图的表示与图同构-南京大学

图论----同构图（详解）图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在⼀个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的⼀个映射m称之为⼀个同构，如果G=G1，则称他为⼀个⾃同构。

简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。

如图3.6，第⼀个图形和第⼆个图形的区别在于环的数量。

第⼀个图形为⼀个环，第⼆个为两个环，所以不是同构图。

若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为⼀个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。

但这还是缺少⼀个条件，⽐如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这⾥的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序⽆关。

引⼊例题，，判断两次组成的图形是否是同构图。

思路之⼀：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的⼈数，再排序进⾏⽐较。

排序时按照⼈数排序，若⼈数相同要按照状态排序。

注意这⼏点或许会⽐较容易过。

请先⾃⼰进⾏尝试，尝试后再参考代码。

1 #include<iostream>2 #include<cstring>3 #include<cstdio>4 #include<math.h>5 #include<vector>6 #include<algorithm>7 #include<queue>8 #include<set>9using namespace std;10int pre[10100];11struct e{12int a,b;13 };14 e s1[10010];15 e s2[10010];16int find(int x)17 {18while(x!=pre[x])19 x=pre[x];20return x;21 }22int cmp(e a,e b){23if(a.a==b.a) return a.b>b.b;24else return a.a>b.a;25 }26void init(int n)27 {28for(int i=1;i<=n;i++)29 pre[i]=i;30 }31int main()32 {33int t,cas=1;;34 scanf("%d",&t);35while(t--)36 {37for(int i=1;i<10010;i++)38 {39 s1[i].a=1;s1[i].b=0;40 s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独⽴的，默认为链41 }42bool flag=false;43int n1,m1,n2,m2;444445 scanf("%d%d",&n1,&m1);46 init(n1);47for(int i=0;i<m1;i++)48 {49int a,b;50 scanf("%d%d",&a,&b);51int dx=find(a);52int dy=find(b);53if(dx!=dy)54 {55 pre[dx]=dy;56 s1[dy].a+=s1[dx].a;57 s1[dx].a=0;//把拉⼿的孩⼦数量加起来，下同58 }59else s1[dy].b=1;//成环60 }6162 scanf("%d%d",&n2,&m2);63 init(n2);64for(int i=0;i<m2;i++)65 {66int a,b;67 scanf("%d%d",&a,&b);68int dx=find(a);69int dy=find(b);70if(dx!=dy)71 {72 pre[dx]=dy;73 s2[dy].a+=s2[dx].a;74 s2[dx].a=0;75 }76else s2[dy].b=1;77 }78if(n1==n2){7980 sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);81 sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩⼦的数量相同则对是否是环进⾏排序，这⾥要注意8283for(int i=0;i<n1;i++)84if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态85 flag=true;86break;87 }88 }89if(n1!=n2) flag=true;9091if(flag) printf("Case #%d: NO\n",cas++);92else printf("Case #%d: YES\n",cas++);93 }94return0;95 }。

图论中的图的同构与同构问题在图论中，同构是一个重要的概念。

图的同构指的是两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

而图的同构问题则是判断两个给定的图是否同构的问题。

本文将详细探讨图的同构与同构问题。

一、图的同构图的同构是指两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

为了更好地理解图的同构，我们先来了解一些基本概念。

1.1 图的定义在图论中，图由节点（也称为顶点）和边组成。

通常用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点（顶点）的集合，E是边的集合。

边可以用有序或无序对(u, v)来表示，表示节点u和v之间存在一条边。

1.2 同构图的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一一对应关系f: V1→V2，使得对于每条边(u, v)∈E1，有(f(u), f(v))∈E2，则称图G1与G2同构。

