【精编】2016-2017年福建省泉州市永春一中1班高一(上)数学期中试卷带解析答案

2016-2017学年福建省泉州市永春一中1班高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U=Z，P={x∈Z|x＞2}，M={x∈Z|x≥3}，T=∁U P，S=∁U M，则T 与S的关系是（）A．T=S B．T⊄S C．S⊆T D．T∈S2．（5分）设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”成立的个数（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）下列函数是偶函数且在[0，+∞）上递减的是（）A．y=|x|B．y=﹣2x2﹣3 C．D．y=x2，x∈[﹣1，2]4．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B． C． D．5．（5分）方程x3﹣x﹣3=0的实数解落在的区间是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[2，3]6．（5分）映射f：A→B，在f作用下A中元素（x，y）与B中元素（x﹣1，3﹣y）对应，则与B中元素（0，1）对应的A中元素是（）A．（﹣1，2）B．（0，3） C．（1，2） D．（﹣1，3）7．（5分）三个数a=log32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（2）=0，则满足f（log2x）＜0的x的集合为（）A． B．C．D．9．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为10．（5分）已知函数f（x）=log a（2x﹣1）（a＞0，a≠1）在区间（0，1）内恒有f（x）＞0，则函数y=log a（x﹣x2+2）的单调递减区间是（）A．B．C． D．11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣1有两个零点x1、x2，且a＜b，x1＜x2，则a、b、x1、x2的大小关系为（）A．a＜x1＜b＜x2B．a＜x1＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．x1＜a＜x2＜b 12．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f （x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤4时有（）A．d=4 B．d=3 C．d=2 D．d=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）已知xlog32=1，则3（2x+2﹣x）=．14．（5分）函数f（x﹣1）的定义域为（1，9]，则函数f（2x）的定义域是．15．（5分）下列结论中：①对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；②若f（3）=f（﹣3），则函数f（x）不是奇函数；③若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立；④已知函数，则；⑤已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（a，b）（b﹣a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.001）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次．其中正确的是（把你认为正确的序号全写上）．16．（5分）已知函数f（x）=ln的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（10分）已知函数f（x）=3x2﹣5x+2，（1）求，f（a+3）的值；（2）解方程f（3x）=4．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．（1）求三棱锥C﹣PBD的体积；（2）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF．19．（12分）已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．（1）若A中只有一个元素，求a的值；（2）若方程ax2﹣3x+2=0（a∈R）的两根x1、x2满足：0＜x1＜1＜x2，求a的取值范围．20．（12分）已知某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）或指数型函数g（x）=m•n x+p（其中m、n、p为常数）．（1）求出f（x）和g（x）的解析式；（2）已知4月份该产品的产量为1.37万件，问选择以上哪个函数作模型比较好？请说明理由．21．（12分）已知f（x）=log2（2﹣x）+log2（2+x）．（1）求使f（x）＞log2（9x﹣2x2﹣4）成立的x取值范围；（2）指出方程f（x）=|x|的实根个数，并说明理由．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k 的范围．2016-2017学年福建省泉州市永春一中1班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U=Z，P={x∈Z|x＞2}，M={x∈Z|x≥3}，T=∁U P，S=∁U M，则T 与S的关系是（）A．T=S B．T⊄S C．S⊆T D．T∈S【解答】解：全集U=Z，P={x∈Z|x＞2}，M={x∈Z|x≥3}，T=∁U P={x∈Z|x≤2}，S=∁U M={x∈Z|x＜3}，则T=S．故选：A．2．（5分）设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”成立的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，x、y、z均为直线，当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时，不能得出平行关系；对于②，根据垂直于同一平面的两直线平行，得出x⊥z且y⊥z时，x∥y，结论正确；对于③，根据垂直于同一直线的两平面平行，得出x⊥z且y⊥z时，x∥y，结论正确；对于④，当x、y、z为正方体的三个共点侧面时，不能得出平行关系；综上，正确的结论是②③，共2个．故选：B．3．（5分）下列函数是偶函数且在[0，+∞）上递减的是（）A．y=|x|B．