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江苏省启东中学2019_2020学年高二数学上学期期初考试试题(2班)

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江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二(2)班数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.若z=1+2i，则=（）A. 1B.C. iD.2.复平面内表示复数z=i（-2+i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（）A. B. C. D.4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是( )A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生”5.已知i是虚数单位，a，b∈R得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.7.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A. B. C. D.8. 已知F 是双曲线C ：x 2-=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（）A. B. C. D.9. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos∠AF 2B =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则的最小值为（ ）A. B. 3 C. 6 D.二、填空题（本大题共6小题，共30分） 11. 设复数，则复数z 共轭的模是______．12. 若命题“p ：∀x ∈R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是______．13. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是______． 14. 设有下面四个命题（1）若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；（2）若复数z ∈R ，则z ∈R ； （3）若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；（4）若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为______（填序号）．15. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．16. 已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 设z 1=2x +1+（x 2-3x +2）i ，z 2=x 2-2+（x 2+x -6）i （x ∈R ）．（1）若z 1是纯虚数，求实数x 的取值范围； （2）若z 1＞z 2，求实数x 的取值范围．18. 已知命题p ：“曲线C 1：=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线C 2：表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．19.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），．（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．20.已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21.设双曲线=1（a，b＞0）的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为．（1）求此双曲线的方程；（2）已知直线y=x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得+=m，求m的值及点C的坐标．22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，A为椭圆的上顶点，P为椭圆上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．若P在第一象限，且，求P的坐标；设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；若，直线AQ与椭圆交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．高二2班数学答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查共轭复数及复数的代数形式混合运算，考查计算能力，利用复数的乘法除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，,则===i．故选C.2.【答案】C【解析】解：z=i（-2+i）=-2i-1对应的点（-1，-2）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时注意等可能事件概率计算公式的合理运用．掷一枚均匀的硬币3次，利用列举法求出共有8种不同的情形，再求出满足出现正面向上的次数恰好为两次的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数恰好为两次的概率．【解答】解：掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，其中满足条件的有3种情形：正正反，正反正，反正正，故所求的概率p=，故选A．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选D.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2-b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=-1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件.故选A．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题.在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，即=，即=，即=，∴弦所在的直线的斜率为.故选D.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选A．8.【答案】D【解析】∣【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．【解答】解：由双曲线C：x2-=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设P（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则∣AP∣=1，∣PF∣=3，∴△APF的面积S=×∣AP∣×∣PF∣=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．9.【答案】D【解析】解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥A F2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴椭圆的离心率e==，故选：D．设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知：F1F2=F2P=2c，又∵F1P+F2P=2a1，F1P-F2P=2a2，∴F1P+2c=2a1，F1P-2c=2a2，两式相减，可得：a1-a2=2c，∵==，∴===4+2+，∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，∴的最小值为6，故选：C．通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．11.【答案】2【解析】【解答】解：复数z=1+i ，则2)1(1|z |22=-+=故答案为2．