(完整word版)2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第二十单元 平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线4=+ny mx 与圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．0或12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与`双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎭B ．⎡⎢⎣⎦C ．(D ．⎡⎣3．经过抛物线24x y =的焦点，倾斜角为120︒的直线交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ）A ．2B C D ．164．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点， 则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．85．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( )A B ．2 C D ．36．已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是( )A ．1BC D7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()2,1Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()1,2-8．过椭圆221164x y +=内一点()3,1P ，且被这点平分的弦所在直线的方程是（ ）A ．34130x y +-=B ．43130x y +-=C ．3450x y -+=D ．3450x y ++=9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB ，分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为1k ，2k ，若点A ，B 关于原点对称，则21k k ⋅的值为( )A ．13B ．12 C ．12- D ．13-10．已知A ，B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若40FA FB +=， 则直线AB 的斜率为（ ）A ．23±B ．34±C ．43±D ．32±11．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点A ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．抛物线22y x =上两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．32D ．3二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）13．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，6AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为 ．14．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线250x y -+=平行，则双曲线的离心率为 ．15．已知焦点在x 轴上椭圆222125x y b +=，点124,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，过点P 作两条直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若椭圆的右焦点F 恰是PAB △的重心，则直线AB 的方程为 ．16．过点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线2ax y =的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若0PA PB ⋅=，则a 的值为 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A ，B 两点． （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（2）如果4OA OB ⋅=-，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．18．(12分)已知圆22:20G x y x +-=经过椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(),0M m ，()m a >作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．19．（12分）如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP =，0NP AM ⋅=，点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 且倾斜角是45︒的直线l 交曲线E 于两点H ,Q ，求HQ ．20．(12分)已知直线:l y x =，圆22:5O x y +=，椭圆()2222:10y x E a b a b+=>>的离心率e ，直线l被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；（2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．21．(12分)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，1OF =． （1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM △的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -，()1,0，点()2,0A a ，且122AF AF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第二十单元 平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵直线4mx ny +=与圆22:4O x y +=2>，∴422<+n m ，∴22194m n +<，∴点(),m n 在椭圆内，故选C ．2．【答案】B【解析】由题意知，焦点为()4,0F ，双曲线的两条渐近线方程为y x =． 当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选B ． 3．【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知AB的方程为1y =+，由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x +-=，12x x ∴+=-124x x =-，∴AB =16==，故选D ．4．【答案】C【解析】由椭圆的方程得()1,0F -，()0,0O ，设(),P x y ，()22x -≤≤为椭圆上任意一点，则()2222221131322444x OP FP x x y x x x x x ⎛⎫⋅=++=++-=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时，OP FP ⋅取得最大值6，故选C ． 5．【答案】D【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，由方程组22⎧=⎪⎨⎪=+⎩b y x a y x ，消去y ， 得220b x x a -+=有唯一解，所以280b a∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以b a =223c a b e a +===，故选D ． 6．【答案】C【解析】由椭圆的方程可知2=a ，由椭圆的定义可知，2248AF BF AB a ++==，所以()2283AB AF BF =-+≥，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中通径最短，且223b a=，∴23b =，b =C ． 7．【答案】A 【解析】如图，∵点()2,1Q -在抛物线的内部，由抛物线的定义，PF 等于点P 到准线1x =-的距离， 过Q 作1x =-的垂线QH 交抛物线于点K ，则点K 为取最小值时所求的点．当1y =-时，由41x =得14x =，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A ． 8．【答案】A【解析】设直线与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +⋅-+⋅-+=， ∵126x x +=，122y y +=，∴()()121212121344AB x x y y k x x y y +-==-⨯=--+，∴直线AB 的方程为()3134y x -=--，即34130x y +-=，故选A ． 9．【答案】D【解析】设点(),M x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，∴111211y y y y k k x x x x -+⋅=⋅-+ 222212222222221111113x x b b a a b c e x x a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=-=--，∴21k k ⋅的值为13-，故选D ． 10．【答案】C【解析】∵40FA FB +=，∴4FA FB =-，∴4FA FB =，设FB t =，则4FA t =，设点A ，B 在抛物线C 准线上的射影分别为1A ，1B ，过A 作1BB 的垂线，交线段1BB 的延长线于点M ，则113BM AA BB AF BF t =-=-=，5AB AF BF t =+=， ∴4AM t =，∴34tan =∠ABM ，由对称性可得直线AB 的斜率为43±，故选C ．