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等腰梯形有几条对称轴是什么对称
等腰梯形的对称性
等腰梯形具有对称性，它是轴对称图形，但等腰梯形不是中心对称图形。
用直尺量出上底和下底的长，然后分别取上底和下底的中点最后过两个中点画一条直线，这条直线就是等腰梯形的对称轴。
这条线段长度也是等腰梯形的高。
等腰梯形的中位线
三角形中位线定义是连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
由这个定义推理可知，等腰梯形两腰中点的连线是等腰梯形的中位线，更一般的是梯形中位线，就是梯形两腰的中点连线，其长为上下底和的一半，中位线平行与上下底。
等腰三角形的对称性
等腰三角性具有对称性，它是轴对称图形，但是它不关于中心对称，等腰三角形有一条对称轴。
等边三角形是特殊的等腰三角形，由于它的特殊性，它与等腰三角形一样只是轴对称图形，但有三条对称轴，分别是三条角平分线。
课题等腰梯形的轴对称性学习目标与考点分析①了解等腰梯形的有关概念，探索并掌握等腰梯形的性质和一个梯形是等腰梯形的条件；②了解等边三角形的概念并探索其性质。
学习重点1.等腰梯形的定义2.等腰梯形的性质3.等腰梯形的识别学习方法引导、分析、探究学习内容与过程等腰梯形的轴对称性知识点一等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫等腰梯形知识点二等腰梯形的性质（1）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴为过两底中点的直线（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等（3）等腰梯形的对角线相等例1 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，连接AC、BD，则（1）= ；（2）= ；（3）= ；知识点三等腰梯形的识别（1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形一简单说理题例1 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为BC的中点，试说明AE=DE二简单的计算例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AD=BC，DC=BD,AC，求梯形各内角的度数三本节中的数学思想方法例 3 若等腰梯形的三边长分别为5,6,17，则这个等腰梯形的周长为（）A.33B.45C.33或45D.33或34或35四探索题例4 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,E为CD的中点，AE与BC的延长线交于点F。
（1）判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由（2）判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由（3）上述结论对于一般梯形是否成立？为什么？线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴（2）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（3）到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上例1 （1）如图1，已知线段AB，CD⊥AB于点E，AE=BE，点F在CD上，则FB FA （2）如图2，已知线段AB，点C，D满足AC=BC、AD=BD，则直线CD是AB的。
第一章轴对称图形** 等腰梯形的轴对称性漫画新知概览(总结学习规律)知识要点课标要求中考考点节内对应例题节内对应习题等腰梯形的定义和性质等腰梯形的概念和性质(理解)等腰梯形的概念和性质(理解)试练例1;题型典例1、4、5、6、8、9、10；中考典例2.中考变式练2；新题精练1、、3、4、6、7、8、9、10、11；等腰梯形的判定等腰梯形的判定(理解) 等腰梯形的判定(理解)试练例2、3;易错典例1；题型典例2、3、7、11；中考典例1、3.中考变式练1、3；新题精练2、5、12；本节重难点1.重点：等腰梯形的性质和判定2.难点：等腰梯形的性质和判定的应用及有关辅助线的作法.知识全解(享受探究乐趣)知识点1: 等腰梯形的定义和性质(重点)(1)等腰梯形的定义:梯形中,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰,两腰相等的梯形叫做等腰梯形.(2)等腰梯形是轴对称图形，沿着经过两底中点的直线(对称轴)折叠，直线两旁的部分完全重合，说明等腰梯形在同一底上的两个角相等, 等腰梯形的对角线相等．这是等腰梯形的两个重要的性质，它是在等腰梯形中说明角和角相等以及线段与线段相等的重要依据，等腰梯形的性质定理主要有：性质1: 等腰梯形同一底上的两底角相等.性质2: 等腰梯形两条对角线相等.