2021学年高一数学下学期期中试题

辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 240=A B ．12C ．D ．12-2．已知边长为ABC 的外接圆圆心为O ，则AOC ∠所对的劣弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．已知向量(1,1)a = ， b a 与b 的夹角为5π6，则||a b += （）AB ．2CD ．144．设函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，若12,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A ．12B ．2C ．2D ．15．已知O 为ABC 的外心，4AB =uuu r ，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．10C ．12D ．146．若sin 7a π=，3cos 7b π=，tan 7c π=，则a 、b 、c 之间的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b<c<a D ．a c b<<7．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（）A ．3-B ．3C ．3-或13D ．3或13-8．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像与直线2y =有且仅有一个交点，则ω的最小值为（）A ．43B ．34C ．32D ．1二、多选题9．已知向量()1,sin θ=a ，(cosb θ= ，则下列命题正确的是（）A ．存在θ，使得λa b=B ．当tan 2θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有a b≠r rD ．当a b ⋅a 在b 10．下列论述中正确的是（）A ．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a b ==r r ，c a b =- ，则c 与a 的夹角等于3πB ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠，则b c=C ．在四边形ABCD 中，()6,8AB DC == ，且AB AD ACAB AD AC +=，则BD = D ．在ABC 中，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r，则O 是ABC 外心11．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称B ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2-C ．若()65f πα-=，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x的图象，只需要将()cos 2g x x 的图象向右平移6π个单位12．在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A ．sin A tan 3B =，则A B <B ．tan tan 1A B ⋅<C ．sin sin cos cos A B A B+>+D ．sin sin 1A B +>三、填空题13．已知α，β为锐角，4sin 5α=，()cos 5αβ+=-，则cos 2β=______.14．已知(),2a λ= ，()3,5b =- ，且a 与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是_________________．15．已知函数()22sin cos 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为______.四、双空题16．设tan θ＝2，则tan (4πθ+＝________，sin cos sin cos θθθθ-+＝________.五、解答题17．已知2= a ，b = ()()239a b b a +⋅-=(1)求a 与b的夹角θ；(2)在ABC 中，若AB a=，AC b = ，求BC 边的长度.18．已知1sin cos 2αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值.(3)-的值.19．已知以角B 为钝角的ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()sin ,2sin m A B =，)sin n A =-，且m n ⊥.(1)求角B 的大小；(2)求cos cos A C +的最大值.20．在①函数()()1sin 0,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向右平移12π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于原点对称；②函数()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；③函数()()1cos sin 064f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图像相邻两对称中心之间的距离为2π.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若06πθ<<，且()310f θ=，求cos 2θ的值.21．已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈.(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围.22．设O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),a M b O =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”.(1)设函数()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()h x 的“相伴向量”；(2)记()0,2OM =的“相伴函数”为()f x ，若函数()()1g x f x x =+-，[]0,2x π∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(),M a b 满足22340a ab b -+<，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值.当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.参考答案：1．C【详解】试题分析：00sin 240sin 60=-=C ．考点：诱导公式2．D【分析】根据等边三角形的性质可得AOC ∠，再根据弧长公式求解即可【详解】因为边长为的等边ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边ABC 的中心，故23AOC π∠=，且6OA OC ==，故AOC ∠所对的劣弧长为2643ππ⨯=故选：D 3．A【分析】首先计算a r 和a b ⋅，再代入+= a b ，即可求得答案.【详解】 (1,1)a =，a == 又= b a 与b 的夹角为56π∴cos 32θ⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ a b ab +=== a b 故选：A.4．C【分析】根据图像求出()sin(2)3f x x π=+，由12()()f x f x =得到126x x π+=，代入即可求解.【详解】根据函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象，可得：A =1;因为236T πππω⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，2ω∴=，结合五点法作图可得2(06πϕ-+= ，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，结合2(0,)3x ππ+∈，可得122(23322x x πππ+++=，126x x π∴+=，12()()sin()6332f x x f πππ∴+===5．A【分析】根据平面向量数量积的几何意义，结合外心的性质求解即可【详解】取AB 中点D ，因为O 为ABC 的外心，故OD AB ⊥，故cos 248AO AB AO AB OAB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r故选：A 6．B【分析】根据诱导公式，结合正弦函数的单调性判断,a b ，再根据正弦与正切的关系判断,a c 即可【详解】由题，3cos cos sin sin 7214147b a πππππ⎛⎫==-=<= ⎪⎝⎭，又sin7tan sin 77cos 7c a ππππ==>=，故b a c <<故选：B 7．A【分析】由10sin 2cos 2A A -=，利用同角三角函数间的基本关系求出1tan 3A =或3-，再分类即可求解．【详解】10sin 2cos 2A A -=()22222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12A A A A A A A --+∴=⇒=⇒++1tan 3A =或3-，10sin 2cos 0sin 2cos 2A A A A -=⇒> tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-，8．D【分析】结合函数()f x 图像的对称性，及()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，可知232T π≤，又()f x 的图像与直线2y =的交点的横坐标为()2Z 2k x k ππωω=+∈，从而得2222ππππωωω≤<+，进而可求出ω的取值范围.【详解】解：因为函数()2sin (0)f x x ωω=>的图像关于原点对称，并且在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以24323T T ππ≤⇒≥，又20T πωω⎧=⎪⎨⎪>⎩，得302ω<≤，令()2sin 2f x x ω==，得()2Z 2k x k ππωω=+∈，所以()f x 在()0,∞+上的图像与直线2y =的第一个交点的横坐标为2πω，第二个交点的横坐标为22ππωω+，所以2222ππππωωω≤<+，解得15ω≤<，综上所述，312ω≤≤，故ω的最小值为1故选：D 9．BD【分析】利用向量平行得关系验证可判断A；利用商数关系可得cos θ=θ，在判断0a b ⋅=是否成立，即可判断B ；通过向量的模得求法求解θ即可判断C ；利用向量数量积的坐标表示结合平方关系求得2cos θ，a 在b 方向上的投影向量的模长即为a 在b方向上的投影的绝对值，再根据向量的投影的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，若λa b =，则a b ∥，sin cos 0θθ-=，即1sin 22θ=，所以sin θ=又[]sin 21,1θ∈-，所以不存在θ，使得λa b =，故A 错误；对于B，当tan 2θ=-时，则cos θ=θ，则cos 0a b θθ⋅==，所以a 与b 垂直，故B 正确；对于C，若a b ==r r 若a b =r r，则221sin cos 2θθ+=+，则22cos sin 1θθ-=-，即cos 21θ=-，所以22k θππ=+，所以,Z 2k k πθπ=+∈，即存在,Z 2k k πθπ=+∈，使得a b =r r ，故C 错误；对于D，cos in a b θθ⋅==，则223cos 2sin cos θθθθ+=+，即()2222cos 2sin cos cos sin 3θθθθθθ+=++，化简得22sin cos 2cos 0θθθθ-+=，则2tan 20θ-θ+=，解得tan θ=，即22sin 2cos θ=θ，所以21cos 3θ=，a 在b方向上的投影向量的模长为a b b a b bb b⋅⋅⋅==D 正确.故选：BD.10．AC【分析】分别求出,a c c ⋅ ，再根据cos ,a ca c a c⋅=，即可判断A ；根据数量积的定义即可判断B ；易知四边形ABCD 是边长为10的菱形，且120BAD ∠=︒，从而可判断C ；由平面向量的数量积可知OA BC ⊥，,OB AC OC AB ⊥⊥，即可判断D.