AB CDPHE所以在，内是增函数，在，内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 即 对任意的成立． 从而得，所以满足条件的的取值范围是．21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得解得 所以双曲线的方程为． （Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得 ．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得． ③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，． 从而线段的垂直平分线的方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得， 整理得，．解得或． 所以的取值范围是． 22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．()f x (--∞，+∞((0()f x 114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)f 122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()10f x ≤114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1104(1)10f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩≤，≤，39449b a b a ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，≤122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，74b ≤b 74⎛⎤- ⎥⎝⎦∞，C 22221(00)x y a b a b-=>>，229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，C 22145x y -=l (0)y kx m k =+≠11()M x y ，22()N x y ，221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ②22()145x kx m +-=222(54)84200k x kmx m ----=2540k -≠222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>22540m k +->MN 00()x y ，12024254x x km x k +==-002554my kx m k =+=-MN 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭x y 29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，2219981254542km m k k =--222(54)k m k-=0k ≠222(54)540k k k-+->22(45)(45)0k k k --->0k ≠0k <<54k >k 5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞n（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得． （Ⅱ）解法一：由题设，，，及，， 进一步可得，，，，猜想，，． 先证，． 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下： （1）当时，，等式成立． （2）假设当时等式成立，即，．由题设，， ① ．②①的两边分别减去②的两边，整理得，从而．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立． 综上所述，等式对任何的都成立． 再用数学归纳法证明，． （1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么． 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．解法二：由题设， ①． ②①的两边分别减去②的两边，整理得，，所以，，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得， 由（Ⅰ）并化简得，． 上式对，也成立．由题设有，所以，即，． 令，则，即．由得，．所以 ．即 ，．12140a a a +-=11a =23a =22214a b b =14b =29b =1(3)0n n nS n S +-+=11a =14b =23a =29b =36a =316b =410a =425b =(1)2n n n a +=2(1)n b n =+n ∈*N (1)2n n n a +=n ∈*N 1n =11(11)2a ⨯+=2n ≥2n =22(21)2a ⨯+=n k =(1)2k k k a +=2k ≥1(3)k k kS k S +=+1(1)(2)k k k S k S --=+1(2)k k ka k a +=+[]1(1)(1)122(1)22k k k k k k k k a a k k +++++++===1n k =+(1)2n n n a +=2n ≥(1)2n n n a +=n ∈*N 2(1)n b n =+n ∈*N 1n =21(11)b =+n k =2(1)k b k =+[]22221124(1)(2)(1)1(1)k k k a k k b k b k ++++===+++1n k =+2(1)n b n =+n ∈*N 1(3)n n nS n S +=+1(1)(2)n n n S n S --=+1(2)n n na n a +=+2n ≥3224a a =4335a a =1(1)(1)n n n a n a --=+3n ≥2(1)!(1)!6n n n a a +-=2(1)(1)62n n n n n a a ++==3n ≥1n =22114n n n b b a ++=221(2)(1)n n b b n n +=++1221(1)(2)n n b b n n +=++n ∈*N 2(1)nn b x n =+11n n x x +=11n n x x +=11x =1n x =1n ≥21(1)nb n =+2(1)n b n =+1n ≥解法三：由题设有，，所以， ，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，．由（Ⅰ），上式对，也成立．所以，． 上式对也成立．以下同解法二，可得，．（Ⅲ）证明：．当，时，．注意到，故．当，时，．当，时，．当，时，．所以，从而时，有总之，当时有，即．