12.【答案】a ≤1 【解析】 【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档． 若命题“p：∀x∈R，ax 2+2x+1＞0”是假命题，则a=0，或a ＜0，或，进而得到实数a 的取值范围． 【解答】解：若命题“p：∀x∈R，ax 2+2x+1＞0”是假命题， 则∃x∈R，ax 2+2x+1≤0，当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；当a ＜0时，y=ax 2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；当a ＞0时，y=ax 2+2x+1是开口朝上的二次函数， 则函数图象与x 轴有交点，即△=4-4a≥0， 解得：0＜a≤1综上可得：实数a 的取值范围是：a≤1， 故答案为a≤1.13.【答案】【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a ，b ，即可得到双曲线方程． 【解答】 解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x 轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a 2+b 2=13，可得a 2=4，b 2=9．所求双曲线方程为：．故答案为．14. (1)(2) 15. 216.【答案】317.【答案】解：（1）依题意得所以实数x的取值范围是（2）依题意得所以x=2检验：当x=2时，，满足z1＞z2符合题意．所以实数x的取值范围是x=2.【解析】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，是基础题．（1）利用复数的基本概念，列出方程求解即可．（2）利用复数是实数求出x的值，然后判断即可．18.【答案】解：(1)由题意知，从 6 个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1) ，(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3) ，共 15 个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： (A1,A2),(A1,A3),(A2,A3) ，共 3 个∴这2个国家都是亚洲国家的概率P==．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=．【解析】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．（1）从这6个国家中任选2个，基本事件总数是15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数是3，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．19.【答案】解：（1）若p为真：则，解得-4＜m＜-2，或m＞4；（2）若q为真，则(m-t)(m-t-1)＜0，即t＜m＜t+1，∵p是q的必要不充分条件，则{m|t＜m＜t+1}⊊{m|-4＜m＜-2，或m＞4}即或t≥4解得-4≤t≤-3或t≥4.【解析】本题考查了命题真假及充要条件的应用，属于基础题．（1）利用圆锥曲线的性质求出m的范围；（2）若q为真，则(m-t)(m-t-1)＜0，即t＜m＜t+1，由p是q的必要不充分条件，得到{m|t＜m＜t+1}⊊{m|-4＜＜-2，或m＞4}即可求出t的取值范围．20.【答案】解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴，∴．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，得，∴∴w=2-i，以下解法同解法一．（2）∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，∴（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，∵p，q为实数，∴，解得p=6，q=10．解方程x2-6x+10=0得∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意，得c=1，∴a2=b2+1．∵点在椭圆C上，∴，可解得a2=4，b2=3，则椭圆C的标准方程为.（Ⅱ）依题意知直线斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．∵直线与椭圆有两个交点，∴△=48（4k2-1）＞0，即，由根与系数的关系，得．∵∠AOB为锐角，∴，即x1x2+y1y2＞0．∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，，，∴，综上，解得或．∴所求直线的斜率的取值范围为或．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．（Ⅰ）利用已知条件求出c=1，得到a2=b2+1．通过点在椭圆C上，得到，可解椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x1x2+y1y2＞0．判别式的符号，求解k的范围即可．22.【答案】解：（1）由实轴长为4，得a=2，所以渐近线方程为y=x，即bx-2y=0或，取渐近线方程为bx-2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴=，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=mx0，y1+y2=my0，由直线与双曲线方程联立，可得，∴x1+x2=16，∴y1+y2=-4=12，∴，解得x0=4，y0=3，∴m=4，∴C（4，3），m=4．【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=mx0，y1+y2=my0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C点坐标，从而求得m值．【答案】解：设，椭圆：，A为上顶点，P为异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且，联立，解得设，，，若，则，即，，解得．如图，若，则，即，，解得或，若，则M点在x轴负半轴，不合题意．点M的横坐标为，或1，或．设，，，，又设，，，，整理得：，，，，，且，，且，以上两式平方相加，整理得，，或舍去，此时，直线AC的斜率负值已舍去，如图．直线AQ为．【解析】设，联立，能求出P点坐标．设，，，由，求出；由，求出或；由，则M点在x轴负半轴，不合题意由此能求出点M的横坐标．设，推导出，设，推导出，从而，且，，且，由此能求出直线AQ．本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．。

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江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷

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江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷命题人：陈存勤一、选择题：1.已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}，若A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围是 ( )A. (－1，＋∞)B. (－∞，2)C. (－1,2)D. [－1,2]2.若函数f (x )＝⎩⎨⎧>≤---7,7,3)3(6x a x x a x 单调递增，则实数a 的取值范围是 ( ) A.)3,49( B. )3,49[ C. (1,3)D. (2,3)3.设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A. 12 B. 2 C. 3D. 44.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则 ( )A. x －＝4，s 2<2 B. x －＝4，s 2>2 C. x －>4，s 2<2D. x －>4，s 2>25.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 ( )A. 13B. 23C. 14D. 296.