2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列为递增数列，为其前项和，已知，，则{}n a n S n 54a =4612a a ⋅=（ ）7S =A ．B ．C ．D ．1412217A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为，由，，得：，解得：d 54a =4612a a ⋅=()()4412d d -+=，又因为数列递增，所以，，所以．2d =±2d =4422a =-=74714S a ==故选：A ．2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）22214x y a +=2212x y a -=aA ．1BC ．2D ．3A由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.0a >24a <242a a -=+a【详解】由双曲线知：且，2212x y a -=0a >(而其与椭圆有相同焦点，22214x y a +=∴且，解得，24a <242a a -=+1a =故选：A3．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆2221(02)4x y b b +=<<12,F F 1F l 于两点，若的最大值为5，则的值是,A B 22BF AF + bA ．1BC ．D 32D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB |最小，把|AB |的最小值b 2代入|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于5列式求b 的值即可．【详解】由0＜b ＜2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8∴|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8﹣b 2，解得b=故选D ．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列前项和为且 为非零常数则下列{}n a n .n S 11222n n a p S S pn -=-=≥，（）p （）结论中正确的是（ ）A ．数列不是等比数列B ．时{}n a 1p =415.16S =C ．当时，D ．12p =()*m n m n a a a m n N +⋅=∈，3856a a a a +=+C【分析】根据，利用数列通项和前n 项和的关系求解，再11222n n a p S S p n -=-=≥，（）逐项判断.【详解】解：因为，11222n n a p S S p n -=-=≥，（）所以，当时，，22pa =3n ≥1222n n S S p ---=两式相减得，又，120n n a a --=2112a a =所以数列是以p 为首项，以为公比的等比数列，故A 错误；{}n a 12当时，，故B 错误；1p =44111521812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-当时，，所以，故C 正确；12p =12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()* ，+⋅=∈m n m n a a a m n N由得，故D 错误，112-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a p 387332+=a a p 56451132232+=+=a a p p p ，故选：C5．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )221169x y -=A ． B ．216y x =216y x =-C ．D ．28y x=28y x=-A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到22y px =，进而可求出结果.42p =【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，221169x y -=()4,0设所求抛物线方程为：，22y px =因为其以为焦点，所以，因此；()4,042p =8p =故抛物线方程为.216y x=故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.6．给出下列说法：①方程表示一个圆；222460x y x y +-++=②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；0m n >>221mx ny +=y ③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；(1,0)M -(1,0)N 2PM PN -=P ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程即不表示圆，故①错；222460x y x y +-++=()()22121x y -++=-若m >n >0，则方程，即，所以表示焦点在221mx ny +=22111011x y m n m nm n +=>>∴< ，，y 轴上的椭圆，故②对；已知点、，若，所以动点P 的轨迹是一条射线，()1,0M -()1,0N 2PM PN MN-==故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A ,B ，线段AB 的中点为M ,由抛物线的定义可得即为AB 两点到准线的距离和，即为M 点到准线距离的两倍，所以以AB 为AB直径的圆与准线相切，故④对；故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（ ）A ．圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=B ．曲线与曲线，恰有四条公切线，则22120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=实数的取值范围为m4m >C ．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切22:2C x y +=P 0x y ++=P C 线，其中为切点，则的最小值为PA A PA2D ．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两22:4C x y +=P :280l x y +-=P C 条切线，，为切点，则直线经过点PA PB ,A B AB 11,2⎛⎫⎪⎝⎭B【分析】选项A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D ，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．(),82p n n -lAB 【详解】解：选项A ：圆的圆心为 ，半径，222x y +=()0,0Or 所以圆心到直线的距离，()0,0O :10l x y -+=12===d r所以圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=故选项A 正确；选项B ：方程可化为，故曲线 表示圆心为，2220x y x ++=()2211x y ++=1C 1(1,0)C -半径的圆，11r =方程可化为，22480x y x y m +--+=()()222420x y m -+-=-因为圆与曲线 有四条公切线，1C 2C 所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径 ，2C 2(2,4)C 220)rm =<同时两圆的位置关系为外离，有 ，即，1212||C C r r >+51>+解得，故B 错误；420m <<选项C ：圆的圆心 ，半径，22:2C x y +=()0,0C r =圆心到直线的距离，()0,0C 0x y ++=>d r 所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形，PAC ，当且仅当 与直线垂直时等号成||2=PA PC 0x y ++=立，所以的最小值为，故选项C 正确；PA2选项D ：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为(),82P n n -l O P ，即：，两圆的方()22242n x y n ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭22820x nx y y ny -+-+=程相减得到直线方程为，即，AB 8240nx y ny +--=()()2840n x y y -+-=所以直线过定点，D 正确．AB 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，n a ()9,n n n *≤∈N若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ）11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数5A ．B ．713C ．D ．1622C【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.{}n a 5a 【详解】数列满足．