八年级数学上册 15 分式(1)复习学案(新版)新人教版

第十五章 分式本章小结学习目标1.建立起本章知识的框架图,形成这一章的完整知识体系.2.提高归纳和概括能力,形成反思自己学习过程的意识.3.借助例题与巩固练习(包括变式)提高分析问题、解决问题的实践能力,拓展思维.学习过程一、自主学习画出本章的知识“框架图”,形成本章知识体系二、深化探究★【例1】x 为何值时,下列分式(1)3x -4有意义?(2)x x -2无意义?(3)x 2-1x -1的值为零?问题1:(1)分式有意义的条件是什么? (2)分式无意义的条件是什么? (3)分式的值为零的条件是什么? (4)通过做此题,你认为应注意什么? ☆巩固练:当x 为何值时,下列分式的值为零? (1)x -1x +1;(2)(x -2)(x -3)x 2-9.★【例2】约分: (1)-16x 220xx;(2)4-x 2x 2-2x;(3)x 2-1x 2-x -2. 问题2:通过做这几道题,你认为约分应该注意什么?巩固练:按下列程序计算,最后输出的答案是()A.a 3B.a 2+1 C.a 2D.a变式练:请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式.a 2-1 ab-b b+ab★【例3】通分(1)14x 2,x 2xx ;(2)29-3x ,x -1x 2-9.问题3:通过做此题,你认为在通分时,应该注意什么?★【例4】计算 (1)x 2-xx x 2÷(x x -x x );(2)x 2+2x +1x 2-1-1x -1; (3)(-xx 2x )3÷(2x x )-2+12x .问题4:它们涉及哪些运算?它们的运算法则是什么?遵循怎样的运算顺序?☆巩固练:(1)化简:(1+4x 2-4)·x +2x ;(2)化简:2x -2x -3(-3x -1x 2)6x -1·(xx )-2.☆变式练:先化简代数式x -x x +2x ÷x 2-x 2x 2+4xx +4x 2-1,然后选择一个使原式有意义的a ,b 值代入求值.★【例5】解方程5x +2x 2+x=3x +1.问题5:解分式方程一般需要经过哪几个步骤?问题6:解分式方程为什么必须．．要检验?☆巩固练:解方程xx -2-1=1x 2-4.☆变式练:若方程x -3x -2=x2-x 无解,则m=.★【例6】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修,技术工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍,求两种车的速度.三、练习巩固(一)解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为3和4,求矩形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”,等等.1.设A=3xx -2-xx +2,B=x 2-4x,求A 与B 的积;2.提出问题1的一个“逆向”问题,并解答. (二)观察下列等式11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=13-14, 将以上三个等式两边分别相加得:11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34.1.猜想并写出:1x (x +1)=. 2.直接写出下列各式的计算结果: (1)11×2+12×3+13×4+…+12 014×2 015=; (2)11×2+12×3+13×4+…+1x (x +1)=. 3.探究并计算:12×4+14×6+16×8+…+12 014×2 016. 参考答案一、自主学习二、深化探究★【例1】(1)要使分式3x -4有意义,则x-4≠0,∴当x ≠4时,分式3x -4有意义. (2)要使xx -2无意义,则x-2=0.∴当x=2时,xx -2无意义.(3)要使x 2-1x -1的值为零,则x 2-1=0且x-1≠0,∴当x=-1时,分式的值为零.问题1:(1)分母不为零;(2)分母为零;(3)分子为零且分母不为零;(4)首先要注意审清题意,弄清三者的区别与联系,尤其是分式值为零的题目,常常在此设置陷阱.☆巩固练:(1)x=1;(2)x=2.☆变式练:由于x 2+1>0,因此,只要x+2>0即可,即x>-2. ★【例2】(1)-16x 220xx =-4x5x ; (2)4-x 2x 2-2x=(2+x )(2-x )x (x -2)=-x +2x; (3)x 2-1x 2-x -2=(x +1)(x -1)(x +1)(x -2)=x -1x -2. 问题2:若分子分母都是单项式,直接约去分子、分母中的公因式即可;若分子或分母是多项式要先因式分解,然后再将公因式约去.巩固练:C变式练:本题共有6种答案,选择其中之一解答即可.