11．【答案】D故选D ． 12．【答案】C 【解析】∵21211AB y y k x x -==--，又()2221212y y x x -=-，∴2112x x +=-，由于212122x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,在直线y x m =+上，即212122y y x x m ++=+，21212y y x x m +=++， ∵2112y x =，2222y x =，∴()22212122x x x x m +=++，即()2212121222x x x x x x m ⎡⎤+-=++⎣⎦，∵2112x x +=-，2121-=⋅x x ，∴23m =，32m =．故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．【答案】9【解析】设抛物线C 的方程为22y px =，则26AB p ==，∴3=p ，∴192ABP S AB p =⨯=△． 14．2【解析】由双曲线221kx y -=知，它的渐近线方程为y k x =，∵一条渐近线与直线250x y -+=12=，则14k =，∴双曲线方程为2214x y -=， 则2a =，1b =，c =c e a ==． 15．【答案】2015680x y --=【解析】将点P 代人椭圆的方程可得216b =，所以椭圆的方程为2212516x y +=，椭圆的焦点225a =，216b =，22225169c a b =-=-=，(3,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，由12121212435312125503x x x x y y y y ++⎧=⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⎪⎪⎩=⎪⎩，代人椭圆的方程可得22111212222214251602516312516x y x x y y k k x y ⎧+=⎪++⎪⇒+⨯=⇒=⎨⎪+=⎪⎩， ∴AB 的中点坐标为56,25⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求的直线方程为2015680x y --=．16．【答案】14【解析】设切线方程为312y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由2312y ax y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，联立并化简得01232=++-k kx ax ，由题意，234102k a k ∆⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即0462=--a ak k ，又两切线垂直，∴1241k k a =-=-，∴14a =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3-；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为()1,0，设:1l x ty =+，代入抛物线24y x =， 消去x 得2440y ty --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，∴()()()212121212121212111OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++ 2244143t t =-++-=-．（2）设:l x ty b =+，代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()2212121212121212OA OB x x y y ty b ty b y y t y y tb y y b y y ⋅=+=+++=++++ 222244444bt bt b b b b =-++-=-=-，∴2b =．∴直线l 过定点()2,0．∴若4OA OB ⋅=-，则直线l 必过一定点()2,0．18．【答案】（1）22162x y +=；（2）)．【解析】（1）∵圆22:20G x y x +-=经过点F ，B ，∴()2,0F，(B ，∴2c =，b ，∴2226a b c =+=，椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意知直线l的方程为)y x m =-，m >，由)22162x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y ，整理得222260x mx m -+-=． 由()224860m m ∆=-->，解得m -<，∵mm <设()11,C x y ，()22,D x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴()()()()112212122,2,22FC FD x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+ ()()21212234643333m m m m x x x x -+=-+++=． ∵点F 在圆E 内部，∴0FC FD ⋅<，即()2303m m -<，解得03m <<．m <<3m <，故m的取值范围是)．19．【答案】（1）2212x y +=；（2）3．【解析】（1）2AM AP =，0NP AM ⋅=，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =，又CN NM +=2CN AN ∴+=>，∴动点N 的轨迹是以点()1,0C -，()1,0A 为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =焦距22c=，a ∴，1c =，21b =．∴曲线E 的方程为2212x y +=．（2）直线l 的斜率tan451k =︒=，∴直线l 的方程为1y x =-， 由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x -=． 设()11,H x y ，()22,Q x y ，则1243x x +=，120x x =，∴12HQ x -． 20．【答案】（1）22132y x +=；（2）见解析． 【解析】（1）设随圆半焦距为c ，圆心O 到l的距离d ==l 被圆O 截得弦长为以b =．由题意得222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，又b =，∴23a =，22b =． ∴椭圆E 的方程为22132y x +=．（2）设点()00,P x y ，过点P 的椭圆E 的切线0l 的方程为()00y y k x x -=-，联立直线0l 与椭圆E 的方程得：()0022132y k x x y y x ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：()()()2220000324260k x k y kx x kx y ++-+--=，∵0l 与椭圆E 相切．∴()()()22200004432260k y kx k kx y ∆⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦， 整理得：()()22200002230x k kx y y -+--=，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为1k ，2k ，则20122032y k k x -⋅=--，∵点P 在圆O 上，∴22005x y +=，∴2012205312x k k x --⋅=-=--． ∴两条切线斜率之积为常数1-．21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，43y x =-．【解析】（1）如图建系，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则1c =，又∵1AF FB ⋅=，即()()221a c a c a c +⋅-==-，∴22a =．故椭圆方程为2212x y +=．（2）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为PQM △的垂心，则设()11,P x y ，()22,Q x y ，∵()0,1M ，()1,0F ，故1PQ k =，于是设直线l 为y x m =+，由2222y x mx y =+⎧⎨+=⎩，得2234220x mx m ++-=， ∵()()1221011MP FQ x x y y ⋅==-+-，又()1,2i i y x m i =+=， 得()()()1221110x x x m x m -+++-=， 即()()21212210x x x x m m m ++-+-=，由韦达定理得()2222421033m mm m m -⋅--+-=，解得43m =-或1m =(舍去)，经检验43m =-符合条件．∴直线l 的方程为43y x =-．22．【答案】（1）22132x y +=；（2）最大值为4，最小值为9625． 【解析】（1）由题意，1222F F c ==，∵122AF AF =，∴2F 为1AF 的中点．∴23a =，22b =，所以椭圆方程为22132x y +=．（2）当直线DE 与x轴垂直时，22b DE a ==，此时2MN a == 四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设():1DE y k x =+，代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以12x x -=，所以12DE x =-=，同理()22221113322k k MN k k⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==++，所以四边形的面积()()22221111223232k k S DE MN k k ++=⋅=⋅⋅++， ()242242221242242116136613k k k k k k k k ⎛⎫⋅++ ⎪⋅++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令221t k k=+，则()24244613136t S t t +==-++， ∵2212t k k =+≥，()'224()0136S t t =>+， ∴()44136S t t=-+为[)2,t ∈+∞上的增函数，当2t =，即1k =±时，9625S =，∴96425S ≤<，综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．。