如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD ,2AC ＝3AD ，AB ＝2AD ，则sin B=( )A. 63B. 33C.66D.367.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )A. l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B. l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C. l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D. l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面9.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为 ( )A.256 B. 258 C. 253 D. 25410.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围 （ ）A. [5，2 5]B. [10，2 5]C. [10，4 5]D. [2 5，4 5]二、填空题：11.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f )(的解集为________． 12.若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是 .13.若点P 是△ABC 内的一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝0，则S △P AB S △ABC＝________．14.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.15.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.16.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 . 三、解答题：17.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |2a ≤x <3－a }．(1) 若a ＝－2，求B ∩A ，B ∩∁U A ； (2) 若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.18.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18.(1) 求BC 的长； (2) 求tan2B 的值．19.某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区活动才取得学分．某校随机抽取了20位学生参加社区活动的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1) 求抽取的20人中，参加社区活动时间不少于90小时的学生人数；(2) 从参加社区活动时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区活动时间在同一时间段内的概率．20.如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．21.如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角C - EM - N的正弦值；(3)已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．22.已知函数f(x)＝3－2lo g2 x，g(x)＝log2 x.(1) 如果x∈[1，4]，求函数h(x)＝[f(x)＋1]g(x)的值域；(2) 求函数M(x)＝2|)( )(|)()(xgxfxgxf--+的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．江苏省启东中学高二数学期初测试卷一、选择题：1、已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}，若A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围是( ) A. (－1，＋∞) B. (－∞，2) C. (－1,2)D. [－1,2]答案：C 解析：集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝(－1,4)，集合B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}＝(－∞，m )∪(m ＋2，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则⎩⎨⎧m >－1，m ＋2<4，解得m ∈(－1,2)，故选C.2、若函数f (x )＝单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C. (1,3)D. (2,3)答案：B 解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3－a >0且a >1.但应当注意两段函数在衔接点x ＝7处的函数值大小的比较，即7(3－a )－3≤a ，解得a ≥94，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3.故选B.3、设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A. 12 B. 2 C. 3D. 4答案：A 解析：由题意可知函数的最小正周期T ＝2πω≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－0，解得ω≤32，结合选项可知只有A 符合．故选A.4、已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则( ) A. x －＝4，s 2<2 B. x －＝4，s 2>2 C. x －>4，s 2<2D. x －>4，s 2>2答案：A 解析：某7个数的平均数为4，方差为2， 则这8个数的平均数为x －＝18×(7×4＋4)＝4， 方差为s 2＝18×[7×2＋(4－4)2]＝74<2.5、甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 29答案：A 解析：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．所以甲和乙平局的概率为39＝13. ＝36、如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD,2ACAD ，AB ＝2AD ，则sin B ＝( )A. 63 B. 33 C. 66D. 36答案：C 解析：由题意设AD ＝2x ，则AC ＝CD ＝3x ，AB ＝4x .在△ADC 中，由余弦定理可得cos ∠ADC ＝4x 2＋3x 2－3x 22·2x ·3x ＝33，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， 所以在△ADB 中，由正弦定理可得sin B ＝AD sin ∠ADB AB ＝2x ·634x ＝66.故选C.7、在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C 解析：因为A 1B ∥D 1C ，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角为∠AD 1C .因为△AD 1C 为等边三角形，所以∠AD 1C ＝60°.