(1)x 2-1xx -x=(x +1)(x -1)x (x -1)=x +1x ;(2)x 2-1x +xx =(x +1)(x -1)x (1+x )=x -1x ; (3)xx -x x 2-1=x (x -1)(x +1)(x -1)=x x +1;(4)xx -x x +xx =x (x -1)x (x +1)=x -1x +1; (5)x +xx x 2-1=x (x +1)(x +1)(x -1)=x x -1;(6)x +xx xx -x =x (x +1)x (x -1)=x +1x -1. ★【例3】略问题3:将各分母因式分解(当分母已经是因式分解形态时,这步可以省略);寻找最简公分母;据分式基本性质,把各分式的分子、分母乘同一整式,化异分母为最简公分母. ★【例4】计算: (1)x 2-xx x 2÷(x x -x x )=x (x -x )x 2÷x 2-x 2xx =x (x -x )x 2×xx (x +x )(x -x )=xx +x; (2)x 2+2x +1x 2-1-1x -1=(x +1)2(x +1)(x -1)-1x -1=xx -1;(3)原式=-x 3x 38x 3·4x 2x 2+12x =-xx 32x +12x =-xx 42xx +x 2xx =x -xx 42xx.问题4:①分式的乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.xx ·x x =x ·xx ·x②分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后,再和被除式相乘.xx÷x x =x x·x x =x ·xx ·x.③同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.x x±x x =x ±xx.④异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,变成同分母分式,再加减.x x ±x x =xx xx ±xx xx=xx ±xx xx . ⑤分式的乘方法则:分式的乘方,把分子、分母分别乘方.用公式表示为(x x )x =x xx x .(n 为正整数)⑥负整数指数幂的运算性质:当n 是正整数时,a -n =1x x (a ≠0).⑦混合运算的顺序是:先乘除,后加减,同级运算按从左到右的顺序进行,有括号,先算括号内的.☆巩固练:(1)原式=x 2-4+4x 2-4×x +2x =x 2(x +2)(x -2)×x +2x =xx -2.(2)原式=2x -2x -3(-3x -1x 2)6x -1·(xx )-2=-2×36a -2+(-1)-(-1)-(-2)·b -3+2-(-2)=-a 0b=-b.☆变式练:x -x x +2x ÷x 2-x 2x 2+4xx +4x 2-1 =x -x x +2x ·(x +2x )2(x +x )(x -x )-1=x +2x x +x -x +xx +x =x +2x -x -xx +x =xx +x .当a=b=1时,原式=11+1=12.★【例5】原方程可化为5x +2x (x +1)=3x +1,去分母,得5x+2=3x ,解得x=-1. 经检验可知,x=-1是原方程的增根,∴原方程无解.问题5:①确定最简公分母;②去分母,即方程两边都乘以最简公分母,约去分母.化分式方程为整式方程;③解这个整式方程;④把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是增根,应舍去,使最简公分母不为零的根才是原方程的根.问题6:因为我们在去分母的变形过程中,需要乘以一个含未知数的整式(最简公分母),这样分式方程将转化为整式方程,如此一来,分式方程中分母不为0的限制被无形地取消了,使得未知数的X 围扩大了,若不进行“质检”,假冒伪劣产品要混入方程解的行列,而导致我们解题的错误.☆巩固练:原方程可化为x x -2-1=1(x +2)(x -2). 去分母,得x (x+2)-(x 2-4)=1. 整理,得2x=-3.解得x=-32. 经检验可知,x=-32是原方程的根.☆变式练:先去分母得x-3=-m ,显然这个关于x 的方程有解,即x=3-m ,这说明此解恰好使得原分式方程的分母为0(即它是原分式方程的增根),则可得x=2,代入x=3-m ,故m=1.★【例6】①摩托车走这30千米所用的时间-抢修车走这30千米所用的时间=1560(时)路程 时间 速度摩托车 30 30x x抢修车30301.5x 1.5x据此等量关系,可列方程30x -301.5x =1560②抢修车的速度=摩托车的速度×1.5路程 时间速度 摩托车 30 x 30x抢修车30x-156030x -1560据此等量关系,可列方程30x -15=30x ×1.5③速度×时间=路程路程 时间速度 摩托车 30 x 30x抢修车30x-156030x×1.5据此等量关系,可列方程 (30x ×1.5)×(x -1560)=30 三、练习巩固(一)解:1.AB=(3xx -2-x x +2)·x 2-4x =3(x+2)-(x-2)=2x+8; 2.“逆向”问题不唯一,仅举几例:(1)已知A 与B 的积为2x+8,且A=3xx -2-xx +2,求B.(解答略) (2)已知A 与B 的积为2x+8,且B=x 2-4x ,求A.(解答略)(3)已知A 与B 的积为2x+8,则A 与B 一定是整式吗?(答:不一定)(4)请构造出两个分式A 与B ,使A 与B 的积为2x+8?(解:x =3x x -2-xx +2,x =x 2-4x ) (5)请构造出一个整式A 与一个分式B ,使A 与B 的积为2x+8( 如:A=x 2-16,B=2x -4.实际上,只要取A 为非零次整式即可,如A=x ,则B=2x +8x等 )(二)解:1.1x (x +1)=1x -1x +1.2.(1)2 0142 015;(2)xx +1. 3.原式=14(11×2+12×3+13×4+…+11 007×1 008)=14×1 0071 008=1 0074 032.。

