高二数学期中考试模拟试卷(二)

2023-2024学年黑龙江省高二下学期期中考试数学模拟试题一、单选题1．设集合{}2log 2A x x =<，{}29B x x =<，则A B = （）A ．()0,3B ．()3,3-C ．()0,4D ．()3,4-【正确答案】A【分析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}2log 204A x x x x =<=<<，{}{}2933B x x x x =<=-<<，因此，()0,3A B = .故选：A.2．命题“x ∀∈R ，210x x +->”的否定是（）A ．x ∃∈R ，210x x +-<B ．x ∃∈R ，210x x +-≤C ．x ∀∈R ，210x x +-≤D ．x ∃∈R ，210x x +-≥【正确答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“x ∀∈R ，210x x +->”为全称量词命题，该命题的否定为“x ∃∈R ，210x x +-≤”.故选：B.3．甲、乙、丙3人站到共有5级的台阶上（每级台阶足够长，可站多人），同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A ．35B ．105C ．125D ．4854【正确答案】C【分析】分析可知甲、乙、丙3人每人都有5种选法，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，甲、乙、丙3人每人都有5种选法，由分步乘法计数原理可知，不同的站法种数是35125=种.故选：C.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的件数，则(2)P X <=（）A ．715B ．815C ．1415D ．1516【正确答案】C【分析】根据超几何分布的定义计算即可.【详解】由题意知X 的可能取值为0,1,2,X 服从超几何分布，所以()()211773221010C C C 770,1C 15C 15P X P X ======，所以()()7714(2)01151515P X P X P X <==+==+=.故选：C 项.5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型21e c xy c =（其中e为自然对数的底数）拟合，设ln z y =，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模/y 千万元7.4112036.655ln z y=22.43.03.64.0由上表可得经验回归方程0.52z x a =+，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（）A ． 5.08e B ． 5.6e C ． 6.12e D ． 6.5e 【正确答案】B【分析】求出x 、z 的值，代入回归方程求出a 的值，可得出z 关于x 的回归方程，然后在回归方程中令8x =可得出z 的值，即可求得y 的值，即可得解.【详解】由题意可得1234535x ++++==，2 2.43 3.6435z ++++==，将33x z =⎧⎨=⎩代入回归方程0.52z x a =+可得330.52 1.44a =-⨯=，所以，z 关于x 的回归方程为0.52 1.44z x =+，当8x =时，0.528 1.44 5.6ln z y =⨯+==，此时， 5.6e y =.故选：B.6．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往,,,A B C D 四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B 小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A ．72B ．78C ．126D ．240【正确答案】B【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：222332C A A 36=种情况，②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：113323C A A 36=种情况，③丁，戊两人选择同一所学校有：33A 6=种情况，所以满足题意的情况为：3636678++=，故选：B.7．三国时期数学家赵家为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色可供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种颜色的概率是（）A ．320B ．17C ．47D ．57【正确答案】C【分析】先求出所有的涂色方案种数，然后求出只用到四种颜色的涂色种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】先考虑所有的涂色方案种数：区域⑤有5种涂色方法，区域①有4种涂色方法，区域②有3种涂色方法.若区域③和区域①同色，则区域④有3种涂色方法；若区域③和区域①异色，则区域③有2种涂色方法，区域④有2种涂色方法.综上所述，所有的涂色方法种数为()5431322420⨯⨯⨯⨯+⨯=种.接下来考虑只用到四种颜色的涂色方案种数：先从5种颜色选择4种颜色，共45C 种，区域⑤有4种涂色方法，则区域①③同色或区域②④同色，若区域①③同色，则区域②④异色；若区域②④同色，则区域①③异色.此时，不同的涂色方案种数为41125232C 4C C A 240⨯⨯⨯⨯=种.因此，该方案恰好只用到四种颜色的概率是24044207P ==.故选：C.8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若103p <<，则（）A ．()52E X =B ．()218E X >C ．()14D X >D ．()2081D X <【正确答案】D【分析】结合二项分布可计算随机变量X 的分布列，再利用公式可求()E X 、()D X ，最后利用二次函数的性质可求其范围.【详解】随机变量X 可能的取值为2,3.()()202222221221P X C p C p p p ==+-=-+.()()()()11222311122P X C p p p C p p p p p ==-+--=-，故X 的分布列为：X23P2221p p -+222p p -故()()()2222152221322222222E X p p p p p p p ⎛⎫=⨯-++⨯-=-++=--+⎪⎝⎭因为103p <<，故()2229E X <<，而2252221,9298<<，故A 、B 错误.而()()()()22224221922222D X p p p p p p =⨯-++⨯---++，令221122222t p p p ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，因为11032p <<<，故409t <<，此时()()()222041920,81D X t t t t t ⎛⎫=⨯-+-+=-+∈ ⎪⎝⎭，()14D X <必成立，故C 错误，D 正确.故选：D.本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若22ac bc <，则a b <C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd>【正确答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，1a =-，2b =-，显然不满足结论；B.由22ac bc <可知，20c >，由不等式性质可得a b <，结论正确；C.由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，结论正确；D.取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，显然ac bd >不成立，结论错误.故选：BC.10．随机变量X 服从两点分布，若()104P X ==，则下列结论正确的有（）A ．()314P X ==B ．()316D X =C ．()3212E X +=D ．