故选C.8、l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A. l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B. l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C. l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D. l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案：B 解析：对于A ，如正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于B ，因为l 1⊥l 2，所以l 1，l 2所成的角是90°，又因为l 2∥l 3所以l 1，l 3所成的角是90°，所以l 1⊥l 3，B 对；对于C ，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C 错；对于D ，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D 错． 9、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为( )A. 256B. 258C. 253D. 254答案：D 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13πr 2h ＝13π×L 24π2×h ＝L 212πh .令L 212πh ＝175L 2h ，得π＝7512＝254.10、设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围是( )A. [5，2 5]B. [10，2 5]C. [10，4 5]D. [2 5，4 5]答案：B 解析：由题意可知，动直线x ＋my ＝0经过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0即m (x －1)－y ＋3＝0经过定点B (1,3)，因为动直线x ＋my ＝0和动直线mx －y －m ＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直，P 又是两条直线的交点，所以P A ⊥PB ， 所以P A 2＋PB 2＝AB 2＝10.设∠ABP ＝θ， 则P A ＝10sin θ，PB ＝10cos θ， 由P A ≥0且PB ≥0，可得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.所以P A ＋PB ＝10(sin θ＋cos θ) ＝2 5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以2 5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[10，2 5]．故选B.二、填空题：11、定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )x <0的解集为________．(－1,0)∪(0,1) 解析：由题意得到f (x )与x 异号，故不等式f (x )x <0可转化为⎩⎨⎧ x <0，f (x )>0)或⎩⎨⎧x >0，f (x )<0，)根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当f (x )>0，x <0时，－1<x <0；当f (x )<0，x >0时，0<x <1，则不等式f (x )x <0的解集是(－1,0)∪(0,1)．12、若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是解析：曲线y ＝1＋4－x 2可化为x 2＋(y －1)2＝4，y ≥1，所以曲线为以(0,1)为圆心，2为半径的圆在y ≥1的部分．直线y ＝k (x －2)＋4过定点P (2,4)，由图知，当直线经过点A (－2,1)时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP ＝4－12＋2＝34，由直线与圆相切得d ＝|－1＋4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512， 则实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.13、若点P 是△ABC 内的一点，且满足P A →＋PB→＋PC →＝0，则S △P AB S △ABC＝_________1314、如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.15、有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________5π16、已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 。

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二(上)第一次质检数学试卷(10月份) (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二(上)第一次质检数学试卷(10月份) (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一次质检数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2√3,a =2，∠B =60°，则∠A =( )A. 120°B. 60°C. 45°D. 30°2. 打靶时，A 每打10次可中靶8次，B 每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A. 1425B. 1225C. 34D. 353. 已知直线l ：y −1=k(x −2)，点A(1,0)，B(0,4)，若直线l 与线段AB 有公共点，则其斜率k的取值范围是( )A. (−1,15)B. (1,3)C. (1,+∞)D. [−32,1]4. 已知{a n }为等差数列，a 2=100，a 6=10，则a 4=( )A. 8B. 7C. 6D. 555. 过点P(−3,4)作圆x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A. 3x +4y −7=0B. 3x −4y +25=0C. 3x −4y +4=0D. 3x −4y =06. 若直线a ，b 是异面直线，b 与c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是( )A. 平行或异面B. 相交，平行或异面C. 异面或相交D. 异面7. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=b1=3，a n+1−a n =b n+1b n=3，n ∈N ∗，若数列{c n }满足c n =b a n ，则c 2015=( )A. 92014B. 272014C. 92015D. 2720158. 在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足b 2+c2−a2=bc ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，a =√32，则b +c 的取值范围是( )A. (1,32)B. (√32,32) C. (12,32)D. (12,32]9. 已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)，已知点P 是直线y =k(x +2)上一动点，过点P 作圆C 的两条切线分别与圆C 相切于M ，N 两点，若四边形PMCN 的面积的最小值为√5，则k 的值为( ) A. ±1 B. ±√2 C. ±√3 D. ±210. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3−4a 2+4a 1=0，则S8S 4=( )A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 过点P(1,2)作直线m ，使直线l 与点M(2,3)和点N(4,9)距离相等，则直线m 的方程为______． 12. 若a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sinA a=cosB b，则角B =______．13. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n=3n+1n+1，则a 2+a 5+a 8b 3+b 7=______．14. 已知在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为______．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且满足a n a n+1=2S n ，数列{b n }满足b 1=16，b n+1−b n =2n ，则数列{bna n}中第______ 项最小．