选择填空解析2008年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2008•天津）i 是虚数单位，=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i1(3)n n nS n S +=+n ∈*N 214S S =3225S S =1(1)(2)n n n S n S --=+2n ≥112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+……1(1)(2)(1)(2)236n n n n n n n S a ++++==⨯3n ≥1n =21(1)2n n n n n a S S -+=-=2n ≥1n =2(1)n b n =+1n ≥1212(1)(1)(1)n aa a n n Tb b b =-+-++-…(1)222223(1)(1)n n n +=--++-+…4n k =k ∈*N 222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++ (2)222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-(1)32(12)43242n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-…224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+41n k =-k ∈*N 22222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+=42n k =-k ∈*N 22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---43n k =-k ∈*N 222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--2234333424134n n n k n n n k T k n n k n n n k --=-⎧⎪---=-⎪=∈⎨=-⎪⎪+=⎩*N ，，，，，，， ，3n ≥22213259133312610141237113124812n n n n n T n n n n n n n⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩，，，，…，， ，，，…，， ，，，…，， ，，，…．3n ≥22n T n<22n T n <【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【解答】解：，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，z max=5，故选D．【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A．【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质．4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b⊥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α⊥βC．a⊂α，b⊥β，α⊥βD．a⊂α，b⊥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）A．6B．2C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，椭圆方程为所以d=2，故选B【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S⊥T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣3≤a≤﹣1C．a≤﹣3或a≥﹣1D．a＜﹣3或a＞﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S⊥T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S⊥T=R，所以，故选A．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0【考点】反函数．【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．【解答】解：⊥为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，⊥f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，⊥f﹣1（x）最小值为0故选D【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1}C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．【解答】解：依题意得所以故选：C．【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】偶函数；不等式比较大小．【专题】压轴题．【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．【解答】解：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，所以，所以b＜a＜c，故选A【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小．（2）培养数形结合的思想方法．10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A42=12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊方法的使用，如排除法．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•天津）的二项展开式中，x2的系数是40（用数字作答）．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．故答案为40【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a=2，表面积为6a2=24．故答案为：24【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y ﹣1）2=10．【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），⊥圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），⊥，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10故答案为x2+（y﹣1）2=10【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题．14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．【解答】解：令，，则⊥．故答案为：3【点评】用基底表示向量，然后进行运算，比较困难．要启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．15．（4分）（2008•天津）已知数列{a n}中，，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先由求a n可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n的表达式，再求极限即可．【解答】解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为{2}．【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由log a x+log a y=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：⊥log a x+log a y=c，⊥=c⊥xy=a c得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．。

