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判断平面图形的同构与全等在几何学中，我们经常需要判断两个平面图形是否同构或全等。
同构和全等是图形的重要性质，通过判断两个图形是否同构或全等，可以帮助我们解决各种几何问题。
本文将介绍判断平面图形同构和全等的方法和要点。
一、同构图形的判断同构是指两个图形之间存在一种对应关系，使得对应部分的边长比例相等，对应角度相等。
要判断两个平面图形是否同构，一般可以通过以下步骤进行：1. 判断两个图形的边长比例是否相等。
将两个图形的对应边长进行比较，如果比例相等，则说明两个图形具有同构的可能性。
2. 判断两个图形的对应角度是否相等。
将两个图形的对应角度进行比较，如果相等，则说明两个图形的角度关系也一致，进一步强化了同构的可能性。
3. 利用边长比例和角度关系，逐步构建两个图形的对应关系。
根据已知信息，寻找对应的边或角，利用已知的边长比例和角度关系，推导出其他对应部分的边长和角度。
4. 对比两个图形的对应边和角，重新确定适当的对应关系。
通过对已知和推导得出的对应边与对应角进行综合判断，最终确定两个图形是否同构。
二、全等图形的判断与同构不同，全等是指两个图形在形状和大小上完全相等，即对应边长相等，对应角度相等。
要判断两个平面图形是否全等，可以考虑以下步骤：1. 判断两个图形的对应边长是否全部相等。
如果所有对应边长都相等，那么说明两个图形的对应边关系满足全等的条件。
2. 判断两个图形的对应角度是否全部相等。
如果所有对应角度也相等，那么就进一步证明了两个图形的对应角关系满足全等的条件。
3. 对比两个图形的其他对应关系。
在已知对应边长和对应角度相等的基础上，还可以进一步研究其他对应关系，如斜边、高、面积等，以得出更强的全等结论。
综上所述，要判断平面图形的同构与全等，我们需要比较图形的边长比例、对应角度和其他对应关系。
通过不断推导和比较，可以得出最终的结论。
判断同构和全等图形的过程需要严密的推理和准确的计算，具体问题具体分析，熟练掌握相关知识和方法，才能做出正确判断。
图论----同构图（详解）图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在⼀个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的⼀个映射m称之为⼀个同构，如果G=G1，则称他为⼀个⾃同构。
简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。
如图3.6，第⼀个图形和第⼆个图形的区别在于环的数量。
第⼀个图形为⼀个环，第⼆个为两个环，所以不是同构图。
若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为⼀个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。
但这还是缺少⼀个条件，⽐如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这⾥的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序⽆关。
引⼊例题，，判断两次组成的图形是否是同构图。
思路之⼀：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的⼈数，再排序进⾏⽐较。
排序时按照⼈数排序，若⼈数相同要按照状态排序。
注意这⼏点或许会⽐较容易过。
请先⾃⼰进⾏尝试，尝试后再参考代码。
1 #include<iostream>2 #include<cstring>3 #include<cstdio>4 #include<math.h>5 #include<vector>6 #include<algorithm>7 #include<queue>8 #include<set>9using namespace std;10int pre[10100];11struct e{12int a,b;13 };14 e s1[10010];15 e s2[10010];16int find(int x)17 {18while(x!=pre[x])19 x=pre[x];20return x;21 }22int cmp(e a,e b){23if(a.a==b.a) return a.b>b.b;24else return a.a>b.a;25 }26void init(int n)27 {28for(int i=1;i<=n;i++)29 pre[i]=i;30 }31int main()32 {33int t,cas=1;;34 scanf("%d",&t);35while(t--)36 {37for(int i=1;i<10010;i++)38 {39 s1[i].a=1;s1[i].b=0;40 s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独⽴的，默认为链41 }42bool flag=false;43int n1,m1,n2,m2;444445 scanf("%d%d",&n1,&m1);46 init(n1);47for(int i=0;i<m1;i++)48 {49int a,b;50 scanf("%d%d",&a,&b);51int dx=find(a);52int dy=find(b);53if(dx!=dy)54 {55 pre[dx]=dy;56 s1[dy].a+=s1[dx].a;57 s1[dx].a=0;//把拉⼿的孩⼦数量加起来，下同58 }59else s1[dy].b=1;//成环60 }6162 scanf("%d%d",&n2,&m2);63 init(n2);64for(int i=0;i<m2;i++)65 {66int a,b;67 scanf("%d%d",&a,&b);68int dx=find(a);69int dy=find(b);70if(dx!=dy)71 {72 pre[dx]=dy;73 s2[dy].a+=s2[dx].a;74 s2[dx].a=0;75 }76else s2[dy].b=1;77 }78if(n1==n2){7980 sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);81 sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩⼦的数量相同则对是否是环进⾏排序，这⾥要注意8283for(int i=0;i<n1;i++)84if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态85 flag=true;86break;87 }88 }89if(n1!=n2) flag=true;9091if(flag) printf("Case #%d: NO\n",cas++);92else printf("Case #%d: YES\n",cas++);93 }94return0;95 }。