()3214D X +=【正确答案】ABD【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．【详解】因为随机变量X 服从两点分布，()104P X ==，所以()314P X ==，故()()3313,44416E X D X ==⨯=，因此，()()3521212142E X E X +=+=⨯+=，()()332144164D X D X +==⨯=，所以正确的是ABD ．故选：ABD ．11．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M （单位：g ）服从正态分布()2165,N σ，且()1620.15P M <=，()1651670.3P M <<=．下列说法正确的是（）A ．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g 的概率为0.7B ．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g ～168g 的概率为0.05C ．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g 的个数的数学期望为480D ．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g ～168g 的个数的方差为136.5【正确答案】BCD【分析】A.由()2165,M N σ~求解判断；B.由()()1651681621650.50.150.35P M P M <<=<<=-=求解判断；C.由质量大于163g 的个数()600,0.8X B ~求解判断；D.由质量在163g ～168g 的个数()600,0.65Y B ~求解判断.【详解】解：因为()2165,M N σ~，所以()1670.50.30.8P M <=+=，所以A 错误．因为()()1651681621650.50.150.35P M P M <<=<<=-=，所以()1671680.350.30.05P M <<=-=，所以B 正确．()()1631670.8P M P M >=<=，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g 的个数()600,0.8X B ~．所以()6000.8480E X =⨯=，所以C 正确．因为()1651670.3P M <<=，所以()1631650.3P M <<=，又因为()1620.15P M <=，所以()162163P M <<()()()165163165162P M P M P M =<-<<-<0.50.30.150.05=--=，则()1671680.05P M <<=，所以()163168P M <<()()()163165165167167168P M P M P M =<<+<<+<<0.30.30.050.65=++=0.65=，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g ～168g 的个数()600,0.65Y B ~，所以()()6000.6510.65136.5D Y =⨯⨯-=，所以D 正确．故选：BCD12．一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和4个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（）A ．取出1个球，取到红球的概率为37B ．取出2个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为12C ．取出2个球，第二次取到红球的概率为13D ．取出3个球，取到红球个数的均值为97【正确答案】ABD【分析】根据古典概型概率公式可求得A 正确；根据条件概率公式可求得B 正确；将第二次取到红球分为两种情况，将概率加和可求得C 错误；记取到的红球数为X ，计算可得X 每个取值对应的概率，根据均值求法可求得D 正确.【详解】对于A ，取出1个球，取到红球的概率1317C 3C 7p ==，A 正确；对于B ，记第一次取到蓝球为事件A ，第二次取到红球为事件B ，则()432767P AB =⨯=，()47P A =，()()()217427P AB P B A P A ∴===，B 正确；对于C ，若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为321767⨯=；若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为432767⨯=；∴第二次取到红球的概率123777p =+=，C 错误；对于D ，记取到的红球数为X ，则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()432244076521035P X ∴==⨯==，()34343343310818176576576521035P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，()3243424327212276576576521035P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()32161376521035P X ==⨯⨯==；∴取到红球个数的均值为418121459012335353535357⨯+⨯+⨯+⨯==，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．空间中有7个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作__________个平面.（用数字作答）【正确答案】35【分析】利用组合计数原理可得结果.【详解】空间中有7个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，能作的平面的个数为37C 35=个.故答案为.3514．101(2)(1)x x x--展开式中的常数项为__________.【正确答案】10【分析】根据给定条件，确定展开式常数项的构成形式，再借助二项式定理求解作答.【详解】101(2)(1)x x x --展开式中的常数项是10(1)x -展开式的含x 的项与1x-相乘的积，10(1)x -展开式的通项公式11010C ()(1)C ,N,10rrrrrr T x x r r +=-=-∈≤，当1r =时，1210C ()10T x x =-=-，所以101(2)(1)x x x--展开式中的常数项为110(10x x -⋅-=.故1015．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产2000件、3000件、5000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为__________.【正确答案】0.052【分析】记事件1A 、2A 、3A 分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件B 为“所抽的产品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件1A 、2A 、3A 分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件B 为“所抽的产品为次品”，则()10.2P A =，()20.3P A =，()30.5P A =，()10.06P B A =，()()230.05P B A P B A ==，由全概率公式可得()()()310.20.060.30.050.50.050.052k k k P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑.故答案为.0.05216．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于__________.（用一个组合数作答）【正确答案】2040C 【分析】把40(1)x +写成2020(1)(1)x x +⋅+，再利用二项式定理求出20x 项的系数作答.