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第四章
1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,L m =
42610m τ-=⨯。
（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为1
5000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布。
解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：
222222()0a a D k x y z
φφφ
φφ∞∂∂∂++-∑+∑=∂∂∂ 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===
（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：
(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=
将方程化为：22221k X Y Z
X Y Z L
∞-∇∇∇++=- 设：222
222,,x y z X Y Z B B B X Y Z
∇∇∇=-=-=- 想考虑X 方向，利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+
代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a a
ππ
=⇒==⇒=
同理可得：0(,,)cos()cos(
)cos(
)x y z x y z a
a
a
π
π
π
φφ=
其中0φ是待定常数。
其几何曲率：2
2222()()()106.4g B m a b c
πππ
-=++=
（1）应用修正单群理论，临界条件变为：
2
21g
k B M
∞-= 其中：2220.00248M L m τ=+=
1.264k ∞⇒=
（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ
3
222002
2
2
2
cos()cos()cos()()a b
c a b c f f f f f f V
P E dV E x dx y dy z dz E abc a b c π
π
πφφ
φπ
---=∑=∑=∑⎰⎰
⎰⎰3
182102() 1.00710f f P m s E abc
π
φ--⇒=
=⨯∑
2.设一重水—铀反应堆的堆芯22222
1.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==⨯=⨯。试按单群理
论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。
解：对于单群理论：
在临界条件下：2222
11
0.781311g m B L B L
Λ=
==++ （或用1k ∞Λ=）
对于单群修正理论：2220.03M L m τ=+=
22
2
19.33M k B m L -∞-=
= 在临界条件下：222
2
11
0.781311g m B M B M Λ===++ （注意：这时能用1k ∞Λ=，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不
再是之前的系统了。）
4. 设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，设栅格参数为：k ∞=1.19，L 2
=6.6
×10-4米2，τ=0.50×10-2米2
。（a ）试求该装置的有效增殖系数k ；（b ）当该装置恰好达临界时，水位高度H 等于多少？（c ）设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为R=1.66米，H=3.50米，若反射层节省估算为δr =0.07米，δH =0.1米。试求反应堆的初始反应性ρ以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。
5.一个球壳形反应堆，内半径为1R ,外半径为2R ，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为：
11
211
tan tan 1tan BR BR BR BR BR -=
+
解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：
22
22B r r r
φφφ∂∂+=-∂∂ 边界条件：i. 1
lim 0;x R J →=
ii. 2()0R φ=
（如果不2R 包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解：cos sin ()Br Br
r A C
r r
φ=+ 由条件i 可得：
111111
22
1111cos sin sin cos lim 0r R r R BR BR BR BR J D AB A CB C R R R R φ=→=-∇ =---=
11111
11111cos sin tan sin cos tan 1
BR BR BR BR BR C A A BR BR BR BR BR --⇒==-++
由条件ii 可得：
由此可见，11
211tan tan tan 1
BR BR BR BR BR -=
+，证毕。
7.一由纯235U 金属3
3
(18.710/)kg m ρ=⨯组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯 238
U 33(19.010/)kg m ρ=⨯，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
235
12381: 1.5, 1.78,35.4, 2.51;:0,0.18,35.4f a tr f a tr U b b m v U b m σσσσ--==∑====∑=。
解：以球心为左边原点建立球左边系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，
设其分界面在半径为R 处： 25525
1
235:k U L φφ∞--∇=- 方程1 28828
1
238:U L φφ-∇=
方程2 边界条件：i. 50
lim r φ→<∞ ii. 58()()R R φφ= iii. 58
5
8r R r R D D r r
φφ==∂∂ = ∂∂ iv. 8lim 0r φ→∞= 令2
25
1
k B L ∞-=
（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程1通解：555
cos sin ()Br Br
r A C r r
φ=+ 由条件i 可知50A =，所以：5sin ()Br
r C r
φ=
球域内方程2通解：88888
exp(/)exp(/)
()r L r L r A C r r φ-=+ 由条件iv 可知,所以：888exp(/)
()r L r A r
φ-=
由条件ii 可得：88exp(/)exp(/)sin sin R L R L BR
C A C A
R R BR
--=⇒= 由条件iii 可得：
88
8582885(
1)exp()
cos sin 11()()exp()sin cos R R D L L BR BR R
D C B D A C A R R L R R L D BR BR BR
+--=---⇒=-所以（由题目已知参数,5,858,5,8
11
33tr tr tr tr D D ∑=∑⇒=
==∑∑）
888858
(
1)exp()exp(/)sin cos (1)sin sin cos sin R R L L D R L R A A BR BR BR BR BR BR BR D BR L +--=⇒-=+-即：8
cos sin R
BR BR BR L -=
88cot(1/)1
cos sin arc BL BR BR R BL B
-=-⇒= 代入数据：
