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核反应堆物理分析 (谢仲生 吴宏春 张少泓 著) 西安交大、原子能出版社 课后答案2

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核反应堆物理分析(第一讲)

核反应堆物理分析(第一讲)

21
• 我国核电发展的昨天、今天和明天是怎样 一幅图景？
22
• 认真学习过本课程之后，同学们应当能对 这些问题给予原理上的回答。
23
1 核能技术发展简史 2 世界核电历史、现状及前景 3 我国核电历史、现状及前景
24
1. 核能技术发展简史
• • • • • • 铀的天然放射性（1896，贝克勒尔） 钋、镭的发现（1902，居里夫妇） 质能转换关系（1905，爱因斯坦） 发现中子（1932，查德威克） 人工诱导核反应（1934，费米） 铀核裂变反应（1938，哈恩&斯特拉斯曼）
八五：3台机组(秦山一期，310MWe；大亚湾 2×984MWe), 2.26GWe; 九五：8台机组(秦山二期2x650MWe；秦山三 期2x728MWe；岭澳2x990MWe；田湾 2x1060MWe), 6.6GW。 十五：浙江三门、岭澳二期，广东阳江、秦山 二期扩建，山东海阳 、辽宁红沿河、湖南桃 花江、福建福清、宁德核电站、方家山核电 站.
• 亚洲的核电发展迅速。亚洲地区正在运行的 核电机组有82套，总装机容量为62GW，其 2/3集中在日本。正在建造或计划建造的核电 容量达49GW。据国际能源机构预测，从目前 到2020年，亚洲地区的电力消耗将增加2倍。 • 最新建成的31个已联网发电的核电站中，有 22个建在亚洲。在正在建造的27个核电站当 中，有18个位于亚洲。_IAEA (2004.6)
60
VVER-1000
2×1060
61
3.2 近景规划
• 已通过初步可行性研究的厂址：广东阳江 （600），江苏江阴，辽宁温坨子（400），浙江 三门（600）、壳塘山（600），福建惠安 （600）、长乐，山东烟台海阳（600）、威海乳 山（600），江西彭泽，浙江秦山（500），广东 大亚湾（600），江苏田湾（800），括号内数字 为“万千瓦”，总计5900万千瓦。 • 有意初步可行性研究的省份：吉林，黑龙江，湖 南，甘肃，海南，安徽，湖北，广西，四川。

核反应堆物理分析课后习题参考答案.

核反应堆物理分析课后习题参考答案.

核反应堆物理分析课后习题参考答案.核反应堆物理分析答案第一章1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。

试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ===由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ=以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有：555235235238(1)c c c ε=+- 151(10.9874(1))0.0246c ε-=+-= 255283222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()M(UO )A c c UO N N UO m ρ-=+-+?=?==? 所以，26352(5)()5.4910()N U c N UO m -==?28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=? 2832()2() 4.4610()N O N UO m -==?2112()(5)(5)(8)(8)()()0.0549680.9 2.18 2.74.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0()a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=?+?+?=∑==?=1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9a U b σ=由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m HO m --∑=∑=,()238.03,M U =33()19.0510/U kg m ρ=?可得天然U 核子数密度283()1000()/() 4.8210()A N U U N M U m ρ-==?则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=?=?= 总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑= 1-3、求热中子（0.025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。

科学岛分院2019年博士研究生公开招考笔试科目及参考教材

科学岛分院2019年博士研究生公开招考笔试科目及参考教材

科学岛分院2019年博士研究生公开招考
笔试科目及参考教材
一、英语（必考）
（一）参考教材
1、《博士研究生英语入学考试纲要》（中国科学技术大学出版社，2015年11月，陈纪梁编）；
2、《博士研究生入学考试英语试题及详解》（中国科学技术大学出版社，2015年11月，陈纪梁编）。

（二）考试形式
闭卷考试
二、专业课
（一）光学学科
注：报考光学学科各专业的考生从以上考试科目中任选一门。

（三）等离子体物理学科
注：报考等离子体物理学科各专业的考生从以上考试科目中任选一门。

（五）凝聚态物理学科
注：报考凝聚态物理学科各专业的考生从以上考试科目中任选一门。

（六）材料物理与化学学科
注：报考材料物理与化学学科各专业的考生从以上考试科目中任选一门。

（七）计算机与控制学科
涵盖专业：计算机应用技术（081203）、检测技术与自动化装置（081102）、模式识别
注：报考计算机与控制学科各专业的考生从以上考试科目中任选一门。

