高中数学2.2.2 对数函数及其性质 第二课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课)
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第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)
【选题明细表】
1.(2018·石家庄市一模)已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=|log2x|,若a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( B )
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)c>a>b (D)a>c>b
解析:因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,
所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称,
所以函数y=f(x)是偶函数.
所以a=f(-3)=f(3)=|log23|=log23,
又b=f（）==|-2|=2,
c=f(2)=|log22|=1,所以c<a<b.
2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )
(A)e2x-2(B)e2x
(C)e2x+1(D)e2x+2
解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.
3.(2018·泉州高一检测)若log m8.1<log n8.1<0,那么m,n满足的条件是( C )
(A)m>n>1 (B)n>m>1
(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1
解析:由题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.
4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在（-,0）内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )
(A)(1,+∞) (B)(0,1)
(C)(0,2) (D)(1,2)
解析:由-<x<0,得0<2x+1<1.
若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.
所以1<a<2.故选D.
5.(2018·宜昌高一期中)函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )
(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)
(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)
解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为
(2,+∞)∪(-∞,0),
设
函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,
u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.
6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.
解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,
所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),
所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.
答案:0
7.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .
解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,
所以2x<-1,两边取以2为底的对数,
得x<log2(-1).
答案:(-∞,log2(-1))
8.已知f(x)=log4(4x-1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)求f(x)在区间[,2]上的值域.
解:(1)由4x-1>0,解得x>0,
因此f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,
因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)在区间[,2]上单调递增,
又f()=0,f(2)=log415,
因此f(x)在区间[,2]上的值域为[0,log415].
9.已知log2b<log2a<log2c,则( A )
(A)()b>()a>()c
(B)()a>()b>()c
(C)()c>()b>()a
(D)()c>()a>()b
解析:因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,
所以()b>（）a>（）c.故选A.
10.(2018·哈尔滨六中一模)已知函数f(x)=则f(2+log23)等于( D )
(A)8 (B)12 (C)16 (D)24
解析:因为1<log23<2,所以3<2+log23<4,
所以f(2+log23)=f(3+log23).
又4<3+log23<5,
所以f(3+log23)==23×=8×3=24.
故选D.
11.(2018·许昌五校高一联考)函数f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )
(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值
(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值
解析:由|x-1|>0得,函数y=log a|x-1|的定义域为{x|x≠1}.
设g(x)=|x-1|=
则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
因为f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,
所以a>1.
所以f(x)=log a|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.
12.(2017·兰州高一月考)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)的定义域为R,
所以ax2+2x+1>0恒成立.
当a=0时,2x+1>0,x>-,不合题意;
所以a≠0.由得a>1.
故实数a的取值范围为(1,+∞).
(2)因为f(x)的值域为R,
所以{y|y=ax2+2x+1,x∈R}⊇(0,+∞).
(也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数)
①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,
②当a≠0时,需即0<a≤1.
综上,实数a的取值范围为[0,1].
13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y 取最大值时x的值.
解:因为f(x)=2+log3x,
所以y=[f(x)]2+f(x2)
=(2+log3x)2+2+log3x2
=(2+log3x)2+2+2log3x
=(log3x)2+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
因为函数f(x)的定义域为[1,9],
所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,
必须满足所以1≤x≤3,
所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.
当log3x=1,即x=3时,y=13.
所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
【教师备用】已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;
(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.
解:(1)因为f(x)=log2(x+1),
g(x)=log2(3x+1),g(x)≥f(x),
所以3x+1≥x+1>0,
所以x≥0.
即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0,+∞).
(2)因为y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)
=log2(x≥0).
令h(x)==3-,
则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3,
故y=g(x)-f(x)∈[0,log23),
即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log23).。