八年级数学上册第十五章分式小结学案（新版）新人教版序号：50学习目标：1、知识和技能：（1）熟记分式的四则运算法则及它们之间的内在联系、（2）灵活解答分式方程的解法及其应用、2、过程和方法：（1）了解本章的知识结构及知识内容、（2）进行分式的四则混合运算，熟悉分式方程的解法及其应用，提高综合运用知识的能力、3、情感、态度、价值观：约分、通分及四则混合运算皆渗透了化繁为简的数学美学习重点：(1)熟练掌握分式的四则混合运算、 (2)熟练掌握分式方程的解法、学习难点：(1)四则混合运算中的去括号及符号问题 (2)分式方程的验根问题、导学方法：课时：1课时导学过程一、课前预习：认真阅读课本内容，完成《问题导学》中教材导读的相关问题并解答自主测评。

二、课堂导学：1、导入2、出示任务，自主学习：（请同学们翻阅教材中的内容，思考下列问题）：1、什么是分式？怎样的分式没有意义？2、分式的基本性质有哪些？3、分式的乘除法则与加减法则分别是什么？4、异分母分式的加减法，一般步骤是什么？3、合作探究：见导学方案第五章分式小结难点探究1,2,3,题三、展示反馈：注意事项：1、因为0不能做除数，所以只有当分式的分母不为0时，分时才有意义；当分子的值等于0而分母的值不为0时，分式的值才等于0。

2、对分式进行约分时，如果分子和分母是多项式，那么要先把分子和分母分解因式。

3、几个分式通分时，一般选取较简单的公分母。

4、分式运算的结果应尽可能简单。

四、学习小结：（1）分式这一章最关键的也是最重要的是要求我们熟练掌握分式的运算，这也是我们以后学习的基础。

我们要不断提高自己的计算能力。

（2）分式的意义、基本性质、分式的符号法则，使分式的值为零即使分式无(有)意义的条件和换元的思想方法是分式一章的重要基础知识，希望同学们要切实掌握、（3）分式的混合运算是整式运算、多项式因式分解和分式运算的综合运用、由于计算步骤多，解题方法灵活，符号变化又易出错，要认真细心进行运算，努力提高自己的运算能力、五、达标检测：导学方案基础反思1、2、3题六、作业布置：教材复习题五板书设计：第五章小结知识结构图例1 例2 例3课后反思：。