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.答案 D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为2＋y 2＝①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ |＝2.由|PQ |＝|OF |，得2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e＝ ，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .又tan ∠POF ＝＝，所以等腰△POF 的高h ＝ ×＝，所以S △PFO ＝× ×＝. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．【解析】：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对称性可得：曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝ ＝ .方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝ ＝ .4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 答案解析 依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M在圆x 2＋y 2＝4上，所以2＋2＝4，又点P (m ，n )在椭圆 ＋＝1上，所以＋＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－或m ＝(舍去)，当m ＝－时，n ＝，所以k PF ＝＝ .5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y ＝± x解析 因为双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b ＝ ，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 设P，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝≥＝4，当且仅当2x ＝，即x ＝ 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若 ＝ ， · ＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则＝，＝，，，得所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，则＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－x－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，故x G＝，由此得y G＝.从而直线PG的斜率为＝－，因为k PQ·k PG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D，A (x 1，y 1)，则＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋. 由可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0， 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|＝ ＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝ ，d 2＝，因此，四边形ADBE 的面积S ＝|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .设M 为线段AB 的中点，则M. 由于⊥ ，而 ＝(t ，t 2－2)，与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，代入y＝kx＋2得y P＝.所以直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.所以直线PB的斜率为或－.。

专题 平面解析几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C的离心率为A BC ．2D【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A BC ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则P P b y x a =⋅==112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】由221x y x y+=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||A B O F =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PFk ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=2c e a ====．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由t a n 63ba=︒. 13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x '=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．【答案】（1）22154x y+=；（2）5或5-．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5cba==，又222a b c=+，可得a=2,b=1c=．所以，椭圆的方程为22154x y+=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p MP x y x M x≠，．设直线PB的斜率为()0k k≠，又()0,2B，则直线PB的方程为2y kx=+，与椭圆方程联立222,1,54y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx++=，可得22045Pkxk=-+，代入2y kx=+得2281045Pkyk-=+，进而直线OP的斜率24510Ppy kx k-=-．在2y kx=+中，令0y=，得2Mxk=-．由题意得()0,1N-，所以直线MN的斜率为2k-．由OP MN⊥，得2451102k kk-⎛⎫⋅-=-⎪-⎝⎭，化简得2245k=，从而5k=±所以，直线PB或．【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为1，此时G （2，0）．【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =时，12S S取得最小值1G （2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.。

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第二十单元 平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线4=+ny mx 与圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．0或12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与`双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( ) A ．33⎛ ⎝⎭B ．33⎡⎢⎣⎦C ．(3,3-D ．3,3⎡-⎣3．经过抛物线24x y =的焦点，倾斜角为120︒的直线交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．2B 3C 43D ．164．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点， 则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．85．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( )A 3B ．2C 5D ．36．已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1B 2C 3D 57．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()2,1Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()1,2-8．过椭圆221164x y +=内一点()3,1P ，且被这点平分的弦所在直线的方程是（ ）A ．34130x y +-=B ．43130x y +-=C ．3450x y -+=D ．3450x y ++=9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>6M 作直线MA ，MB ，分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为1k ，2k ，若点A ，B 关于原点对称，则21k k ⋅的值为( )A ．13B ．12 C ．12- D ．13-10．已知A ，B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若40FA FB +=， 则直线AB 的斜率为（ ）A ．