【详解】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于02122220220202020(C )(C )(C )(C )++++ ，可视为20(1)x +按x 升幂展开与20(1)x +按x 降幂展开的两个多项式乘积展开式的含20x 项的系数，即202001222020020119218202020202020202020(1)(1)(C C C C )(C C C C )x x x x x x x x +⋅+=++++++++ 展开式含20x 项的系数，而202040(1)(1)(1)x x x +⋅+=+，40(1)x +展开式中含20x 项的系数为2040C ，所以()()()22201200201192002020202020202020202040C C C C C C C C C =C +++=+++ .故答案为.2040C 四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，某中学高二年级共300人，其中男生150名，女生150名，学校团委对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，男生喜欢观看的人数为90，女生喜欢观看的人数为60.(1)根据题意补全2×2列联表：喜欢观看不喜欢观看合计男生150女生150合计300(2)依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？参考临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.【正确答案】(1)2×2列联表见解析；(2)能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.【分析】（1）根据题设数据确定男女生喜欢、不喜欢观看球赛的人数，即可完成列联表；（2）应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想即可得结论.【详解】（1）依题设，喜欢观看的男生有90人，不喜欢观看的男生有1509060-=人；喜欢观看的女生有60人，不喜欢观看的女生有1506090-=人，列联表如下图示：喜欢观看不喜欢观看合计男生9060150女生6090150合计150150300（2）由22300(90906060)1210.828150150150150χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以依据小概率值0.001α=的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.18．已知函数()()ln ,0,1f x x ax a =-∈.(1)若12a =时，求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]1,2上的最小值.【正确答案】(1)递增区间为(0,2)，递减区间为(2,)+∞；(2)答案见解析.【分析】（1）把12a =代入，利用导数求出()f x 的单调区间作答.（2）利用导数分段讨论函数()f x 在[]1,2上的单调性，再求出最小值作答.【详解】（1）当12a =时，()1ln 2f x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得11()2f x x '=-，当02x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以函数()f x 的递增区间为(0,2)，递减区间为(2,)+∞.（2）01a <<，函数()ln f x x ax =-，求导得1()f x a x'=-，由[1,2]x ∈，得11[,1]2x ∈，当102a <≤时，()0f x '≥，当12,2x a ==时取等号，因此函数()f x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)f x f a ==-，当112a <<时，由()0f x '>，得11x a ≤<，由()0f x '<，得12x a<≤，于是函数()f x 在1[1,)a 上单调递增，在1(,2]a上单调递减，(1),(2)ln 22f a f a =-=-，由(1)(2)ln 20f f a -=-=，得ln 2a =，当1ln 22a <<时，min ()(1)f x f a ==-，当ln 2a =时，min ()(1)(2)ln 2f x f f ===-，当ln 21a <<时，min ()(2)ln 22f x f a ==-，所以当0ln 2a <≤时，函数()f x 的最小值为a -，当ln 21a <<时，函数()f x 的最小值为ln 22a -.19．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2a 是14,a a 的等比中项，5611a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n S .①2n an n b a =⋅；②()()222121nn n n a b a a =-+.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【正确答案】(1)n a n =；(2)答案见解析【分析】（1）先利用题给条件求得等差数列{}n a 的首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）选①利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和n S ；选②利用裂项相消法即可求得数列{}n b 的前n 项和nS 【详解】（1）等差数列{}n a 满足2a 是14,a a 的等比中项，2214a a a ∴=，即()()21113.a d a a d +=+由5611a a +=，可得()()114511.a d a d +++=由()()()()211111345110a d a a d a d a d d ⎧+=+⎪+++=⎨⎪≠⎩，可得111a d =⎧⎨=⎩1(1)n a a n d n ∴=+-=.（2）若选①：2nn b n =⋅，则1212222n n S n =⨯+⨯++⋅ .231212222n n S n +=⨯+⨯++⋅ ()12322222n n n S n +∴=⋅--+++ ()()11121222212(1)2212n n n n n n n n +++-=⋅-=⋅+-=-+-；若选②.()()242121n n b n n =-+111111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭1111111112335572121n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2112212212121n n nn n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.20．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A 充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得()()6130i i i x x y y =--=∑.A 充电桩投资金额x /万元3467910所伏利润y /百万元1.5234.567(1)已知可用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系，求其经验回归方程；(2)若规定所获利润y 与投资金额x 的比值不低于23，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y 与投资金额x 的比值低于23且大于12，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y 与投资金额x 的比值不超过12，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X 表示记分之和，求X 的分布列及数学期望.附.