用几何符号语言表述如下：（如图1-5-1）：性质1: 因为在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD，所以∠ABC=∠BCD；性质2: 因为在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD，AC、BD是该梯形的对角线，所以AC=BD．【知识衔接】对上述的定理我们同样可以给以说明：解：（1）过D点作DE∥AB，交BC于E.故有∠ABC=∠DEC．因为AD∥BC，DE∥AB，所以四边形ABED是平行四边形．所以AB=DE，又因为AB=CD，所以DE=DC，所以∠DEC=∠DCE．又∠ABC=∠DEC，所以∠ABC=∠BCD；（2）在△ABC与△DCB中，因为AB=DC，∠ABC=∠BCD，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以AC=BD．【知识警示】⑴等腰梯形同一底上的两底角相等，不能说成“等腰梯形两底上的角相等”；⑵这些性质可以试说明角、线段相等以及判定四边形为平行四边形；（3）等腰梯形具有梯形的所有特征；（4）等腰梯形在同一腰上的两个角不可能相等．【知识拓展】如果等腰梯形的对角线互相垂直，那么等腰梯形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.试练例题1: 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是( ) A．3 B．4 C．2 D．1【思路导引】解决梯形问题一般利用转化思想把梯形中的问题转化到平行四边形和三角形中解决.因此本题中能用到的梯形中常作的辅助线有：⑴平移一腰. 如图1-5-2，本题中过点D作DE∥AB交BC于点E，将梯形转化为一个菱形ABED和一个点等边三角形DEC,我们发现BC=2+2=4.⑵作高.如图1-5-3,本题中分别过点A、D作AE⊥BC,DF⊥BC,交CB于点E、F.于是就将梯形转化为两个直角图1-5-5三角形和一个矩形，我们发现BE=21AB=1，BC=1×2+2=4. ⑶延长两腰.如图1-5-4，本题中分别延长BA 、CD 交于点O.于是又将梯形问题转化为两个等边三角形，我们发现△OAD 和△OBC 都是等边三角形，AO=AD=AB,BC=BO=4.【答案】B【方法】解决梯形的问题时，常通过添加辅助线，将梯形分为平行四边形和一个三角形，知识点2: 等腰梯形的判定 (重点)⑴判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （2）判定定理的说明.已知，如图1-5-5所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C.试说明：梯形ABCD 是等腰梯形.【思路导引】因为∠B 和∠C 不在同一个三角形中，所以可考虑延长BA 、CD 交于点E ，构造一个以∠B 、∠C 为底角的等腰三角形，由于AD ∥BC,则△EAD 也是等腰三角形，从而EB=EC,EA=ED,AB=DC. 【试说明】延长BA 、CD 交于点E ，在△EBC 中，因为∠B=∠C ，所以EB=EC ，因为AD ∥BC ，所以∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C ，所以∠EAD=∠EDA ，所以EA=ED,所以EB-EA=EC-ED,所以AB=DC ，即梯形ABCD 是等腰梯形. 【知识规律】①判定一个梯形四等腰梯形通常有两种方法：其一，定义：两腰相等的梯形是等腰梯形；其二，判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.②等腰梯形的判定步骤：一般是先判定一个四边形是梯形，然后再利用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形. 【知识警示】(1)有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形.;(2)在试说明四边形为等腰梯形时，常直接找所需条件：同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略﹣关键要素：已经试说明该四边形为梯形了吗？【知识拓展】说明一个梯形是否是等腰梯形方法有：①根据定义判断：两腰相等的梯形是等腰梯形；②在同一底图1-5-2 图1-5-3 图1-5-4上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形.试练例题2:如图1-5-6，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，试说明:四边形ABED 是等腰梯形.图1-5-6(人教版8下第19章19.4节P110第10题) 【思路导引】根据ABCD是矩形，可以得到AD=BC，CD=AB，根据折叠，可得AE=AB，BC=EC，这样可得到△ACD ≌△CEA，作DF⊥AC，EG⊥AC，根据全等三角形的对应高相等可得DF=EG，根据平行线间的距离处处相等，可得DE//AC，只要四边形ACED为梯形，再根据AE=CD，进一步可说明梯形ACED为等腰梯形.