（八）生物物理学学科
注：报考生物物理学学科各专业的考生从以上考试科目中任选一门。

核反应堆物理分析课程设计

核反应堆物理分析课程设计

核反应堆物理分析课程设计课程设计目标：1. 理解核反应堆的基本物理原理和工作原理；2. 学习核反应堆中的热传导、中子传输以及反应堆动力学等物理过程；3. 掌握核反应堆参数的计算和分析方法；4. 了解核反应堆的安全与控制措施。

课程设计内容：1. 核反应堆的基本物理原理介绍- 核反应堆的发展历史及应用领域- 核反应堆的组成和工作原理- 核反应堆中的物理过程- 核燃料材料和反应堆材料2. 核反应堆中的热传导分析- 热传导基本理论及方程- 核反应堆中的热传导问题- 热工能量平衡方程的建立和求解- 核反应堆热工过程的优化分析3. 核反应堆中的中子传输分析- 中子传输基本理论及方程- 核反应堆中的中子传输问题- 中子输运方程的建立和求解- 反应堆中子传输过程的优化分析4. 反应堆动力学及稳态分析- 反应堆动力学的基本概念和方程- 反应堆的稳态分析方法- 反应堆动态过程分析- 反应堆动力学稳定性评估5. 反应堆参数计算与分析- 反应堆重要参数的计算方法- 反应堆参数与性能的关系分析- 反应堆参数计算与调整方法- 反应堆性能分析与优化6. 反应堆安全与控制措施- 反应堆事故及事故防范- 反应堆安全控制措施和安全设备- 反应堆安全分析方法和评估指标- 反应堆安全与环境保护关系课程设计要求：1. 学生要通过课程设计，掌握核反应堆物理分析的基本方法和工具；2. 学生要能够使用计算机模拟工具进行核反应堆物理分析；3. 学生要能够分析和评估核反应堆参数对反应堆性能的影响；4. 学生要了解核反应堆的安全与控制措施，能够进行反应堆事故的分析和预防。

《核反应堆物理分析(谢仲生版)》名词解释及重要概念

《核反应堆物理分析(谢仲生版)》名词解释及重要概念

《核反应堆物理分析（谢仲生版）》名词解释及重要概念第一章—核反应堆的核物理基础直接相互作用：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。

中子的散射：散射是使中于慢化(即使中子的动能减小)的主要核反应过程。

非弹性散射：中子首先被靶核吸收而形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中子并发射γ射线而返回基态。

弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。

111001100[]AA A ZZ Z AA Z Z X n X X n X n X n +*+→→++→+微观截面：一个粒子入射到单位面积内只含一个靶核的靶子上所发生的反应概率，或表示一个入射粒子同单位面积靶上一个靶核发生反应的概率。

宏观截面：表征一个中子与单位体积内原子核发生核反应的平均概率大小的一种度量。

也是一个中子穿行单位距离与核发生相互作用的概率大小的一种度量。

平均自由程：中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫作平均自由程。

核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。

中子通量密度：某点处中子密度与相应的中子速度的乘积，表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。

多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。

瞬发中子和缓发中子：裂变中，99％以上的中子是在裂变的瞬间(约10-14s)发射出来的，把这些中子叫瞬发中子；裂变中子中，还有小于1％的中子是在裂变碎片衰变过程中发射出来的，把这些中子叫缓发中子。

第二章—中子慢化和慢化能谱慢化时间：裂变中子能量由裂变能慢化到热能所需要的平均时间。

扩散时间：无限介质内热中子在自产生至被俘获以前所经过的平均时间。

平均寿命：在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均寿命。

核反应堆物理分析 (谢仲生 吴宏春 张少泓 著) 西安交大、原子能出版社 课后答案5

核反应堆物理分析 (谢仲生 吴宏春 张少泓 著) 西安交大、原子能出版社 课后答案5
3.1 有两束方向相反的平行热中子束射到 235U 薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强 度为 1012 cm-2·s-1。自右面入射的中子束强度 2×1012 cm-2·s-1。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度； （3）设Σa = 19.2×102 m-1，求该点的吸收率。 解： （1）由定义可知： φ = I + I = 3×1012 (cm-2·s-1) （2）若以向右为正方向： J = I − I = -1×1012 (cm-2·s-1) 可见其方向垂直于薄片表面向左。 （3） Ra = Σ aφ = 19.2•3×1012 = 5.76×1013 (cm-3·s-1) 3.2 设在 x 处中子密度的分布函数是
且
∂φ π πz 2.405r = − φ0 sin( ) J 0 ( ) 在整个堆内只在 z = 0 时为 0，故有： ∂z H H R
φz ,max = φ (r , 0) = φ0 J 0 (
2.405r ) R
φz / φz ,max =
径向：
R
2 2.405r 2.405r 2 φ0 J 0 ( ) / φ0 J 0 ( )= π R R π
u r r u r ∂φ r ∂φ r ∂φ r J ( r ) = J ( x, y, z ) = − D grad φ ( x, y , z ) = − D ( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z π πx πy πz r πy πx πz r πz πx πy r = Dφ0 [sin( ) cos( ) cos( )i + sin( ) cos( ) cos( ) j + sin( ) cos( ) cos( )k ] a a a a a a a a a a