【详解】解：对于A ，()212a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅= ，1c a b =-=，则1cos ,2a c a c a c ⋅== ，所以c 与a 的夹角为3π，故A 正确；对于B ，若a b a c ⋅=⋅，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，所以cos ,cos ,b a b c a c =，故B 错误；对于C ，因为()6,8AB DC == ，所以四边形ABCD 为平行四边形，且10AB DC ==，又AB AD ACAB AD AC+= ，所以四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒，所以对角线BD =C 正确；对于D ，因为OA OB OA OC ⋅=⋅，所以()0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅=uur uuu r uuu r uur uur，所以OA BC ⊥，同理,OB AC OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC.11．BD【分析】利用最值，半个周期，对称点，以及ϕ取值范围确定())6f x x π+，分别利用正弦函数的对称轴，整体法确定角度范围求最值，诱导公式和平方差公式，利用函数诱导公式变换表达式从而分析图像特点即可求解.【详解】 函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，∴A =1222ππω⋅=，2ω∴=，())f x x ϕ=+.又因为()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，所以())0,126f ππϕ-=-+=所以,6k k Z πϕπ-+=∈,所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为||2ϕπ<，所以6πϕ=.即())6f x x π=+.对选项5A,()012f ππ==≠A 错误.对选项B ，[,],2[,]66662x x πππππ∈-+∈-，当()2,66x f x ππ+=-时取得最小值B 正确.对选项C,()sin(2)cos 2625f ππααα--=，得到3cos 25α=.因为4422223sin cos (sin cos )(sin cos )cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误.对选项D ，把()2g x x =的图象向右平移6π个单位得到2())sin[(2)])63236y x x x x πππππ=-=-=+-+的图象，故D 正确，故选：BD .12．ACD【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A ，sin 5A =，得cos A =，tan 2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+)sin()44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD13．35-##0.6-【分析】根据平方关系求出cos α，()sin αβ+，再根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求出sin β，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为α，β为锐角，则,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又4sin 5α=，()cos αβ+=-所以3cos 5α=，()sin 5αβ+=，则()()()sin sin sin cos cos sin 5βαβααβααβα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦，所以23cos 212sin 5ββ=-=-.故答案为：35-.14．10635λλ<≠-且【详解】试题分析：因为向量a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线，所以3100λ-+>且56λ≠-，解之得：10635λλ<≠-且考点：向量夹角及坐标运算.15．[]2,3【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数()f x 化简，再根据x 的取值范围，求出23x π-的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数2()2sin ()24f x x xπ=+-1cos(2)22x xπ=-+-sin 221x x =-+12sin 2212x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又42ππx ≤≤∴22633x πππ≤-≤∴1sin(2),132x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]2sin(2)1,23x π-∈，∴()[]2,3f x ∈；故答案为：[]2,316．－313【分析】由两角和的公式计算出tan(4πθ+，把它展开后切弦互化可得sin cos sin cos θθθθ-+．【详解】解：由tan θ＝2，得tan (4πθ+＝tan tan41tan tan4πθπθ+-＝－3，sin cos sin cos θθθθ-+＝tan 1tan 1θθ-+＝13.故答案为：3-；13．17．(1)56π【分析】（1）先求出a b ⋅，再带入公式计算即可；（2）根据题意得到()22BC b a =- ，展开计算求解即可.（1）因为()()22222335232529a b b a a a b b a b +⋅-=--⋅+=-⨯-⋅+⨯= ，所以3a b ⋅=-，所以cos a b a b θ⋅==- []0,θπ∈，所以56πθ=.（2）因为BC AC AB b a =-=-，所以()2222=213BC b a b a b a =--⋅+= ，所以BC =18．(1)38-(3)43-【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=（3=得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2αα+=，所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=，所以3sin cos 8αα=-；（2）解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 2αα-=；（3）解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-.19．(1)23B π=【分析】（1）利用0m n ⋅= ，结合正弦定理，求出sin B =，B 为钝角，所以23B π=.（2）化简cos cos 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可确定cos cos A C +的取值范围，(1)解：因为()sin ,2sin m A B =，)sin n A =- ，且m n ⊥.所以0m n ⋅=2sin sin 0A B A -=，因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以sin 2B =，因为B 为钝角，所以23B π=.(2)解：因为1cos cos cos cos cos cos sin 3223A C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故cos cos A C +的取值范围是32⎛ ⎝.所以cos cos A C +20．(1)最小正周期T π=，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)310【分析】（1）依题意函数的最小正周期T π=，再根据所选条件及三角恒等变换公式化简，即可得到()f x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据两角差的余弦公式计算可得；(1)解：若选条件①，由题意可知，2T ππω==，2ω∴=，∴1()sin(2)2f x x ϕ=+，将()f x 的图像向右平移12π个单位长度得到1()sin(2)26g x x πϕ=+-，又函数()g x 的图象关于原点对称，∴6k πϕπ=+，Z k ∈， ||2ϕπ<，∴6πϕ=，∴1()sin(226f x x π=+，所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件②，()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos 2sin 2cos cos 2sin 266x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭11cos 22222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件③，11()cos sin()cos (sin cos cos sin 64664f x x x x x x πππωωωωω=+-=+-211cos cos 224x x x ωω=+-12cos 244x x ωω=+1112cos 2)sin(2)2226x x x πωωω=+=+即()1sin(2)26f x x πω=+，又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)解：因为1()sin(2)26f x x π=+且()310f θ=，所以()13sin 22610f πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以2662πππθ<+<，所以4cos 265πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以cos2cos 266θθππ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43132cos sin 2sin 666652520cos 1ππππθθ⎛⎫⎛=⎫+++=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．(1)()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，(2)3a ≥【分析】（1）化简函数()22sin 324a a f x x a ⎛⎫=+-- ⎝⎭，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值；（2）由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t+=-，利用单调性，即可求解.(1)由题意，函数()222sin cos 4sin 324a a f x a x x a x a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当<02a-时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-；当012a ≤-≤时，即20a -≤≤时，则sin 2ax =-时，所以()f x 取得最小值()234a g a a =-+-；当12a->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =．综上可得，()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，．(2)∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立．故有sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t +=-，令()[)()230,11+=∈-t F t t t，()()()()2311--+'=-t t F t t ，当[)0,1∈t 时，()0F t '>，()F t 单调递增，所以()3≥F t ，故3a ≥．【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，三角函数的基本关系式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式，转化为关于sin x 的二次函数，熟练应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.22．(1)12OM ⎛=- ⎝⎭(2)[)1,3(3)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为()1sin 2h x x x =-+进而根据题意得答案；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由())f x x ϕ=+可求得02+,Z 2x k k ππϕ=-∈时，f (x )取得最大值，其中0tan ax b=，换元求得a b 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围．（1）解：111()2sin sin sin 222h x x x x x x x ⎫⎛⎫=---=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()h x 的“相伴向量”为12OM ⎛=- ⎝⎭.（2）解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅=.4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩可求得()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3，ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，53ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减且5(0)1,3()33(2,),,133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点13k ∴≤<所以，实数k 的取值范围为[)1,3（3）解：()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++其中cos sin tan baϕϕϕ===Rx ∈ ∴当2,Z 2x k k πϕπ+=+∈即022x k πϕπ=-+时，()f x 取得最大值.此时022tan tan 2tan(2)tan 21tan x ϕπϕϕϕ=-=-=--令tan b m a ϕ==，则由22430a ab b -+<知：23410m m -+<，解之得113m <<0222tan 211m x m m m=-=--，因为1y m m=-在1(,1)3m ∈上单调递增，所以0222tan 211m x m m m=-=--在1(,1)3m ∈上单调递减，从而03tan 2,4x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭。