23±B ．34±C ．43±D ．32±11．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与 x 轴相切于点A ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．抛物线22y x =上两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．32D ．3二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）13．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，6AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为 ．14．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线250x y -+=平行，则双曲线的离心率为 ．15．已知焦点在x 轴上椭圆222125x y b+=，点124,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，过点P 作两条直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若椭圆的右焦点F 恰是PAB △的重心，则直线AB 的方程为 ．16．过点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线2ax y =的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若0PA PB ⋅=，则a 的值为 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A ，B 两点． （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（2）如果4OA OB ⋅=-，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．18．(12分)已知圆22:220G x y x +-=经过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(),0M m ，()m a >作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．19．（12分）如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足2AM AP =，0NP AM ⋅=，点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 且倾斜角是45︒的直线l 交曲线E 于两点H ,Q ，求HQ ．20．(12分)已知直线:6l y x =圆22:5O x y +=，椭圆()2222:10y x E a b a b+=>>的离心率e =直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；（2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．21．(12分)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，1OF =． （1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM △的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -，()1,0，点()2,0A a ，且122AF AF =． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第二十单元 平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵直线4mx ny +=与圆22:4O x y +=222m n >+，∴422<+n m ，∴22194m n +<，∴点(),m n 在椭圆内，故选C ．2．【答案】B【解析】由题意知，焦点为()4,0F ，双曲线的两条渐近线方程为3y =． 当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选B ． 3．【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知AB 的方程为31y x =-+，由2314y x x y⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，得24340x x +-=，1243x x ∴+=-124x x =-，∴()()22121214AB k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦16，故选D ．4．【答案】C【解析】由椭圆的方程得()1,0F -，()0,0O ，设(),P x y ，()22x -≤≤为椭圆上任意一点，则()2222221131322444x OP FP x x y x x x x x ⎛⎫⋅=++=++-=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时，OP FP ⋅取得最大值6，故选C ． 5．【答案】D【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，由方程组22⎧=⎪⎨⎪=+⎩b y x a y x ，消去y ，得220b x x a -+=有唯一解，所以280b a ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22b a =223c a b e a +==，故选D ． 6．【答案】C【解析】由椭圆的方程可知2=a ，由椭圆的定义可知，2248AF BF AB a ++==，所以()2283AB AF BF =-+≥，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中通径最短，且223b a=，∴23b =，3b =C ． 7．【答案】A 【解析】如图，∵点()2,1Q -在抛物线的内部，由抛物线的定义，PF 等于点P 到准线1x =-的距离， 过Q 作1x =-的垂线QH 交抛物线于点K ，则点K 为取最小值时所求的点．当1y =-时， 由41x =得14x =，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A ． 8．【答案】A【解析】设直线与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +⋅-+⋅-+=， ∵126x x +=，122y y +=，∴()()121212121344AB x x y y k x x y y +-==-⨯=--+，∴直线AB 的方程为()3134y x -=--，即34130x y +-=，故选A ． 9．【答案】D【解析】设点(),M x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，∴111211y y y y k k x x x x -+⋅=⋅-+ 2222122222221111113x x b b a a b c e x x a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=-=--，∴21k k ⋅的值为13-，故选D ． 10．【答案】C【解析】∵40FA FB +=，∴4FA FB =-，∴4FA FB =，设FB t =，则4FA t =，设点A ，B 在抛物线C 准线上的射影分别为1A ，1B ，过A 作1BB 的垂线，交线段1BB 的延长线于点M ，则113BM AA BB AF BF t =-=-=，5AB AF BF t =+=， ∴4AM t =，∴34tan =∠ABM ，由对称性可得直线AB 的斜率为43±，故选C ．11．【答案】D故选D ． 12．【答案】C 【解析】∵21211AB y y k x x -==--，又()2221212y y x x -=-，∴2112x x +=-，由于212122x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,在直线y x m =+上，即212122y y x x m ++=+，21212y y x x m +=++， ∵2112y x =，2222y x =，∴()22212122x x x x m +=++，即()2212121222x x x x x x m ⎡⎤+-=++⎣⎦，∵2112x x +=-，2121-=⋅x x ，∴23m =，32m =．故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．【答案】9【解析】设抛物线C 的方程为22y px =，则26AB p ==，∴3=p ，∴192ABP S AB p =⨯=△． 14．5【解析】由双曲线221kx y -=知，它的渐近线方程为y kx =±，∵一条渐近线与直线250x y -+=12k =，则14k =，∴双曲线方程为2214x y -=， 则2a =，1b =，5c =52c e a ==． 15．【答案】2015680x y --=【解析】将点P 代人椭圆的方程可得216b =，所以椭圆的方程为2212516x y +=，椭圆的焦点225a =，216b =，22225169c a b =-=-=，(3,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，由12121212435312125503x x x x y y y y ++⎧=⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⎪⎪⎩=⎪⎩， 代人椭圆的方程可得22111212222214251602516312516x y x x y y k k x y ⎧+=⎪++⎪⇒+⨯=⇒=⎨⎪+=⎪⎩， ∴AB 的中点坐标为56,25⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求的直线方程为2015680x y --=．