3601高等核反应堆物理分析-华北电力大学研究生院

华北电力大学2019年博士生入学考试初试科目考试大纲科目代码：3601科目名称：高等核反应堆物理分析一、考试的总体要求掌握中子与原子核相互作用的机理、中子截面和核反应率的定义；了解非增殖介质内中子扩散方程及其理论推导；掌握中子的弹性散射过程、扩散-年龄近似、双群扩散理论、多群扩散理论、栅格的非均匀效应；了解核燃料中重同位素成分随时间的变化、核燃料的转换与循环、可燃毒物控制及化学补偿控制。

熟练掌握核裂变过程；单速中子扩散方程；无限均匀介质内中子的慢化能谱、均匀介质中的共振吸收；裂变产物中毒、反应性随时间的变化与燃耗深度；反应性温度系数；反应性控制的任务和方式。

熟练掌握多普勒效应；扩散长度；均匀裸堆的单群扩散方程及其解、热中子反应堆的临界条件、各种几何形状的裸堆的几何曲率和中子通量密度分布、反应堆曲率和临界计算、有反射层反应堆的单群扩散理论及计算；单根中心控制棒价值的计算；点堆动态方程、反应堆周期；掌握中子输运理论与中子输运方程，了解中子输运方程数值求解方法。

二、考试的内容1. 核反应堆的中子物理基础：中子与原子核的相互作用，中子截面和核反应率，共振吸收，核裂变过程（裂变能量的释放、反应堆功率和中子通量密度的关系、裂变产物与裂变中子的发射），链式裂变反应，四因子模型。

2. 中子慢化和慢化能谱：中子的弹性散射过程（弹性散射时能量的变化、弹性散射中子能量的分布、对数能降和平均对数能降增量、平均散射角余弦、慢化剂的选择、弹性慢化时间），无限均匀介质内中子的慢化能谱（无限均匀介质内中子的慢化方程、在含氢介质内的慢化、在A>1的无限介质内的慢化），均匀介质中的共振吸收（共振峰间距很大时的逃脱共振吸收几率、有效共振积分的近似计算、温度对共振吸收的影响），热中子能谱和热中子平均截面。

3. 中子输运与扩散理论：单能中子扩散方程（斐克定律、单能扩散方程的建立、扩散方程的边界条件、斐克定律和扩散理论的适用范围），非增殖介质内中子扩散方程的解，扩散长度、化慢长度、动长度；中子输运方程。

核反应堆物理分析 谢仲生主编 第六章 栅格的非均匀效应

其次是利用栅元计算结果 进行燃料组件的均匀化计 算；——求出组件的均匀 化少群截面常数。
最后进行均匀化堆芯的计 算——求出堆芯有效增殖 因数和中子通量密度及功 率分布。
这一部分内容主要在§6.3 栅元均匀化常数的计算 中讲解，为自学内容。
——积分输运理论（碰撞概率法）
这一部分内容主要在§6.4 燃料组件内均匀化通量密 度分布及少群常数的计算中讲解，为自学内容。
1——热中子 2——共振中子 3——快中子
二、非均匀栅格对增殖因数的影响
通过合理地选择燃料块的直径或厚度、燃料之间的间 距（通常叫做栅距），在燃料和慢化剂核子数比值相同 的情况下，非均匀栅格布置可使热中子利用系数与逃脱 共振几率的乘积大于均匀堆的乘积，亦即使无限介质增 殖系数增加。
• 均匀天然铀与石墨 f×p≤0.59
Байду номын сангаас
NH / NU，NH2 O / NU
VH2O / VUO2
VH2O / VUO2 栅元慢化能力增强→ 共振吸收减少→ p k VH2O / VUO2 慢化剂含量增大→ 慢化剂对热中子的吸收增加→ f k
VH2O / VUO2 小时，p增加影响大，VH2O / VUO2 增加使得无限增殖因数增加.
3. 快中子 在裂变中子中大约有60%的中子具有1.1兆电子伏以上的能量，具
有这样的能量的中子与铀-238核相碰时，就有可能引起铀-238核裂 变。燃料制成块状后，裂变中子在燃料块内产生。由于飞出燃料块 的裂变中子在慢化剂内被慢化，因此，一般地讲，燃料块内的平均 中子通量密度比慢化剂内的要高。
快中子在飞出燃料块以前就可能与铀-238核碰撞，亦即增加了铀 -238核快中子裂变的几率，而每次铀-238核裂变平均要释放出两个 以上的快中子，结果使快中子增殖效应增加。