鹤岗一中2021—2022学年度下学期期中考试高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知2i z =-，则()i z z +=（）A．62i-B．42i-C．62i+D．42i+2．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径16cm AB =，圆柱体部分的高8cm BC =，圆锥体部分的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（）A．2192m c πB．2252m c πC．2272m c πD．2336m c π3．用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''．已知点O '是斜边B C ''的中点，且1O A ''=，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．4．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线5．向量()2,1a =在向量()3,4b = 上的投影向量的坐标为（）A．()6,8B．()6,8--C．68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D．68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E 为BC 的中点，则在原几何体中，异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为（）A．6B．3C．3D．127．在△ABC 中，点M 是BC 上一点，且3BC BM =，P 为AM 上一点，向量(0,0)BP BA BC λμλμ=+>> ，则31λμ+的最小值为（）A．16B．12C．8D．48．在边长为6的菱形ABCD 中，3A π∠=，现将ABD △沿BD 折起，当三棱锥A BCD-的体积最大时，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A．60πB．30πC．70πD．50π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数2i1+iz=，则z的共轭复数z是()A．1－i B．1＋i C．i D．－i 【答案】A【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】∵2i1iz=+＝()()()2i1i1i1i-+-＝1i+，∴1iz=-，故选：A．2．如图，在ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设,AB a AC b==，以向量,a b 为基底，则向量AE=（）A．1142a b+B．12a b+C．12a b D．1124a b+【答案】A【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．【详解】解：因为E为CD的中点，则1()2AE AD AC=+．因为D为AB的中点，则12AD AB=．所以1142AE AB AC=+，即1142AE a b=+.故选：A．包括（ ）A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆柱、一个圆台【答案】B【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥； 因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥. 故选：B.4．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则“3A π<”是“3sin A <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合三角函数的性质，利用充分性与必要性的定义，可得出答案. 【详解】A 是△ABC 的三个内角，()0,πA ∴∈当3sin A <时，由()0,πA ∈，可得π03A <<或2ππ3A <<，所以“3A π<”是“3sin A <”的充分不必要条件. 故选：A5．一海轮从A 处出发，以毎小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．3 B ．203C ．102海里D ．2【答案】C正弦定理可得到BC 的值． 【详解】解：如图，由已知可得，30BAC ∠=︒，3570105ABC ∠=︒+︒=︒，140202AB =⨯=， 从而1801803010545ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 在ABC 中，由正弦定理sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，可得1sin30102sin 4522AB BC =⨯︒=︒海里． 故选：C ．6．圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（ ） A ．185π B ．9(15)π+ C ．5π D ．9(15)π+【答案】D【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径r 和高h ,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．【详解】圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =， ∴2h r =，又圆锥的体积18V π=， 即32121833r r h πππ==， 解得3r =；母线长为22226335l h r =+=+=，则圆锥的表面积为2233539(15)S rl r πππππ=+=⋅⋅+⋅=+． 故选D ．【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.7．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和 MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc 的值，利用三角形的面积公式求得x+y 的值，进而把14x y +转化为利用基本不等式求得14x y+的最小值即可．因为C 23AB⋅A =，C 30∠BA =， 所以311123412222ABC bc bc S x y bcsin BAC x y ∆=∴=∴=++=∠=∴+=，，，，14144422525218y x y x x y x y x y x y x y ∴+=+⨯+=++≥+⨯=（）（）（）（）． 故选B ． 【解析】平面向量；均值不等式8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比为（ ）A 2B ．22C 3D ．3【分析】画出上层轮廓近似正四棱锥示意图，设2AB BC CD DA a ====，由正四棱锥中内切球球心与各面的关系可得OF POO E PE='，结合已知面积比求PE ，进而求得PO '，即可求内切球半径r ，最后可求正四棱锥的底面边长与内切球半径比.【详解】上层轮廓近似正四棱锥如下图示，若O '为底面中心，O 为内切球球心，OF ⊥面PCD 且E 为CD 中点，令内切球半径为r ，2AB BC CD DA a ====，∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍， ∴42PCDABCD S S =，即1422PE CD AD CD ⨯⨯⨯=⨯，故2PE a =，则3PO a '=，又∵OF PO O E PE ='，即3r a ra -=， ∴3ar =:23CD r =故选：D【点睛】关键点点睛：依据正四棱锥中内切球的性质，得到相关线段的比例关系，设底面边长及内切球半径，进而确定它们之间的数量关系.二、多选题9．己知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．1a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD【分析】根据向量坐标的线性运算和模的坐标表示即可判断A ，根据向量数量积的坐标表示即可判断B ，根据()cos ,a b a a b a a b a+⋅+=+即可判断C ，根据投影向量的定义即可判断D.【详解】2,23a b +=，则4124a b +=+=，故A 错误；()(2,23)(1,0)212302a b a +⋅=⋅=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b a a b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误； 向量a b +在a 上的投影向量为()221a b a a a a aa+⋅⋅=⨯=，故D 正确. 故选：BD.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1AC BD ⊥B ．1A P 6C ．1//A P 平面1ACDD ．异面直线1A P 与1AD ，所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，所以()1,1,0AC =-，()11,1,1BD =--，()10,1,1A B =-，()11,0,1BC =-，所以10AC BD =，所以1AC BD ⊥，故A 正确； 因为P 是线段1BC 上一动点，所以1B B C P λ=()01λ≤≤，所以()()()110,1,11,0,1,1,1A P B B A P λλλ=+=-+-=--，所以()21221311222A P λλλ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当12λ=时m 1in 62A P=，故B 正确； 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n =，因为1110n P A λλ=-++-=，即1n A P ⊥，因为1A P ⊄平面1ACD ，所以1//A P 平面1ACD ，故C 正确；设直线1A P 与1AD 所成的角为θ，因为11//AD BC ，当P 在线段1BC 的端点处时，3πθ=，P在线段1BC 的中点时，2πθ=，所以,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误； 故选：ABC11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若cos cos a bB A=，则△ABC 为等腰三角形 B ．若30A =︒，4b =，3a = ，则△ABC 有两解 C ．若tan tan tan 0A B C ++<，则△ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】BCD【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论. 