当前位置：文档之家 › 泰勒公式的证明及推广应用

泰勒公式的证明及推广应用

  • 格式：doc
  • 大小：702.00 KB
  • 文档页数：17

- 1 - 学校编码：15014 分类号 密级 学号： 09041100513 UDC

本科毕业论文(设计)

泰勒公式的证明及推广应用

学生姓名：柴源 所属院部：数学与统计学院 专 业：数学与应用数学 指导教师：赵翠新

2013 年 06 月 03 日 赤峰学院本科毕业论文（设计）

- 2 - 赤峰学院本科毕业论文(设计)原创性声明

兹呈交的毕业论文(设计)，是本人在导师指导下独立完成的研究成果．本人在论文(设计)写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明．本人依法享有和承担由此论文(设计)而产生的权利和责任．

声明人（签名）： 指导教师（签名）： 年 月 日 赤峰学院本科毕业论文（设计）

- 3 - 泰勒公式的证明及推广应用 柴源 赤峰学院数学与统计学院09级汉本4，赤峰024000

摘要：泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用．本文整理了泰勒公式几种形式的证明，并着重介绍了泰勒公式在求极限与导数、判定级数敛散性、不等式证明、定积分证明、行列式计算等方面的应用． 关键词：泰勒公式；余项；中值定理；导数；应用

一、 引言 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，他将一些复杂的函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使他成为分析和研究其他数学问题的有力工具．本文着重整理了带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项三种不同余项的泰勒公式证明，还涉及到了在求极限、求级数敛散性等方面的应用．本文会进行较为详尽的整理和总结．

二、泰勒公式的证明 本文将涉及三种不同余项的泰勒公式的证明,下面我们来看一下泰勒公式的表现形式：对于正整数n，若函数fx在闭区间,ab上n阶连续可导，且在,ab上1n阶可导．任

取,xab是一定点，则对任意,xab成立下式

21!2!!nnn

fafafa

fxfaxaxaxaRxn 1

其中，nfx表示fx的n阶导数，多项式称为函数fx 在a处的泰勒展开式，剩余的nRx是泰勒公式的余项，是nxa的高阶无穷小． 特别地 nnRxxaxa

，

称为佩亚诺余项； 赤峰学院本科毕业论文（设计） - 4 - 111!nnnfRxxan

,

称为拉格朗日余项，其中ax； 11!xnnnaRxftxtdtn



，

称为积分余项． 证明上面1式的三个余项分别利用：洛比达法则、柯西中值定理、分部积分法．

1. 带佩亚诺余项的泰勒公式证明 若对任意一个fx，只要函数fx在a点存在导数nfa，则 21!2!!nnn

fafafa

fxfaxaxaxaRxn

其中 nnRxxa

，

则上式就为fx在点a的泰勒公式，nRx为泰勒公式的佩亚诺余项． 证明 将

21!2!!nnn

fafafa

fxfaxaxaxaRxn 1

改写为 21!2!!nnn

fafafa

Rxfxfaxaxaxan

211!2!1!nnnfafafaRxfxfaxaxaxan

221!2!2!nnnfafafaRxfxfaxaxaxan

nnn

nRxfxfa

有 0nnnnnRaRaRaRa

赤峰学院本科毕业论文（设计） - 5 - 对nnRxxa应用1n次柯西中值定理． nnnnnn

RxRxRaxaxaaa



111nnRcnca

，其中1acx

1111nnnnRcRancanaa





2221nnRcnnca

，其中21accx

22222221313nnnnnnnRcRanncannca 111!nnnnRcnca，其中1221nnaccccx 111111111!!!nnnnnnnnnnnnRcRaRcRancanaanca