【解】因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB，AD=BC，根据折叠可知AE=AB，CE=CB，所以AD=CE，AE=CD，又AC=CA，所以△ADC≌△CEA，作DF⊥AC，EG⊥AC，则DF=EG，所以DE//AC，所以四边形ACED是梯形，又AE=CD，所以梯形ACED为等腰梯形.【总结】此题考查了矩形的折叠和等腰梯形的判定，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题．知识点3: 解等腰梯形问题时常用辅助线的作法（重点）梯形是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的，因此梯形中的试说明、计算问题的关键是化归——通过添作辅助线，将梯形中的问题化归为三角形或平行四边形的问题来解决，具体作辅助线的方法如图1-5-7所示:1.作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图⑴所示；2.平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形，如图⑵所示；3.平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图⑶所示；4.如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图⑷所示；5.延长梯形两腰交于一点，若是等腰梯形，则得到两个等腰三角形，如图⑸所示.6.过一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形转化为平行四边形，如图（6）所示；7.作梯形的中位线（这一作法将在本章的1.5节学习），如图7所示．【知识警示】解决梯形问题一般利用转化思想把梯形中的问题转化到平行四边形和三角形中解决.常用的辅助线方法很多，需要根据实际问题进行取舍.试练例题3: 如图1-5-8所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，OB=OC ． 试说明：四边形ABCD 为等腰梯形．ABCDOE【思路导引】过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则ACED 为平行四边形，通过OB=OC 得到一些相等的角，再利用对角线相等的梯形是等腰梯形证得． 【解】过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ， 因为AD ∥BC ，所以四边形ACED 为平行四边形， 所以DE=AC ，又因为OB=OC ，DE ∥AC ， 所以∠DBC=∠ACB=∠DEB ， 所以BD=DE=AC ，即梯形ABCD 的两条对角线相等， 又因为四边形ABCD 是梯形． 所以四边形ABCD 是等腰梯形．【规律】通过添加适当的辅助线把梯形的问题转化为平行四边形和三角形来解决。
1．6 等腰梯形的轴对称性（1）教学目标：1、知道梯形和等腰梯形的概念、等腰梯形的轴对称性及其相关性质；2、知道一个梯形是等腰梯形的判定条件；3、能运用等腰梯形的性质进行计算和说理；4、在等腰梯形的性质和判定条件的探究过程中，进一步学习有条理地思考和表达，体会转化、类比等数学思想方法在解决问题中的作用。
学习准备：剪刀、等腰三角形纸板教学重点：等腰梯形性质教学过程：一、创设情境：1、观察、思考：生活中常见的梯形：梯子、挡风玻璃、水渠截面图……如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB、CD叫梯形的腰，AD、BC叫梯形的两底，∠ABC、∠DCB、∠BAD、∠CDA叫梯形的底角。
有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，叫做梯形.平行的一组对边称为底（上底、下底），不平行的一组对边称为腰.判定一个四边形是梯形要有哪几个条件？2、两腰相等的梯形叫做等腰梯形.判定一个四边形是等腰梯形要有哪几个条件？二、新课讲解：1、尝试、操作：动手剪一个等腰梯形，先小组讨论剪法，再动手，剪出梯形后全班交流，并说说它是等腰梯形的理由。
⑴在等腰三角形纸片上，画底边的平行线，并沿平行线剪去一个小三角形，得到的梯形是等腰梯形吗？⑵在等腰三角形纸片上，从顶角的顶点开始在两腰截取相等的线段、画线，并沿线剪去一个小三角形，得到的梯形是等腰梯形吗？2、探索思考：等腰梯形是轴对称图形吗？它具有哪些性质？如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，那么，EF所在直线是它的对称轴.（注意：对称轴是直线）在梯形ABCD中，∵ AB∥CD，AD＝BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的两个角相等）.（根据下文解题需要，结论不一定要写全）3、讨论、交流（例题教学）：例1 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 、BD 相等吗？为什么？分析：可从等腰梯形的轴对称性说明，也可从“等腰梯形在同一底上的两个角相等”及全等的知识等多方面来说明。