【详解】对于A ：cos cos a b B A=，由正弦定理得sin sin cos cos A BB A =，即sin 2sin 2A B =， 由于A 、B 为三角形的内角，∴22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；对于B ：∵30A =︒，4b =，3a =，由正弦定理得，341sin B =，即2sin 3B =，cos A =，cos B ==， ()()cos cos cos sin sin cos cos C A B A B A B A B π=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦，若cos B =，B 是锐角，则12cos 023C =⨯=< ，C 是钝角，若cos B = ，B 是钝角，12cos 023C =⨯+=> ，C 是锐角，故B 有两角，故B 正确；对于C ：若tan tan tan 0A B C ++<，∵()tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B+=-+=--，tan tan tan A B C +=-()1tan tan A B -，tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=< ，∴tan A ，tan B ，tan C 中必有一个值为负，即A ，B ，C 中必有一个为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故C 正确； 对于D ：sin cos a b C c B =+，由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B C C B =+， 即()sin sin sin sin cos B C B C C B +=+，即sin cos sin sin B C B C =， ∵sin 0C ≠，∴cos sin C C =，即tan 1C =，∵0C π<<，∴4C π，故D 正确；故选：BCD ． 12．已知函数()()4e sin xf x bx +=，若存在实数a ，使得()y f x a =+是奇函数，则sin b 的值可能为（ ）A B C ．D ． 【答案】AC【分析】根据()y f x a =+是奇函数，可得()()f x a f x a =-+-+，由此可求出4a =-，,4k b k π=-∈Z ，对k 进行取值，由此即可求出结果. 【详解】因为函数()()4esin x f x bx +=，所以()()4sin x ay ebx f a ab x ++==++，若存在实数a ，使得()y f x a =+是奇函数， 所以()()f x a f x a =-+-+ 又()()4sin x af x a e bx ab -++=-+-+，所以()()()444sin sin sin x ax ax aebx ab e bx ab ebx ab ++++-++-+=--=-+，所以40a +=且,ab k k π=∈Z ， 所以4a =-，,4k b k π=-∈Z ， 所以sin sin ,4k b k π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z ， 当1k =时，sin sin 4b π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；当2k =时，2sin sin sin 142b ππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭； 当3k =时，3sin sin 4b π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当4k =时，()sin sin 0b π=-=；当5k =时，55sin sin sin 44b ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭当6k =时，63sin sin sin 142b ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭； 所以sin b的值可能为1,1,022-. 故选：AC.三、填空题13．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35=+OA a b ，47=+OB a b ，=+OC a mb ，若A ，B ，C 三点共线，则实数m =__________． 【答案】1【分析】由三点共线可令λμ=+OB OA OC 且1λμ+=，结合已知有47(35)()a b a b a mb λμ+=+++，即可求m 值.【详解】由A ，B ，C 三点共线，可令λμ=+OB OA OC 且1λμ+=， ∴47(35)()a b a b a mb λμ+=+++， 综上，34571m λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，可得32121m λμ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩.14．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】由1sin sin 2A C =结合正弦定理可得2c a =，再利用22c ab =得到三边的关系，最后利用余弦定理可求cos A . 【详解】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===.故答案为：78.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD （含边界）上一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是________．【答案】[2,3]【分析】先由垂直关系，找出点P 所在的直线，再判断线段1A P 长度的取值范围. 【详解】连接1BC ，1A D ，如图所求:可得1//EF BC ，11A D BC ⊥，1A D EF ∴⊥， 又DC EF ⊥，可得EF ⊥平面1A DC ，则1A C EF ⊥， ∴当P 在线段CD 上运动时，有1A P EF ⊥，当P 与D 重合时，1A P 有最小值为2，当P 与C 重合时，1A P 有最大值为3． ∴线段1A P 长度的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．16．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是______.【答案】[]8,12【分析】先利用平面向量的线性运算，将PM 、PN 用向量PO 和OM 表示，整理成2PO 的形式，结合r PO R ≤≤即可求解.【详解】正六边形ABCDEF的内切圆半径为sin 604r OA === 外接圆的半径为4R =，()()2PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()222224PO PO ON OM OM PO OM PO =+⋅+-=-=-，因为r PO R ≤≤，即4PO ≤， 所以21216PO ≤≤，可得28412PO ≤-≤， 故答案为：[]8,12.四、解答题17．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为（1，-2），(),1a ，a ∈R ，且21z z 为纯虚数．（1）求a 的值；（2）若1z 的共轭复数1z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值． 【答案】（1）2a =；（2）2,5p q =-=.【分析】（1）首先利用复数的几何意义，求得12,z z ，再设21i z b z =，利用复数相等求a 的值；（2）将112i z =+代入方程，求实数p ，q 的值. 【详解】（1）由条件可知112i z =-，2i z a =+， 21i i 12iz a b z +==-，则()i i 12i 2i a b b b +=-=+， 所以21a b b =⎧⎨=⎩，解得：2a =；（2）112i z =+，由条件可知()()212i 12i 0p q ++++=， 得()()342i=0p q p -++++，则30420p q p -++=⎧⎨+=⎩，解得：2,5p q =-=.18．已知半圆圆心为O 点，直径2AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若3144PA CA CB =-，求PA 与CB 夹角的大小；(3)试求点P 的坐标，使PA PO ⋅取得最小值，并求此最小值． 【答案】(1)()1,0A -，()10B ,，132C ⎛- ⎝⎭(2)2π3(3)138P ⎛- ⎝⎭，最小值116-【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求A 、B 、C 的坐标； （2）利用平面向量的夹角公式求解即可；（3）设()01OP tOC t =≤≤，用t 表示P 点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解【详解】(1)因为半圆的直径2AB =，由题易知：又()1,0A -，()10B ,. 又1OC =，2π3BOC ∠=，则2π1cos 32C x ==-，2π3sin 3C y ==132C ⎛- ⎝⎭. (2)由（1）知，13,2CA ⎛=- ⎝⎭，33,2CB ⎛=⎝⎭， 所以3133,444PA CA CB ⎛=-=- ⎝⎭. 设PA 与CB 夹角为α，则314cos 2332PA CB PA CBα-⋅===-⋅⨯，又因为[]0,απ∈，所以2π3α=，即PA 与CB 的夹角为2π3. (3)设()01OP tOC t =≤≤，由（1）知，131322OP t t ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,2PO t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，131,2PA t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22211311112242416PA PO t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为01t ≤≤，所以当14t =时，PA PO ⋅有最小值为116-，此时点P 的坐标为18⎛- ⎝⎭.19．已知函数2(cos -4sin 1f x x x x +． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，2a =，若对任意的R x ∈不等式()()f x f A ≤恒成立，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数()f x 进行化简,根据正弦函数的单调性可得答案；（2）由题意知当x A =时，()f x 取得最大值，可得6A π=，11sin 24ABCSbc A bc ==. 由余弦定理和基本不等式可得最大值.【详解】（1）2(cos -4sin 1f x x x x +22cos 22sin 22cos 21x x x x x +-=+-4sin(2)16x π=+-由222262k x k πππππ-≤+≤+解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意得当x A =时，()f x 取得最大值，则()2262A k k Z πππ+=+∈及(0,)A π∈解得6A π=，所以11sin 24ABCSbc A bc ==由余弦定理得222242cos 2b c bc A b c bc =+-=+≥即4(2bc ≤=，当b c =时取等号，所以，()max1·4(224ABC S ==20．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本()C x ，当年产量不足60千件时，()21102C x x x =+（万元），当年产量不小于60千件时，()6400511000C x x x =+-（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完． (1)写出利润()L x （万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式；(2)该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】(1)()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【分析】（1）分060x ≤<、60x ≥两种情况讨论，结合利润=销售收入-成本，可得出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数()L x 的最大值及其对应的x 值，由此可得出结论.