y=﹣2x2﹣3 C．D．y=x2，x∈[﹣1，2]【解答】解：y=|x|是偶函数，当x≥0时，y=|x|=x为增函数，不满足条件．y=﹣2x2﹣3是偶函数，函数的对称轴为x=0，在[0，+∞）上是减函数，满足条件．=的定义域为（0，+∞），函数的定义域关于原点不对称，函数奇偶性为非奇非偶函数，不满足条件．y=x2，x∈[﹣1，2]的定义域关于原点不对称，函数奇偶性为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．4．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B． C． D．【解答】解：f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点为a，b，由函数图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，∴g（x）=a x+b是减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：B．5．（5分）方程x3﹣x﹣3=0的实数解落在的区间是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[2，3]【解答】解：令f（x）=x3﹣x﹣3，则f（1）=1﹣1﹣3=﹣3＜0，f（2）=23﹣2﹣3=3＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）在区间[1，2]内有零点．故选：A．6．（5分）映射f：A→B，在f作用下A中元素（x，y）与B中元素（x﹣1，3﹣y）对应，则与B中元素（0，1）对应的A中元素是（）A．（﹣1，2）B．（0，3） C．（1，2） D．（﹣1，3）【解答】解：设A中元素为（x，y），则有，解得x=1，y=2．∴A（1，2）．故选：C．7．（5分）三个数a=log32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=log32＜log33=1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，∴b＜a＜c．故选：C．8．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（2）=0，则满足f（log2x）＜0的x的集合为（）A． B．C．D．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|），∴f（log2x）=f（|log2x|），则不等式等价于f（|log2x|）＜f（2），∵y=f（x）在[0，+∞）上递减，∴|log2x|＞2．∴log2x＜﹣2，或log2x＞2，∴，或x＞4故选：B．9．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=log a（2x﹣1）（a＞0，a≠1）在区间（0，1）内恒有f（x）＞0，则函数y=log a（x﹣x2+2）的单调递减区间是（）A．B．C． D．【解答】解：当x∈（0，1）时，2x﹣1∈（0，1），而函数f（x）=log a（2x﹣1）在区间（0，1）内恒有f（x）＜0，结合对数函数的性质可知a＞1，故函数y=log a t单调递增，函数y=log a（x﹣x2+2），故只需求函数t=﹣x2+x+2的单调递减区间即可，由二次函数的知识可知函数t在区间（﹣∞，1）单调递减，再由函数的定义域可知﹣x2+x+2＞0，解得﹣1＜x＜2，取交集可得原函数的单调递减区间为：（﹣1，）．故选：B．11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣1有两个零点x1、x2，且a＜b，x1＜x2，则a、b、x1、x2的大小关系为（）A．a＜x1＜b＜x2B．a＜x1＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．x1＜a＜x2＜b 【解答】解：根据题意，令g（x）=（x﹣a）（x﹣b），函数g（x）有2个零点，即a、b，即方程g（x）=0有2个根a、b，f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣1有两个零点x1、x2，即方程g（x）=1有2个根x1、x2，而函数g（x）=（x﹣a）（x﹣b）为开口向上的二次函数，如图则有x1＜a＜b＜x2，故选：C．12．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f （x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤4时有（）A．d=4 B．d=3 C．d=2 D．d=1【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，4]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，4]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤4时的解集为[2，4]，故d=2故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）已知xlog32=1，则3（2x+2﹣x）=10．【解答】解：∵xlog32=1，∴x=log23．∴3（2x+2﹣x）==3×（3+3﹣1）=10．故答案为：10．14．（5分）函数f（x﹣1）的定义域为（1，9]，则函数f（2x）的定义域是（﹣∞，3] ．【解答】解：函数f（x﹣1）的定义域为（1，9]，指的是1＜x≤9，则0＜x﹣1≤8，所以函数f（x）的定义域为（0，8]，由0＜2x≤8，得：x≤3，所以，函数f（2x）的定义域为（﹣∞，3]．故答案为（﹣∞，3]．15．（5分）下列结论中：①对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；②若f（3）=f（﹣3），则函数f（x）不是奇函数；③若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立；④已知函数，则；⑤已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（a，b）（b﹣a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.001）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次．其中正确的是④（把你认为正确的序号全写上）．