2020届北京市西城区高三诊断性考试（二模）数学试题一、单选题1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．{}2,0,2-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B I . 【详解】{}{}333A x x x x =<=-<<Q ，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-I .故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】1z i i ⋅=-+Q ，211i i i z i i i-++∴===+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数除法运算的应用，考查计算能力，属于基础题.3．下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．3y x =-B ．y x x =C ．1y x -=D ．y =【答案】B【解析】求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，函数3y x =-的值域为R 且区间()0,∞+上单调递减；对于B 选项，22,0,0x x y x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，当0x >时，20y x =>；当0x ≤时，20y x =-≤. 所以，函数y x x =的值域为R ，且在区间()0,∞+上单调递增；对于C 选项，函数1y x -=的值域为{}0x x ≠，且在区间()0,∞+上单调递减；对于D 选项，函数y =[)0,+∞，且在区间()0,∞+上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，同时也考查了函数单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.4．抛物线24x y =的准线方程是（ ）． A ．1y = B ．1y =- C ．1x =- D ．1x =【答案】B【解析】Q 抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-故答案选B5．在ABC V 中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．18B ．14C ．310D ．35【答案】A【解析】先根据大边对大角定理判断出ABC V 的最大角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】::4:5:6a b c =Q ，则C 为ABC V 的最大内角，设()40a t t =>，则5b t =，6c t =，由余弦定理得()()()2222224561cos 22458t t t a b c C ab t t +-+-===⨯⨯. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，涉及大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.6．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】B【解析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】指数函数3x y =为R 上的增函数，则0.20331a =>=；对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则333log 1log 2log 3<<，即01b <<； 对数函数0.2log y x =为()0,∞+上的减函数，则0.20.2log 3log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】作出几何体的直观图，可知该几何体为四棱锥，求出四棱锥的底面积和高，可求得该四棱锥的体积. 【详解】作出几何体的直观图如下图所示：可知，该几何体为四棱锥P ABCD -，且底面ABCD 为直角梯形，其面积为()12232S +⨯==，四棱锥P ABCD -的高为2h PD ==， 因此，该几何体的体积为1132233P ABCD V Sh -==⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要将几何体的直观图作出来，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,0]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程，根据题意得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22215x y a -++=-，由于该圆与x 轴、y 轴均有公共点，则505251a a a ->⎧-≥-≥，解得1a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞. 故选：A. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也要注意利用一般方程表示圆时的等价条件，考查计算能力，属于中等题.9．若向量a r 与b r不共线，则“0a b ⋅<r r ”是“2a b a b ->+r r r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据平面向量数量积的运算结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由于向量a r 与b r不共线，当0a b ⋅<r r 时，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理可得a b b ->r r r ，2a b a b ∴->+r r r r ，则“0a b ⋅<r r”⇒“2a b a b ->+r r r r ”；若a b ⊥r r ，22222a b a a b b a a -=-⋅+>=r r r r r r r r ，则a b a ->r r r ，同理a b b ->r r r， 所以，“2a b a b ->+r r r r ”⇒“0a b ⋅<r r”，因此，“0a b ⋅<r r”是“2a b a b ->+r r r r ”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.10．设函数()()1xf x x e =-，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,e B ．(20,e ⎤⎦C ．21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，根据图象和整数解的个数得出关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()1x f x x e =-Q ，()x f x xe '∴=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：()f x]极小值Z所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. 则函数()y f x =在0x =处取得极小值，且极小值为()01f =-，如下图所示：当0a >时，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则()()11221f a f a ⎧<-⎪⎨≥-⎪⎩，解得2112e a +<≤；当0a <时，由于直线1y ax =-与x 轴的负半轴交于点1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭，当1x a<时，关于x 的不等式()1f x ax <-有无数个整数解，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题11．设平面向量()1,2a =-r ，(),2b k =r 满足a b ⊥r r，则b =r ____．【答案】【解析】利用垂直向量的坐标表示求出实数k 的值，利用向量模的坐标公式可求得b r的值. 【详解】()1,2a =-r Q ，(),2b k =r 且a b ⊥r r，40a b k ∴⋅=-=r r ，得4k =，则()4,2b =r ，因此，b ==r故答案为：【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.12．若双曲线()2221016x y a a -=>经过点()2,0，则该双曲线渐近线的方程为____．【答案】2y x =±【解析】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程，求出实数a 的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】将点()2,0的坐标代入双曲线的方程得241a=，0a >Q ，可得2a =， 所以，双曲线的方程为221416x y -=，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，考查计算能力，属于基础题. 