其中，f被成为同构映射。

二、图的同构问题图的同构问题是判断两个给定的图是否同构的问题，它是图论中的一个经典问题。

在实际应用中，图的同构问题非常重要，对于计算机视觉、网络安全等领域都有广泛应用。

2.1 图的同构问题的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，判断它们是否同构。

2.2 图的同构问题的解决方法图的同构问题是一个NP问题，目前还没有确定的多项式时间解决算法。

在实际应用中，为了解决图的同构问题，通常采用以下方法：（1）特征向量法：通过计算图的特征向量，并比较两个图的特征向量来判断是否同构。

（2）图分类器法：通过训练一个图分类器，将同构和非同构的图进行分类。

（3）哈希算法法：通过为图节点和边生成一个唯一的哈希值，并比较两个图的哈希值来判断是否同构。

以上方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景下选择合适的方法。

三、图的同构性质图的同构性质是指图的某些特征在同构映射下保持不变。

在判断图的同构性质时，可以利用这些性质来简化问题。

3.1 路径在判断图的同构性质时，路径是一个重要的性质。

图论中的图的同构与同胚图论是数学中的一个分支，研究了如何描述图以及图的性质和特征。

在图论中，同构和同胚是两个重要的概念，它们用来描述不同图之间的关系。

本文将介绍图的同构和同胚的概念、定义以及应用。

一、图的同构在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，但结点和边的标签可以不同，那么这两个图被称为同构的。

图的同构关系可以理解为，它们具有相同的拓扑结构，只是标签的不同。

二、图的同构的定义设G=(V,E)和G'=(V',E')是两个图，如果存在一个双射函数f:V→V'，使得(u,v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，则称G和G'是同构的。

其中，V和V'分别表示两个图的结点集合，E和E'分别表示两个图的边集合。

三、图的同构的判断方法判断两个图是否同构是图论中一个典型的问题，有很多方法可以判断两个图是否同构，以下是几种常用的方法：1. 度序列法：图的度序列是指将图中结点按照度的大小排列得到的序列。

如果两个图的度序列相同，则它们可能是同构的。

2. 邻接矩阵法：将图用邻接矩阵表示，即一个n×n的矩阵，矩阵中的元素a[i][j]表示结点i和结点j之间是否有边。

如果两个图的邻接矩阵相同，则它们可能是同构的。

3. 搜索法：通过对图进行深度优先搜索或广度优先搜索，得到图的某种特征序列。

如果两个图的特征序列相同，则它们可能是同构的。

四、图的同胚在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，并且结点和边的标签也相同，那么这两个图被称为同胚的。

同胚可以理解为同构的一个特殊情况。

五、图的同胚的判断方法判断两个图是否同胚是图论中的一个难题，其复杂性在于需要同时考虑结点和边的对应关系。

目前还没有有效的算法可以快速地判断两个图是否同胚，只能通过试探的方法进行判断。

六、图的同构与同胚的应用图的同构和同胚在实际应用中有许多重要的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 化学分子结构的比较：化学分子可以用图来表示，通过对比不同分子的图的同构关系，可以判断它们的相似性以及化学性质的差异。

离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。

图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。

在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。

一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。

具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。

同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。

同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。

即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。

2. 同构关系保持图的基本性质。

如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。

3. 同构关系与图的表示方式有关。

同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。

二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。

具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。

同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。

在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。

对于同构的图，它们的度序列是相同的。

2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。

对于同构的图，它们的连通性是相同的。

3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。

图论中的图的同构与同构问题同构是图论中一个非常重要的概念，它用于描述两个图结构之间的相似性和等价性。

在图论中，通过同构的概念，我们可以比较和研究不同的图，并找出它们之间的相似性和差异性。

本文将对图的同构和同构问题进行探讨。

一、图的同构首先，我们来了解一下什么是图的同构。

在图论中，同构指的是两个图结构之间存在一一对应的关系，使得它们具有相同的顶点数和边数，并且顶点之间的关联关系也相同。

简而言之，两个同构的图在结构上是完全相同的，只是顶点和边的命名可能不同。

图的同构是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

即对于任意的图G，它和自身一定是同构的；如果图G和图H是同构的，那么图H和图G也一定是同构的；如果图G和图H是同构的，图H和图I是同构的，那么图G和图I也一定是同构的。