16．【答案】14【解析】设切线方程为312y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由2312y a x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，联立并化简得01232=++-k kx ax ，由题意，234102k a k ∆⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即0462=--a ak k ，又两切线垂直，∴1241k k a =-=-，∴14a =． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3-；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为()1,0，设:1l x ty =+，代入抛物线24y x =， 消去x 得2440y ty --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，∴()()()212121212121212111OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-．（2）设:l x ty b =+，代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()2212121212121212OA OB x x y y ty b ty b y y t y y tb y y b y y ⋅=+=+++=++++ 222244444bt bt b b b b =-++-=-=-，∴2b =．∴直线l 过定点()2,0．∴若4OA OB ⋅=-，则直线l 必过一定点()2,0．18．【答案】（1）22162x y +=；（2）)6,3．【解析】（1）∵圆22:220G x y x y +-=经过点F ，B ，∴()2,0F ，(2B ，∴2c =，2b =2226a b c =+=，椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意知直线l 的方程为)3y x m =-，6m 由)221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y ，整理得222260x mx m -+-=． 由()224860m m ∆=-->，解得2323m -< ∵6m >623m <设()11,C x y ，()22,D x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴))()212121212331333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴()()()()112212122,2,22FC FD x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+ ()()21212234643333m m m m x x x x -+=-+++=． ∵点F 在圆E 内部，∴0FC FD ⋅<，即()2303m m -<，解得03m <<．23m <63m <，故m 的取值范围是)6,3．19．【答案】（1）2212x y +=；（242．【解析】（1）2AM AP =，0NP AM ⋅=，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =，又22CN NM +=222CN AN ∴+=，∴动点N 的轨迹是以点()1,0C -，()1,0A 为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为222a =焦距22c =，2a ∴1c =，21b =．∴曲线E 的方程为2212x y +=．（2）直线l 的斜率tan 451k =︒=，∴直线l 的方程为1y x =-， 由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x -=． 设()11,H x y ，()22,Q x y ，则1243x x +=，120x x =， ∴()222212121244211423HQ k x kx x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭．20．【答案】（1）22132y x +=；（2）见解析． 【解析】（1）设随圆半焦距为c ，圆心O 到l 的距离6311d ==+则直线l被圆O 截得弦长为所以2b =2223c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，又2b =，∴23a =，22b =． ∴椭圆E 的方程为22132y x +=．（2）设点()00,P x y ，过点P 的椭圆E 的切线0l 的方程为()00y y k x x -=-，联立直线0l 与椭圆E 的方程得：()0022132y k x x y y x ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：()()()2220000324260k x k y kx x kx y ++-+--=，∵0l 与椭圆E 相切．∴()()()22200004432260k y kx k kx y ∆⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦，整理得：()()22200002230x k kx y y -+--=，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为1k ，2k ，则20122032y k k x -⋅=--，∵点P 在圆O 上，∴22005x y +=，∴2012205312x k k x --⋅=-=--． ∴两条切线斜率之积为常数1-．21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，43y x =-．【解析】（1）如图建系，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则1c =，又∵1AF FB ⋅=，即()()221a c a c a c +⋅-==-，∴22a =．故椭圆方程为2212x y +=．（2）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为PQM △的垂心， 则设()11,P x y ，()22,Q x y ，∵()0,1M ，()1,0F ，故1PQ k =，于是设直线l 为y x m =+，由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，得2234220x mx m ++-=， ∵()()1221011MP FQ x x y y ⋅==-+-，又()1,2i i y x m i =+=， 得()()()1221110x x x m x m -+++-=， 即()()21212210x x x x m m m ++-+-=，由韦达定理得()2222421033m mm m m -⋅--+-=，解得43m =-或1m =(舍去)，经检验43m =-符合条件．∴直线l 的方程为43y x =-．22．【答案】（1）22132x y +=；（2）最大值为4，最小值为9625． 【解析】（1）由题意，1222F F c ==，∵122AF AF =，∴2F 为1AF 的中点．∴23a =，22b =，所以椭圆方程为22132x y +=．（2）当直线DE 与x 轴垂直时，223b DE a ==223MN a == 四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=．同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设():1DE y k x =+，代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()221212124314k x x x x x x ⋅+-=+-，所以221243(1)1k DE k x ⋅+=+-=，同理()222214314313322k k MN k k⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==++， 所以四边形的面积()()222243143111223232k k S DE MN k k ++=⋅=⋅⋅++， ()242242221242242116136613k k k k k k k k ⎛⎫⋅++ ⎪⋅++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令221t k k =+，则()24244613136t S t t +==-++，∵2212t k k =+≥，()'224()0136S t t =>+， ∴()44136S t t=-+为[)2,t ∈+∞上的增函数，当2t =，即1k =±时，9625S =，∴96425S ≤<，综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．。