2007年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内.1．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x2+x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|x2+x﹣2＜0}B．{x|x2﹣1＜0}C．{x|x2﹣4＜0}D．{x|x2﹣x﹣2＜0} 2．（5分）若π≤α≤2π，且sinαsin3α＜0，则α满足（）A．π＜α＜πB．π＜α＜2πC．π＜α＜π D．π＜α＜π或π＜a＜2π3．（5分）已知平面向量=（﹣2，x）与向量=（﹣3，2）垂直，则x=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣34．（5分）复数z=的虚部为（）A．0 B．﹣i C．i D．﹣15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2．则=（）A．B．C．1 D．26．（5分）若函数y=e x﹣1的图象按向量=（1，1）平移后，与f（x）的反函数图象重合，则函数f（x）=（）A．lnx+1 B．ln（x+1）C．lnx﹣1 D．ln（x﹣1）7．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）圆x2+y2﹣2mx﹣2ny=﹣4与圆x2+y2=1相切，则m2+n2的值为（）A．B．C．4 D．9．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的5位数，其中的奇数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个10．（5分）对于直线m，n和平面α，β，m⊥α的一充分条件是（）A．m⊥n，n⊥β，β⊥αB．m⊥β，n⊥β，n⊥αC．m⊥n，n∥αD．m∥β，β⊥α11．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，B为左顶点，A，C 为短轴端点，已知CF⊥AB，则椭圆的圆心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是R上的可导函数，下列陈述中正确的是（）A．若f′（x）是偶函数则f（x）是偶函数B．若f′（x）是偶函数则f（x）是奇函数C．若f′（x）是奇函数则f（x）是奇函数D．若f′（x）是奇函数则f（x）是偶函数二、填空题：本大题共8小题：每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上. 13．（4分）二项式（+）6展开式中的常数项是．14．（4分）空间向量=（a，b，c），若||=1，则a+b+c的最大值是．15．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若原点到平面3x﹣2y+az=1的距离等于，则a的值为．16．（4分）设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），若以原点为极点，以x轴正向为极轴，则l的极坐标方程为ρ=．17．（4分）等比数列{a n）的前n项和为S n，已知a1+a2=18，a3+a4=2，则S=．18．（4分）函数y=x3+3ax2+3bx在区间[﹣1，1]单调减少，且a＞0，则2a+b的最大值为．19．（4分）若以x2﹣5x+6除多项式f（x）得余式2x﹣5，则f（3）=．20．（4分）若△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b，已知bcosA+acosB=2，a ﹣b=1，且∠C=60°，则a=．三、解答题：在第21、22、23题三个题目中任选两题作答.在第24、25、26、27这四个题目中按考生报考专业的类别完成两题.21．（14分）设函数f（x）=x3+3x2+ax+b，实数a，b是常数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）的任意切线的斜率都不小于﹣2，则a、b的取值范围如何？（Ⅱ）证明曲线y=f（x）是中心对称图形；并求出对称中心的坐标．22．（14分）设f（x）=x（0＜x＜）），证明f（x）≤f（）．23．如图，在四面体ABCD中，已知AB=CD=8．AD=BC=10，AC=BD=12．E、F、G、H分别是AB，CD，AC，BD的中点．（Ⅰ）求EF的长；（Ⅱ）证明EF，GH互相垂直平分．文史类考生不做24．（15分）对某种产品的抽检规则如下：从每批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品，（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率不低于50%，其中次品最多有几件？25．（15分）设抛物线y2=2px与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A）B（x B，y B）两点，且p＞0，y A＜0．（Ⅰ）用p和k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．理工农医类考生不做26．对某种产品的抽检规则如下：从一批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品．（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率为，其中次品有几件？27．设抛物线y2=4x与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A），B（x B，y B）两点，且y A＜0．（Ⅰ）用k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．2007年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内.1．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x2+x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|x2+x﹣2＜0}B．{x|x2﹣1＜0}C．{x|x2﹣4＜0}D．{x|x2﹣x﹣2＜0}【解答】解：∵M={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣2＜x＜1}={x|﹣1＜x＜1}={x|x2﹣1＜0}．故选：B．2．（5分）若π≤α≤2π，且sinαsin3α＜0，则α满足（）A．π＜α＜πB．π＜α＜2πC．π＜α＜π D．π＜α＜π或π＜a＜2π【解答】解：∵π≤α≤2π，且sinαsin3α＜0，∴sinαsin（α+2α）＜0，∴sin2α（4cos2α﹣1）＜0，∴cos2α＜，∴﹣＜cosα＜，∵π≤α≤2π，∴．故选：C．3．（5分）已知平面向量=（﹣2，x）与向量=（﹣3，2）垂直，则x=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵平面向量=（﹣2，x）与向量=（﹣3，2）垂直，∴=6+2x=0，解得x=﹣3．故选：D．4．（5分）复数z=的虚部为（）A．0 B．﹣i C．i D．﹣1【解答】解：∵z===﹣1，∴复数z=的虚部为0．故选：A．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2．