八年级数学等腰梯形的轴对称性江苏科技版
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用心 爱心 专心 初二数学等腰梯形的轴对称性江苏科技版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 等腰梯形的轴对称性
［目标］ 探索等腰梯形的轴对称性及其相关性质。
二. 重、难点： 等腰梯形及其性质和四边形是等腰梯形的条件。
三. 知识要点： 1. 梯形 平面中，有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。
A
B C D E
E D
B C 如：在梯形EBCD中，ED∥BC，EB、CD叫梯形的腰，ED、BC叫梯形的两底，∠EBC、∠DCB、∠BED、∠CDE叫梯形的底角。 ☆ 边与角满足什么条件的四边形为梯形。 ① 只有一组对边平行的四边形为梯形 ② 只有一组邻角互补的四边形为梯形 2. 等腰梯形 （a） 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 （b） 等腰梯形是轴对称图形，过两底的中点的直线是它的对称轴。 （c） 等腰梯形的性质： ① 等腰梯形的对角线相等； ② 等腰梯形在同一底上的两个角相等。 ③ 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（判定定理）
【典型例题】 例1. 如图，有九个点在平面上形成3×3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有（ ） （A）0个 （B）2个 （C）4个 （D）8个 用心 爱心 专心
分析：只能以最长的对角线作为等腰梯形的底边。一共有2条这样长的对角线，而每条对角线可组成2个等腰梯形。所以共有4个。 答：C
例2. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，则梯形ABCD_________（填“是”或“不是”）等腰梯形。
Ａ
Ｂ Ｃ Ｄ
Ｅ
Ｆ 分析：分别作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H；
A B C D E
F G H
由已知易证△ABG≌△DCH，∴ AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形。 答：是
例3. （1）等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是____________。 （2）已知等腰梯形的一个底角等于60° ，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长为___________。 （3）如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB ＝ AD，BD ＝ BC，求∠C的度数。
解：（1）设上底与对角线的夹角为x，则 上底角＝90+x＝180－2x 解得：x＝30 ∴上底角的度数是90+x＝120 （2）延长两腰BA、CD交于一点O，
A B C
D
O
∵底角B＝60 ∴△ADO和△BCO都为等边三角形 用心 爱心 专心
∴AO＝上底AD＝13cm； BO＝下底BC＝37cm； ∴腰AB＝BO－AO＝24 cm，∴周长＝13+37+24+24＝98cm。 （3）设∠C＝x，
∵BD ＝ BC，∴∠C＝∠BDC＝x，∴∠DBC＝180－2x ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC ∵AB ＝ AD，∴∠ADB＝∠ABD＝180－2x，∴∠A＝180－2（180－2x） 又∵∠A与∠C互补，∴180－2（180－2x）＝180－x 解得：x＝72 即∠C＝72
例4. 如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到E，使ADBE，若同时有ACEE，则梯形ABCD是等腰梯形吗?为什么?
A
B C D
E 解：∵ACEE， ∴ACE为等腰三角形。 ∴ACAE，又BC∥AD ∴DACACE（内错角相等） ∴DACE，又ADBE ∴AEB≌ACD ∴CDAB，∴梯形ABCD是等腰梯形。
例5. 如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，DCAB，cmADBC42，CDBD，ABAC，BC边的中点为E。
（1） 判断ADE的形状（简述理由），并求其周长。 （2） 求AB的长。 （3） DEAC与是否互相垂直平分?说出你的理由。
A
B C D
E 解：（1）∵CDBD，E为BC边的中点, ∴在BCDRt中，DE为斜边BC上的中线
∴BCDE21；同理可得BCAE21
又∵cmBCAD22421， ∴ADE为等边三角形。周长cmCADE623。 （2）易证oDECAEDAEB60 用心 爱心 专心
又∵BEBCAE21 ∴ABE为等边三角形， ∴cmAEAB2 （3）是互相垂直平分。∵DACDECAE且EC∥DA ∴四边形AECD是菱形，∴DEAC、相互垂直平分（菱形对角线垂直且互相平分）
例6. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，CH是高，MN是中位线。求证：MN＝CH。
A B
C D
M N
H 证明：过点C作CE∥BD交AB延长线于E，则四边形BDCE是平行四边形。
∴BE＝CD，CE＝BD ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AC＝BD，即AC＝EC 又∵AC⊥BD ∴AC⊥CE，△ACE是等腰直角三角形。
∴)(2121BEABAECH，
又∵)(21CDABMN ∴MN＝CH
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 有下列说法：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的对角线相等；③等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；④有两个内角相等的梯形是等腰梯形。其中正确的有（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 2. 在四边形ABCD中，AB≠DC，给出下列论断：①AB∥DC；②AD＝BC；③∠A＝∠B以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果„„那么„„”的形式，写出一个你认为正确的命题：___________________________________________ 3. 在等腰梯形ABCD中，BCAD，A比C小50，则梯形各内角中最小角的度 用心 爱心 专心
数为________。 4. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，一条对角线长8cm，则梯形的面积为__________。 5. 如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE＝DC，∠A＝100，试求其他三个内角的度数。请问此时ABCD为等腰梯形吗?
A
B C D
E 6. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M是CD的中点，∠1＝∠2；试说明梯形ABCD是等腰梯形。
7. 如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BD⊥CD，AC⊥AB，∠BAD＝120，AD＝5。求等腰梯形ABCD的周长。 A
B C D 用心 爱心 专心
试题答案 1. C 正确的是：①②③ 错误的是：④（反例：直角梯形） 2. 在四边形ABCD中，AB≠DC，如果AB∥DC，AD＝BC那么∠A＝∠C 3. 65 分析：显然A最小，设A＝x，C＝x+50而A与C互补，则x+x+50＝180
解得：x＝65 即A＝65。
4. 2cm328821梯形S 5. 解：∵BC∥AD，DE∥AB ∴四边形ABED为平行四边形。∵∠A＝100 ∴∠BED＝∠A＝100，∠B＝∠ADE＝180－80100， 又∵DE＝DC ∴∠DEC＝∠C＝180－∠DEA＝80，∠EDC＝180－2∠C＝180－280＝20 ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝80+20＝100 由等腰梯形的性质知：此时，ABCD为等腰梯形。 6. 解：∵∠1＝∠2 ∴MBA为等腰三角形，∴MAMB ∵AB∥CD ∴∠CMB＝∠1＝∠2＝∠DMA 又M是CD的中点，即CM＝DM ∴CMB≌DMA，∴BC＝AD ∴梯形ABCD为等腰梯形。 7. 解：延长两腰BA、CD交于一点O，
A B C
D O
∵∠BAD＝120，∴∠OAD＝180－120＝60 又∵AB＝DC，∴∠OBC＝∠OAD＝60 而四边形ABCD是等腰梯形 ∴△ADO和△BCO都为等边三角形 ∴OA＝AD＝5。 ∴AC⊥AB，∴在等边△BCO中，AC也是中线，即AB＝OA＝5 又OB＝10，而BC＝OB＝10 ∴等腰梯形ABCD的周长＝5+10+5+5＝25。
【课后阅读】 在梯形中常用辅助线的位置 （1）过上底一端点，作一腰的平行线（如图 （a））。 （2）过上底两端点，向下底作垂线（如图 （b））。 （3）向上延长两腰构成三角形（如图（c））。