0 专题二十 几何概型1. 长度类几何概型例 1：已知函数 f ( x ) = x 2 - x - 2 ， x ∈[-5, 5] ，在定义域内任取一点 x ，使 f ( x ) ≤ 0 的概率是（ ）A.110 【答案】CB.2 3C.310D.45【解析】先解出 f ( x 0 ) ≤ 0 时x 0 的取值范围： x 2 - x - 2 ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ，从而在数轴上[-1, 2] 区间长度占[-5, 5] 区间长度的比例即为事件发生的概率，∴P = 3，故选 C ． 102. 面积类几何概型（1） 图形类几何概型例 2-1：如图所示，在矩形 ABCD 中， AB = 2a ， AD = a ，图中阴影部分是以 AB 为直径的半圆，现在向矩形 ABCD 内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是 （ ）A ．1000B ．2000C ．3000D ．4000【答案】C【解析】在矩形 ABCD 中， AB = 2a ， AD = a ，面积为2a 2 ，半圆的面积为1 a 2π ，2π故由几何概型可知，半圆所占比例为 4 ，随机撒 4000 粒豆子，⎩⎨⎩落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000，故选 C ．（2） 线性规划类几何概型例 2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达， 试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率 （ ）A.14【答案】DB.1 3C.34D.716【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为 y ，Ω⎧0 ≤ x ≤ 24则所有基本事件构成的区域 满足⎨0 ≤ y ≤ 24 ，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A 满足⎧0 ≤ x ≤ 24 ⎪0 ≤ y ≤ 24 ⎪ x - y ≤ 6，作出对应的平面区域如图所示：这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为P ( A ) = S 阴= 1 - 18 ⨯18 = 7 ，故选S Ω24 ⨯ 24 16D ．（3） 利用积分求面积例 2-3：如图，圆O : x 2 + y 2 = π2 内的正弦曲线 y = sin x 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点 A 落在区域M 内的概率是（ ）D．C ． π34A ． π24 22π3π2π3【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3 ， 正弦曲线 y = sin x 与x 轴围成的区域记为M ，π⎰根据图形的对称性得：面积为S = 2 sin x dx = -2 cos x π= 4 ， 0由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点 A ，则点 A 落在区域M 内的概率P = 4 ，故选 B ．3. 体积类几何概型例 3：一个多面体的直观图和三视图所示， M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF - BCE 内自由飞翔，由它飞入几何体F - AMCD 内的概率为（）A.34【答案】DB.23C.13D.12B ．【解析】所求概率为棱锥F -AMCD 的体积与棱柱ADF -BCE 体积的比值．由三视图可得AD =DF =CD =a ，且AD ，DF ，CD 两两垂直，可得V ADF -BCE =S ADF ⋅DC =1AD ⋅DF ⋅DC =1a3，2 2棱锥体积V F -AMCD =1DF ⋅S3 ADMC，而S ADCM =1AD ⋅(AM +CD)=3 a2，2 4∴V =1 a2 ．从而P =V F -AMCD=1．故选 D．F -AMCD 4V ADF -BCE 2一、单选题1.如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它2落在阴影区域内的概率为．则阴影区域的面积约为（）3A.23【答案】CB.43C.83D.无法计算【解析】设阴影区域的面积为s ，s =2 ，∴ s =8 ．故选 C．4 3 32.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（）A.110【答案】BB.16C.15D.562π 4 3【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10分钟， ∴概率P=10 = 1．故选 B ． 60 63. 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为（）A. 1 -3 πB ． 3C ．3π D ．1 6464【答案】A【解析】满足条件的正三角形如图所示：其中正三角形 ABC 的面积S 三角形 =3 ⨯16 =4 4满足到正三角形 ABC 的顶点 A ， B ， C 的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示，则S 阴 = 2π ，则使取到的点到三个顶点 A ， B ， C 的距离都大于 2 的概率为：P = 1 -= 1 -3 π ．故选 A ．64. 在区间[0,1] 上随机取两个数 x ， y ， 记 P 为事件" x + y ≤ 2" 的概率， 则 P =3（ ）A.23B.12C.49D.29【答案】D3π【解析】如图所示， 0 ≤ x ≤ 1， 0 ≤ y≤ 1 表示的平面区域为 ABCD ，平面区域内满足x + y ≤ 2 的部分为阴影部分的区域 APQ ，其中P ⎛ 2 ,0 ⎫ ， Q ⎛ 0, 2 ⎫， 33⎪ 3⎪⎝ ⎭⎝ ⎭1 ⨯2 ⨯ 2 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为 p =2 3 3 = 2 ，故选 D ． 1⨯1 95. 在区间[0,2] 上随机取一个数， sin π x 2 1的值介于 0 到 2之间的概率为（ ）A.13【答案】A B.2 C.12D.23【解析】由0 ≤ sinπ x ≤ 1 ，得0 ≤ π x ≤ π ，或5π ≤ π x ≤ π ，∴ 0 ≤ x ≤ 1 或5≤ x ≤ 2 ， 记A = sin πx2 2 2 6 6 23 312的值介于 0 到 2 之间，则构成事件 A 的区域长度为1 - 0 + 2 - 5 = 2；全部结果的区域[0,2] 长度为 2； 3 3 3 2∴ P ( A ) = 3 = 1 ，故选 A ．2 36. 点P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点P 到定点 A 的距离 PA < 1 的概率为（）A. 14【答案】CB. 12C.π4D.π【解析】满足条件的正方形 ABCD ，如图所示：x 21 - 4x 2 1 - 4其中满足动点P 到定点 A 的距离 PA < 1 的平面区域如图中阴影部分所示， 则正方形的面积S = 1，阴影部分的面积S = 1π ．正阴4故动点P 到定点 A 的距离 PA < 1 的概率P = S 阴 = π ．故选 C ． x 2 +2S 正 47. 如图所示，在椭圆 4 y = 1 内任取一个点P ，则P 恰好取自椭圆的两个端点连 线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A ． 1 - 1B ． 1 -1 C ． 1D ． 1 -1 4 2π【答案】A4 4π18x 2 + 28 8π【解析】先求椭圆面积的 4 ，由 4 y = 1 知 y = ，S21 2∴ 椭 圆 = ⎰dx = ⎰ 4 - x 2 dx ， 40 2 021而⎰ 4 - x 2 dx 表示 y = 0与x = 0 ， x = 2 围成的面积，即圆x 2+ y 2= 4 面积的 ，42S1 2 π ∴ ⎰4 - x 2 dx = π ，∴ 椭圆 = ⎰ 4 - x 2 dx = ，∴ S 椭圆 = 2π ，π - 14 - x 24 20 2∴概率P =2 =1 -1，故选 A．2π 4 2π2π ππ π8. 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A ．1 - 2【答案】AB ． 22C ． π21 -2 π2【解析】S= π⨯1 = π ，又π sin dx = -cos x π = -(cos π - cos 0) = 2 ，∴ S = π - 2 ，矩形⎰0 阴影∴豆子落在图中阴影部分的概率为π - 2 = 1 - 2．故选 A ． 9. 把不超过实数x 的最大整数记为[x ] ，则函数 f ( x ) = [x ] 称作取整函数，又叫高斯函数，在[1,4]上任取x ，则[x ] = ⎡ 2x ⎤ 的概率为（）A.14【答案】DB.13⎣ ⎦C.12D.23【解析】当x ∈[1,2) 时，则⎡2x ⎤ = 1 ，满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ；当x ∈[2, 3) 时，[x ] = 2 ， ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2x ∈ ⎡2, 6 ) ，则⎡ 2x ⎤ = 2 ，满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ； ⎣⎣⎦⎣⎦当x ∈[3, 4) 时，[x ] = 3 ， 2x ∈ ⎡ 6,2 2 ) ，则⎡2x ⎤ = 2 不满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ；当x = 4 时，[x ] = 4 ， ⎣= 2，则⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦2x ⎤ = 2 ，不满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ．综上，满足[x ] = ⎡ ⎣ ⎦ 2x ⎤ 的x ∈[1, 3) ，则[x ] = ⎡ ⎣ ⎦2x ⎤ 的概率为 3 - 1＝ 2，⎣ ⎦故选 D ．⎣⎦4 - 1 310. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验2xD ．32π -2 3⎩ ⎩ 和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个x ， y 都小于 1 的正实数对( x , y ) ，再统计其中x ，y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对( x , y ) 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π 的值．如果统计结果是m = 34 ，那么可以估计π 的值为（ ） A.22 7【答案】BB.47 15C.51 161( x , y )D.53 17⎧0 < x < 1【解析】 由题意，120 对都小于 的正实数，满足⎨0 < y < 1 ，面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对( x , y ) ，x 2 + y 2 < 1⎧0 < x < 1 π -1满足且⎨0 < y < 1，面积为 4 2 ，∵统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对( x , y ) 的个数为m = 34 ，34π 1 47则120 = 4 - 2 ，∴ π = 15 ，故选 B ． 