八年级数学上册第十五章分式教学活动学案新版新人教版数学活动学习目标1.经历从具体的分式计算猜想出比例性质的探究过程,推导出比例的性质.2.掌握更比、反比、合比及合分比性质,并会用它们进行简单的比例变形.3.在各类性质的探究过程中,锻炼观察、分析、比较、判断、概括的能力,发展类比联想、渗透从特殊到一般推广命题的思维意识.自主探究一、自主学习问题1:找一组都不为0的数a,b,c,d,使得aa =a a?问题2:利用刚才所选的数据进行探究,你能发现aa 和aa,aa和aa这两组分式的值之间有什么关系吗?多找几组这样的数试一试,你能得到什么猜想?二、深化探究问题1:在aa =aa的前提下,你能运用分式的基本性质和运算法则对以上关系进行证明吗?问题2:你能尝试用语言来叙述这两个分式的关系吗?三、练习巩固问题1:根据刚才探究两个分式之间关系的方法,继续利用满足aa =aa的a,b,c,d的这几组数值,计算分式a+aa 与a+aa的值,观察并猜测两个分式之间的关系,然后尝试进行相关的证明.追问:若a a =aa ,则a -a a与a -aa 是否相等呢?问题2:你能尝试用语言来叙述以上刚获得的两个分式的关系吗?问题3:请按照上述探究的过程,继续探究下列两个分式的关系?a +a a -a ,a +aa -a.(a ≠b ,c ≠d )追问1:结合已经证明出的a a =a a ,a a =a a ,a +a a=a +a a ,a -a a =a -aa 这些结论,你能尝试去证明吗?问题4:你能尝试用语言来叙述以上a +aa -a 与a +aa -a 两个分式的关系吗?问题5:回顾整个探究的过程,当a a =a a时,根据分式的基本性质,我们都得到了什么结论,这些结论有什么作用?四、深化提高填一填,见证自己的水平: (1)已知a a =52,则a +aa= ,a -aa = ,a -aa +a = ;(2)已知a +a a =83,则aa = ,aa -a = ,a +aa -a = ;(3)已知:a 3=a 4=a6,则a +aa -a = ,3a +2a4a -2a = .参考答案一、自主学习问题1:学生活动,根据分数基本性质即可完成,略.问题2:若a a =a a,则a a =a a;若a a =a a,则a a =a a. 二、深化探究 问题1:∵a a =a a ,∴ad=bc , ∴a a =a a ,a a =aa .问题2:把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例. 把一个比例的一个比的前项作为后项,后项作为前项,所构成的两个比相等. 三、练习巩固 问题1:猜想:若a a =aa ,则a +a a=a +aa . 证法一(利用等式的性质)∵a a =aa , ∴aa +1=aa +1,即a +a a =a +aa . 证法二(设比法) 设a a =a a=k ,则a=bk ,c=dk.∵a +a a =aa +a a =k+1,a +a a =aa +aa =k+1, ∴a +a a=a +a a . 追问:相等.即:若a a =aa ,则a -a a=a -aa . 得比例的又一性质:若a a =aa ,则a ±a a=a ±aa . 问题2:在一个比例里,第一个比的前后项的和与它后项的比,等于第二个比的前后项的和与它的后项的比;在一个比例里,第一个比的前后项的差与它的后项的比,等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比.问题3:通过验算获得猜想:若a a =aa ,则a +a a -a =a +aa -a (a ≠b ,c ≠d ). 追问1:证明:∵a +a a=a +aa , ∴a +a a +a =aa , ∵a -a a =a -aa , ∴a -a a -a =aa .故a +a a -a =a +a a -a(a ≠b ,c ≠d ). 问题4:一个比例里,第一个前后项之和与它们的差的比,等于第二个比的前后项的和与它们的差的比.问题5:更比:若a a =a a,则a a =a a; 反比:若a a =aa ,则a a =a a ; 合比:若a a =aa ,则a ±a a=a ±aa ; 合分比:若a a =a a ,则a +a a -a =a +a a -a(a ≠b ,c ≠d ). 四、深化提高填一填,见证自己的水平: (1)72,32,37; (2)53,32,4; (3)-7,1718.。

分式方程(1)一、学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的缘故.2．把握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.二、学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是不是原方程的增根.三、学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是不是原方程的增根.四、自主探讨：一、前面咱们已经学习了哪些方程？是如何的方程？如何求解？（1）前面咱们已经学过了 方程。

（2）一元一次方程是 方程。

（3）一元一次方程解法 步骤是：①去___；②去____；③移项；④归并_____；⑤_____化为1。

如解方程：163242=--+x x、探讨新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所历时刻，与以最大航速逆流航行60千米所历时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，依照“两次航行所历时刻相同”这一等量关系，取得方程：______________________ .像如此分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观看发感觉到这两种方程的区别在于未知数是不是在分母上。

未知数在_____的方程是分式方程。

未知数不在分母的方程是____方程。

前面咱们学过一元一次方程的解法，可是分式方程中分母含有未知数，咱们又将如何解？解分式方程的大体思路是将分式方程转化为 方程，具体的方式是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。

如解方程：v +20100=v-2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母_____________，得100（20-v ）=60（20+v ）……………………②解得 V=_______.观看方程①、②中的v 的取值范围相同吗？① 由于是分式方程v ≠_______,② 而②是整式方程v 可取_____实数。

这说明，关于方程①来讲，必需要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后取得的整式方程②那么没有那个要求。