二、图的同构问题图的同构问题是指确定两个给定图是否同构的问题。

在实际应用中，图的同构问题是一个具有挑战性的难题，因为当图的规模增大时，判断两个图是否同构变得非常困难。

为了解决图的同构问题，人们提出了许多算法和方法。

其中最著名的是Weisfeiler-Lehman算法，它是一种基于图的局部结构的判定同构的算法。

该算法通过不断迭代地更新图中每个顶点的标签，来判断两个图是否同构。

另外，还有许多其他的图同构算法，如VF2算法、Nauty算法等都被广泛应用于图的同构问题的解决。

三、图的同构应用图的同构问题在许多领域中都有重要的应用。

在化学领域，图的同构可以帮助确定分子结构的相似性和差异性，从而在药物设计等方面发挥关键作用。

在计算机科学领域，图的同构可以用于数据挖掘、图数据库的查询和图网络的分析等方面。

此外，在社交网络、电路设计、通信网络等领域，图的同构也具有广泛的应用。

图的同构和同构问题是图论中的一个重要研究领域，它涉及到图结构的相似性和等价性的判定。

通过研究图的同构，我们可以深入理解不同图之间的关系，挖掘图结构中的规律和特性。

在实际应用中，图的同构问题有着广泛的应用价值，对于解决复杂的实际问题具有重要的意义。

同构图形的四种原理同构图形是指在平面上进行变换后形状、大小、相对位置都完全相同的图形。

同构图形的判断和研究在几何学中具有重要的意义。

同构图形有四种原理：射影原理、长度比较原理、角度比较原理和相区对照原理。

1. 射影原理：同构图形的射影是指将两个同构图形上的对应点用直线射影到同一直线上的操作。

射影原理指出：如果两个图形在同一直线上的任意两个对应点，经过射影之后也在同一直线上，则这两个图形是同构的。

射影原理是同构图形判断的基本原理，也是其他原理的重要依据。

例如，若有两个平面上的正方形ABCDEF和A'B'C'D'E'F'，要判断它们是否同构，可以将这两个正方形的对应顶点A和A'进行射影，得到直线l1；再将对应顶点C和C'进行射影，得到直线l2。

如果直线l1和l2重合，则可以判断这两个正方形是同构的。

2. 长度比较原理：同构图形的长度比较是指将两个同构图形上的对应线段的长度进行比较的操作。

长度比较原理指出：如果两个同构图形上的所有对应线段的长度相等，则这两个图形是同构的。

长度比较原理是判断同构图形时常用的方法。

例如，若有两个平面上的三角形ABC和A'B'C'，要判断它们是否同构，可以将这两个三角形上的对应边AB和A'B'的长度进行比较，如果它们相等，再将对应边BC和B'C'的长度进行比较，如果也相等，最后再将对应边AC和A'C'的长度进行比较，如果仍然相等，那么就可以判断这两个三角形是同构的。

3. 角度比较原理：同构图形的角度比较是指将两个同构图形上的对应角度进行比较的操作。

角度比较原理指出：如果两个同构图形上的所有对应角度相等，则这两个图形是同构的。

角度比较原理是判断同构图形时常用的方法。

例如，若有两个平面上的平行四边形ABCD和A'B'C'D'，要判断它们是否同构，可以将这两个平行四边形上的对应角度进行比较，如果对应角A和A'、角B和B'、角C和C'、角D和D'都相等，那么就可以判断这两个平行四边形是同构的。

