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17．2 古典概型与几何概型
【知识网络】
1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。
【典型例题】
[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）
A．49
B．29
C．23
D．13
（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则1log2YX的概率为 （ ）
A．61 B．365 C．121 D．21
（3）在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为 （ ）
A．56 B．12 C．13 D．16
（4）向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于3S”的概率为 ．
（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．
[例2]考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻第 2 页 共 12 页 钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．
某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．
方案1：总点数是几就送礼券几十元．
20212
专题限时集训（二) 统计与统计案例 随机事件的概率、古典概型、几何概型
1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位:kg）分别为x1,x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x1，x2，…,xn的平均数
B．x1,x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2,…，xn的中位数
B [评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差,故选B．]
2．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ）
A．0。5 B．0。6 C．0.7 D．0。8
C ［由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋20212
60＝70，则其与该校学生人数之比为70÷100＝0.7.故选C．］
3．（2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0。4 C．0.6 D．0.7
B ［设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C）＝1－P（A）－P（B)＝1－0.45－0。15＝0。4。故选B．］
4．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ )
A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!
1 专题三 概率与统计
建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说话，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“独立性检验与回归分析”三个方面分类进行引导，强化突破．
突破点6 古典概型与几何概型
提炼1 古典概型问题的求解技巧 (1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．
(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．
(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用 2 逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．
(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决．
提炼2 几何度量法求解几何概型 准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等．
提炼3 求概率的两种常用方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．
(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
回访1 古典概型
1．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13 B.12
C.23
D.56
C [从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C.]
- 1 - 考点47 随机事件的概率、古典概型、几何概型
一、选择题
1.（2011·广东高考理科·Ｔ6）甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
（A）12 （B）35 （C）23 （D）34
【思路点拨】本题利用独立重复试验及对立事件的概率公式可求解.
【精讲精析】选D.由题意知，乙队胜的概率为412121，由对立事件概率公式得，甲队获胜的概率为43411P.故选D.
2．（2011·安徽高考文科·Ｔ9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）
（A）110 （B）18 （C）16 （D）15
【思路点拨】基本事件总数是46C=15，观察可得构成3个矩形.
【精讲精析】选D. 基本事件总数是46C=15，观察可得构成3个矩形.所以是矩形的概率为.51153
3.（2011·福建卷理科·Ｔ4）与（2011·福建卷文科·Ｔ7）相同
如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
(A)14 (B)13 (C)12 (D)23
【思路点拨】本题属几何概型问题，所求概率转化为△ABE与矩形ABCD的面积之比.
【精讲精析】选C. 由题意知，112.2ABEABCDABBCSPSABBC矩形＝＝
4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ4）与（2011·新课标全国高考文科·Ｔ6）相同
有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