13．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.【答案】乙、丁【解析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果. 【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖. 所以本题答案为乙、丁. 【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E 、F 、H 分别是棱PB 、BC 、PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于； ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③【解析】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误.【详解】取CD 的中点G ，PA 的四等分点I ，顺次连接E 、F 、G 、H 、I ，则平面EFGHI 即为过E 、F 、H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面，如下图所示：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E Q 、F 分别为PB 、BC 的中点，//EF PC ∴且1232EF PC == EF ⊂Q 平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，//PC ∴平面EFH ， PC ⊂Q 平面PCD ，平面PCD I 平面EFH GH =，//GH PC ∴，H Q 为PD 的中点，G ∴为CD 的中点，1232GH PC ∴== 同理可得////EH BD FG ，且1222EH FG BD === PA ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，Q 四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，PA AC A =Q I ，BD ∴⊥平面PAC ，PC ⊂Q 平面PAC ，BD PC ∴⊥，则EF EH ⊥，所以，四边形EFGH 为矩形，其面积为23226EF EH⋅== 设FG AC M =I ，BD AC N =I ，则M 为CN 的中点，N 为AC 的中点，1124CM CN AC ∴==，34AM AC ∴=， //PC Q 平面EFH ，PC ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面EFH IM =，//IM PC ∴，且3334IM PC ==， IEH ∴V 的边EH 上的高为33233IJ IM MJ =-== IEH V 的面积为11223622IEH S EH IJ =⋅=⨯=V 所以，截面面积为46656=①错误；该截面是一个五边形，命题②正确；由图可知，截面与四棱锥P ABCD -侧棱PA 、PB 、PD 相交，命题③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、双空题15．设函数()2sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．【答案】π1【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得该函数的周期，求出函数()y f x =的最大值，可求得实数m 的最小值. 【详解】()2sin 22cos sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，函数()y f x =的最大值为()max 1f x =，由于对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则()max 1m f x ≥=.因此，实数m 1.故答案为：π1. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，考查计算能力，属于中等题.四、解答题16．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//DE BF ，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面//BCF 平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13-．【解析】（Ⅰ）推导出//BF 平面ADE ，//BC 平面ADE ，利用面面平行的判定定理可证明出平面//BCF 平面ADE ；（Ⅱ）分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出钝二面角D AE F --的余弦值． 【详解】（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE ． 同理，得//BC 平面ADE ．又因为BC BF B =I ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE ；（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，可知DA 、DC 、DE 两两垂直，分别以DA 、DC 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D 、()0,0,2E 、()2,2,1F 、()2,0,0A ，所以()2,0,2AE =-u u u v ，()0,2,1AF =u u u v，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =v，由00AE n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得22020x z y z -+=⎧⎨+=⎩， 令1y =，则2z =-，2x =-，得()2,1,2n =--v． 平面ADE 的一个法向量()0,1,0m =v．11cos ,133m n m n m n ⋅===⋅⨯v vv vv v ，因此，钝二面角D AE F --的余弦值为13-. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.17．从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．【答案】选择①：（Ⅰ）*21()n a n n N =-∈；（Ⅱ）5．选择②：（Ⅰ）32()n a n n =-∈N *；（Ⅱ）6．选择③：（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；（Ⅱ）5．【解析】（Ⅰ）选择①，由11a S =求得p 的值，再由()12n n n a S S n -=-≥可求得数列{}n a 的通项公式；选择②，可知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式； 选择③，可知数列{}n a 是等差数列，求出公差d 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由21nm a a a =可得出m 关于n 的表达式，进而可求得m 的最小值． 【详解】选择①：（Ⅰ）当1n =时，由1111a S p ==+=，得0p =.当2n ≥时，由题意，得()21n S n =-，所以()1212nn n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()21n a n n N *=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（Ⅰ）因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列.所以()()()1113132n a a n d n n n N*=+-=+-=-∈；（Ⅱ）由1a 、n a 、m a 成等比数列，得21nm a a a =，即()()232132n m -=⨯-． 化简，得2222342333m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6； 选择③：（Ⅰ）由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =. 所以()()1121n a a n d n n N*=+-=-∈；（Ⅱ） 因为1a 、n a 、m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为m 、n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、L 、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了． 