核反应堆物理分析 第4章

φ ( , t ) = φ (− , t ) = 0
a 2 a 2
这里我们已假设初始中子通量密度是对称的， 这里我们已假设初始中子通量密度是对称的，利用
k −1 1 ∂φ ( x , t ) = ∇ 2φ ( x , t ) + ∞ 2 φ ( x , t ) Dv ∂t L
L2 = D / Σ a
这里 表示并 称其为几何曲率 上式便是单群理论的临界方程 几何曲率， 单群理论的临界方程。 称其为几何曲率，上式便是单群理论的临界方程。k 1 便是 我们以前定义的有效增殖因子 有效增殖因子。 我们以前定义的有效增殖因子。 当反应堆处于临界时，中子通量密度按最小特征值 B 所 当反应堆处于临界时， 对应的基波特征函数分布， 对应的基波特征函数分布，也即稳态反应堆的中子通量密度 满足波动方程
用分离变量法解以上二阶偏微分方程， 用分离变量法解以上二阶偏微分方程，让
φ ( x, t ) = ϕ ( x )T (t )
带入上式并用 ϕ ( x )T (t ) 除方程两边得到
∇ 2ϕ ( x ) 1 dT ( t ) k ∞ − 1 = − DvT ( t ) dt ϕ ( x) L2
2 等式两边等于一个常数 − B
4.1 均匀裸堆的单群理论
对于无限介质增殖因数的定义, 对于无限介质增殖因数的定义 在单群近似下有
ν ∑ f φ (r ) ν ∑ f k∞ = = ∑ a φ (r ) ∑a
对于燃料和慢化剂组成的均匀增殖堆芯，堆芯内单位时间、 对于燃料和慢化剂组成的均匀增殖堆芯，堆芯内单位时间、 单位体积内的裂变中子源强可写为： 单位体积内的裂变中子源强可写ห้องสมุดไป่ตู้：
第四章 均匀反应堆的临界理论
本章研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质内中 子扩散和慢化问题。反应堆的临界理论重要研究的问题有： 子扩散和慢化问题。反应堆的临界理论重要研究的问题有： 各种形状的反应堆达到临界时的条件， 各种形状的反应堆达到临界时的条件，临界时系统的体积 大小和燃料成分及其装载量； 大小和燃料成分及其装载量； 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。 实际的反应堆，由于热工设计、机械设计等方面的要 实际的反应堆，由于热工设计、 其堆芯是非均匀的，燃料、 求，其堆芯是非均匀的，燃料、冷却剂及结构材料在堆芯内 呈分离排列。在进行反应堆理论分析时为了将问题简化， 呈分离排列。在进行反应堆理论分析时为了将问题简化，一 般都要对堆芯进行均匀化处理。 般都要对堆芯进行均匀化处理。本章临界理论就是以均匀反 应堆为对象进行研究（所有的燃料、 应堆为对象进行研究（所有的燃料、慢化剂及结构材料等均 匀混合在一起）。 匀混合在一起）。