11. 为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图 1 所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图 2 所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形 ABC 内的概率为（ ）A ．B ．C ．3 2D ．1 - 3332π + 2 3△ABC 32 【答案】A【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的， 由几何概型的概率计算公式可知所求概率：1⨯ 22 ⨯ sin 60oP = S △ABC = 2 = S u u u u u u u r ⎛ 1 21 2 o ⎫ 1 2 o△ABC 3 ⨯ ⨯ ⨯ 2 - 2 ⨯ ⨯ 2 ⨯ sin 60 ⎪ + ⨯ 2 ⨯ sin 60 ⎝ 2 3 2 ⎭ 2( S u u u u u u u r为莱洛三角形的面积），故选 A ．12. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ，直角边AB ， AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为 I ，黑色部分记为 II ，其余部分记为 III ．在整个图形中随机取一点，此点取自 I ，II ，III 的概率分别记为p 1 ， p 2 ， p 3 ，则（ ）A.p 1 = p 2B.p 1 = p 3C.p 2 = p 3D.p 1 = p 2 + p 3【答案】A【解析】设 AC = b ， AB = c ， BC = a ，则有b 2 + c 2 = a 2 ，从而可以求得△ABC 的面积为S 1 = 1 bc ， 2 ⎛ c ⎫2⎛ b ⎫2 ⎡ ⎛ a ⎫2 1 ⎤ ⎛ c 2 b 2 a 2 ⎫ 1 黑色部分的面积为S 2 = π ⋅ 2 ⎪ + π ⋅ 2 ⎪ - ⎢π ⋅ 2 ⎪ - 2 bc ⎥ = π 4 + 4 - 4 ⎪ + 2 bc= π ⋅ c 2 + b 2 - a 2 + 1 bc = 1bc ，4 2 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣⎢ ⎝ ⎭ ⎦⎥ ⎝ ⎭ ⎛ a ⎫2其余部分的面积为S = π ⋅ ⎪ ⎝⎭ - 1 bc = 2 πa 2 4 - 1 bc ，∴有S = S ， 2 1 23 2π - 2 32π 1根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 p 1 = p 2 ，故选 A ．二、填空题13. 在区间[0,2] 内任取一个实数a ，则使函数f ( x ) = log (2a -1) x 在(0, + ∞) 上为减函数的概率是 ．【答案】14【解析】∵函数 f ( x ) = log (2a -1) x 在(0, + ∞) 上为减函数，11 - 1∴ 0 < 2a - 1 < 1 ， < a < 1，因此所求概率为 2 = 1 ． 2 - 0 414．记集合 A = {( x , y ) x 2 + y 2 ≤ 16}，集合B = {( x , y ) x + y - 4 ≤ 0,( x , y ) ∈ A } 表示的平面区域分别为Ω1 ， Ω2 ． 若在区域Ω1 内任取一点 P ( x , y ) ， 则点 P 落在区域Ω2 中的概率为．【答案】3π + 2 4【解析】画出 A = {( x , y ) x 2 + y 2≤ 16}表示的区域Ω ，即图中以原点为圆心，半径为 2的圆；集合B = {( x , y ) x + y - 4 ≤ 0, 由题意可得S Ω = 16π ， S( x , y ) ∈ A } 表示的区域Ω2 ，即图中的阴影部分． = 3 ⨯16π + 1⨯ 4 ⨯ 4 = 12π + 8 ， 1Ω24 2ΩS ⎣ ⎝2⎡ ⎛ πx ⎫⎤ ⎛ 2 π ⎫根据几何概型概率公式可得所求概率为P = S Ω2 1= 3π + 2 4π 15. 如图， 曲线 y = sinπx + 3 把边长为 4 的正方形 OABC 分成黑色部分和白色部2分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．【答案】 14【解析】由题意可知，阴影部分的面积S4= ⎰ ⎢4 - sin + 3⎪⎥ dx = x - ⨯ cos x ⎪ 4 = 4 ， 1⎭⎦ ⎝π 2 ⎭正方形的面积： S 2 = 4 ⨯ 4 = 16 ，由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率： p = S 1=4 = 1 ．S 2 16 416. 父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上 6 点到 7 点之间，小明的爸爸晚上 5 点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上 5 点半到 6 点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率 （快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为．．⎩ ⎩ ⎝⎭ ⎩⎭ 【答案】18【解析】设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为 y ，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：⎧⎪( x , y ) ⎧5.5 ≤ x ≤ 6.5⎫⎪ S = 1 根据题意，所有基本事件构成的平面区域为⎨ ⎪⎩ ⎨6 ≤ y ≤7 ⎬ ，面积 ， ⎪⎭⎧ ⎧5.5 ≤ x ≤ 6.5⎫ ⎪( x , y ) ⎪6 ≤ y ≤ 7 ⎪爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为⎨ ⎨ ⎬ ， ⎪ ⎪x - y ≥ 0 ⎪直线x - y = 0 与直线x = 6.5 和 y = 6 交点坐标分别为(6,6) 和(6.5,6.5) ，1 ⎛ 1 ⎫21S 阴影 = 2 ⨯ 2 ⎪ = 8，由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率： P = S 阴影 = 1． S 81故答案为8 ．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。

故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上 由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。

2019年高考数学试题分类汇编立体几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科12）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D答案：D解析：如图，三棱锥ABC P -为正三棱锥，不妨设a PC PB PA 2||||||===，底面外接圆半径为r ，由题意可得3||,||==CF a EF .在PAC ∆中，由余弦定理可得aa a a PAC 21222444cos 22=⨯⨯-+=∠，所以在EAC ∆中22124||222+=⨯⨯⨯-+=a aa a a EC 又︒=∠90CEF ，根据勾股定理可得222||||||CF EF EC =+，即2||=PC在直角POC ∆中，332||=OC ,36||||22=-=r PC OP 由正三棱锥外接球半径公式可得26||2||222=+=OP OP r R ，故体积为π6 2、（2019年高考全国II 卷文理科7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面答案：B解析：由“判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行,那么这两个平面平行”可知答案选B3、（2019年高考全国II 卷文理科16）．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 答案：A解析：(1)上层8个,中层8个,下层8个上下底各1个(2)设棱长为a ,如图作出该几何体的截面,1,21=-=CE aCD 又△CDE 为等腰直角三角形,则a a=-⨯212，解得12-=a .则棱长为12- 4、（2019年高考全国III 卷文理科8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案：B解析：建系如图)23,0,23(),0,11,1(),3,0,1(),0,2,0(M N E B 所以7)023()20()023(||222=-+-+-=, 2)300()01()11(||222=-+-+-=又因为+=21所以B 、M 、E 、N 四点共面。

高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题知，以AB为直径的圆的半径为1，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=，故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为×1×2=1，∴所求的概率为，故选B．考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝．4.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝．∴所求事件的概率为P＝＝＝．5.在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x，故只要x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝．6.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求输出数对(x，y)的概率．【答案】【解析】可行域为中心在原点，顶点在坐标轴上的正方形(边长为)，x2＋y2≤表示半径为的圆及其内部，所以所求概率为＝．7.在长为的线段上任取一点，并且以线段为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：边长为的正三角形的面积为，由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M，则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（2）（1）由题意可得是几何概型，设，该同学一次投掷投中环的概率为；（2）由题意可知可能的值为、、、，，，，，的分布列为环，答：的数学期望为环.【考点】1.几何概型；2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.【答案】；【解析】四边形为矩形且。