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知向量a =(x,−1)，b =(3,y)，其中x 随机选自集合{−1,1，3}，y 随机选自集合{1,3，9}．(1)求a//b 的概率; (2)求a ⊥b 的概率．17. 如图，几何体E −ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB =CD ，EC ⊥BD ．(1)求证：BE =DE ；(2)若∠BCD =120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM//平面BEC ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =3acosB −ccosB ．(Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，且b =2√2，求a 和c 的值．19. 已知直线l 的方程为mx −y +1−m =0，圆C 的方程为x 2+(y −1)2=5．(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)已知D(−2,0)，E(2,0)为x 轴上的两点，若圆C 内的动点P 使|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．20. 已知{a n }为等差数列，且a 1+a 3=8，a 2+a 4=12(1)求{a n }通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k 的值．21. (本小题满分14分)如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱，PA =AB =2，AD =4，M 为侧棱PC 的中点．(1)求异面直线AM 与PD 所成角的余弦值； (2)求二面角B −PC −D 的余弦值．22.已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n=2a n−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log2a n，求数列{(−1)n b n2}前2n项的和T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinA=asinBb =2×√322√3=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30°．故选：D．由已知及正弦定理可求得sin A的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．2.答案：A解析：解：∵A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次∴A中靶的概率是810=45，B中靶的概率是710，∵A和B是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是45×710=1425，故选A．根据题意先分别做出两个人中靶的概率，看清楚两个人射击是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，相互独立事件同时发生的概率公式是：P(AB)=P(A)P(B).这个公式应用起来比较简单．3.答案：D解析：【分析】本题考查直线的斜率，属于基础题．求出直线y−1=k(x−2)过定点C(2,1)，再求它与两点A，B的斜率，即可得k的取值范围．【解答】解：直线y−1=k(x−2)过定点C(2,1)，∴k AC=1−02−1=1，k BC=1−42−0=−32，∴k∈[−32,1]．故选D．4.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 由等差中项可知a 4=a 2+a 62，由此计算a 4的值．【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 2=100，a 6=10， 得a 4=a 2+a 62=100+102=55．故选：D ． 5.答案：C解析：解：x 2+y 2=4的圆心O(0,0)，半径r =2，∵P(−3,4)，∴线段PO 的中点C(−32,2)，|PO|=√(−3)2+42=5， ∴以PO 为直径的圆C 的方程为(x +32)2+(y −2)2=254，即x 2+y 2+3x −4y =0，把圆C ：x 2+y 2+3x −4y =0与圆x 2+y 2=4相减，得：3x −4y +4=0， ∵直线3x −4y +4=0经过两圆的交点，即切点A ，B ， ∴直线AB 的方程为3x −4y +4=0． 故选：C ．x 2+y 2=4的圆心O(0,0)，求出以PO 为直径的圆C 的方程为x 2+y 2+3x −4y =0，把圆C ：x 2+y 2+3x −4y =0与圆x 2+y 2=4相减，得直线AB 的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 6.答案：B解析：解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，①AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和BB 1是异面直线， A 1B 1和BB 1是相交线；②AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和D 1C 1是异面直线， A 1B 1和D 1C 1是平行线；③AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和CC 1是异面直线， A 1B 1和CC 1是异面线．∴若直线a ，b 是异面直线，b 与c 也是异面直线， 则a 与c 的位置关系是相交，平行或异面． 故选：B ．以正方体为载体，利用空间中线线间的位置关系，能判断a 与c 的位置关系．本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 7.答案：D解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列；数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n =3n ，b n =3n ，又c n =b a n =33n ，∴c 2015=33×2015=272015． 8.答案：B解析：由b 2+c2−a2=bc 得：cosA =b 2+c 2−a 22ab=12，则A =π3，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，可知：B 为钝角，2R =asinA=1，则b =sinB,c =sinC ，b +c =sinB +sinC =sinB +sin(2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin(B +π6)，由于π2<B <2π3,2π3<B +π6<5π6，所以12<sin (B +π6)<√32，b +c ∈(√32,32)，故选B ． 9.答案：B解析：【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属于中档题． 先求出圆的方程，在利用四边形面积求出｜PC ｜的最小值，代入点到直线距离公式，即可求出答案． 【解答】解：设圆C 的方程为(x −a)2+y 2=r 2(r >0)， 代入点(0,0)和(1,1)的坐标有{a 2=r 2(1−a)2+1=r 2，解得{a =1r =1则圆C 的标准方程为(x −1)2+y 2=1，由切线的性质有．由四边形PMCN 的面积的最小值为√5可得｜PC ｜的最小值为√6， 即√k 2+1=√6，解得k =±√2， 故选B ．10.答案：A解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 3−4a 2+4a 1=0，∴q 2−4q +4=0，解得q =2． 则S 8S 4=a 1(1−28)1−2a 1(1−24)1−2=17．故选：A ．11.答案：3x −y −1=0或2x −y =0．