山东济南2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 (Word版含答案)

山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2230,,MxxxNxxaMN若，则实数a的取值范围是

A.,1 B.,1 C.3, D.3,

2.若12izi（i为虚数单位），则z的共轭复数是

A.2i B.2i C.2i D.2i

3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

4.“1cos2”是“3”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为

A.7 B.9

C.11 D.13

6.某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为8.57.5yx$，则表中的m的值为

A.50 B.55 C.60 D.65

7.已知12,FF是双曲线222210,0xyabab的两个焦点，以12FF为直径的圆与双曲线一个交点是P，且12FPF的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

A.2 B.3

C.2 D.5

8.在椭圆221169xy内，通过点1,1M且被这点平分的弦所在的直线方程为

A.91670xy B.169250xy

C.916250xy D.16970xy

9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有

A.48种 B.72种

C.96种 D.108种

10.若至少存在一个0xx，使得关于x的不等式242xxm成立，则实数m的取值范围为

A.4,5 B.5,5

C.4,5 D.5,4

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在60,80中的学生人数是_________.

12.函数2113lg2fxgxx的定义域是_________.

13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3的扇形，则该几何体的体积为__________.

14.设,,abcrrr是单位向量，且0abacbcrrrrrr，则的最大值为________.

15.设函数fx的定义域为R，若存在常数0fxx，使对一切实数x均成立，则称fx为“条件约束函数”.现给出下列函数：

①4fxx；②22fxx；③2225xfxxx；

④fx是定义在实数集R上的奇函数，且对一切12,xx均有12124fxfxxx.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

在ABC中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且4,3bA，面积23S.

（I）求a的值；

（II）设2cossincoscosfxCxAx，将fx图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到gx的图象，求gx的单调增区间.

17. （本小题满分12分）

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.

（I）求的分布列和数学期望；

（II）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.

18. （本小题满分12分）

直三棱柱111ABCABC中，10,8,6ABACBC，18AA，点D在线段AB上.

（I）若1//AC平面1BCD，确定D点的位置并证明；

（II）当13BDAB时，求二面角1BCDB的余弦值.

19. （本小题满分12分）

已知数列na满足12111,3,32,2nnnaaaaanNn，

（I）证明：数列1nnaa是等比数列，并求出na的通项公式；

（II）设数列nb满足242log1nnba，证明：对一切正整数222121111,1112nnbbb有.

20. （本小题满分13分）

已知抛物C的标准方程为220ypxp，M为抛物线C上一动点，,00Aaa为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为92.

（I）求抛物线C的标准方程；

（II）记11tAMAN，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知关于x函数22ln,gxaxaRfxxgxx，

（I）试求函数gx的单调区间；

（II）若fx在区间0,1内有极值，试求a的取值范围；

（III）0a时，若fx有唯一的零点0x，试求0x.

（注：x为取整函数，表示不超过x的最大整数，如0.30,2.62,1.42；以下数据供参考：ln20.6931,ln31.099,ln51.609,ln71.946）

又∵0B∴2B 6C„„6分

∴()2cossincoscos)2sin()6fxCxAxx，„„„„ 8分

将()fx图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6gxx，„„„„9分

所以()gx的单调增区间为222,262kxk„„„„10分

即,()63kxkkZ„„„„11分

()gx的单调区间为,,()63kkkZ„„„„12分

（17）解：（Ⅰ）由题意知，的所有可能取值为0，10，20，30．„„„„1分

1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605PPPP，，，分

的分布列为：

 0 10 20 30

A A1

B C

D B1 C1

x y z P 160 320 1330 25

„„„„6分

所以 AC1∥平面B1CD． „„„„„„„„„„„„„„„4分

（Ⅱ） 由6,8,10BCACAB ，得AC⊥BC，

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．

则B(6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A1(0, 8,8)，B1(6, 0, 8)．

设D(a, b, 0)（0a，0b），„„„„„„„5分

因为

点D在线段AB上，且13BDAB， 即13BDBA．

所以84,3ab．„„„„„„„7分

所以1(6,0,8)BC，8(4,,0)3CD．

平面BCD的法向量为1(0,0,1)n．

设平面B1CD的法向量为2(,,1)nxy，

由 120BCn，20CDn， 得 6808403xxy，

所以4,23xy，24(,2,1)3n． „„„„„„„10分

设二面角1BCDB的大小为， 361cos61abab．

所以二面角1BCDB的余弦值为36161．„„„„„„„„„„„12分

（19）解：Ⅰ由1132nnnaaa ，可得112(),nnnnaaaa„„„„2分

212,aa1nnaa 是首项为2，公比为2的等比数列，

即1=2.nnnaa „„„„3分

-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6nnnnnnnnnaaaaaaaa+分

24222221222122log(2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11nnnnbnbnnnnnbbbnnnnbbⅡ由题意得分分对一切正整数有21.1212nb分

（20）(I)由题意,2922221||||212pppMNOASMON

3p

抛物线C的方程为xy62---------------------------------------------------------------------3分

(II) 设),(),(2211yxNyxM，,直线MN的方程为amyx

联立xyamyx62

得0662amyy

024362am

myy621,ayy621,-----------------------------------------------------------------6分

由对称性,不妨设0m,

(i)0a时,0621ayy, 21yy，同号,