【详解】(1)由题意可知()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦，当060x ≤<时，()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-，当60x ≥时，()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故有()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当060x ≤<时，()()21406006002L x x =-⋅-+≤，即40x =时，max 600y =，当60x ≥时，有()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-， 当且仅当80x =时，max 640y =,因为640600>，所以80x =时，max 640y =，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）55.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）55.【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PB C；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且DFP∠为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得225AP AD PD=+=，故5 cos5ADDAPAP∠==.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC PB B⋂=所以PD ⊥平面PB C.（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ， 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角. 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角. 由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1， 由已知，得CF =BC –BF =2. 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF在Rt △DPF 中，可得sin PD DFP DF ∠==所以，直线AB 与平面PBC 【解析】两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的证明、直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，然后再计算即可. 22．已知函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈，()221g x x a x a =--+． (1)求函数()f x 的值域；(2)若对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若对任意的[]01,5x ∈，都存在四个不同的实数1x ，2x ，3x ，4x ，使得()()0i g x f x =，其中1i =，2，3，4，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[]4,4-； (2)2a ≤； (3)4a >【分析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得()2121211x a x x x ≤=-++--恒成立，再利用基本不等式即求； （3）由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，利用二次函数的图像及性质可得[]()24,4,13a a a --+⊆+，即求.【详解】(1)∵函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈， 所以函数()f x 在[]1,5上单调递增， ∴函数()f x 的值域为[]4,4-；(2)∵对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，∴()221g x x a x a =--+a ≥，即2210x a x -⋅-≥，即有()2210x a x --≥，故有()2121211x a x x x ≤=-++--， ∵[]2,4x ∈，[]11,3x -∈， ∴()11241x x -++≥-，当且仅当111x x -=-，即2x =取等号， ∴24a ≤，即2a ≤，∴实数a 的取值范围为2a ≤； (3)∵函数()f x 的值域为[]4,4-，由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，又()2223,12,1x ax a x g x x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩，则必有1a >，令()11n g a ==+，()(){}{}222max ,max 3,3m g a g a a a a a a a =-=-+--=-+，故有[](),4,4m n -⊆，故有21434a a a +>⎧⎨-+<-⎩，可解得4a >，∴实数a 的取值范围为4a >.。

2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。

2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。

2021-2022学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题 1．复数5i 2-的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+C ．2i --D ．2i -【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简5i 2-，根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】55(i 2)2i i 25--==---, 故5i 2-的共轭复数为2i -+ ， 故选：B2．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-【答案】D【分析】由投影向量的定义代入公式求解即可. 【详解】由投影向量的定义知，a 在b 上的投影向量为22221(2)11(2,1)21(,)55||||(2)1(2)1a b b b b ⋅⨯-+⨯-⋅=⨯=--+-+. 故选：D3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可【详解】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错；对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确； 对于选项C ，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C 正确； 对于D 选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：A4．平面向量,a b 满足1,2a b ==，且()a ab ⊥-，则2a b -=（ ） A ．13 B ．13 C ．21 D ．21【答案】A【分析】由()a ab ⊥-得到21a b a ⋅==，由向量数量积运算法则求出()2213a b -=，从而求出2a b -=13.【详解】由()a a b ⊥-得：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，所以21a b a ⋅==，其中()222244141613a ba ab b -=-⋅+=-+=，故2a b -=13.故选：A5．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（ ）A ．1292525a b + B ．16122525a b + C ．4355a b +D ．3455a b +【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，则34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++33()44BC BF BA =+-+93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，所以16122525a b BF =+. 故选：B6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()sin 2sin sin c C a b B a b A -+=-，则C =（ ） A ．6π B ．3π或23π C ．23πD ．6π或56π 【答案】C【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C .【详解】依题意，由正弦定理得()()22c a b b a b a -+=-，2222c ab b a ab --=-，222a b c ab +-=-，222122a b c ab +-=-， 即1cos 2C =-.由于0C π<<，所以23C π=. 故选：C7．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，面积为S ，若cos cos 2a B b A bc +=，且cos S A ，则A =（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【分析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：cos cos 2a B b A bc +=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=，即sin()sin 2sin A B C b C +==， 由sin 0C >，得21b =，12b =， 3cos4S c A =，∴31cos sin 42S c A bc A ==， 即sin 3cos A A =，即sin tan 3cos AA A ==，则3A π=， 故选：C ．8．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将 ADE ，CDF ，BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使,,A B C 三点重合，得到三棱锥O -DEF ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．3πB 6πC ．6πD ．24π【答案】C【分析】由三棱锥外接球即以OD ，OE ，OF 为棱的长方体外接球求解. 【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AE ⊥，CD CF ⊥，BE BF ⊥， 折起后OD ，OE ，OF 两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD ，OE ，OF 为棱的长方体外接球. 因为OD =2，OE =1，OF =1， 所以2222R OD OE OF ++6， 所以6R =， 所以该三棱锥外接球的表面积为246S R ππ==表，故选：C. 二、多选题9．用一个平面去截正方体，截面的形状不可能．．．是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】AC【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【详解】截面为六边形时，可能出现正六边形，当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；故选：AC ．10．下列命题是真命题的有（ ）A ．有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B ．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 【答案】BCD【解析】根据分层抽样的性质判断A ；计算出平均数、中位数、众数判断B ；计算乙的方差判断C ；由百分位数的性质判断D.【详解】对于A 项，乙、丙抽取的个体数分别为36,，则样本容量为36918++=，故A 错误；对于B 项，平均数为12334536+++++=，中位数为3，众数为3，故B 正确；对于C 项，乙的平均数为56910575++++=，方差为()22222212221232555s =++++=<，则这两组数据中较稳定的是乙，故C 正确； 对于D 项，将该组数据总小到大排列1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由1085%8.5⨯=，则该组数据的85%分位数为5，故D 正确； 故选：BCD11．设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若222a b c +<，则2C π>B ．若2ab c =，则3C π≥C ．若333a b c +=，则2C π<D ．