()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i x x y y x y nxyba y bxx x xnx ====---===---∑∑∑∑【正确答案】(1)ˆ0.8 1.2y x =-；(2)分布列见解析，53.【分析】（1）利用给定的数表求出,x y ，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出X 的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】（1）由数表知，3467910 1.523 4.5676.5,466x y ++++++++++====622222221()(3 6.5)(4 6.5)(6 6.5)(7 6.5)(9 6.5)(10 6.5)37.5ii x x =-=-+-+-+-+-+-=∑，因此11662)()ˆ0.83)(307.5(iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ40.8 6.5 1.2a y bx=-=-⨯=-，所以所求经验回归方程为ˆ0.8 1.2yx =-.（2）由数表知，1.52313462===，1 4.5627279310<<=<，因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，X 的可能值为0,1,2,3,4，21113332222666C C 1C 3131322(0),(1),(2)C 155C 155C 155C P X P X P X ⨯⨯============，12222266C 1C 21(3),(4)C 15C 15P X P X ⨯======，所以X 的分布列为：X01234P151525215115数学期望112215()0123455515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.21．设()ln 1f x ax x =++.(1)当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的0x >，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2y x =(2)(],2-∞【分析】（1）当1a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）分离参数得到2ln 1e x x a x +≤-，构造函数()2ln 1e (0)xx m x x x+=->，求导确定函数的最小值即可得到a 的取值范围.【详解】（1）解：当1a =时，()ln 1f x x x =++，则()11f x x'=+，所以，()()112f f '==，所以，当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程为()221y x -=-，即2y x =.（2）解：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0x >，()2e xf x x ≤恒成立，等价于2ln 1e xx a x+≤-在()0,∞+上恒成立.令()()2ln 1e 0xx m x x x +=->，则()2222e ln x x xm x x '+=.再令()222e ln x n x x x =+，则()()2214e 0xn x x x x=++>'，所以()222e ln xn x x x =+在()0,∞+上单调递增.因为12ln2048n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()10n >，所以()222e ln xn x x x =+有唯一零点0x ，且0114x <<.所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>.所以函数()m x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.因为022002e ln 0x x x +=，即02020ln e2x x x =-，即02000112e ln x x x x =，因为0114x <<，则0114x <<，令()ln h x x x =，其中1x >，则()ln 10h x x '=+>，所以，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，由02000112e ln x x x x =可得0220011e ln e ln x x x x =，即()0201e x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为02e1x >，011x >，所以，0201e x x =，可得00012ln ln x x x ==-，所以()()02000000ln 121e21x x x m x m x x x x +-≥=-+=-=，则2a ≤.所以a 的取值范围为(],2-∞.关键点点睛：本题关键点在于对()()2ln 1e 0xx m x x x+=->求导后，把导数构造成新的函数再次求导，借助隐零点求出()()2ln 1e 0xx m x x x+=->的最小值，进而借助恒成立的内容进行解答.22．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由()21k k *-∈N 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为k p （例如：2p 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；3p 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若23p =，当2k =时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和数学期望，并求3p ；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y （单位：元）.（i ）请用k p 表示()E Y ；（ii ）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.【正确答案】(1)分布列见解析，()2E X =，36481p =(2)（i ）()5k E Y ap =，（ii ）答案见解析【分析】（1）由题意可知23,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解3p ；（2）（i ）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion 求出设备升级后单位时间内的利润，即为()E Y ；（ii ）分类讨论求出1k p +与k p 的关系，做差比较大小即可得出结论.【详解】（1）因为2k =，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为23p =，所以23,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()03032110C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132121C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21232142C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()30332183C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为X0123P1272949827控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为()2323E X =⨯=，324153453555212121C C C 333333P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8080321926424324324324381=++==；（2）（i ）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量4a 