且，{}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以，，，，.21211a a =-=32224a a =+=43217a a =-=542216a a =+=所以解下个环所需的最少移动次数为．516故选：C ．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（ ）A ．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A ：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A 正确；B ：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B 选项正确；C ：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C 选项不正确；D ：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D 选项不正确．故选：CD ．10．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点24y x =F F A B关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（ ）B xC l A ．以线段为直径的圆与直线相离AB 32x =-B ．的最小值为AB4C ．为定值11AF BF+D ．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点A C AC x l ABCD【分析】设出点的坐标和、的方程，方程与抛物线联立，利用韦达定理，AB AC AB 利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设为线段的中点，则点到准线的距离为M AB M =1x -，()1122AF BF AB +=于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A 正AB =1x -32x =-确；设，，直线方程为，()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+联立直线与抛物线方程可得，，则，．2440y my --=124y y m +=124y y =-于是，()21212444AB x x p m y y m =++=++=+当时，有最小值为，B 正确；0m =AB4由，，12pAF x =+22p BF x =+得为定值，()()1221212121241111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+==+++++++故C 对；，则直线的方程为，()22,C x y -AC ()121112y y y y x x x x +-=--令，得0y =12211212121221y x y x my y y y x y y y y +++===-++即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D 正确．AC x ()1,0-l x 故选：ABCD ．11．已知等差数列的首项为1，公差，前n 项和为，则下列结论成立的有{}n a 4d =n S A ．数列的前10项和为100n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．若成等比数列，则1,a 3,a m a 21m =C ．若，则n 的最小值为6111625ni i i a a=+>∑D ．若，则的最小值为210mn a a a a +=+116m n +2512AB由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可43n a n =-22n S n n =-=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为,通过裂项11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D 错误.111ni i i a a=+∑12m n +=【详解】由已知可得:,,43n a n =-22n S n n=-,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A 正确;=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()10119=1002+成等比数列,则,即,解得故B 正确;1,a 3,a m a 231=,m a a a ⋅81m a ==4381m a m =-=21m =因为所以11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,解得,故的最小值为7,1111111116=1=455494132451ni ii n n n a an =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑ 6n >n 故选项C 错误;等差的性质可知,所以12m n +=,当且仅当()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D 错16=n m m n 48=45n m =*,m n ∈N 48=45n m =误.故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，()222:10x C y a a -=>()2221x y -+=C 则（ ）A ．双曲线的实轴长为C 6B ．双曲线的离心率C e =C ．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则P C P C 1d 2d 2134d d =D ．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原1y k x m =+C A B D AB OD O 点）的斜率为，则2k 1213k k =BCD【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB 选C a 项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的()00,P x y 220033x y -=正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，因为，则C 0x ay ±=1=0a >a =所以双曲线的实轴长为A 错误；C 2a =，所以，故B 正确；2c ==c e a ===设，则，C 正确；()00,P x y 220033x y -=12d d 设、，则，两式作差得()11,A x y ()2222,B x y 221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-所以，，D 对.121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+故选：BCD.三、填空题13．已知数列的前项和为，且满足，，则 ____．{}n a n n S 11a =()12N n na S n *+=∈n a =.21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】利用求解即可.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时可得，1n =1222,2a a a =∴=当时，由，得，2n ≥12n n S a +=12n n S a -=两式做差可得，13n n a a +=因为，212,1a a ==所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，{}n a 所以21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．过点与圆相切的直线方程为______.()5,1B -2225x y +=或5x =125650x y --=【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由5x =1(5)y k x +=-直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答k 案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；5x =2225x y +=②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即，1(5)y k x +=-510kx y k ---=要求直线与圆，解可得，2225x y +=5125k =此时要求直线的方程为：，125650x y --=综上可得：所求直线的方程为：或5x =125650x y --=故答案为或5x =125650x y --=本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．15．过抛物线C ：的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的24y x =最小值为____．