1(5)无穷小和无穷大

无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。

它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。

无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。

换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。

在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。

当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。

无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。

在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。

在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。

与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。

换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。

在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。

当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。

无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。

在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。

在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。

下面我们来看几个具体的例子。

例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。

这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。

例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。

这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。

例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。

这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。

通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。

无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。

第周第学时教案授课教师：贾其鑫第周第学时教案授课教师：贾其鑫第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|, 所以∞=-→11lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要M x 1|1|<-.第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明:如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).1.3.3无穷小量的性质第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

反过来 x → 0 比 x → 0 慢 ;
2
sin x → 0 与 x → 0 快慢相仿; 1 2 x sin → 0 与 x 2 → 0 的快慢不可比. x
为此, 即有下面无穷小的阶的比较的定义. 为此 即有下面无穷小的阶的比较的定义
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β 如果 lim = 0, 就说 β 是比α 高阶的无穷小 , 记作 α β = o(α ); β 如果 lim = ∞ , 就说 β 是比 α 低阶的无穷小 ; α β 如果 lim = c ≠ 0, 就说 β 与α 是同阶无穷小 ; α β 如果 lim k = c ≠ 0, k > 0, 就说 β 是关于 α 的k阶无穷小 . α β 如果 lim = 1, 就说β 与α 是等价无穷小, 记作 α ~ β . α
注意 1.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量, 不能与很小的数混淆; 无穷小是变量 2.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
2. 无穷大(infinity)的定义
定义2 定义 设函数 f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内有
定义( 或 x 大于某一正数时有定义 ). 如果对于任 意给定的正数 M ( 不论它多么大 ), 总存在正数 δ (或正数 X ), 只要 x 适合不等式 0 < x − x0 < δ (或 x > X ), 对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) > M , 则称 f ( x ) 为当 x → x0 ( 或x → ∞ )时 的无穷大 .
等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形. 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形 关于等价无穷小的定理 定理 1 β 与α 是等价无穷小的充分必 要条件为 β = α + o(α ). 证 必要性 设 α ~ β ,

2lim x3 lim4
x2
x2
lim( x2 5x 3)
2 23 4
3
4.
x2
29
小结
(1) 设 f ( x) a0 xn a1xn1 an , 则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n a1 x0n1 an f ( x0 ).
当x 1时,
皆非无穷小.
当n 时,数列{(1)n }是无穷小. n
无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
4
定义1 0(不论它多么小), 0(或X 0),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),
恒有 | f ( x) |
则称f ( x)当x x0(或x )时的无穷小, 记作
证 因为 lim 1 0 , ( 无穷小量 ) x x
| sin x | 1 x (,) , ( 有界量 )
故 lim 1 sin x 0 . x x
12
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达
它的变化状态的. “无限制变小的量”
1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；