0设备运行概率kp 1kp -所以升级改造后单位时间内产量的期望为4k ap ；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）kap 3kap 利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为235k k k ap ap ap +=，即()5k E Y ap =；（ii ）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有1k +个元件正常工作，其概率为()()1211C 1k k k k k p p p p --=--；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为()()()()()121122212C 111C 12k k k kk k k k p p p p p p p --+--⎡⎤=-⋅--=--⎣⎦；第三类：原系统中有1k -个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为()()()1121121213C 1C 1kkk k k k k k p pp p p p ---+--=-⋅=-；所以()()()()111111212121C 1C 12C 1k k kk k k k k k k k k k k p p p p p p p p p --+-++---=--+--+-()()21C 121kk kk k p p p p -=+--，则()()121C 121kk k k k k p p p p p +--=--，所以当12p >时，10k k p p +->，k p 单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当12p ≤时，10k k p p +-≤，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为()5k E Y ap =，所以当12p >时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当12p ≤时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出()()()()111111212121C 1C 12C 1k k kk kk k k k k k k k k p p p p pp p p p --+-++---=--+--+-是解题的难点与关键.。

2021-2022学年度高二第一学期数学期中考试模拟卷02测试范围：第1章—第2章第I 卷（选择题）一、单选题1．若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值为（）A ．-1或3B ．1或-3C ．-1或-3D ．1或32．已知向量(2,3,0)a =- ，(0,3,4)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影数量为（）A ．B ．13C ．95D ．95-3．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a = ，AD b = ，AA c '=，则下列与向量A C' 相等的表达式是（）A ．a b c-++ B ．a b c-+ C ．a b c -- D ．a b c+-r r r 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA BC =，E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的正弦值为（）A ．9B ．89C ．9D ．95．如图，点A ､B ､C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，()1,0,0OA = ，()0,2,0OB =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A ．63B 66C ．24D 346．直线l 1:y =ax +b 与直线l 2:y =bx +a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．7．已知直线:40l x my ++=，若圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-8．设实数x ，y 满足4x y +=22222x y x y +-++）A 2B ．4C ．22D ．8二、多选题9．(多选)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（）A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －7＝0C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y －10＝010．以下说法正确的是（）A ．若向量{},,a b c 可是空间的一个基底，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底.B ．空间的任意两个向量都是共面向量.C ．若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，则////l m a b ⇔.D ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u r ，v，且()1,2,2u =- ，()2,4,4v =-- ，则αβ⊥11．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝412．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1AA 1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，则（）A ．11//()ADB B BC +B ．22111111()3A A D A B A B A +-= C ．111()0AC A B AD ⋅-= D ．13AC =第II 卷（非选择题）三、填空题13．直线l 过点A （1，2），且不过第四象限，则直线l 的斜率的最大值为________．14．已知平面α和平面β的法向量分别为()1,1,2a = ，(),2,3b x =-，且α⊥β，则x =________.15．在四棱锥P ­ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA a = ，PB b = ，PC c = ，试用基底{},,a b c 表示向量PG ＝________.16．点()2,1P --到直线l ：()()131240λx λy λ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值为____________．四、解答题17．已知点(1,2,0)A -和向量(3,4,12)a =-.（1）若AB a =，求点B 的坐标；（2）若x 轴上的一点C 满足,2a AC π<>=，求AC 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =.（1）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值；（2）求二面角A PC B --的余弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA =，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，H 在线段PD 上且14DH DP =．（1）用向量AB，AD ，AP 表示向量EH ；（2）求向量EH的模长．20．过点P (1，4)作直线l ，直线l 与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为原点.（1）若△ABO 的面积为9，求直线l 的方程；（2）若△ABO 的面积为S ，求S 的最小值，并求出此时直线l 的方程.21．已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．