则=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，可得a n=a1+2（n﹣1），S n=na1+n（n﹣1）×2=n2+（a1﹣1）n，则===，故选：A．6．（5分）若函数y=e x﹣1的图象按向量=（1，1）平移后，与f（x）的反函数图象重合，则函数f（x）=（）A．lnx+1 B．ln（x+1）C．lnx﹣1 D．ln（x﹣1）【解答】解：y=e x﹣1的图象按=（1，1）平移，x以x﹣1代替，y以y﹣1代替，得到y﹣1=e x﹣1﹣1，所得图象的函数：y=e x﹣1，∴x﹣1=lny，即x=lny+1，x，y互换得f（x）=lnx+1．故选：A．7．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：x，y满足约束条件表示的区域是如下图示的三角形，4个顶点是（3，0），（0，0），（0，2），（2，2），目标函数z=x+y在（2，2）取最大值4．故选：B．8．（5分）圆x2+y2﹣2mx﹣2ny=﹣4与圆x2+y2=1相切，则m2+n2的值为（）A．B．C．4 D．【解答】解：圆x2+y2﹣2mx﹣2ny=﹣4化为标准形式是（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2﹣4，与圆x2+y2=1相切，则两圆的圆心距d=R±r，=|±1|，又m2+n2＞4，结合选项知m2+n2=．故选：D．9．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的5位数，其中的奇数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个【解答】解：根据题意，分3步分析：①，要求五位数为奇数，则其个位数字必须为1或3，有2种情况，②，五位数的首位数字不能为0，需要在除0之外的3个数字中任选1个，有3种情况，③，将剩下的3个数字全排列，安排在中间的三个数位，有A33=6种情况，则一共有2×3×6=36种情况，即可以组成36个没有重复数字的五位奇数，故选：C．10．（5分）对于直线m，n和平面α，β，m⊥α的一充分条件是（）A．m⊥n，n⊥β，β⊥αB．m⊥β，n⊥β，n⊥αC．m⊥n，n∥αD．m∥β，β⊥α【解答】解：A、“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确．B、根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，故B正确；C、“m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故C不正确；D、“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故D不正确；故选：B．11．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，B为左顶点，A，C 为短轴端点，已知CF⊥AB，则椭圆的圆心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵A（0，b），B（﹣a，0），C（0，﹣b），F（﹣c，0），∴直线CF的斜率为k1=，直线AB的斜率为k2=，由CF⊥AB得k1k2==﹣1，即b2=ac=a2﹣c2，∴，可解得e=．故选：C．12．（5分）已知f（x）是R上的可导函数，下列陈述中正确的是（）A．若f′（x）是偶函数则f（x）是偶函数B．若f′（x）是偶函数则f（x）是奇函数C．若f′（x）是奇函数则f（x）是奇函数D．若f′（x）是奇函数则f（x）是偶函数【解答】解：举例：f（x）=x3+1，则f′（x）=3x2，此时f′（x）是偶函数，但是f（x）既不是偶函数也不是奇函数，所以A、B选项错误；f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，此时f′（x）是奇函数，f（x）是偶函数，所以C选项错误，D选项正确．故选：D．二、填空题：本大题共8小题：每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上.13．（4分）二项式（+）6展开式中的常数项是．【解答】解：二项式（+）6展开式的通项公式为T r+1=••=••，令6﹣=0，解得r=4，∴展开式中的常数项是•=．故答案为：．14．（4分）空间向量=（a，b，c），若||=1，则a+b+c的最大值是．【解答】解：由||=1可得a2+b2+c2=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3（a2+b2+c2）=3，∴．故答案为：．15．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若原点到平面3x﹣2y+az=1的距离等于，则a的值为±6．【解答】解：∵平面3x﹣2y+az=1的法向量=（3，﹣2，a），原点到平面3x﹣2y+az=1的距离等于，∴d==，解得a=±6．故答案为：±6．16．（4分）设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），若以原点为极点，以x轴正向为极轴，则l的极坐标方程为ρ=．【解答】解：∵直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），∴直线l的方程为y=kx+b，∴l的极坐标方程为ρsinθ=k•ρcosθ+b，即ρ=．故答案为：．17．（4分）等比数列{a n）的前n项和为S n，已知a1+a2=18，a3+a4=2，则S n=．【解答】解：设穷等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=18，a3+a4=2，得∴a3+a4=（a1+a2）q2=2，∴q2=，∴q=，q=﹣，当q=，a1=，当q=﹣时，a1=27，①当q=，a 1=，S n==（1﹣），∴S n=，②q=﹣时，a1=27，S n==（1﹣）=，∴S n=，综上所述S n=，故答案为：18．（4分）函数y=x3+3ax2+3bx在区间[﹣1，1]单调减少，且a＞0，则2a+b的最大值为﹣1．【解答】由函数y=x3+3ax2+3bx在区间[﹣1，1]单调减少，可得f'（x）=3x2+6ax+3b≤0在[﹣1，1]上恒成立，即，即，又a＞0，得到，做出可行域如右图，由图可知，当直线z=2a+b，即b=﹣2a+z平移和直线2a+b+1=0平行时，2a+b取到最大值，最大值为﹣1．本题容易受a＞0的影响，即点（0，﹣1）不在可行域内，但可以在直线2a+b+1=0上另外取一点如（1，﹣3）代入求值也能得到2a+b取到最大值为﹣1．19．（4分）若以x2﹣5x+6除多项式f（x）得余式2x﹣5，则f（3）=1．【解答】解：x2﹣5x+6除多项式f（x）得余式2x﹣5，可设f（x）=（x2﹣5x+6）g（x）+2x﹣5，则f（3）=（9﹣15+6）g（3）+6﹣5=0+1=1，故答案为：1．20．（4分）若△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b，已知bcosA+acosB=2，a﹣b=1，且∠C=60°，则a=．【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b•+a•=2，整理可得：c=2，∵a﹣b=1，且∠C=60°，∴由余弦定理cosC=，可得：=，可得：a2﹣a﹣3=0，∴解得：a=．（负值舍去）故答案为：．三、解答题：在第21、22、23题三个题目中任选两题作答.在第24、25、26、27这四个题目中按考生报考专业的类别完成两题.21．