解析：解：①当直线l 与MN 平行时， k MN =9−34−2=3，∴直线l 的方程为：y −2=3(x −1)， 化为一般方程为：3x −y −1=0；②当直线l 经过线段MN 的中点C(3,6)时， k PC =6−23−1=2，∴直线l 的方程为：y −2=2(x −1)， 化为一般方程是：2x −y =0；综上，所求的直线方程为3x −y −1=0或2x −y =0． 故答案为：3x −y −1=0或2x −y =0．求出直线l 与MN 平行时和直线l 经过线段MN 的中点时对应的直线方程，再化为一般方程即可． 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线方程以及分类讨论方法的应用问题，是中档题．12.答案：π4解析：解：a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sinA a=cosB b，可得sinAsinA =cosB sinB，可得sinB =cosB ，所以B =π4． 故答案为：π4．直接利用正弦定理以及特殊角的三角函数，化简求解即可． 本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．13.答案：215解析：解：由等差数列的性质可得：a 2+a 5+a 8b 3+b 7=3a 52b 5=32×9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=32×A 9B 9=32×3×9+19+1=215．故答案为：215． 由等差数列的性质可得：a 2+a 5+a 8b 3+b 7=3a 52b 5=32×A9B 9，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：49解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1， BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(2,0，0)，E(0,1，2)，A 1(2,0，4)，D(0,0，0)， EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，4)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，]设平面A 1ED 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +4z =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n ⃗ =(−2,−2,1)， 设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ， 则sinθ=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=43×3=49， ∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49． 故答案为：49．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15.答案：4解析：解：当n =1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n−1=a n−1a n ，两式相减得2a n =a n (a n+1−a n−1)， ∵a n ≠0，∴a n+1−a n−1=2，∴{a 2k−1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+(n −1)×1=n ， ∵b 1=16，b n+1−b n =2n ，∴b n =(b n −b n -1 )+(b n−1−b n -2 )+ (b n−2−b n -3 )+⋯+(b 2−b 1 )+b 1=n(n −1)+16bn an=n +16n−1，利用基本不等式得n =4时n +16n−1最小，∴数列{bna n}中第4项最小．利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．求a n 通项公式时要比较奇数项和偶数项通项特征，求a n 通项公式时用累加法，最后用基本不等式求最值．16.答案：解：由题意，得(x,y)对应的所有基本事件为(−1,1)，(−1,3)，(−1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个． (1)设“a//b ”为事件A ， 则需满足xy =−3，事件A 包含的基本事件有(−1,3)，共1个， 故a//b 的概率P(A)=19．(2)设“a ⊥b ”为事件B ， 则需满足y =3x ，事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个， 故a ⊥b 的概率P(B)=29．解析：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，两个向量平行，两个向量垂直的性质． (1)由于a ⊥b 等价于 a =λb ，即xy =−3，由此求得a//b 的概率．(2)由于a ⊥b 等价于 a ⋅b =0，即3x −y =0，即y =3x ，由此求得a ⊥b 的概率．17.答案：(本小题满分12分)证明：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ， ∵BC =CD ，∴CO ⊥BD ，又已知CE ⊥BD ，∴BD ⊥平面OCE ．∴BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，∴BE =DE ． (2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ， ∵M 是AE 的中点，∴MN//BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB ． 由∠BCD =120°知，∠CBD =30°，∴∠ABC =60°+30°=90°，即BC ⊥AB ， ∴ND//BC ，∴平面MND//平面BEC ， ∴DM//平面BEC ．解析：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，推导出CO ⊥BD ，CE ⊥BD ，从而BD ⊥平面OCE ，再由BD ⊥OE ，由此能证明BE =DE ．(2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ，推导出MN//BE ，DN ⊥AB ，BC ⊥AB ，从而ND//BC ，进而平面MND//平面BEC ，由此能证明DM//平面BEC ．本题考查两线段相等的证明，考查线面平行证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18.答案：解：(I)由正弦定理得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 则2RsinBcosC =6RsinAcosB −2RsinCcosB ， 故sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 即sin(B +C)=3sinAcosB ，可得sinA =3sinAcosB.又sinA ≠0， 因此cosB =13．(II)解：由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，可得accosB =2， 又cosB =13,故ac =6，由b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得a 2+c 2=12，所以(a −c)2=0，即a =c ， 所以a =c =√6．解析：(1)首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC =3×2RsinAcosB −2RsinCcosB ，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．(2)由向量数量积的定义可得accosB =2，结合已知及余弦定理可得a 2+b 2=12，再根据完全平方式易得a =c =√6．本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．19.