22．已知圆22:8120C x y x +-+=，直线:20l x ay a ++=．（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||22AB =l 的方程．参考答案1．A 【分析】利用两线垂直的判定有(2)30a a --=，求解即可得a 的值.【详解】由题设，(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=，解得1a =-或3a =.当1a =-时，直线分别为20x y --=、3310x y ++=，符合题设；当3a =时，直线分别为320x y +-=、330x y -+=，符合题设.故选：A 2．D【分析】利用a b b⋅ 求得向量a 在向量b方向上的投影.【详解】依题意，向量a 在向量b方向上的投影为95a b b⋅==- ，故选：D.3．D 【分析】利用平面向量的基本定理求解.【详解】由题意：A C A A AB BC ''=++，AA AB BC =++'- ，c a b =-++ ，a b c =+- ，故选：D.4．A 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出BF 和PE的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图分别以,,AB AD AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2PA =，可得()2,0,0B ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1F ，()1,2,0E ，所以()1,1,1BF =- ，()1,2,2PE =-，所以cos ,9BF PE BF PE BF PE⋅===⋅，设异面直线BF 与PE 所成的角为θ，则cos cos ,9BF PE θ=，所以sin θ故选：A.5．B 【分析】先求出平面ABC 和平面ABO 的法向量，再利用二面角公式求解即可.【详解】因为()0,0,2OC = ，()1,0,0OA = ，()0,2,0OB = ，所以()1,2,0AB =-uuu r，()1,0,2AC =- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩取()2,1,1n =又因为平面ABO 的法向量为()0,0,2OC =，所以6cos 626OC n OC n θ⋅===⨯⋅ 故选：B 6．D 【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可.【详解】对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，由l 2得a >0，b >0，矛盾；故A 错误；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，由l 2得a >0，b >0，矛盾；故B 错误；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，由l 2得a <0，b >0，矛盾；故C 错误；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，由l 2得a >0，b >0.故D 正确故选：D.7．D 【分析】根据圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，可得直线l 过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.【详解】解：因为圆22:6210C x y x y ++-+=，所以圆C 的圆心坐标为()3,1-，又因为圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，所以直线l 过圆心，则340m -++=，解得1m =-.故选：D.8．C 【分析】4x y +=上的点与点()1,1-的距离，从而利用点到直线的距离公式即可求得最小距离.【详解】==4x y +=上的点与点()1,1-的距离，所以最小值为d ==.故选：C.9．AB 【分析】由题设可知直线的斜率为±1，结合直线过的点，由点斜式写出直线方程即可.【详解】由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.故选：AB 10．ABC 【分析】根据基底的定义判断AB ；根据方向向量以及法向量的性质判断CD.【详解】对于A ，向量,a b a b +- 与,a b 共面，则c 与,a b a b +-不共面且,a b a b +- 不共线，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底，故A 正确；对于B ，空间的任意两个向量都是共面向量，故B 正确；对于C ，由方向向量的性质得出////l m a b ⇔，故C 正确；对于D ，因为2v u =-，所以//αβ，故D 错误；故选：ABC 11．AD 【分析】根据点到直线的距离公式求得圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C 2的圆心，从而得出圆C 2的方程.【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.故选：AD.12．CD 【分析】对于A ：由11B B BC B C +=，可判断；对于B ：由空间向量的线性运算得1111A A A D A B BD +-= ，从而有21BD =，2111A B = ，由此可判断；对于C ：由空间向量的数量积运算可判断；对于D ：根据空间向量的线性运算和数量积运算可判断．【详解】解：对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC B C +=，()11//B B BC A D ∴+ ，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-= ，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD = ，又2111A B = ，∴()22111111A A A D A BA B +-= ，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-= ()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅- ，由题知，1AB AD ==，1AA =1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+ 10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确；对于D ：AC AB AD =+ ，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC = ()21AB AD AA ++ 222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112=++211cos6021cos45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD ．13．2【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出.【详解】∵直线l 过点A （1，2），且不过第四象限，∴则直线的l 斜率的最大值为202.10-=-故答案为：214．4-【分析】根据法向量垂直即可求出x 的值.【详解】∵α⊥β，∴0a b ⋅=，即()112230x ⨯+⨯-+⨯=，解得4x =-.故答案为：4-.15．212333a b c-+ 【分析】由空间向量的基本定理求解即可【详解】因为BG ＝2GD ，所以23BG BD = ，又2BD BA BC PA PB PC PB a c b =+=-+-=+- ，所以()221223333PG PB BG b a c b a b c=+=++-=-+故答案为：212333a b c -+ 1613【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A ，P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ，∴22max (21)(11)13d PA ==--+--13.17．