（14分）设函数f（x）=x3+3x2+ax+b，实数a，b是常数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）的任意切线的斜率都不小于﹣2，则a、b的取值范围如何？（Ⅱ）证明曲线y=f（x）是中心对称图形；并求出对称中心的坐标．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2+6x+a=3（x+1）2+a﹣3，所以对任意x∈R，f′（x）≥﹣2等价于a﹣3≥﹣2，即a的取值范围是a≥1；由于b与y=f（x）的切线斜率无关，故b的取值范围是整个实数集R．（Ⅱ）证明：f（x）=x3+3x2+ax+b=x3+3x2+3x+1+（a﹣3）x+b﹣1，=（x+1）3+（a﹣3）（x+1）+2﹣a+b，将f（x）的图象向右平移1个单位，向下（上）平移|2﹣a+b|个单位，可得g（x）=x3+（a﹣3）x，因为g（x）关于原点对称，则曲线y=f（x）是中心对称图形；得到对称中心坐标为（﹣1，2﹣a+b）．22．（14分）设f（x）=x（0＜x＜）），证明f（x）≤f（）．【解答】证明：f（x）=x（0＜x＜），要证f（x）≤f（），即为x≤，两边平方可得x2（1﹣2x）≤x2（）2，即证1﹣2x≤，即为x2+6x﹣3≤0，即为（x+3）2﹣12≤0，由0＜x＜可得（x+3）2∈（9，），显然（x+3）2﹣12≤0成立，则原不等式f（x）≤f（）成立．23．如图，在四面体ABCD中，已知AB=CD=8．AD=BC=10，AC=BD=12．E、F、G、H分别是AB，CD，AC，BD的中点．（Ⅰ）求EF的长；（Ⅱ）证明EF，GH互相垂直平分．【解答】解：（Ⅰ）如图，作过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c的长方体，使其侧面对角线分别为AB=CD=8，BC=DA=10，AC=BD=12，则，解得a=，b=3，c=3．∴EF的长为b=3．证明：（Ⅱ）如图，∵E、F、G、H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴GH∥AD，EH∥AD，EH=GH=AD，∴四边形EHFG为平行四边形，∴EF，GH互相垂直平分，文史类考生不做24．（15分）对某种产品的抽检规则如下：从每批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品，（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率不低于50%，其中次品最多有几件？【解答】解：（Ⅰ）从每批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品，其中有1件次品，基本事件总数n==45，该批产品通过抽检包含的基本事件个数m==36，∴该批产品通过抽检过抽检的概率p===．（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率不低于50%，设其中次品最多有a件，则，解得10﹣a≥8，∴a≤2．∴该批产品通过抽检的概率不低于50%，其中次品最多有2件．25．（15分）设抛物线y2=2px与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A）B（x B，y B）两点，且p＞0，y A＜0．（Ⅰ）用p和k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．【解答】解：（Ⅰ）物线y2=2px的焦点F（，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣），联立抛物线的方程可得k2x2﹣（pk2+2p）x+k2=0，可得x A+x B=p+，x A x B=，则|AB|=x A+x B+p=2p+，O到直线AB的距离为d=，则△AOB的面积为S=d•|AB|=•（2p+）=•；（Ⅱ）证明：由题意可得k2==，k1==可得tan∠BOA===2p•=﹣2p•=﹣•|k|=﹣．理工农医类考生不做26．对某种产品的抽检规则如下：从一批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品．（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率为，其中次品有几件？【解答】解：（Ⅰ）现有一批10件产品，其中有1件次品，从k 随机抽取2件，逐一检查，基本事件总数n==45，该批产品通过抽检包含的基本事件个数m==36，∴该批产品通过抽检的概率p===．（Ⅱ）该批产品通过抽检的概率为，设其中次品有a件，则=，解得a=4．∴该批产品通过抽检的概率为，其中次品有4件．27．设抛物线y2=4x与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A），B（x B，y B）两点，且y A＜0．（Ⅰ）用k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．【解答】解：（Ⅰ）物线y2=4x的焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立抛物线的方程可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，可得x A+x B=2+，x A x B=1，则|AB|=x A+x B+p=2++2=4+，O到直线AB的距离为d=，则△AOB的面积为S=d•|AB|=•（4+）=；（Ⅱ）证明：由题意可得k2==，k1==，可得tan∠BOA===4•=﹣4•=﹣|k|=﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

绝密★启用前2008年全国各地高考试题文科数学(必修1＋选修Ⅰ)本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至9页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4ΠR2如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4ΠR2P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式ΠR3如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么V＝43n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n(k)＝C k n P k(1-p)n-k(k＝0,1,2,…,n)一、选择题(1)函数y(A)｛x|x≤1｝(B) ｛x|x≥1｝(C)｛x|x≥1或x≤0｝(D) ｛x|0≤x≤1｝(2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可能是(3)(1＋2x )5的展开式中x 2的系数 (A)10(B)5 (C)52 (D)1(4)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (A)30°(B)45°(C)60°(D)12°(5)在△ABC 中,AB ＝c ,AC ＝b .