图论中的图的同构与同胚在学习图论的过程中，我们常常会遇到同构和同胚这两个概念。

这两个概念在图论中有着重要的意义，它们帮助我们研究图的结构和性质。

接下来，我们将深入探讨图的同构与同胚的含义及其在图论中的应用。

首先，让我们了解一下什么是图的同构。

在图论中，如果两个图的结构相同，也就是说它们的顶点集合和边集合相同，并且边的连接关系也相同，那么这两个图就是同构的。

简而言之，同构的两个图可以通过一种双射关系相互映射，保持图的结构不变。

同构的图虽然在外表上可能看起来不一样，但在本质上却是相同的。

接下来，让我们来了解一下图的同胚。

同胚是指通过一种特定的映射，将一个图变换为另一个图，使得它们在拓扑结构上保持一致。

也就是说，同胚将保持图中顶点和边的连接方式，并且保持顶点的度数和邻接关系不变。

同胚的两个图在拓扑结构上并无差异，只是它们的顶点和边的实际标记可能不同。

在图论中，同胚和同构是两个常见且重要的概念。

同构关系更加严格，要求图之间的双射关系，而同胚更侧重于拓扑结构的相似性。

通过研究图的同构与同胚关系，我们可以更好地理解图的性质和特征。

在实际应用中，同构和同胚关系对于解决图论中的问题起着重要作用。

例如，在网络路由、社交网络分析、电路设计等领域，通过判断图之间的同构或同胚关系，可以帮助我们更好地设计和优化系统。

此外，在化学中，同构和同胚的概念也被广泛运用于分子结构的研究中。

总的来说，图的同构与同胚是图论中非常重要的概念，它们帮助我们理解图的结构和性质，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。

通过深入学习和应用图的同构与同胚，我们可以更好地掌握图论知识，拓展思维，提升问题解决能力。

希望本文能给读者带来一些启发和帮助，引起更多对图论研究的兴趣与关注。

图论中的图的同构与同胚在图论中，图的同构和同胚是两个基本的概念。

它们用来描述两个图之间的关系，帮助我们理解图的结构和性质。

本文将介绍图的同构和同胚的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、同构与同胚的定义在图论中，如果两个图的顶点集合和边集合都一样，那么我们称这两个图是同构的。

具体地说，给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一个一一对应的函数f:V1→V2，使得对于任意的顶点u和v，(u, v)是边集E1中的边当且仅当(f(u), f(v))是边集E2中的边，那么我们称G1和G2是同构的。

同胚是图同构的一种特殊情况。

如果两个图的顶点集合和边集合一样，并且它们之间的连接方式也完全相同，那么我们称这两个图是同胚的。

换句话说，同胚是同构的一种更强的关系。

二、同构与同胚的性质1. 同构和同胚是等价关系。

即对于任意的图G，它与自身是同构的，并且如果图G与图H是同构的，那么图H与图G也是同构的。

2. 同构和同胚是保持图的结构的。

即如果两个图是同构的（或同胚的），那么它们具有相同的图的性质，例如连通性、欧拉回路等。

3. 同构和同胚是可传递的。

即如果图G1与图G2是同构的，图G2与图G3是同构的，那么图G1与图G3也是同构的。

三、同构与同胚的应用同构和同胚在实际问题中有着广泛的应用，特别是在网络安全、化学结构分析等领域。

1. 网络安全：在网络安全中，通过判断两个网络是否同构或同胚，可以判断它们之间的相似性和联系。

这对于检测网络攻击、识别恶意行为等非常重要。

2. 化学结构分析：在化学中，分子的结构可以用图来表示。

通过判断两个分子的图是否同构或同胚，可以比较它们的结构和性质。

这对于药物设计、化学反应等有着重要的意义。

3. 图像处理：在计算机视觉领域，图像可以看作是一个由像素组成的图。

通过判断两个图像的图是否同构或同胚，可以进行图像的匹配、相似性比较等操作。

四、总结在图论中，同构和同胚是图之间重要的关系。

同构图形的由来及表现形式的论文【摘要】尽管有时新组合成的画面是非现实的、或与现实相悖的，但就是这奇怪的画面会达到一种形有尽而意无穷的效果，从而使信息得到真正充分地表达作品的主题。