（1）(2,2,12)-；（2）103.【分析】（1）根据空间向量的坐标表示即可求解.（2）设(,0,0)C x ，根据空间向量的坐标表示以及数量积即可求解.【详解】（1）因为(2,2,12)OB OA a =+=- ，所以点B 的坐标为(2,2,12)-.（2）设(,0,0)C x ，则(1,2,0)AC x =- ，0AC a ⋅= ，所以3(1)80x --+=，所以813x -=，所以6410493AC =+=.18．（1）13；（2）3.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详解】（1）由条件可知DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系.设1DC =，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,1)PB =- ，(1,0,1)PA =-uur ，(0,1,1)PC =- ，设平面PAC 的一个法向量为111(,,)n x y z = ，则111100PA n x z PC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11x =，则(1,1,1)n = ，所以平面PAC 的一个法向量为(1,1,1)n = ，设直线PB 与平面PAC 所成角为α，所以1sin cos ,3PB n =<>= α，即所求角的正弦值为13.（2）由（1）知(1,1,1)n = ，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z = ，则2222200PB m x y z PC m y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则(0,1,1)m = ，则平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m = ，所以cos ,3m n < ，由图形可知二面角A PC B --.19．（1）1144EH AD AP AB =+- ；（2）5||2EH = ．【分析】（1）根据空间向量关系可表示；（2）利用2211||44EH AD AP AB =+- 转化可求解.【详解】解：（1）313()()424EH EP PH EB BP PD AD AP AB AD AP =+=++=-+-+- 1331124444AD AP AB AD AP AD AP AB =-+-+-=+- （2）22221111||()()||44162EH AD AP AB AD AP AD AP AB AB =+-=+-+⋅+ ()22211||||||162AD AP AD AB AB =+-⋅+ 11125(416)22416224⎛⎫=+-⋅⋅⋅-+= ⎪⎝⎭，5||2EH ∴= ．20．（1）2x +y ­6=0或8x +y ­12=0；（2）8，4x +y ­8=0.【分析】（1）设A (a ，0)，B (0，b )，其中a >0，b >0，则由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a +y b=1.根据已知得到,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）求出S =12×168b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解.【详解】设A (a ，0)，B (0，b )，其中a >0，b >0，则由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a +y b =1.将P (1，4)代入直线l 的方程，得1a +4b=1.(*)（1）依题意得，12ab =9，即ab =18，由(*)式得，b +4a =ab =18，从而b =18­4a ，∴a (18­4a )=18，整理得，2a 2­9a +9=0，解得a 1=3，a 2=32，因此直线l 的方程为3x +6y =1或32x +12y =1，整理得，2x +y ­6=0或8x +y ­12=0.（2）S =12ab =12ab 214a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12×168b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥12×8⎛+ ⎝=12×(8+8)=8，当且仅当b a =16a b，即a =2，b =8时取等号，因此直线l 的方程为2x +8y =1，即4x +y ­8=0.21．（1）117t -<<；（2）37t =时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +->列不等式即可求解；（2）将该方程整理为圆的标准方程，利用二次函数的性质求出半径的最大值以及此时t 的值，再将t 的值代入可得半径最大的圆的方程.【详解】（1）若方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=表示圆，则()()()22244341441690t t t ++--+>整理可得：27610t t --<，解得：117t -<<；（2）由()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=可得：()()()()22222224314314169761x t y t t t t t t ⎡⎤⎡⎤-+++-=++---=-⎣⎦⎣++⎦，设圆的半径为r ，则222316761777t t t r ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭=-，所以当31,177t ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭时，2max 167r =，所以max r =此时圆的方程为2239163147497x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述：当37t =时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为：222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．（1）34a =-；（2）20x y --=或7140x y --=．【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式，即得解；（2）利用弦心距、弦长、半径的勾股关系，求出弦心距为d 即得解【详解】（1）圆C 的标准方程为22(4)4x y -+=，圆心(4,0)C ，半径为2若直线l 与圆C2=，解得34a =-（2）设圆心(4,0)C 到直线l 的距离为d ，则有222||2AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即224d +=，即d=1a =-或7a =-所以直线l 的方程为20x y --=或7140x y --=。