若2a b c +=，则2C π>【答案】AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；【详解】解：对于A 选项，222a b c +<，可以得出222cos 02a b c C ab+-=<，∴2C π>，故A 正确；对于B 选项，因为2ab c =，所以22221cos 222a b c ab ab C ab ab +--=≥=，当且仅当a b =时取等号，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，故B 错误；对于C 选项，假设2C π≥，则c a >，c b >，则222c a b ≥+，所以32233c a c b c a b ≥+>+与333a b c +=矛盾，∴2C π<，故C 正确，对于D 选项，取2a b c ===，满足2a b c +=，此时3C π=，故D 错误；故选：AC.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的是（ ）A ．直三棱柱侧面积是422+B 6πC ．存在点E ，使得1A EA ∠为钝角D ．1AE EA +的最小值为22【答案】ABD【分析】求出棱柱侧面积判断A ；求出棱柱外接球体积判断B ；判断以1AA 为直径的圆的位置关系判断C ；利用对称方法求出1AE EA +的最小值判断D 作答. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，222AC AB BC =+=，ABC 的周长为22+，此三棱柱侧面积是2(22)422+=+，A 正确；依题意，线段AC 是直三棱柱111ABC A B C -外接球被平面ABC 所截得的小圆直径，111ABC A B C ≅，则球心到平行平面ABC 与111A B C 的距离相等，即球心到截面小圆ABC 的距离为1112AA =， 因此，球半径221116()()222R AC AA =+=，球的体积为33446()6332V R πππ==⋅=，B 正确；如图，在矩形11ABB A 内，以1AA 为直径作半圆，其半径1112r AA ==，圆心到直线1BB 的距离为1，即直线1BB 与以1AA 为直径的半圆相切，则1BB 上的点除切点外均在此半圆弧外，即不存在点E ，使得1A EA ∠为钝角，C 不正确；在矩形11ABB A 所在平面内，延长11A B 至F ，使111B F A B =，连AF 交1BB 于E '，对1BB 上任意点E ，连接1,EF E A '，如图，因11BB A F ⊥，则11,EF EA E F E A ''==，11AE EA AE EF AF AE E F AE E A ''''+=+≥=+=+，当且仅当点E 与E '重合时取“=”，所以122min 11)2(2AF AA A F AE EA =+=+=，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 三、填空题13．已知i 是虚数单位，当复数()212155z m m i m =++-+为实数时，实数m =________. 【答案】3【解析】根据复数为实数列出式子计算即可.【详解】复数()212155z m m i m =++-+为实数，2215050m m m ⎧+-=⎨+≠⎩， 即355m m m ==-⎧⎨≠-⎩或，解得3m =.故答案为：3m =.【点睛】本题考查复数的分类及其计算，属于基础题.14．抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师人数为_______.【答案】30【分析】根据图中的数据，分别求得本科学历和研究生学历的教师人数，再根据35岁以下的本科人数所占比例求解即可得答案.【详解】解：由图可知本科学历的教师共有50201080++=人，故研究生学历的有1208040-=人.35岁以下的本科人数有50人，35岁以下教师的比例为62.5%， 所以35岁以下的本科和研究生学历人数和为5062.5%80÷=人， 所以35岁以下的研究生学历人数有805030-=人. 故答案为：3015．如图是AOB 用斜二测画法画出的直观图，则AOB 的面积是________.【答案】16.【解析】根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有AOB 的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积公式即可求AOB 的面积. 【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半， ∴AOB 的高为8，即184162AOBS =⨯⨯=， 故答案为：16.【点睛】本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题. 16．已知向量(,1)a m =，(4,2)b n =-，0m >，0n >，若a//b ，则18m n+的最小值______. 【答案】92【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到24m n +=，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解】//a b ，2424m n m n ∴=-⇔+=，()0,0m n >> ()1811811621044n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 116910242n m m n ⎛≥+⋅= ⎝， 当且仅当16n m m n =，即824,33n m n m ===，时，等号成立. 故答案为：92【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形()1811824m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后，即可利用基本不等式求最值. 四、解答题17．如图为正四棱锥P - ABCD ，PO ⊥平面ABCD ，BC = 3，PO = 2.(1)求正四棱锥P - ABCD 的体积； (2)求正四棱锥P - ABCD 的表面积. 【答案】(1)6； (2)24.【分析】（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.【详解】(1)根据题意，得11332633P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅=⨯⨯⨯=.(2)如图所示，作BC 的中点E ，连接OE ，PE ，则2295442PE OE OP =++， 故正四棱锥P - ABCD 的表面积44242PBC ABCD BC PES SS AB BC ⋅=+=⨯+⋅=. 18．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. (1)求c 的值； (2)求△ABC 的面积. 【答案】(1)2c =(2)154 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）先用同角三角函数关系式22sin cos 1C C +=求出sin C ，再用三角形面积公式求解即可.【详解】(1)由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2114212=44c =+-⨯⨯⨯， 解得2c =，(2)∵1cos 04C =>，且0πC <<， ∴π02C <<,由22sin cos 1C C +=得，2115sin 1cos 1164C C =-=-=, ∴1sin 2ABC S ab C =⋅△1151512244=⨯⨯⨯=. 故△ABC 的面积为154. 19．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（Ⅰ）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；（Ⅱ）估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.【解析】（Ⅰ）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（Ⅱ）首先估算学习时间在25%分位数所在的区间，再根据公式计算结果；（Ⅲ）根据样本的代表性作出判断.【详解】（Ⅰ）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为 (0.030.015)50.225+⨯=则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为400.2259⨯=． （Ⅱ）学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<，学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>，所以25%分位数在(5,10)， 0.250.1558.750.2-+⨯=， 则这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75．（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，F 为1CC 的中点．(1)求证：1//BD 平面AEC ；(2)求证：平面//AEC 平面1BFD ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，利用中位线的性质可得出1//BD OE ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出1//D F 平面AEC ，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点，因为E 为1DD 的中点，则1//BD OE ，1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，因此，1//BD 平面AEC .(2)证明：因为11//CC DD 且11CC DD =，E 为1DD 的中点，F 为1CC 的中点， 所以，1//CF D E ，1CF D E =，所以，四边形1CED F 为平行四边形， 所以，1//D F CE ，1D F ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以，1//D F 平面AEC ， 因为111BD D F D ⋂=，因此，平面//AEC 平面1BFD .21．已知()1,2a =，()3,1b =-(1)求2a b -；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值；(3)若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值【答案】(1)()7,0； (2)2 (3)2【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解；（2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解.【详解】(1)因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=.(2)因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，所以()222212cos 5101231a b a b θ⨯⋅===⨯⋅+⨯-+(3)由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=，即221k =，解得：22k =±. 22．如图，扇形OMN 的半径为3，圆心角为3π，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上一点且满足23OBA π∠=.(1)若1OB =，求AB 的长；(2)求△ABM 面积的最大值.【答案】(1)1； 3【分析】(1)在△OAB 中，利用余弦定理即可求AB ；(2)由题可知AB ∥OM ，则MAB OAB S S =，设OB x =，AB y =，在OAB 中利用余弦定理和基本不等式求出xy 的最大值，再由3OABS xy =即可求面积最大值. 【详解】(1)在△OAB 中，由余弦定理得，2222cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅，即213122AB AB ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，即220AB AB +-=，即()()210AB AB +-=， ∴1AB =；(2)3MOB π∠=，23OBA π∠=，MOB OBA ∠∠π∴+=，OM ∴∥AB ， MAB OAB S S ∴=，设OB x =，AB y =，则在OAB 中，由余弦定理得222,2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅， 即22321x y xy xy xy xy =+++⇒，当且仅当1x y ==时取等号， ∴11333sin 224OABS OB AB OBA x y ∠=⋅⋅⋅=⋅⋅=，当且仅当1x y ==时取等号.∴△ABM。