32【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出AB (1)y k x =-AB 韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式||AB ||CD 结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．1·2S AB CD =ACBD 【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为F (1,0)AB ，(1)y k x =-将直线的方程代入抛物线的方程并整理得l ，2222(24)0k x k x k -++=所以，，所以，，12242x x k +=+122424AB x x k =++=+同理可得，244=+CD k 由基本不等式可知，四边形的面积为ACBD 222114(1)··4(1)22+==⨯+k S AB CD k k．2218(2)32=++k k 当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．1k =±ACBD 本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象Z 24x y =F F ()2214x y +-=Z 限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭l ()0x t t m =<<Z A l在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．F B m =FAB 2()4,6【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m ，然后由分别与抛物线，与()02x t t =<<圆的方程联立求得A ，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩2,1x y =⎧⎨=⎩∴2m =由，解得，24x t x y =⎧⎨=⎩24x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭由，解得()2214x t x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩1x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，(,1B t 由抛物线的定义得：∴，AF AC =∴周长，FAB FA FB AB =++，2AC AB BF BC =++=+.4=，()0,2t ∈()44,6∈故2，．()4,6五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前n 项和{}n a 236aa =3542a a a =-{}nb 为Sn ，且，，N ．11b =12n n n S b b +=n ∈*（1）求数列的通项公式；{}n a （2）证明数列是等差数列，并求数列的前n 项和Tn ．{}n b {}n n a b +（1）；（2）证明见解析，2nn a =21112222n n T n n +=++-（1）由和分别表示出等式中的、、和，解方程组求出和，再由等比1a q3a 4a 5a 6a 1a q 数列的通项公式表示出即可；n a （2）时，求出，时，由和的关系得到，进而求出1n =22b =2n ≥n S 1n S -112n n b b +--=，用定义证明数列是等差数列即可，分别求出数列和的前项和，n b n ={}n b {}n a {}n b n 从而求出.n T 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，{}n a ()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩所以.112n nn a a q -==（2）由题意，当时，，又，所以，1n =1122S b b =11b =22b =当时，，2n ≥112n n n S b b --=所以，()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-所以，112n n b b +--=又，所以，，所以，11b =2121n b n -=-22b =22n b n =所以，，n b n =11n n b b +-=所以数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n b 11数列的前项和为，{}n a n ()()11121222112n n n a q q +-⨯-==---数列的前项和为，{}n b n ()()121112222n b b n n n n n++==+所以数列的前项和.{}n n a b +n 21112222n n T n n +=++-本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和的计n 算方法，属于中档题.18．如图，圆M ：，点为直线l ：上一动点，过点P 引圆()2221x y -+=()1,P t -=1x -M 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若，求切线所在直线方程；1t =（2）求的最小值；AB（1）切线方程为，（2）1y =3410x y +-=min AB =【分析】（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将弦长构造成角度的函数，求函数的最小值即可.AB 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，()11y k x -=+即，10kx y k-++=则圆心M 到切线的距离，1d 解得或，0k =34-故所求切线方程为，；1y =3410x y +-=（2）连接，交于点N ，PM AB设，MPA MAN θ∠=∠=则，2cos 2cos AB AM θθ==在中，，Rt MAP ∆1sin AM PMPMθ==因为，3PM ≥，()max 1sin 3θ∴=()min cos θ∴==min min 2(cos )AB θ∴=故的最小值为AB 本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.19．在①；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，()3,44且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求2.l 出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.l l 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点C ()221,0mx ny m n +=≠x 的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？()1,1P -l C A B P AB 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.答案见解析【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，①C x 根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意l 即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线②C x 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜l率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线，①C x 设，，所以的方程为，21m a =21(0,0)n a b b =->>C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由题设得，解得，，229161a b =⎪-=⎪⎩21a =22b =所以的方程为，C 2212y x -=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，l l =1x -C ()1,0-不符合题意；当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，2212y x -=()()()()222221230*k x k k x kk --+-++= 若，即有且仅有一解，不符合题意；220k -=k =()*若，即时，其判别式220k -≠k ≠，则，()()()()222Δ[21]42238230k k k k k k =+--++=+>32k >-所以方程有两个不同实数解时，()*32k k >-≠且于是，解得，与且1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⨯-=--2k =-32k >-k ≠所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l C A B P AB 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆，②C x 设，，所以的方程为，21ma =21(0)n a b b =>>C 22221(0)x y a b a b +=>>由题设得，解得，，242a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩24a =23b =所以的方程为，C 22143x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，l l =1x -22143x y +=32y =±不是线段的中点，不符合题意；()1,1P -AB 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，22143x y +=()()()22234814220k x k k x k k +++++-=其判别式，()()()()2222Δ[81]4·34·422169660k k k k k k k =+-++-=-+>于是，解得，()()1228121234k k x x k ++=-=⋅-=-+34k =故，即，()33711444y x x =++=+3470x y -+=所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l 3470x y -+=C A B P AB 方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，{}n a n n A {}n b n n B 314A =，．