图论中的图的同构与同构问题在图论中，同构是一个重要的概念。
图的同构指的是两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。
而图的同构问题则是判断两个给定的图是否同构的问题。
本文将详细探讨图的同构与同构问题。
一、图的同构图的同构是指两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。
为了更好地理解图的同构，我们先来了解一些基本概念。
1.1 图的定义在图论中，图由节点（也称为顶点）和边组成。
通常用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点（顶点）的集合，E是边的集合。
边可以用有序或无序对(u, v)来表示，表示节点u和v之间存在一条边。
1.2 同构图的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一一对应关系f: V1→V2，使得对于每条边(u, v)∈E1，有(f(u), f(v))∈E2，则称图G1与G2同构。
其中，f被成为同构映射。
二、图的同构问题图的同构问题是判断两个给定的图是否同构的问题，它是图论中的一个经典问题。
在实际应用中，图的同构问题非常重要，对于计算机视觉、网络安全等领域都有广泛应用。
2.1 图的同构问题的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，判断它们是否同构。
2.2 图的同构问题的解决方法图的同构问题是一个NP问题，目前还没有确定的多项式时间解决算法。
在实际应用中，为了解决图的同构问题，通常采用以下方法：（1）特征向量法：通过计算图的特征向量，并比较两个图的特征向量来判断是否同构。
（2）图分类器法：通过训练一个图分类器，将同构和非同构的图进行分类。
（3）哈希算法法：通过为图节点和边生成一个唯一的哈希值，并比较两个图的哈希值来判断是否同构。
以上方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景下选择合适的方法。
三、图的同构性质图的同构性质是指图的某些特征在同构映射下保持不变。
在判断图的同构性质时，可以利用这些性质来简化问题。
3.1 路径在判断图的同构性质时，路径是一个重要的性质。
图论中的图的同构与同胚图论是数学中的一个分支，研究了如何描述图以及图的性质和特征。
在图论中，同构和同胚是两个重要的概念，它们用来描述不同图之间的关系。
本文将介绍图的同构和同胚的概念、定义以及应用。
一、图的同构在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，但结点和边的标签可以不同，那么这两个图被称为同构的。
图的同构关系可以理解为，它们具有相同的拓扑结构，只是标签的不同。
二、图的同构的定义设G=(V,E)和G'=(V',E')是两个图，如果存在一个双射函数f:V→V'，使得(u,v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，则称G和G'是同构的。
其中，V和V'分别表示两个图的结点集合，E和E'分别表示两个图的边集合。
三、图的同构的判断方法判断两个图是否同构是图论中一个典型的问题，有很多方法可以判断两个图是否同构，以下是几种常用的方法：1. 度序列法：图的度序列是指将图中结点按照度的大小排列得到的序列。
如果两个图的度序列相同，则它们可能是同构的。
2. 邻接矩阵法：将图用邻接矩阵表示，即一个n×n的矩阵，矩阵中的元素a[i][j]表示结点i和结点j之间是否有边。
如果两个图的邻接矩阵相同，则它们可能是同构的。
3. 搜索法：通过对图进行深度优先搜索或广度优先搜索，得到图的某种特征序列。
如果两个图的特征序列相同，则它们可能是同构的。
四、图的同胚在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，并且结点和边的标签也相同，那么这两个图被称为同胚的。
同胚可以理解为同构的一个特殊情况。
五、图的同胚的判断方法判断两个图是否同胚是图论中的一个难题，其复杂性在于需要同时考虑结点和边的对应关系。
目前还没有有效的算法可以快速地判断两个图是否同胚，只能通过试探的方法进行判断。
六、图的同构与同胚的应用图的同构和同胚在实际应用中有许多重要的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 化学分子结构的比较：化学分子可以用图来表示，通过对比不同分子的图的同构关系，可以判断它们的相似性以及化学性质的差异。
离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。
图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。
在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。
一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。
具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。
同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。
