高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即 试验结果具有无限性，是不可数的。

这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理， 我们不难看出其要核是： 要抓住几何概型具有无限性和等可能性 两个特点，无限性是指在一次试验中， 基本事件的个数可以是无限的， 这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。

因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的 长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之 比来表示。

下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

二常见题型梳理 1. 长度之比类型例1.小欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时 一班，求小等车时间不多于 10分钟的概率.例2在长为12cm 的线段AB 上任取一点 M ,并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的 面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率.2. 面积、体积之比类型几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型， 是概率考查中的重点， 下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。

一基本知识剖析1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2. 几何概型的概率公式：构成事件A 的区域长度（面积或体 积） P （A ） = —-~————-试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件） 事件出现的可能性相等.4. 几何概型与古典概型的比较 ：一方面，古典概型具有有限性，积）’有无限多个; 2）每个基本 即试验结果是可数的；而几例3. （08高考6）.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率&AB C 中，过直角顶点C 在 ACB 部做一条射线CM ,与线段 AC 的概率。

4. “会面”类型的几何概型例5.某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某大 9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠 20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

5.与其他章节知识综合类有实根的概率是（ ）3.角度之比型例4.如图所示，在等腰直角AB 交于点M ,求AM例6.已知两数m, n 是某事件发生的概率取值,则关于x 的一元二次方程x 2 Vnx m 0A.B.C.1 D.—16经典例题：如图,AOB 60 , OA 2 , OB试求：（1） AOC 为钝角三角形的概率；（2） AOC 为锐角三角形的概率.5 ,在线段OB 上任取一点C ,O D CE当堂练习：1.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小丁 4.8g 的概率为0.3,质量小丁 4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8, 4.85] （g ）围的概率是（）A. 0.62B. 0.38C. 0.02 D . 0.682. 在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P,并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介丁 25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（3. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为构成数对（x, y ）,则所有数对（x, y ）中满足xy=4的概率为（4. 如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A.3 10B. C. D.x,转盘乙得到的数为y,A.B.D.12 16方形区域的概率为（8 .现有100ml 的蒸僻水，假定里面有一个细菌，现从中抽取 20ml 的蒸僻水，抽到细菌的概孕为()1111A.——B.—C.—D.-100201059. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早 晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜可以进港的概率是（）2 1 2AA. 4B. 8C. 10D. 1210 .在区间［0,10］中任意取一个数，则它与4之和大丁 10的概率是（）12 32A. 5B. 5C.5D. 711 .过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ,则L 与线段BC 相交的概率为（）］ 11A A. 2B. 3C.6D. 12A. B. C.D.5.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟，过时离去.则求两人会面的概率为（A. B. C. D.106如图，某人向圆投镖，如果他每次都投入圆，那么他投中正A. B. C. D.-3 7.如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45,若向圆投镖,如果某人每次都投入圆，那么他投中阴影部分的概率为（A.B. C. D.12.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A. 0.5B. 0.4C. 0.004D.不能确定13 .平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平■行线相碰的概率（ c ）r r a r a rA. aB. 2aC. aD. 2a14.已知地铁歹U车每10min —班，在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上车的概率为.15 .随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小丁1且与CPD为锐角的概率是:5 .......... 一16 .在区|可（0,1）中随机地取出两个数，则两数Z和小丁 -的概率是.6 --------------17 .假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6: 30〜7: 30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7: 00〜8: 00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为18. 飞镖随机地掷在下面的靶子上.（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？19 .一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.20.在长度为10的线段任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概 率.几何概型练习1.某广播电台每当整点或半点时就会报时， 某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过5 min 的概率是.2. 已知地铁列车每 10min 一班，在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为—3. 在线段［0,3］上任取一点，其坐标小于1的概率是.4. 在地球洋占70.9%勺面积，陆地占29.1%勺面积，现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来 将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为 为 球的面积约为5.1亿平方千米）9.在1万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油 .假设在海域中的任意一点董在我国国土的概率5.从区间（0,1）任取两个数，则这两个数的和小于 -的概率是 6A. -B.-5 56.A 是圆上固定的一定点于等于半径长度的概率为C.25 ，在圆上其他位置任取一点17 D.- 25B,连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大（）1 A. 一22 B. 一3C. -.3 2； 1-D.-47.已知集合 A = 9，7, 5, 3, 1,0,2,4,6,8 x A ，yA ，点x ，y正好在第二象限的概率是1112A.-B.—C. —D.—3 45 5，在平面直角坐标系 x0y 中，点x, y 的坐标的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 8 .取一根长度为3 m 概率有多大？钻探,钻到油层面的概率是多少？10. 在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球，假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.11 .甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜到达码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.B.2几何概型经典例题：解：如图，由平■面几何知识：当AD OB 时，OD 1;当OA AE 时，OE 4, BE 1 .(1) 当且仅当点C在线段OD或BE上时，AOC为钝角三角形OD EB 1 1I己” AOC为钝角三角形”为事件M，贝U P(M ) ----------------------- —— 0.4OB 5即AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2) 当且仅当点C在线段DE上时，AOC为锐角三角，DE 3记" AOC为锐角三角"为事件N，则P(N) 业30.6OB 5即AOC为锐角三角形的概率为0.6.1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7.A;8.B;9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.; 15.16. 25 ; 17. 87.5%;721 2 318.⑴都正3'⑵3;4。

19. 解：由已知可得，海豚的活动围在26X16 nf的区域外,所以海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P 1 26 16 0.308。

30 2020. 解：设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x, y, 10- (x+y),4arcsin—5 .;x y 10 (x y),即 5 x y 10 .乂由三角形两边之差小丁第三边，有x 5 ,即 0 x 5,同理 0 y 5 .0x5•■-构造三角形的条件为 0 y 5.5 x y 10满足条件的点P (x, y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域 的边界).=^ 102= 50 . ..• P(A)= S 阴影=- 2 S 4《° OMN几何概型练习:1 1 11.-2.— 3 . —4 . 29.1%, 0.0196 1135. D6. B7. C8. 解:设事件A=(剪得两段的长都不小于 1m},把绳子三等分，当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生.由于中间一段的长度为 1m,所以由几何概率公式得： P(A)= 1.39. 解：记“钻到油层面”为事件则答：钻到油层的概率是 0.008.10 .解：记事件 A 为“取1立方米沙子中含有玻璃球”0 x 10 0 x 10则0 y 10 ，即0 y 100 10 (xy) 100 x y 101 2 25S阴、25 =云S O ABP(A)=贮藏石油的大陆架面积 所有海域大陆架面积80100000.008由一个三角形两边之和大丁第三边，有则事件A发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为1:10. . . •玻璃球在沙子中任何位置等可能，由几何概型概率计算公式得P(A)= 1.1011. 解：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能会面的充要条件是|x y | 15 .在平面上建立直角坐标系如图所示，则(x, y )的所有可能结果是边长60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，这是一个几何概型问题.12. 解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,A为两艘船都不需要码头空出，x, y | x 0,24 ，要满足A,则y x 1 或x y 2. .A= x, y y 2,x 0,24P S AP A r2 1(24 1)2224224 2 506.50.87934 .576。