若点D 满足BC ＝2DC ,则AD ＝ (A)c b 3132+ (B)b c 3235- (C)c b 3132- (D)c b 3231+ (6)y ＝(sin x －cos x )2－1是(A)最小正周期为2π的偶像函数(B)最小正周期为2π的奇函数(C)最小正周期为π的偶函数(D)最小正周期为π的奇函数(7)已知等比数列｛a n ｝满足a 1＋a 2＝3,a 2＋ a 3＝6,则a 1＝ (A)64(B)81(C)128(D)243(8)若函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝1n 1+x 的图像关于直线y ＝x 对称,则f (x )＝ (A)22e-x(B) x2e(C) 12e+x(D) 22e+x(9)为得到函数y ＝cos(x ＋3π)的图像,只需将函数y ＝sin x 的图像 (A)向左平移6π个长度单位 (B)向右平移6π个长度单位(C)向左平移65π 个长度单位 (D)向右平移65π个长度单位(10)若直线bya x +＝1与图122=+y x 有公共点,则(A)122≤+b a (B) 122≥+b a (C)11122≤+b a (D) 11122≥+ba(11)已知三棱柱ABC －111C B A 的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,则A 1B 与底面ABC 所成角的正弦值等于(A)31(B)32 (C)33 (D)32 (12)将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、第列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有 (A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)48种2008年全国各地高考试题文科数学(必修＋选修1)第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码。

2015年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）sin225°=（）A．B．C．﹣ D．2．（5分）设平面向量=（﹣1，2），=（3，﹣2），则+=（）A．（1，0） B．（1，2） C．（2，4） D．（2，2）3．（5分）设集合A⊆{1，2，3，4}，若A至少有3个元素，则这样的A共有（）A．2个 B．4个 C．5个 D．7个4．（5分）设y=f（x）是y=的反函数，则f（）=（）A．4 B．2 C．D．5．（5分）设函数y=log（x2+4x+5）在区间（a，+∞）是减函数，则a的最小值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．（5分）不等式x+|x+2|＜4的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣6＜x＜1}C．{x|x＜4}D．{x|x＜0}7．（5分）已知函数y=sinωx（ω＞0）的图象关于直线x=对称，则ω的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）函数y=cos（+）的图象按向量=（﹣，0）平移后，所得图象对应的函数为（）A．y=cos B．y=﹣cos C．y=sin D．y=﹣sin9．（5分）函数y=（sinxcosx+1）（sinxcosx﹣1）的最大值为（）A．1 B．C．﹣ D．﹣110．（5分）直线l与椭圆+=1相交于A，B两点，线段AB的中点为（2，1），则l的斜率为（）A．B．﹣C．1 D．﹣111．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公比为q，且|q|＜1，若=﹣3，则q=（）A．﹣ B．﹣ C．D．12．（5分）有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每类都有1本的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题；每小题5分。

13．（5分）点（3，﹣1）关于直线x+y=0的对称点为．14．（5分）曲线y=xe x在点（0，0）处的切线方程为．15．（5分）复数z=的共轭复数=．16．（5分）A，B，C为球O的球面上三点，AB⊥AC，若球O的表面积为64π，O到AB，AC的距离均为3，则O到平面ABC的距离为．17．（5分）在空间直角坐标系中，过原点作平面2x﹣z﹣2=0的垂线，垂足为．18．（5分）若多项式p（x）=x4+x3+ax2+bx+c，p（1）=2，用x2+1除p（x）的余式为2，则p（﹣1）=．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1•答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用 2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上•将 条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答案不能答在试卷上.3 •非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4•作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点， 再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5 •考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件 A B 互斥，那么P(A B) =P(A) • P(B).已知 n 是正整数，则 a n -b n =(a-b)(a n ，• a n 'b V ab n _ b n ‘).一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.1 •已知0 ca v2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是( )A . (1,5)B . (1,3)C . (1,岛D . (1,73)3 .某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表 1.已 知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ) A . 24B . 18C . 16D . 122x + y W 40, x + 2 v W 504.若变量x , y 满足'则z = 3x • 2y 的最大值是()x > 0,y >0,2 .记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1-,S 4 =20，则 S 6 =( 2A . 16B . 24C . 36D . 48一年级二年级 三年级:女生 373xy男生377370zA . 90B . 80C . 70D . 40、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9.阅读图3的程序框图，若输入 m=4 , n=6,则输出 a , \ = ___________ . （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“-”或“：二”）i =110.已知（1 kx2）6（ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于 120」k = ____________1a = i2 211 .经过圆x 2x y =0的圆心C ，且与直线x • y = 0垂直 的直线方程是 _____________________-输出a, i12 .已知函数 f （x ）=（sinx-cosx ）sinx , x ，R ，贝y f （x ）的 最小正周期是 __________结束5. 