高二数学第二学期期中考试卷本卷满分100分,考试时间90分钟一、填空题（本大题共有11小题，每小题4分，共44分）1．直线y =－3x +1的倾斜角为 .2．过点A(1,－4),且与直线2350x y ++=垂直的直线方程为 . 3．两平行直线3450x y ++=与34250x y +-=间的距离是 ． 4．若方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则k 的取值范围是___________.5．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且一顶点为(0，8)的双曲线的方程 是 .6．已知圆C 的方程(x-2)2+y 2=4,过原点与圆C 相交的弦的中点轨迹是__________.7．设12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是 ．8．已知双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则c:a ＝ .9．椭圆1222=+y x 和双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则实数n 的值是10. 等腰直角三角形的直角顶点是（4，-1），斜边在直线3x -y +2=0上，两条直角边所在的直线方程是 .11. 已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法：①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a =49,b =9,c =40，正确的有 .二、选择题：（本大题共4小题;每小题4分,共16分）12．直线320x y ++=与直线4210x y +-=夹角是 （ ） A.34π B. 4πC. 2arctgD. arctg 12. 3k >是方裎22131x y k k +=--表示双曲线的条件是 （ ） A.充分但不必要 B. 必要但不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.直线1y x =-上的点到圆224240x y x y ++-+=的最近距离是 （ ） A.1 B. 1+ D. 115. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是 ( )A 、198B 、199C 、200D 、20110三、解答题：（本大题共6小题，共40分）P 射出，被x轴反射，反射光线经过点Q(7,1)，16.（6分）已知光线从点(1,5)求入射光线所在的直线方程．21的17. (6分)已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，焦距与长轴长的比为3双曲线过点P(6，6) 求双曲线方程18. (6分)求过点(1,6)M 且与圆22230x y x ++-=相切的切线方程．19. （7分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）内引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程.20.（7分）斜率为2的直线l 被双曲线x y 22321-=截得的弦长为2515，求直线l 的方程.21.（8分）已知动点P 到直线4x =的距离等于到定点1(1,0)F 的距离的2倍， （１） 求动点P 的轨迹方程；（２） 过1(1,0)F 且斜率1k =的直线交上述轨迹于C 、D 两点，已知(2,0)A ，求ACD ∆的面积S ．高二数学参考答案1．120° 2. 3x －2y －11=0 3. 6 4．(-∞,-1)∪(4,+∞)5．1366422=-x y 6. x 2+y 2-2x=0 7．２０ ８. αsec ９. 3± １０．2x+y-7=0或x-2y-6=0 １１. ② １2. Ｂ １3.Ａ １4.Ｄ １5. C16. 解：点B 关于x 轴对称点为C(7,－1), 入射光线所在的直线为AC43-=AC k入射光线所在的直线方程为3x+4y －17=0．17.解：设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲线方程为12922y x -=1 18.解：设直线的方程为y=k(x －1)+6,圆心(－1,0)到直线的距离等于半径221622=++-k k ,解得k=34切线方程为46(1)3y x -=-或10x -= 19.解：设直线与椭圆的交点为（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）,M(2,1)为AB 的中点故x 1+x 2= 4, y 1+y 2 = 2 ，由于点 A 、B 在椭圆上，则 x 12 + 4y 12 = 16, x 22 +4y 22 =16 两式相减得 ∴k AB =-=--2121x x y y 21244)(42121-=⨯-=++y y x x故所求直线方程为x +2y – 4 =020. 解：设直线l 的方程为y x m =+2 将y x m =+2代入23622x y -=得232622x x m -+=() 整理得101232022x mx m +++=()设直线l 与双曲线的两个交点坐标为P x y 111(,)，P x y 222(,)∴+=-=+x x m x x m 12122653102,()·由P P kx x 122121=+-得()()()[]25151225155422122212212⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-x x x x x x1255654310222=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⨯+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥m m () 解得m m 21223==±,∴所求的直线方程是y x =±22321.（１）设动点(,)P x y ，由题设知4x -=化简得动点(,)P x y 的轨迹方程是22143x y +=． （２）过1(1,0)F 且斜率1k =的直线方程为1y x =-代入椭圆方程消去y ， 得 27880x y --=．设1122(,),(,)C x y D x y ，则12127y y x x -=-==而11211122ACD S AF y y ∆=⋅-=⨯=。

高二数学期中模拟试卷2一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图，设两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出两点的距离为．A. B. C. D.2. 若，则A. B. C. D.3. 已知，，则A. B. C. D.4. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.5. 已知点为圆的圆心，则点到直线的距离是6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此动圆恒过定点A. B. C. D.7. 已知集合，，则的元素个数为A. B. C. D.8. 直线与的夹角为A. B. C. D.9. 已知双曲线的实轴长为，离心率为，则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为A. B. C. D.10. 已知空间四边形的各边以及对角线的长都是，点，，分别是，，的中点，下列运算的结果为正数的是A. B. C. D.11. 点在椭圆的左准线上．过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为12. 已知点在圆：上，点在圆：上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 的取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为二、填空题（共4小题；共20分）13. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是．14. 在平面直角坐标系中，圆，圆（为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为．15. 已知，则的值是．16. 已知在中，边上的高与边的长相等，则的最大值为．三、解答题（共6小题；共70分）17. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件产品，求这件产品都在区间内的概率．18. 已知三点、、．（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．19. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．20. 在中，，，．（1）求的长；（2）求的值．21. 如图，在四棱锥中，，，，，．为的中点，点在上，且．（1）求证：；。