再从三个条件：12n n a a +=*N n ∈①；②，；③，中任选一组作221n B n n =-+12n n n B B b ++=+120b =2222log n n b a =-为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列的通项公式；{}n b （2）定义：．记，求数列的前项的和．,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩n n n c a b =*{}n c 100100T 选择见解析；（1）；（2）．222n b n =-7940-【分析】（1）根据已知条件可知数列是公比为的等比数列，根据求出{}n a 2314A =的值，可求得等比数列的通项公式.1a {}n a 选①，由可求得数列的通项公式；11,1,2n n n B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩{}n b 选②，推导出数列是公差为的等差数列，结合可求得数列的通项公{}n b 2-120b ={}n b 式；选③，由的通项公式结合对数运算可得出数列的通项公式；{}n a {}n b （2）求出数列的表达式，进而可求得的值.{}n c 100T【详解】（1）由已知得，为等比数列，公比为，则，{}n a 2q =231112214A a a a =++=，所以，.12a ∴=112n n n a a q -==选择①，当时，，1n =1120b B ==当时，.2n ≥()()()221212111222n n n b B B n n n n n-⎡⎤=-=-----=-⎣⎦满足，所以，；120b =222n b n =-()222n b n n N *=-∈选择②，，即，12n n n B B b +-=-12n n b b +=-所以是首项为，公差为的等差数列，；{}n b 202-()121222n b b n n ∴=--=-选择③，；2222log 2222nn b n =-=-（2），，，，11220a b =<=22418a b =<=33816a b =<=441614a b =>=当且时，令，4n ≥n N *∈()22222222n n n n n x a b n n =-=--=+-则数列为单调递增数列，且，即.{}n x 420n x x ≥=>n n a b >所以，，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q -+=++++++⋅⋅⋅+=+-．()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--方法点睛：已知求：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项，n S n a n n S n a {}n a 可用公式求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩21．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.()(),0P x y x ≥()1,0F y 1(1)求动点的轨迹的方程；P C (2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得()2,0Q l C A B x M 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.AMQ BMQ ∠=∠M (1)()240y x x =≥(2)存在，()2,0M -【分析】（1）由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等P ()1,0F y 1P F 于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得P =1x -P ()1,0F 轨迹的方程；（2）设，，，直线，代入C ()11,A x y ()22,B x y (),0M t :2l x my =+可得，由根与系数的关系可得，，由24y x =2480y my --=124y y m +=128y y =-，可得，计算可求得的值，即可得结论．AMQ BMQ ∠=∠AM BM k k =t 【详解】(1)动点到定点的距离比到轴的距离大，()(),0P x y x ≥()1,0F y 1又，到的距离等于到直线的距离，0x ≥ P F P =1x -动点的轨迹为以为焦点的抛物线，∴P ()1,0F 轨迹的方程；∴C ()240y x x =≥(2)设，，，()11,A x y ()22,B x y (),0M t 直线过点，l ()2,0Q 设直线方程：，∴l 2x my =+代入， 可得，显然，24y x =2480y my --=216320m ∆=+>则，，124y y m +=128y y =- AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又，124y y m +=128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=，即2t ∴=-()2,0M -.故在轴上存在点使得x ()2,0M -AMQ BMQ∠=∠22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭22122:1(0)x y C a b a b +=>>2C (±圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，直线、的倾斜1C (2,1)P -1C ,A B PA PB 角互补．直线与轴正半轴相交，分别记交点为．AB ,x y ,MN （1）求椭圆和双曲线的方程；1C 2C （2）若的面积为，求直线的方程；PMN 54AB （3）若与双曲线的左、右两支分别交于，求的范围．AB 2C ,Q R ||||NQ NR （1）；（2）；（3）．22221,18288x y xy +=-=20x y+=⎛ ⎝【分析】（1）解方程即得椭圆方程和双曲线的方程；22411a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩（2）联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，,A B 12AB k =-1:(0)2AB y x n n =-+>根据的面积为求出的值即得解；PMN 54n （3）先求出的范围求解.||1||QRx NQ NR x ==n 【详解】【解】（1）由题得，所以椭圆的方程为22,411a ab a b ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩221,82x y +=等轴双曲线的方程为.22188x y -=（2）221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩消去得：y 2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-=221616441A P k k x x k +-⋅=+因为，所以，并求出2P x =2288241A k k x k +-=+2244141A k k y k --=+将换成，得：，则可得k k -2222882441(,)4141k k k k B k k --+-++12AB k =-设1:(0)2AB y x n n =-+>，消去得：221248y x n x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩y 222240x nx n -+-=，所以得：2248160n n ∆=-+>02n <<则，，:220(02)AB x y n n +-=<<(2,0),(0,)M n Nn d =，解得：21524PMN S n ===n =即:20AB x y +-=（3），消去得：221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩y 22344320x nx n +--=1,2x=||1||NQ NR ==，则204n << 2632n ∴>11->-，∴0<<||1||NQ NR ∴<<则的取值范围为．||||NQNR ⎛ ⎝。