将正三棱柱截去三个角 （如图1所示A , B , C 分别是A GHI 三边的中点）得到几何体如图 2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）&在平行四边 J?BCD 中,AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F .若 AC 二 a , BD 二 b ，则 AF 二（）1 12 11 11 2A. -a x —b B . —a ； —bC . -a ；—bD. -a -b 4 23 3 24 3 36 •已知命题p:所有有理数都是实数，命题是（ ）q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的A . (—p) qB . p qC . (—p) (—q)D • (—p) (—q)7 •设 a R ，若函数 y =e ax • 3x , A .B . a ：：： -3x R 有大于零的极值点，则（）C .1 a ：：：…开始、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13 .（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C, C 2的极坐标方程分别为TCOSV -3 , 一 （ n ） 『=4cosv 》0,0 W ，则曲线C ,与C 2交点的极坐标为I 2丿2114.（不等式选讲选做题） 已知a R ,若关于x 的方程x 2+x + a — — + a= 0有实根，则a 的 4取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题） 已知PA 是圆O 的切线，切点为 A , PA=2 .AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B , PB =1，则圆O 的半径R.三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知函数 f （x ） = Asin （ x J （ A • 0,0 ：：：「：：： u ）,（1 ）求 f （x ）的解析式;17. （本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品 200件，经质检，其中有一等品 126件、二等品50件、三等品20件、 次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2万元、1万元，而1件次 品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为 . （1 ）求的分布列；（2 ）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%, 一等品率提高为 70%.如果此 时要求1件产品的平均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多少？x • R 的最大值是1 ,其图像经过点(2)已知:,叫0日，且3 = |12f (:) ，求 f (:• - ：)的值.13418. (本小题满分14分)图4所示，过点F(0, b ・2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的 交点为G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F ,.(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2) 设A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否 存在点P ,使得△ ABP 为直角三角形？若存在， 请指出共有几个这样 的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)19. (本小题满分14分)［丄,X<1设 k € R ，函数 f(x)=<1—x, F(x) = f(x)—kx , R ，试讨论函数 F(x)的单-x/^1, x > 1调性.20. (本小题满分14分)如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的 直径，.ABD =60； , . BDC =45； , PD 垂直底面 ABCD , PD =2、,2R , E , F 分别是PE DFPB , CD 上的点，且，过点E 作BC 的平行线交PC 于G .EB FC(1 )求BD 与平面ABP 所成角二的正弦值； (2)证明：△ EFG 是直角三角形；PE 1(3)当 时，求△ EFG 的面积.EB 221. (本小题满分12分)设p, q 为实数，〉，：是方程x 2-px ，q =0的两个实根，数列｛x n ｝满足x^ - p ,2x2= P -q , X n 二 pX n4-qX n, ( n = 3,4,…).(1)证明：「•- - p ，「- - q ； (2)求数列｛x n ｝的通项公式；设b 0，椭圆方程为2 22b 2 b 22=1，抛物线方程为x =8(y-b).如图4GADF1(3)若p =1 , q ，求｛X n｝的前n项和S n .4绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案一、 选择题：C D C C A D B B 1.C 【解析】z 二 a 21，而 0 ：：： a ：：： 2，即 1 ：：： a 2 T ：：： 5 ,-/52. D 【解析】S 4 =2 6d =20 , d =3，故 S^3 15^ 48 3 . C 【解析】 依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000 - 373 - 377 - 380 - 370 = 500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽2样中应在三年级抽取的学生人数为 64 2 =1684. C5. A6. D 【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有（一p ） （一q ）为真命题 7.B 【解析】f '（x ） =3 ae ax ,若函数在 x R 上有大于零的极值点，即f '（x ） =3 ae ax =0有13正根。

2008年高考数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x≤1或x≥2}，则A∩B=（）A.{x|0≤x≤1}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤3}D.{x|0≤x≤1或2≤x≤3}2. 函数y=（x-1）^2+2的最小值为（）A.0B.1C.2D.33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=16，S7=28，则该数列的通项公式为（）A.an=2n-3B.an=2n-1C.an=3n-4D.an=3n-24. 已知函数f(x)=2x^3-3ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且f(x)在x=1处取得极大值，则a、b的值分别为（）A.2，-6B.2，6C.-2，-6D.-2，65. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac，则三角形ABC的形状为（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形6. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求不等式f(x)＜0的解集。