答案：(1)证明：由mx −y +1−m =0，得y =m(x −1)+1， ∴直线l 必过定点G(1,1)，又12+(1−1)2<5，∴点G 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 相交；(2)解：设P(x,y)，由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得√(x =2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2=x 2+y 2，即x 2−y 2=2，∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)． 由于点P 在圆C 内，则{x 2+(y −1)2<5x 2−y 2=2． 由此得y 2−y −1<0，解得：1−√52<y <1+√52． 故0≤y 2<(1+√52)2=3+√52．∴2(y 2−1)∈[−2,1+√5)．∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−2,1+√5)．解析：(1)利用直线系方程求出直线所过定点，判断定点在圆C 内看到直线l 与圆C 相交；(2)设P(x,y)，由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得到x 2−y 2=2，写出PD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)，结合点P 在圆C 内，得到关于y 的不等式，求解不等式得到y 的范围，进一步求得PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，考查向量数量积的坐标运算，考查推理论证能力及运算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差等于d ，则由题意可得{2a 1+2d =82a 1+4d =12，解得a 1=2，d =2， ∴{a n }的通项公式a n =2+2(n −1)=2n ；(2)由(1)可得{a n }的前n 项和为S n =n(a 1+a n )2=n(n +1)，∵a 1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a 1S k+3，∴4(k +1)2=2(k +3)(k +4)，解得k =5或k =−2(舍去)，故k =5．解析：(1)设等差数列{a n }的公差等于d ，则由题意可得{2a 1+2d =82a 1+4d =12，解得a 1=2，d =2，从而得到{a n }的通项公式；(2)由(1)可得{a n }的前n 项和为S n =n(a 1+a n )2=n(n +1)，再由a k+12=a 1S k+3，求得正整数k 的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题． 21.答案：解：(1)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，D(0,4，0)，P(0,0，2)，C(2,4，0)，M(1,2，1)，∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×2√5=√3010， ∴异面直线AM 与PD 所成角的余弦值为√3010； (2)设平面BPC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，并且m ⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{4y =0−2x +2z =0，令x =1得z =1，y =0， ∴平面BPC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0，1)，设平面DPC 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， ∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,2)，并且n ⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{2a =0−4b +2c =0，令b =1得c =2，a =0， ∴平面DPC 的一个法向量为n ⃗ =(0,1，2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√5=√105， ∴二面角B −PC −D 的余弦值为−√105．解析：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，利用向量的数量积直接求解异面直线AM 与PD 所成角的余弦值；(2)求出平面BPC 的法向量，平面MBD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PC −D 的余弦值．22.答案：解：(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−1，解得a 1=1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n =2n−1．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1．于是数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列．数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=(b 2−b 1)(b 2+b 1)+(b 4−b 3)(b 4+b 3)+⋯…+(b 2n −b2n −1)(b 2n +b 2n−1)=b 1+b 2+⋯…+b 2n=0+1+2+⋯…+(2n −1)=2n(2n −1+0)2=n(2n −1)．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，利用等比数列的通项公式即可得出．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1.数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=b 1+b 2+⋯…+b 2n ，即可得出．。

江苏省启东中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题(无答案)

江苏省启东中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题(无答案)

江苏省启东中学2020～2020学年度第一学期第一次月考高二数学试题（本试卷共160分，考试用时120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知命题∈∀x p :R ，1sin <x ，则p ⌝为 ▲ . 2．椭圆12322=+x y 的焦点坐标为 ▲ . 3．圆:1C 122=+y x 与圆4)1()1(:222=++-y x C 有 ▲ 条公切线.4．“q p ∧为假”是“q p ∨为假”的 ▲ 条件. (在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)5．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 ▲ 命题. 6．若直线0=++m y x 与圆m y x =+22相离，则m 的取值范围为 ▲ .7．已知圆C ：x 2+y 2=1，点A （-2,0）和点B （2，a ），从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是 ▲ . 8．椭圆1422=+ky x 的离心率为21，则k 的值为 ▲ ． 9．过点M (1,1)作直线与椭圆x 216＋y 24＝1交于B A ,两点，则被点M 平分的弦所在的直线方程为 ▲ ．10．已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，21,F F 为椭圆的左右焦点，焦距为c 2，O 为坐标原点，若M 是21PF F ∠的角平分线上的一点，且MP MF ⊥1，则OM 的取值范围为 ▲ .11．若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则b 的取值范围为 ▲ . 12．设F 是椭圆18922=+y x 的右焦点，点)2,1(A ，M 是椭圆上一动点，则MF MA +取值范围为 ▲ .13．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是22，过椭圆上一点P 作直线PB PA ,交椭圆于B A ,两点，且斜率分别为21,k k ，若B A ,两点关于原点对称，则21k k ⋅的值为 ▲ . 