2021-2022学年浙江省金华市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复平面内，()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，然后对()2i z -化简，结合()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,a b 的范围，从而可求出复数z 对应的点所在的象限【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，所以()()()2i i 22i a b a b b a -+=++-，则2020a b b a +=⎧⎨->⎩，即22b a a b =-⎧⎨<⎩，所以a<0，0b >，故该点在第二象限， 故选：B ．2．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF =（ ） A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB AD +D ．1223AB AD -．【答案】D【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴11122323EF ED DA AB BF AB AD AB AD AB AD =+++=--++=-.故选：D.【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.3．已知向量()63,9a t =+，()42,8b t =+，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值． 【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+， 所以()63,1113a b t =++， ()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4．已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()0AM AN BD +⋅=.若AM AN x AB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（ ） A ．3 B ．2C ．23D ．22【答案】D【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅=化成,AD AB 的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN x AB y AD +=+，左边用,AD AB 表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BD AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-= 所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB yAD μλ+=+-+-+=+则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则MN =（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为故选：D.5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．9【答案】B【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -，故4M m -=. 故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.6．已知球的半径为R ，一等边圆锥.(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（ ）A ．234R π B ．294R π C 2 D 2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r ，由圆锥的表面积公式可得所求．【详解】如图，设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的高为3r ， 则222(3)R r r R =+-， 解得32r R =， 则圆锥的表面积为2223S r r r r πππ=+⋅=22393()24R R ππ==， 故选：B ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过建立等式得到32r R =. 7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）．A 162B 326C 1282D 5126【答案】D【分析】考虑当丸子与六面体各个面都相切时的情况，利用等体积的方法求解出此时丸子的半径，则最大体积可求解出.【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积142S =⨯⨯=，所以四面体的体积为13⨯=2， 根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为R ，所以163R ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以R =，所以丸子的体积为343π⨯=⎝⎭， 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析丸子与六面体的位置关系以及采用等体积法求解丸子的半径，本例中六面体是规则对称图形，其体积的计算方式有两种：（1）13⨯底面积⨯高，求解体积；（2）利用丸子的半径作为高，六面体的每个面作为底面，求六个三棱锥的体积之和即为六面体体积.8．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意画出图形，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则由圆的相交弦定理可得((211r =⋅，从而可求得212x r =-，进而可表示出圆台的侧面积，求出其最大值，从而可得,x r 的值，然后在Rt CFB △求出圆台母线与底面所成角的余弦值即可【详解】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积()2π11022x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则233x =或233x =-（舍去），当2303x <<时，'0S >，当2323x <<时，'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减， 所以当233x =时，S 取得最大值． 当233x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得3cos 3BF OBC BC ∠==， 故选：D ．【点睛】方法点睛：本题是立体几何中最值的综合性问题．旋转体的问题常需正确做出轴截面图进行分析，最值问题要注意“选元”“列式”“讨论最值”三个环节，考查线面角的余弦值，属于较难题二、多选题9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A ．34πB ．4π C ．712π D ．23π 【答案】BC【分析】利用余弦定理化简可得cos 2c bA b；分别验证各个选项中的A 的取值，根据0c >可确定正确选项.【详解】由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，又22a b bc =+，2222cos b bc b c bc A ∴+=+-，整理可得：cos 2c bA b； 对于A ，2cos 2c b A b -==(120c b =<，A 错误；对于B ，2cos 22c b A b -==，则()12c b =+，B 正确； 对于C ，26cos 24c b A b --==，则22602c b +-=>，C 正确；对于D ，1cos 22c b A b -==-，则0c ，D 错误. 故选：BC.10．如图，四边形ABCD 为直角梯形，∠D ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．12AC AD AB =+ B ．1122MC AC BC =+ C ．12BC AD AB =- D ．14MN AD AB =+【答案】ABC【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题. 【详解】由12AC AD DC AD AB =+=+，知A 正确； 由1()2CM CA CB =+，得()12MC AC BC =+知B 正确；由12BC MD AD AM AD AB ==-=-知C 正确； 由N 为线段DC 的中点知1124MN MA AD AD AB =+=-，知D 错误； 故选：ABC .11．下列说法正确的有（ ）A ．任意两个复数都不能比大小B ．若()i ,z a b a R b R =+∈∈，则当且仅当0a b 时，0z =C ．若12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==D ．若复数z 满足1z =，则2i z +的最大值为3 【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可. 【详解】解：对于A 选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A 不正确；对于B 选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B 正确；对于C 选项，当121,i z z ==，满足22120z z +=，但120z z ==，所以C 不正确；对于D 选项，复数z 满足1z =，则复数z 在复平面内的轨迹为单位圆，则2i z +的几何意义，是单位圆上的点到()0,2-的距离，它的最大值为3，所以D 正确； 故选：BD.12．如图，已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，则（ ）A ．()11110AC A B A A ⋅-=B ．()2211116B A B B B CCD ++=C ．向量1A B 与向量1AD 的夹角是60︒ D ．异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒【答案】ABD【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()10,2,2D所以()12,2,2AC =-，()11112,0,2B A A B A A -==， 因此()111111440AC A A B B A A A C ⋅-=⋅=-=；故A 正确；又()()()1111112,0,20,2,22,2,4B A B B B C B A B C ++=+=--+-=--，()2,0,0CD =-， 所以()21111441624B A B B B C++=++=，2246CD =，因此()2211116B A B B B CCD ++=，即B 正确；因为()12,0,2A B =-，()10,2,2AD =， 所以1111111cos ,24A AD A AD A AD B B B ⋅<>===-，因此向量1A B 与向量1AD 的夹角是120︒；故C 错；因为E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，所以()2,1,0E ，()1,1,1F ，则()1,0,1EF =-，又()10,0,2DD =， 所以111cos ,1EF DD EF DD EF DD ⋅<>===+ 又异面直角的夹角大于0︒且小于等于90︒，所以异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒；即D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.三、填空题13．已知向量()1,2a =-，()21,1b m =-，且a b ⊥，则2a b -=__________. 【答案】5【分析】由已知可得32m =，()2,1b =，代入即可求出答案.【详解】由a b ⊥可得，0a b ⋅=，即()2120m --+=，解得32m =，()2,1b =， 所以()()()21,24,25,0a b -=--=-， 所以()2255a b -=-.故答案为：5.14．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________【答案】72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.15．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A ，B ，C ，D ，E 是正五边形的五个顶点，且512MN AM -=，若QN a =，则N C M P +=__________（用a 表示）.51+ 【分析】使用平面向量线性运算知识进行求解即可.【详解】由已知，结合正五角星的图形，有 M NM CP A NM NM MA NA +=+=+=，∵NA 与QN 方向相同，5151NANA AM QN MN QN +====- ∴515122CP NA QN N a M +++===. 