核反应堆物理分析 (谢仲生 吴宏春 张少泓 著) 西安交大、原子能出版社 课后答案6

3-12试计算T =535K ，ρ=802kg/m 3时水的热中子扩散系数和扩散长度。

解：查79页表3-2可得，294K 时：m ，由定义可知：0.0016D =()/31/()(293)(293)()(293)(293)(293)/31/(293)()()()tr s s tr s s T T N K K D T K D K K K N T T T λσρλσρΣ===Σ 所以：0.00195(m)(293)(293)/D K D K ρρ==（另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查附表3s σ在TN =s ΣD =n T =0.4920(b)()(0.0253a M a kT eV σσ==T n =535×(1+0.46×36×0.4920/103)=577(K)（若认为其值与在0.0253eV 时的值相差不大，直接用0.0253eV 热中子数据计算：T n =535×(1+0.46×36×0.664/103)=592(K)这是一种近似结果）（另一种方法：查79页表3-2，利用293K 时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：(m -1)(293) 1.97a K Σ=1/（3×0.0016×0.676）=308(m -1)01(293)3(293)(1)s K D K µΣ==−进而可得到T n =592K ）利用57页（2-88）式0.414×10-28(m 2)a σ==1.11(m -1)a a N σΣ==(293)(293)(293)(293)(293)s s N N K N K K N K K σρσρΣ==ΣQ 0.676)=L L L 3-16设有一强度为I （m -2•s -1）的平行中子束入射到厚度为a 的无限平板层上。

试求：（1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率；（2）平板内中子通量密度的分布；（3）中子最终扩散穿过平板的概率。