14．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 是椭圆的右焦点，BF AF ⊥，]4,12[ππ∈∠ABF ，则椭圆离心率的取值范围为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题14分)已知命题:p 实数m 满足)0(012722><+-a a ma m ，命题:q 满足方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．16．(本小题14分)设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假， 求实数a 的取值范围.17．(本小题15分) 已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直线∈=--+++m m y m x m l (047)1()12(:R ）（1） 证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆恒有两个公共点；（2） 求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程.18．(本小题15分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧1C 和圆弧2C 相接而成，两相接点N M ,均在直线3=x 上，圆弧1C 的圆心是坐标原点O ，半径为5，圆弧2C 过点)0,1(-A .（1） 求圆弧2C 的方程；（2） 曲线C 上是否存在点P ，满足PO PA 22=？若存在，指出有几个这样的点，若不存在，请说明理由.19．(本小题16分)已知椭圆中心在原点、焦点在坐标轴上，且经过点M (1，432)，N (－322，2)． （1）求椭圆的离心率；（2）椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0<a <3)的距离的最小值为1？若存在，求a 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点与上顶点分别为 ,A B ，椭圆的离心率为3，且过点3(1,)． （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，直线,BQ AP 的斜率互为相反数．①求证：直线l 的斜率为定值；②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为12,S S ，求12S S 的最大值．A B Q P x y O l。

江苏省南通市启东市吕四中学2019-2020学年高二期初考试数学试卷

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高二数学试卷注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，请您务必将自己的班级、考号、姓名、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答案卷的规定位置，把姓名、考试号填写在答题卡的相应位置。

2.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

3.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一、单选题1．某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列开始向右读，则选出的第7个个体是（ ）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A ．02B ．13C ．42D ．44 2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．x y =B ．322-=x y C ．21x y = D ．]1,0[,2∈=x x y3．已知函数()sin(2)3f x x π=-，()sin g x x =，要得到函数()y f x =的图象，只需将函数()y g x =的图象上的所有点（ ） A ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移6π个单位得到B ．横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6π个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位得到4．42sin()2sin3sin333πππ-++等于( )A .1 B.21C .0 D.1- 5．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．126．过点（1，2）总可作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的取值范围是A ．23>-<k k 或B ．23<<-kC ．2>kD ．以上都不对7．已知圆锥的母线长为4cm ，圆锥的底面半径为1cm ，一只蚂蚁从圆锥的底面A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ,则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ） A ．4 B ．42 C ．2π D ．π8．函数y=cos(2x+)的图象的一条对称轴方程是( ) (A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=π9．cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ππ-≤≤的值域为( ) A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[－1,1] C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡-⎢⎣⎦10．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．12二、填空题11．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 .12．已知向量()1,a λ=，(),2b λ=，若()()//a b a b +-，则λ=__________． 13．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，若()()14f a f +≤，则实数a 的取值范围是________14．已知3cos()cos sin()sin 5αββαββ+++=，则cos2α= ▲ .三、解答题15．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边,A c C a c cos sin 3+=． （1）求角A ；（2）若32=a ,ABC ∆的面积为3,求ABC ∆的周长．16．已知向量()1,2a =，()3,1b =-． (1)求2a b -的值；(2)若()()3ka b a b +⊥-，求k 的值； (3)若a ，b 夹角为θ，求cos2θ的值．17．如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，E 是QD 的中点．（Ⅰ）求证：QB ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：平面QDC ⊥平面AEC ；（Ⅲ）若1AB =，2AD =，求多面体ABCEQ 的体积．18．已知圆()()22:234C x y -+-=外的有一点()4,1P -，过点P 作直线l . （1）当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角为0135时，求直线l 被圆C 所截得的弦长.19．已知2()2cos32xf x x a ωω=+的图像上相邻两对称轴的距离为2π. （1）若x R ∈，求()f x 的递增区间；（2）若[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值.20．（满分12分）定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。

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