当xa时，1nca根据右导数的定义，有 11111lim!nnnnnnnxanRxRcRancaxa













1

0!nnRan

同理可证 lim0nnxaRxxa ．

于是 赤峰学院本科毕业论文（设计） - 6 - lim0nnxaRxxa，

其中 nnRxxa

．

表示余项是佩亚诺余项． 2. 带拉格朗日余项的泰勒公式证明

若函数fx在,ab上存在1n阶导数1nfa．则,xab，使 21!2!!nnn

fafafa

fxfaxaxaxaRxn

其中， 11,1!nnnfRxxaaxn

称为拉格朗日余项. 证明 ,xab，有

21!2!!nnn

fafafa

Rxfxfaxaxaxan



1

由定理1 若对任意一个fx，只要函数fx在a点存在导数nfa，则 21!2!!nnn

fafafa

fxfaxaxaxaRxn

其中 nnRxxa



则上式就为fx在点a的泰勒公式，nRx为泰勒公式的佩亚诺余项．显然有 0nnnnnRaRaRaRa

1(1)nnnRxfx

若令 1nnxxa

则有 赤峰学院本科毕业论文（设计） - 7 - 10.1!nnnnnnnaaaaan



则在区间,ax，xb上连续应用柯西中值定理1n次，有 11nnnn

nnnn

RxRxRaRxxa

1111nnnnnnRRaRa





nnnnnnnnnn

RRaa



1111!nnnnnRfn



记 21,anaxb

从而得到 11,1!nnnfRxxaaxn

3. 带积分余项的泰勒公式证明 若函数fx在点0x的领域0Ux上存在连续的1n阶导数1nfx，则0xUx使

200000001!2!!nnn

fxfxfx

fxfxxxxxxxRxn1

其中 011!xnnnxRxftxtdtn



称为积分型余项． 已知引理 若函数Ux，Vx在区间,ab上存在连续1n阶导数，

111|bnnnnnbaaUxVxdxUxVxUxVxUxVx





111bnnaUxVxdx



1,2,3n

合集下载

【精品】泰勒公式的证明及其应用

【精品】泰勒公式的证明及其应用

泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业胡心愿［摘要］泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础.本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析,在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点,判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述。

［关键词］泰勒公式;不等式；应用；ProofofTaylor'sFormulaandItsApplicationMathematicsandApplicedMathematicsMajorHUXin-yuanAbstract：ThetheoryaboutTaylor'sFormulaisthebasiccontentofApproximationTheory。

WhatthispaperexploresissomemethodsthatprooftheTaylor'sFormula，andthepaperanalyseandcomparethem。

Onthatbasis,thepaperdiscusstheapplicationofTaylor’sFormulainsomerespects，suchasInequalityproof,functionallimit，approximatevalue，determinantvalue,convexity—concavityoffunction，thedecisionofinflectionpoint，divergenceoftheseries。

ThepaperexplorethederivationofTaylor'sFormulaofthefunctionofmanyvariablesan ditsapplication。

Keywords：Taylor'sFormula；inequality;application目录1泰勒公式。

用数学归纳法证明泰勒公式

用数学归纳法证明泰勒公式

用数学归纳法证明泰勒公式
x
一、引言
泰勒公式是数学上著名的级数展开公式，它可以用来求解函数在某一点的近似值，并且可以用来求解有限次复杂函数的精确值。

它是一种重要的数学工具，被广泛应用于科学计算、工程计算和统计学中。

本文将以数学归纳法的方式证明泰勒公式。

二、证明
（1）设f(x)为一般多项式，其形如f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn。

（2）当n＝0时，根据泰勒公式有f(x)＝a0。

（3）假设n＝k时，f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk，且我们已经证明了该公式的正确性。

（4）证明n=k+1时，泰勒公式的正确性。

由于已知f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk，则由泰勒展开公式可以得到
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk＋ak＋1xk＋1＝a0＋(a1＋ak
＋1x)x＋(a2＋akx)x2＋…＋(ak＋1)xk＋，
即当n＝k＋1时，f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk＋ak＋1xk＋1，且该公式的正确性已被证明。

（5）综上所述，根据数学归纳法可以证明，当n从0取值到正无穷时，f(x)的泰勒公式的正确性得以证实。

三、总结
本文利用数学归纳法证明了泰勒公式的正确性。

从而说明，当n 从0取值到正无穷时，f(x)的泰勒公式的正确性得以证实。

泰勒公式证明及应用

泰勒公式证明及应用

泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。

泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。

首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。

其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。

关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。

Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。

泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒----------公式的应用探讨---副本-(2)【范本模板】

泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒----------公式的应用探讨---副本-(2)【范本模板】

泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用探讨 【摘要】泰勒定理是把函数用多项式近似表示的重要依据,是数学分析课程的重要内容。

给出了泰勒定理的证明,泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广，相应地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推广． 泰勒公式在数学以及其他学科当中有着广泛的应用，本文讨论了带有拉格朗日余项的泰勒公式之间的关系,从纯数学的方面说明了泰勒公式的应用,以及在近似计算、求极限、求导数、积分计算、判断级数收敛性、证明一些等式和不等式等方面的应用。

【关键词】泰勒定理； 泰勒公式； 拉格朗日型余项一、泰勒定理及证明定理1: 若函数f （ x) 在[a,b ］上存在直至n 阶的连续导涵数，在( a ，b ) 内存在(n + 1） 阶导数,则对任意给定的x ，x 0∈[a ，b ］，至少存在一点ξ∈（ a ，b ） ，使得121'"+!1nn nn fx ff x f x x x f x x x x x x n n 。

证明: 作辅助函数',!nnftF tf x f x f tx tx tn1n G tx t所要证明的定理式即为11.1!1!n n fF x fF xG x n G x n 。

或。

,,,,x x F t G t x x x x 不妨设。

则与在。

上连续，在。

内可导且1',!n nftF t x tn'10.nG t n x t0,F x G x又因所以由柯西中值定理证得1','1!n F x F x F xF fG x G x G xG n 。

,,.x xa b 其中。

二、带有拉格朗日余项的泰勒公式若函数f( x) 在[a,b ］上存在直至n 阶的连续导涵数,在( a ，b ） 内存在（n + 1)阶导数，则对任意给定的x ，x 0∈［a ，b ］，至少存在一点ξ∈（ a ，b) ，使得121'"+!1nn nn fx ff x f x x x f x x x x x x n n 。