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2
k∞ − 1 φ5 L2 5
方程 1
U-238： ∇ φ8 =
2
1 φ8 L2 8
方程 2
边界条件：
i. lim φ5 < ∞
r →0
ii. φ5 ( R ) = φ8 ( R )
iii. D5
∂φ5 ∂r
= D8
r =R
∂φ8 ∂r
iv. lim φ8 = 0
r =R r →+∞
令B =
2
k∞ − 1 （在此临界条件下， 既等于材料曲率， 也等于几何曲率） ， 球域内方程 1 通解 ： L2 5
(
所以（由题目已知参数： Σtr ,5 = Σtr ,8 ⇒ D5 =
1 1 = = D8 ） 3Σtr ,5 3Σtr ,8
R R + 1) exp(− ) L L8 D exp(− R / L8 ) R A 8 = 8A ⇒ sin BR − BR cos BR = ( + 1) sin BR sin BR − BR cos BR D5 sin BR L8
2 Bm = 2 2
k∞ − 1 = 9.33 ( m-2 ) M2
1 1 = = 0.6818 2 2 2 1 + Bg M 1 + Bm M2
在临界条件下： Λ =
（注意：这时仍能用 Λ = 1/ k∞ ，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄漏概 率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了） 4 解： N 5 =
arc cot( −1/ BL8 ) π / 2 + arctan(1/ BL8 ) = = 0.06474 ( m ) B B 4 m = ρ5V5 = ρ5 × π R 3 = 21.3 ( kg ) 3
8 证明： （1）如图 4-8 所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，几何曲 率与材料曲率相等） ：
《核反应堆物理分析》110 页临界理论习题解答 １ 解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：
D(
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ) − Σ aφ + k∞ Σ aφ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
边界条件： φ ( a / 2, y, z ) = φ ( x, b / 2, z ) = φ ( x, y , c / 2) = 0 （以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法： φ ( x, y, z ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z )
在临界条件下： Bg = ( ) = Bm
π R
2
2
⇒R=
π2 πL π 2D = = = 0.514 (m) 2 5 5 C Bm vN 5σ 5 k∞ − 1 f − N 5 (σ γ + σ f ) + N Cσ a
2λtr = 2 D = 0.018 (m) 3
考虑到外推距离： d =
（如有同学用 d=0.7104λtr 也是正确的，但表达式相对复杂）
x0 (0) , x0 (1) , x0(2) ,L x0( n −1) ， 方 程 x ( n ) + a1 x ( n −1) + L + an −1 x′ + an x = f (t ) 存 在 唯 一 解 x = ϕ (t )
定义于区间 [a, b] 上，且满足初值条件 x 而此扩散方程并非线性微分方程。 ） 对于表达式： φ ( r , z , θ ) = AJ1 (
将方程化为：
k −1 ∇ 2 X ∇ 2Y ∇ 2 Z + + =− ∞2 X Y Z L
设：
2 ∇2 X ∇ 2Y 2 ∇ Z = − Bx2 , = − By , = − Bz2 X Y Z
先考虑 x 方向，利用通解： X ( x) = A cos Bx x + C sin Bx x
a nπ π ) = 0 ⇒ Bnx = , n = 1,3,5,... ⇒ B1x = 2 a a π π π 同理可得： φ ( x, y, z ) = φ0 cos( x) cos( y ) cos( z ) a a a
156 (kg) 5 证明：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：
∂ 2φ 2 ∂φ + = − B 2φ 2 ∂r r ∂r
边界条件：i. lim J = 0 ；
r → R1
ii. φ ( R2 ) = 0 ；
（如果不认为 R2 包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解： φ ( r ) = A 由条件 i 可得：
代入边界条件： A cos( Bx 其中φ0 是待定常数。 其几何曲率： Bg = ( ) + ( ) + ( ) = 106.4 ( m-2 ) （1）应用修正单群理论，临界条件变为： 其中： M = L + τ = 0.00248 ( m2 )
2 2 2
π a
2
π b
2
π c
2
k∞ − 1 2 = Bg 2 M
再考虑到堆的平均密度： ρ =
ρ5 N 5 + ρC NC ρ5 + ρ5 12 NC / 235 N 5 = = 957 (kg/m3) N5 + NC 1 + NC / N5
（或者由 N =
1000 ρ N A NM ⇒ρ= ）实际的临界质量： M 1000 N A
π 2D 4( R − d )3 ρ5 + ρ5 12 N C / 235 N 5 4π m=ρ = [ − 2 D]3 = 5 5 5 C 3 1 + NC / N5 3 vN 5σ f − N 5 (σ γ + σ f ) + N Cσ a
1000 ρ5 N A N5 1000 ρ5 N A N5 ≈ = 4.79×1024 (m-3)， M5 NC + N5 M5 NC
NC = N5
NC = 4.79×1028 (m-3) N5
5 5
堆总吸收截面： Σ a = N 5 (σ γ + σ f ) + N Cσ a = 0.344 (m-1) 总裂变截面： Σ f = N 5σ f + N Cσ f = N 5σ f = 0.280 (m-1)
cos Br sin Br +C r r
r → R1
lim J = − D∇φ |r = R1 = AB
cos BR1 sin BR1 sin BR1 cos BR1 −A − CB −C =0 2 R1 R1 R1 R12
⇒C = A
BR1 cos BR1 − sin BR1 tan BR1 − BR1 = −A BR1 sin BR1 + cos BR1 BR1 tan BR1 + 1
sin BR2 cos BR2 +C = 0 ⇒ C = − A tan BR2 R2 R2 tan BR1 − BR1 ，证毕。 BR1 tan BR1 + 1
由条件 ii 可得：
φ ( R2 ) = A
由此可见， tan BR2 =
7 解：以球心为坐标原点建立球坐标系，对于 U-235 和 U-238 分别列单群稳态扩散方程，设 其分界面在半径为 R 处： U-235： ∇ φ5 = −
由条件 i 可知 A5 = 0，所以： φ5 ( r ) = C 由条件 iii 可得：
R R + 1) exp(− ) D L L8 cos BR sin BR 1 1 R D5C ( B − ) = D8 A(− − 2 ) exp(− ) ⇒ C = 8 A 8 2 R R L8 R R L8 D5 sin BR − BR cos BR
(k )
(t0 ) = x0 ( k ) (k = 0,L , n − 1) ，
x1r πz ) sin θ cos( ) ， x1 = 3.89 R H
不难证明其满足上述全部三个边界条件。 （ J1 (0) = J1 (3.89) = 0 ） （2）将表达式代入方程，其中，已知如下关系：
′ = − nJ n + xJ n −1 , J 0 ′ = − J1 xJ n ′= 可推得： J1 − J1 + xJ 0 x − J + xJ J − J + xJ J J1 J 0 1 2 ′ + J0 ] = 2 J1′′ = − 1 2 0 + [− J1′ + xJ 0 − − J1 + 0 − 1 2 0 = ( 2 − 1) J1 − 0 x x x x x x x x xr J1 ( 1 ) x x1r x1r R + 1 J ( x1r ) J1′( ) = J1′ ( )′ = − 0 R R r R R x1r x1r x1r 2 x1r J 0 ( R ) x1 2 xr xr x xr 2 2 J1′′( ) = J1′′ [( )′] = {[ − 1] J1 ( ) − }( ) = [ 2 − ( 1 ) 2 ] J1 ( 1 ) − 1 J 0 ( 1 ) xr x1r R R R R r R R Rr R ( 1 )2 R R ∂ 2φ 2 x xr x xr [ 2 − ( 1 ) 2 ] J1 ( 1 ) − 1 J 0 ( 1 ) 2 ∂r = r R R Rr R x1r φ J1 ( ) R x1r J ( ) 1 1 ∂φ R + x1 J ( x1r ) − r ∂r = r2 Rr 0 R xr φ J1 ( 1 ) R 1 ∂ 2φ 1 xr J( 1 ) 2 2 2 1 r ∂θ = − r R x1r φ J1 ( ) R