【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2． 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40， 且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）90PFQ ∠=o． 【解析】（Ⅰ）由已知条件求得a 、c 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，并求出点P 、Q 的坐标，计算出FP u u u r 、FQ uuur 的坐标，并计算出FP FQ ⋅u u u r u u u r，由此可得出PFQ ∠的大小. 【详解】（Ⅰ）由题意得121c aAF a c ⎧=⎪⎨⎪=-=⎩，解得2a =，1c =，从而223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则()214410t ∆=+>恒成立，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+， 设点()4,P m ，()()11112,1,AM x y ty y =-=-u u u u r ，()2,AP m =u u u r，由//AM AP u u u u r u u u r得()1121y m ty =-，可得1121y m ty =-，即点1124,1y P ty ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得点2224,1y Q ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1123,1y FP ty ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭u u u r ，2223,1y FQ ty ⎛⎫= ⎪-⎝⎭u u u r ，()()()121221212124499111y y y y FP FQ ty ty t y y t y y ∴⋅=+=+---++u u u r u u u r222223634909613434t t t t t -+=+=-++++， 因此，90PFQ ∠=o.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中角的计算，涉及平面向量数量积以及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】（Ⅰ）利用偶函数的定义()()f x f x -=，化简后可得实数a 的值； （Ⅱ）利用导数分析函数()y f x =在()0,∞+上的单调性，进而可证得()2f x >； （Ⅲ）令()0f x =得cos xx a e =-，令()cos x xh x e =-，利用导数分析函数()y h x =在区间[]0,π上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）函数()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，即()cos cos xx ae x ae x -+-=+，整理得()0x xa e e--=对任意的x ∈R 恒成立，0a ∴=；（Ⅱ）当1a =时，()cos x f x e x =+，则()sin x f x e x '=-，0x Q >，则e 1x >，1sin 1x -≤≤，()sin 0xf x e x '∴=->，所以，函数()cos x f x e x =+在()0,∞+上单调递增，∴当0x >时，()()02f x f >=；（Ⅲ）由()cos 0x f x ae x =+=，得cos xx a e =-，设函数()cos x xh x e =-，[]0,x π∈， 则()sin cos 4x xx x x h x e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，令()0h x '=，得34x π=． 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭34π 3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦()h x ' +-()h xZ极大值]所以，函数()y h x =在30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减．又因为()01h =-，()h eππ-=，334422h ee ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()340h e h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，如下图所示：所以，当342a e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[]0,π内有两个不同解， 因此，所求实数a 的取值范围为342,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题. 21．设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =L ）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈L ，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+L L ）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =L 能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-；（Ⅱ）100；（Ⅲ）N 存在最大值，为200．【解析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k -，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅲ）利用反证法推导出111k k a a +->+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆U UL U ，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值. 【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-； （Ⅱ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，L，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤．由②，得1I 、2I 、L 、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100k I ≠∅I ．不妨设12n a a a <<<<L L ．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=L ．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +-+≤，那么()11kk k I I I -+⊆U ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、L 、1k -、1k +、L 、N ）”矛盾，故111k k a a +->+．所以421a a >+，6412a a >+>，L，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆U UL U ．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=L ”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ．令()110012199k a k =-+-，其中1k =、2、L 、200，即1a 、2a 、L 、200a 为等差数列，公差100199d =．由1d <，知1k k I I +≠∅I ，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦U UL U ， 所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I -∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N -∉=-+L L ．（注：()1001199k -为区间k I 的中点对应的数）所以1I 、2I 、L 、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200． 【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