【解答】解：对于①，对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同，如f（x）=x2，x∈R与g（x）=x2，x∈[0，+∞），∴①错误；对于②，若f（3）=f（﹣3），则函数f（x）也可能是奇函数，如y=f（x）=0，x∈R时，f（x）是奇函数，∴②错误；对于③，若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，那么f（m）•f（n）＜0不一定成立，如y=f（x）=0，x∈R时，f（m）•f（n）=0，∴③错误；对于④，函数，∴f（1﹣x）==，∴f（x）+f（1﹣x）==，则f（﹣7）+f（﹣6）+…+f（0）+…+f（7）+f（8）=[f（﹣7）+f（8）]+…+[f（0）+f（1）]=8×=4，∴④正确；对于⑤，设须计算n次，则n满足=＜0.0001，即2n＞1000，由于210=1024，∴计算10次就可满足要求，∴将区间（a，b）等分的次数至多是10次，⑤错误．综上，正确的命题序号是④．故答案为：④．16．（5分）已知函数f（x）=ln的最小值为8．【解答】解：函数f（x）=ln，f（x）+f（e﹣x）===1+1+=2.，即：2012=503（a+b），可得a+b=4．∵a2+b2≥=8．当且仅当a=b=2时取等号．a2+b2的最小值为：8．故答案为：8．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（10分）已知函数f（x）=3x2﹣5x+2，（1）求，f（a+3）的值；（2）解方程f（3x）=4．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=3x2﹣5x+2，=6++2=8+，f（a+3）=3（a+3）2﹣5（a+3）+2=3a2+13a+14；（2）若f（3x）=4，则3（3x）2﹣5•3x﹣2=0，变形可得[3（3x）+1]•（3x﹣2）=0，解可得3x=2或3x=﹣1，又由3x＞0，则有3x=2，则x=log32，18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．（1）求三棱锥C﹣PBD的体积；（2）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF．【解答】（1）解：由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2，=V P﹣BCD=；∴V C﹣PBD（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA=A．∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又在△PAB中，∵PA=AB，E是PB的中点，∴AE⊥PB，又BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，且PF⊂平面PBC，∴AE⊥PF．19．（12分）已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．（1）若A中只有一个元素，求a的值；（2）若方程ax2﹣3x+2=0（a∈R）的两根x 1、x2满足：0＜x1＜1＜x2，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，满足题意；…（3分）当a≠0时，△=9﹣8a=0，∴，．综上：a=0或．…（7分）（2）设f（x）=ax2﹣3x+2，∵f（0）=2＞0，∴由题设方程ax2﹣3x+2=0（a∈R）的两根x1、x2满足：0＜x1＜1＜x2，得：，即：，解得：0＜a＜1．…（12分）20．（12分）已知某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）或指数型函数g（x）=m•n x+p（其中m、n、p为常数）．（1）求出f（x）和g（x）的解析式；（2）已知4月份该产品的产量为1.37万件，问选择以上哪个函数作模型比较好？请说明理由．【解答】解：（1）由，则有，解得：，∴f（x）=﹣0.05x2+0.35x+0.7；又由，则有，解得：，∴g（x）=﹣0.8×（0.5）x+1.4，（2）因为f（4）=﹣0.05×42+0.35×4+0.7=1.3，①g（4）=﹣0.8×（0.5）4+1.4=1.35②比较①、②知，g（4）=1.35更接近4月份的实际产量1.37万件故选择y=﹣0.8×（0.5）x+1.4作为模型较好．21．（12分）已知f（x）=log2（2﹣x）+log2（2+x）．（1）求使f（x）＞log2（9x﹣2x2﹣4）成立的x取值范围；（2）指出方程f（x）=|x|的实根个数，并说明理由．【解答】解：（1）由，得﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2）…（3分）∵，可得…（5分）解得．…（7分）（2）方程的根在（﹣2，2）内，方程f（x）=|x|可以同解变形为，即4﹣x2=2|x|…（9分）设g（x）=4﹣x2﹣2|x|，（﹣2≤x≤2）|当x∈[﹣2，0]时，为增函数，且g（﹣2）•g（0）=﹣12＜0，则在（﹣2，0）内，g（x）=4﹣x2﹣2|x|有惟一零点，方程f（x）=|x|有惟一实根；…（11分）同理，在（02）内，g（x）=4﹣x2﹣2|x|有惟一零点，方程f（x）=|x|有惟一实根；所以原方程有两个实数根．…（12分）注：若用作函数图象来说明，不扣分．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k 的范围．【解答】解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数故当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数故∵b＜1∴a=1，b=0（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2﹣2x+1.．方程f（2x）﹣k•2x≥0化为，令，k≤t2﹣2t+1∵x∈[﹣1，1]∴记ϕ（t）=t2﹣2t+1∴φ（t）min=0∴k≤0（Ⅲ）方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）∵方程有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1记ϕ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k）则或∴k＞0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。