陕西省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(三)
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陕西省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（三）
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单项选择题（本题共10题，每题5分，共50分）
1．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n•，则a10=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列是（ ）
A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为﹣的等差数列 D．不是等差数列
3．不等式9x2+6x+1≤0的解集是（ ）
A．{x|x≠﹣} B．{﹣} C．{x|≤x≤} D．R
4．已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（ ）
A．135° B．90° C．45° D．30°
5．不等式组，所表示的平面区域的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56
7．已知0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a+b＜0，且a＞0，则（ ）
A．a2＜﹣ab＜b2 B．b2＜﹣ab＜a2 C．a2＜b2＜﹣ab D．﹣ab＜b2＜a2
9．在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题5小题，每题5分）
11．等差数列{an}中，a3=7，a5=a2+6，则{an}的通项公式为 ．
12．若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a= ．
13．已知，则x2+y2的最小值是 ．
14．若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是
．
15．设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为 ．
三、解答题（本部分共4大题，共计45分）
16．（Ⅰ）若x＞0，求f（x）=的最小值．
（Ⅱ）已知0＜x＜，求f（x）=x（1﹣3x）的最大值．
17．解关于x的不等式：12x2﹣ax﹣a2＜0（a∈R）
18．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？
19．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．
（1）求an及Sn； （2）令bn=﹣（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
20．已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an= ．
21．对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；⑤若a＞b，，则a＞0，b＜0．其中正确的是 ．
五、选择题（共1小题，每小题5分，满分5分）
22．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
六、解答题（共1小题，满分15分）
23．已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
参考答案
一、单项选择题
1． A．2． B．3． B．4． C 5． C．6． C．7． B．8． A．9． C．10． D
二、填空题
11．解：设等差数列{an}公差为d，∵a3=7，a5=a2+6，
∴，
解得d=2，a1=3．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
故答案为：an=2n+1．
12．解：关于x的不等式即 （x+1）（x﹣a）＞0．
再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，
故a=4，
故答案为 4．
13．解：已知，
如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），
令z=x2+y2，
z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），
因此点A（1，2），
使z最小代入得z=1+4=5
则x2+y2的最小值是5．
14．解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，
∴x2﹣ax﹣a+3≤0；
∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，
即a2+4a﹣12≥0；
解得a≤﹣6，或a≥2，
此时原不等式的解集不是空集，
∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；
故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．
15．解：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线z=3x﹣y过点C（2，1）时，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．
故填：5．
三、解答题 16．解：（1）若x＞0，则3x＞0，，
∴f（x）=+3x≥2•=12，
当且仅当： =3x，即x=2时，取“=”，
因此，函数f（x）的最小值为12；
（2）若，
∵f（x）=x（1﹣3x）=•[3x•（1﹣3x）]≤•=，
当且仅当：3x=1﹣3x，即x=时，取“=”，
因此，函数f（x）的最大值为．
17．解：方程12x2﹣ax﹣a2=0，
∴（4x+a）（3x﹣a）=0，
即方程两根为…
（1）当a＞0时，x2＞x1不等式的解集是；…
（2）当a=0时，x1=x2不等式的解集是∅； …
（3）当a＜0时，x1＜x2，不等式的解集．…
18．解：如图，连接A1B2，由题意知，
A1B1=20，A2B2=10，A1A2=×30=10（海里）．
又∵∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠B1A1B2=105﹣60°=45°．
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos 45°
=202+（10）2﹣2×20×10×=200，
∴B1B2=10（海里）．
因此乙船的速度大小为×60=30（海里/小时）．
19．解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由于a3=7，a5+a7=26，
∴a1+2d=7，2a1+10d=26，
解得a1=3，d=2．
∴an=a1+（n﹣1）d=2n+1，
Sn==n2+2n．
（2）∵an=2n+1，
∴bn=﹣=﹣=﹣=﹣，
因此Tn=b1+b2+…+bn
=﹣+…+
=﹣
=﹣．
四、填空题
20．解：∵，∴，
∴a1=q，
∴，
∵2（an+an+2）=5an+1，
∴，
∴2（1+q2）=5q， 解得q=2或q=（等比数列{an}为递增数列，舍去）
∴．
故答案为：2n．
21．解：当c=0时，若a＞b，则ac=bc，故①为假命题；
若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；
若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；
若c＞a＞b＞0，则，则，则，故④为真命题；
若a＞b，，即，故a•b＜0，则a＞0，b＜0，故⑤为真命题；
故答案为：②③④⑤
五、选择题
22．解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），
则x+2y的最小值是 4，
故选：D．
六、解答题
23．解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，
由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*． （Ⅱ）由（Ⅰ）有，
设{cn}的前n项和为Sn，则
，
，
两式作差得： =2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．
∴．