同时这种形式给予观者丰富的心理感受，开启他们的好奇心去想象去联想。

这样就使得观众不再是被动地接受，而是积级地参与到作品中来，更好得完成信息的传达。

【关键词】同构来源图形表现“所谓同构图形，指的是两个或两个以上的图形，因为某种联系组合在一起，共同构成一个新图形，传达出新的信息。

这个新图形所传达的意思并不是原图形意思的简单相加，而是一种超越或突变，使人产生联想、记忆、思考。

”[1]因为它的组合突破了人们意识中的常规物象和认知经验的限制，从而形成强烈的视觉冲击力。

尽管有时新组合成的画面是非现实的、或与现实相悖的，但就是这奇怪的画面会达到一种形有尽而意无穷的效果，从而使信息得到真正充分地表达作品的主题。

同时这种形式给予观者丰富的心理感受，开启他们的好奇心去想象去联想。

这样就使得观众不再是被动地接受，而是积级地参与到作品中来，更好得完成信息的传达。

一同构在东西方艺术中的来源“在西方艺术史上，同构最初来源于绘画艺术。

在摄影技术诞生之前，艺术家们通过对图式传承，专注于用各种独特的视觉语言再现和摹写眼前所见的客观世界!不管是风景还是人物都来自现实生活。

二十世纪科学技术对艺术的影响，使得一部分敏感、优秀的艺术家寻找一种新的语言来增加现代艺术的魅力。

同构即是超现实主义的一种表现形式，对现代图形设计产生了深刻的影响，丰富了平面视觉艺术的表现力，它的出现从某种意义上来说是写实主义与现代绘画的一条分水岭。

”[2] 马格里特的代表作《错误的镜子》描绘了一只巨大的眼睛及投射在上面的蓝天白云，但又看似一个“窗子”，透过它能看到蓝天、白云，从形式上给人始料不及的视觉效果，在马格里特看来，眼睛只是一面错误的镜子，它所得到的只是自然的幻影，而不是自然本身。

世界上没有眼睛看得见的“真实”，因此绘画的“真实”只是图解了人眼睛的幻觉而已。

求解图同构的判定算法
图同构是一个经典而又有趣的数学问题。

可以简单地定义为：若两张图的边和点的对应关系一致，则这两张图即被称为同构。

因此，不管这两张图的形状如何变化，它们的边和点数目以及它们之间的关系完全保持不变，因此这两张图可以被称为同构。

解决图同构问题要求构造出能够判定两张图是否同构的判定算法。

首先，可以使用广义平行算法（GP）来构建这样的一个判定算法，其主要采
用基于矩阵的数据模型。

算法的基本思想是，首先将图的边和点的对应关系建设为矩阵形式，然后使用GP算法对该矩阵进行求解，最后检查给定的矩阵是否为等价的。

若给定的矩阵是等价的，则表明两张图同构；反之，若给定的矩阵不等价，则表明两张图不同构。

此外，可以采用加权矩阵来实现图同构判定。

具体方法是，首先为图中每一条边分配一个权重，然后将边与点之间的对应关系建模为一个加权矩阵，其中对应边的权重值作为该矩阵的元素值。

然后使用约束规划的方法来求解该矩阵，若给定的矩阵的解被唯一确定，则表明两张图同构；反之，若给定的矩阵的解无法唯一确定，则表明两张图不同构。

另外，还可以使用计数器网络（CN）的方法来构建图同构算法。

该方法主要
采用基于状态空间的数据模型，首先将图的边和点建模为一个计数器网络，然后使用CN方法进行求解，最后检查状态空间中是否存在状态完全相同的路径，若存在，则表明两张图同构；反之，若不存在，则表明两张图不同构。

综上所述，求解图同构的判定算法需要使用广义平行算法（GP），加权矩阵
和计数器网络（CN）等技术。

这些技术可以实现以判定两张图是否同构，从而达
到相应的目的。