同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。
即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。
2. 同构关系保持图的基本性质。
如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。
3. 同构关系与图的表示方式有关。
同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。
二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。
具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。
同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。
在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。
对于同构的图，它们的度序列是相同的。
2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。
对于同构的图，它们的连通性是相同的。
3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。
图论中的图的同构与同构问题同构是图论中一个非常重要的概念，它用于描述两个图结构之间的相似性和等价性。
在图论中，通过同构的概念，我们可以比较和研究不同的图，并找出它们之间的相似性和差异性。
本文将对图的同构和同构问题进行探讨。
一、图的同构首先，我们来了解一下什么是图的同构。
在图论中，同构指的是两个图结构之间存在一一对应的关系，使得它们具有相同的顶点数和边数，并且顶点之间的关联关系也相同。
简而言之，两个同构的图在结构上是完全相同的，只是顶点和边的命名可能不同。
图的同构是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
即对于任意的图G，它和自身一定是同构的；如果图G和图H是同构的，那么图H和图G也一定是同构的；如果图G和图H是同构的，图H和图I是同构的，那么图G和图I也一定是同构的。
二、图的同构问题图的同构问题是指确定两个给定图是否同构的问题。
在实际应用中，图的同构问题是一个具有挑战性的难题，因为当图的规模增大时，判断两个图是否同构变得非常困难。
为了解决图的同构问题，人们提出了许多算法和方法。
其中最著名的是Weisfeiler-Lehman算法，它是一种基于图的局部结构的判定同构的算法。
该算法通过不断迭代地更新图中每个顶点的标签，来判断两个图是否同构。
另外，还有许多其他的图同构算法，如VF2算法、Nauty算法等都被广泛应用于图的同构问题的解决。
三、图的同构应用图的同构问题在许多领域中都有重要的应用。
在化学领域，图的同构可以帮助确定分子结构的相似性和差异性，从而在药物设计等方面发挥关键作用。
在计算机科学领域，图的同构可以用于数据挖掘、图数据库的查询和图网络的分析等方面。
此外，在社交网络、电路设计、通信网络等领域，图的同构也具有广泛的应用。
图的同构和同构问题是图论中的一个重要研究领域，它涉及到图结构的相似性和等价性的判定。
通过研究图的同构，我们可以深入理解不同图之间的关系，挖掘图结构中的规律和特性。
在实际应用中，图的同构问题有着广泛的应用价值，对于解决复杂的实际问题具有重要的意义。
高中数学同构法高中数学同构法一、什么是同构？1. 同构(Isometry)是指在正弦图形中存在一种可以将图形旋转或放缩而保持坐标轴不变，使从一个图形到另一个图形的转换过程是改变几何形状和大小的数学结构。
2. 同构通常应用于连续绘图，特别是坐标图形，可以将一组点中的一个点放大或缩小，在另一个方向上保持不变，而线段长度也不变。
二、同构的基本思想1. 同构的基本思想是要将一组几何图形中的某个点旋转、错切、缩放，使得在另一个几何图形中任何两个点之间的距离相等，但是几何图形的形状和大小会发生改变。
2. 同构法可以将欲绘制的对称几何图形映射到一组可绘制的几何图形，从而简化计算的步骤，使得计算出结果的步骤更加简单。
三、怎样应用同构法？1. 先明确要绘制的图形，然后决定在图形中的一点作为旋转的中心点；2. 计算出从原来的旋转中心取到新的旋转中心的距离，以此计算出对角线的长度；3. 确定旋转角度；4. 通过分数运算得出新图片中每个点与另一个点之间的距离；5. 根据确定的距离尺寸，绘制出新的图片。
四、应用实例以A点（6，0）为旋转中心，顺时针旋转30°后，若O点（3，-3）原射线为OA'，旋转后射线变为OA''，则A''的坐标为（）将OA'与轴线的夹角表示为α，OA’的长度为s，根据同构的基本原理，我们可以得出：OA''的长度为s；OA''与轴线的夹角为α+30，则OA''的斜率为tan(α+30)；则A''（x，y）的坐标可求出，其中：x = 6+s*cos(α + 30)y = 0+s*sin(α + 30)即A''的坐标为（6+s*cos(α + 30)，s*sin(α + 30)）。
图形同构的概念
图形同构是指两种或更多种图形之间存在的一种关系，它们对应的
坐标点之间保持着一定的关系，可以通过一定方法进行变换，使得两
种图形彼此关联。
这种关系也可以用来比较两种不同的图形，它可以
在几何学，代数学和计算机科学等领域中应用。
一、定义
图形同构是指图式的结构相似，每两个对应的元素之间维持一定的关系，使得彼此可以实现变换。
而这种变换动作不应影响图形的形状，
并且使得这种变换的规律可以重复实施，以便将一种图形转变为与其
完全相同的另一种图形。
二、应用示例
1、几何学中的图形同构：比如可以利用平移、翻转、旋转、缩放等几
何变换进行图形变换，使得几何图形具有可同构性质。
2、代数学中的图形同构：利用代数学的方法进行变换，将一个图形变
换为另一种图形，它们之间的变换关系只能通过代数方程来处理。
3、在计算机图形中的应用：图形同构也广泛应用于计算机图形学中，
用来实现几何和视觉变换，它能够帮助计算机改变图形的形状、位置、姿态等参数，从而创建出虚拟世界。
三、总结
图形同构具有普遍性，可以应用于几何学、代数学和计算机科学等领域中。
它使得两种或多种图形之间能够发生关联，用来比较两种不同的图形，为视觉、几何和变换提供框架，可以创建出虚拟世界，对各种领域都有着极大的意义。