A.{x|-1＜x＜1}B.{x|x＜-1或x＞1}C.{x|-1＜x＜2}D.{x|x＜-2或x＞2}7. 设函数g(x)=x^2+2ax+b（a＜0）的图象上存在点P(t，m)，使得该图象在点P处的切线斜率为2，则t的取值范围是（）A.t＜0B.t=0C.t＞0D.t≥08. 若函数y=f(x)的定义域为（-∞，2），则函数y=f(x-1)的定义域为（）A.（-∞，1）B.（-∞，3）C.（1，+∞）D.（3，+∞）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+x+1，求证：方程f(x)=0在区间（0，2）内至少有一个实根。

10. 若函数y=（2x-1）/（x-2）在区间（1，3）上是减函数，则实数x的取值范围是（）A.1＜x＜2B.2＜x＜3C.1＜x＜3D.x≥3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高考卷,08,普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷·文科）（附答案，完全word版）2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析广东佛山南海区南海中学钱耀周一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.ABB.BCC.A∩B=CD.B∪C=A 【解析】送分题呀!答案为D.2.已知0＜a＜2，复数(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)【解析】，而，即，,选B.3.已知平面向量，，且//，则＝（）A、B、C、D、【解析】排除法:横坐标为,选B.4.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A、2B、3C、6D、7【解析】,选B.5.已知函数，则是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数【解析】,选D.6.经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（）A、B、C、D、【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.8.命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（）A、若，则函数在其定义域内不是减函数B、若，则函数在其定义域内不是减函数C、若，则函数在其定义域内是减函数D、若，则函数在其定义域内是减函数【解析】考查逆否命题,易得答案A.9、设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A、B、C、D、【解析】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.10、设，若，则下列不等式中正确的是（）A、B、C、D、【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.【解析】,故答案为13.12.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是________。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．年级 班别： 姓名： 考场； 考号（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3C DE AB只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）答案与解析：1.C. 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；2.A.根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A.2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D 222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5.C ．243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B.2(1)2(1)2ln 1,(1),()y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==7. D.3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==- 8.A ． π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+≤11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅=== 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=. 12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,1()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=2故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=. 17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD==，3DG =，3EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C ADE --的大小πarccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=即()f x 在⎛-∞⎝⎭递增，⎝⎭递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩，且23a >解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba ba =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x cb=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-= 将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=． 22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a <211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得kk k k a a b a b a ln 1--=-+11ln ki i i a b a a ==--∑ 1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02， 若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln ki i i a b a a ==--∑11ln ki i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。