几何概型试题汇编一、单选题（共27题；共54分）1.在区间上随机取一个数x，则事件“ ”不发生的概率为（）A. B. C. D.2.在区间内的所有实数中随机取一个实数，则这个实数满足的概率是（）A. B. C. D.3.在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B. C. D.4.设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A. B. C. D.5.如图，矩形中，点的坐标为．点的坐标为．直线的方程为：且四边形为正方形，若在五边形内随机取一点，则该点取自三角形 (阴影部分)的概率等于（）A. B. C. D.6.如图，六边形是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（）A. B. C. D.7.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。

设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 866C. 300D. 5008.我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（中用函数来产生的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计的近似值为（）A. 3.144B. 3.154C. 3.141D. 3.1429.如图，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.10.在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（）A. B. C. D.11.用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（）A. B. C. D.12.在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A. B. C. D.13.设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A. +B. +C. ﹣D. ﹣14.如图一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）A. B. C. D.15.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.16.圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A. B. C. D.17.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A. 1﹣B.C. 1﹣D. 与a的取值有关18.不等式6﹣5x﹣x2≥0的解集为D，在区间[﹣7，2]上随机取一个数x，则x∈D的概率为（）A. B. C. D.19.如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）A. B. C. D.20.如图，点A为周长为3的圆周上的一定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为（）A. B. C. D.21.如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是（）A. B. C. D.22.在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A. B. C. D.23.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A. 80mB. 100mC. 40mD. 50m24.在平面直角坐标系中，记抛物线y=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域为N，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域N内的概率为，则k的值为（）A. B. C. D.25.在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于的概率为（）A. B. C. D.26.在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为（）A. B. C. D.27.如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）28.已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．29.在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为________．30.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________31.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为________32.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率________．33.如图所示，为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积，小明设计模拟实验：向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻，结果有8粒落在了不规则图形内，则不规则图形的面积为________．34.矩形区域ABCD 中，AB 长为2 千米，BC 长为1 千米，在A 点和C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为________．三、解答题（共8题；共65分）35.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率36.如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.（Ⅰ）问：上是否存在点使得平面？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.37.某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．38.设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．39.设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．40.已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．41.已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．42.某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解：区间上随机取一个数x，对应区间长度为，满足事件“ ”的x范围为x+1≤3，即≤x≤2，对应区间长度为2+ ，所以事件不发生的概率为1﹣= ；故选D．【分析】由题意，本题是几何概型，首先求出事件对应的区间长度，利用长度比求概率．2.【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】由题意可得，该问题为长度型几何概型，则所求问题的概率值为：.故答案为：C.【分析】根据题目中所给的条件的特点，分别计算出区间（15，25]的长度，区间（17，20）的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．考查几何概型的概率计算．其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键．3.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】画出关于的不等式组所构成的三角形区域，如图所示．的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为故答案为：D．【分析】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出距三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）=称为事件A的几何概率．4.【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，几何概型【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．5.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】在中，令，得，即，则，所以，，由几何概型的概率公式，得在五边形内随机取一点，该点取自三角形 (阴影部分)的概率.故答案为：D.【分析】根据题意求出点D的坐标，再由两点间的距离公式代入数值求出结果，结合四边形的面积代入数值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。