图同构的判断方法图同构的判断方法摘要图论是1个应用10分广泛而非常有趣的的分支，物理学、化学、生物学、科学管理、计算机等都要用到图论的内容.图论与数学的其他分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑、数值分析、组合数学等有着密切的关系.图的同构是图论学科中的基本问题之1，属于图论中多个NP—完全问题之1.所谓图的同构，简单的说，就是两个表示的关联关系完全相同.“同构”的概念看似简单，但是，判定两个图同构却不是1件简单的事情.本文旨在研究图同构的判定方法，提出了几种判定两个图同构的方法，以及两个图同构的必要条件.关键词：图的同构；判定方法；邻接矩阵；度序列The Methods of Judging Isomorphism of Graphs Abstract The graph theory is a useful and interesting branch witch can be widely used in the physics, the chemistry, the biology, the scientific management, the computer, etc. And it has close relationships with the other branch of mathematics .For example the group theory, the theory of matrices, the theory of probability, the numerical analysis, the combinatorics and so on. Graph’s isomorphism is one of the basic problems and NP problems in graph theory. G raphs’ isomorphism means that the graphs’ architectures are the same. The concept is simple but it’s not so easy to determine whether two graphs are isomorphism or not. This paper is meant to do a research on judging graphs’ isomorphism. The authorputs fo rward several methods on judging graphs’ isomorphism and the necessary conditions of graphs’ isomorphism.Keywords: graph isomorphism; determination method; adjacency matrix; degree sequence目录中文标题……………………………………………………………………………………1中文摘要、关键词…………………………………………………………………………1英文标题……………………………………………………………………………………1英文摘要、关键词…………………………………………………………………………1正文1引言…………………………………………………………………………………………22基本概念……………………………………………………………………………………33主要结论……………………………………………………………………………………73.1由定义，直接找出两个图的同构映射…………………………………………………83.2用邻接矩阵判定…………………………………………………………………………93.3关联度序列法……………………………………………………………………………93.4有向图的同构：出入度序列法…………………………………………………………103.5判定两图不同构的方法…………………………………………………………………134结束语...................................................................................................15参考文献................................................................................................16致谢 (17)【包括：毕业论文、开题报告、任务书】【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。
求解图同构的判定算法
图同构是一个经典而又有趣的数学问题。
可以简单地定义为：若两张图的边和点的对应关系一致，则这两张图即被称为同构。
因此，不管这两张图的形状如何变化，它们的边和点数目以及它们之间的关系完全保持不变，因此这两张图可以被称为同构。
解决图同构问题要求构造出能够判定两张图是否同构的判定算法。
首先，可以使用广义平行算法（GP）来构建这样的一个判定算法，其主要采
用基于矩阵的数据模型。
算法的基本思想是，首先将图的边和点的对应关系建设为矩阵形式，然后使用GP算法对该矩阵进行求解，最后检查给定的矩阵是否为等价的。
若给定的矩阵是等价的，则表明两张图同构；反之，若给定的矩阵不等价，则表明两张图不同构。
此外，可以采用加权矩阵来实现图同构判定。
具体方法是，首先为图中每一条边分配一个权重，然后将边与点之间的对应关系建模为一个加权矩阵，其中对应边的权重值作为该矩阵的元素值。
然后使用约束规划的方法来求解该矩阵，若给定的矩阵的解被唯一确定，则表明两张图同构；反之，若给定的矩阵的解无法唯一确定，则表明两张图不同构。
另外，还可以使用计数器网络（CN）的方法来构建图同构算法。
该方法主要
采用基于状态空间的数据模型，首先将图的边和点建模为一个计数器网络，然后使用CN方法进行求解，最后检查状态空间中是否存在状态完全相同的路径，若存在，则表明两张图同构；反之，若不存在，则表明两张图不同构。
综上所述，求解图同构的判定算法需要使用广义平行算法（GP），加权矩阵
和计数器网络（CN）等技术。
这些技术可以实现以判定两张图是否同构，从而达
到相应的目的。