51+. 16．如图，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为3点P 为线段DE 上一点，当三棱锥P ﹣ACE 的体积为33时，DP DE ＝__． 【答案】34 【分析】过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，证明AF ⊥平面BCDE ，再由已知求得AF ，进一步求出三棱锥D ﹣ACE 的体积，利用P ACE D ACE V PE DE V --=求得PE DE，进一步得到答案. 【详解】解：如图，过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ，∴AF ⊥平面BCDE ，由BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为23，得1232BC AF ⋅=， ∴AF ＝3，则1132D ACE A CDE V V DE BE AF --==⨯⨯⨯⨯ ＝1132⨯⨯4×2×4333=； ∵1132P ACE A PCE V V PE BE AF --==⨯⨯⨯⨯＝33． ∴3134433P ACE D ACE V PE DE V --===，则34DP DE =．故答案为：34．四、解答题17．已知向量()2sin ,1m A =，()sin ,3n A A =-，m n ⊥，其中A 是ABC 的内角.（1）求角A 的大小；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =0AB BC ⋅>，求b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）由m n ⊥和三角恒等变换可得答案；（2）由0AB BC ⋅>和3A π=可得223B ππ<<，然后由正弦定理可得2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角函数的知识可得答案. 【详解】（1）因为()22sin sin 32sin cos 31cos 223m n A A A A A A A A ⋅=-=+-=--2sin 2206A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 即有2262A k πππ-=+，（Z k ∈），3A k ππ=+，（Z k ∈）， 又A 为ABC 的内角，所以3A π=；（2）由0AB BC ⋅>，得B ∠为钝角，从而223B ππ<<由正弦定理，得21sin sin sin 3b c B C π=== 所以sin b B =，2sin sin 3c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又223B ππ<<，所以25366B πππ<+<，则32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭18．如图，在OAB 中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模 （Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）()1,1ON =-，2NQ =；（Ⅱ）3t 4=. 【分析】（Ⅰ）由12OQ OB =，根据13ON OA =，求得4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得向量NQ 坐标，进而求得向量NQ 的模；（Ⅱ）因为13AP AB =，得到2133OP OA OB =+，进而得到233t t OM OA OB =+和()12OM OA OB μμ=-+，即可求解.【详解】（Ⅰ）由Q 是OB 中点，可得12OQ OB =， 又由13ON OA =，且()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1NQ OQ ON =-=-且()22112NQ =+-=. （Ⅱ）如图所示，因为13AP AB =，所以()13OP OA OB OA -=-， 可以化简为：2133OP OA OB =+， 又OM tOP =，所以2123333t t OM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ① 不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+， 由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =，即()12OM OA OB μμ=-+ ② 由①②，可得213t μ-=且23t μ=，解得3t 4=.19．已知复数()()21211i,221i(R,i 2z a z a a a =+-=++∈+是虚数单位). (1)若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；(2)若虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，求实数m 值.【答案】(1)322a -<<- (2)5m =【分析】（1）求出12z z -，由其对应点的坐标列不等式求解；（2）1z 也是方程的根，根据韦达定理先求得a ，再求得m ．【详解】（1）由已知得到()2121223i 2z z a a a -=-+--+，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以21202230a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩，解得32231a a a ⎧-<<-⎪⎨⎪><-⎩或，所以32;2a -<<- （2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，所以1z 是方程的另一个根，所以11212z z a +==+，所以0a =， 所以1111i,i 22z z =-=+， 所以11544m z z ⋅==，所以5m =. 20．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AD =DC =AC ，且CP ⊥平面P AD ，E 为AD 的中点.(1)证明：AD ⊥平面PCE ；(2)若3PA AD =，求二面角A ﹣PC ﹣E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意证得AD ⊥CE ，AD ⊥CP ，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以点E 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PCE 和平面PAC 的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：如图，连接AC ，∵AD =DC =AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵点E 为AD 的中点，∴AD ⊥CE ，∵CP ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴AD ⊥CP ，∵CP ∩CE =C ，CP ，CE ⊂平面PCE ，∴AD ⊥平面PCE .（2）如图，以点F 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则E （0，0，0），设点A （1，0，0），则C （00），由（1）知AD ⊥平面PCE ，设P （0，y ，z ），（y >0，z >0），3,12PA ADPA PC =∴==， )2222131y z y z ⎧++=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得y z P ⎛=∴ ⎝⎭，()360,,,1,33PC AC ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PAC的法向量(),,m x y z =，则3030m PC y m AC x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取1y =，得3,1,m ⎛= ⎝⎭， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量()1,0,0EA =，设二面角A PC E --的平面角为θ，则二面角A PC E --的余弦值为：cos 1m EAm EA θ⋅===⋅⨯21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求直线AB与平面DCC1所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）连接AC1，交A1C于E，连接DE，由中位线的性质知DE∥BC1，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面DCC1的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接AC1，交A1C于E，连接DE，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴DE∥BC1，∵DE⊂平面A1DC，BC1 平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）取AC的中点O，连接A1O，BO，∵△ABC 和△A 1AC 都是正三角形，∴A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥BO ，以O 为原点，OB 、OC 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ＝2，则A （0，﹣1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （32，12-，0），C 1（0，2，3）， ∴AB ＝（3，1，0），CD ＝（32，32-，0），1DC ＝（32-，52，3）， 设平面DCC 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022353022x y x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 令x ＝3，则y ＝3，z ＝﹣1，∴n ＝（3，3，﹣1），设直线AB 与平面DCC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜AB ，n ＞|＝|||||AB n AB n ⋅⋅|＝|3332931+⨯++|＝2313， 21cos 1sin 13θθ=-=∴tan θ＝23，故直线AB 与平面DCC 1所成角的正切值为23.22．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ；（Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN与平面BCF 【分析】（Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦EN t =．利用向量法能求出结果． 【详解】（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， //EF MP =∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，//EM ∴平面ACF ．（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)，设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ， 则·30·0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =0)， 设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，则·30·0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1a =，得(1,3,m =，设二面角E BC F --的平面角为θ， 则||427cos ||||747m n m n θ===． ∴二面角E BC F --的余弦值为277． （Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121，设||EN t =． 则(0N ，1t -，1)，(3CN =-，1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,3)m =，2|||33|21|cos ,|21||||4(1)7CN m t CN m CN m t -∴<>===+-，解得212t =-， ∴线段EF 上是存在一点N ，2||12EN =-，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。