1.6 等腰梯形的轴对称（１）一、知识目标 ：探索并掌握等腰梯形的轴对称性二、引入：如图所示，哪些是梯形？（1） 梯形：只有一组对边平行的四边形．介绍梯形上底、下底、腰、同底上的两个角．（2） 等腰梯形：两腰相等的梯形． 等腰梯形除了两腰相等以外，你还能发现其他特征吗？三、新授 (1) 如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD ，过两底边AD 、BC 的中点E 、F 画一条直线，将等腰梯形ABCD 沿直线EF对折，你发现了什么？等腰梯形是一个轴对称图形，它的对称轴是两底中点连线所在的直线，只有一条对称轴．① 等腰梯形同一底上的两个内角相等；② 等腰梯形的两条对角线相等．三、例题讲解【例1】 等腰梯形的上底和腰相等，而一条对角线和它的一条腰垂直，则梯形各角的度数为 多少？ .【例2】 如下图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=DC ，试说明AC=CE.【例3】 如下图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 为对角线，且AC⊥BD ，AD=3，BC=7，求梯形ABCD 的面积.四、巩固练习1．判断题（1）只有一组对边平行的四边形是梯形（）（2）梯形的内角最多有两个是锐角（）（3）等腰梯形的对角互补（）（4）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形（）（5）如果梯形的一组对角互补，则另一组对角也互补（）（6）延长等腰梯形的两腰交于一点后形成的图形中的三角形一定是等腰三角形（）2．选择题（1）下列说法正确的是（）A．平行四边形是一种特殊的梯形B．等腰梯形的两底角相等C．等腰梯形不可能是直角梯形D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形（2）在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底角相等．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4AD//，AC与BD交于O点，图中全等三角形有（）（3）等腰梯形ABCD中，BCA．两对B．四对C一对D．三对（4）等腰梯形中，下列判断正确的是（）A．两底相等B．两个角相等C．同底上两底角互补D．对角线交点在对称轴上（5）已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是（）A．78°或120° B．102°或60°C．120°或78° D．60°或120°（6）等腰梯形上底长2cm，过它的一个端点引一腰的平行线与下底相交，所得三角形的周长为6cm，则梯形的周长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．9cm3．等腰梯形ABCD中，上底AD等于腰AB，下底BC等于对角线BD，求各内角度数．4.如图4-87，AB、CD为等腰梯形的两底，四边形AEBC是长方形，说明：△ADB≌△AEB．。
数学等腰梯形知识点总结归纳等腰梯形（isosceles trapezium）是一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形。
等腰梯形是一个平面图形，是一种特殊的梯形。
一、等腰梯形的性质1. 等腰梯形的两条腰相等。
2. 等腰梯形在同一底上的两个角相等。
3. 等腰梯形的两条对角线相等。
4. 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。
二、等腰梯形的判定1. 两腰相等的梯形是等腰梯形；2. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3. 对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、等腰梯形的其他相关性质1. 等腰梯形中，高、中线、角平分线重合（即“三线合一”）。
2. 等腰梯形对角线互相垂直。
3. 等腰梯形中位线长是上底加下底和的一半。
四、等腰梯形的面积公式设等腰梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则等腰梯形的面积公式为：面积= (a + b) × h / 2。
五、等腰梯形与三角形的联系等腰梯形可以划分成三个等腰直角三角形。
等腰梯形的上底与下底的垂直平分线即为等腰三角形的高，上下底之间的距离即为等腰三角形的高，等腰三角形的底即为等腰梯形的腰。
等腰梯形的两腰即为两个等腰直角三角形的腰。
六、等腰梯形与平行四边形的联系若等腰梯形上底为0，即为平行四边形。
七、等腰梯形与矩形的联系若等腰梯形两腰垂直于底，则为矩形。
八、等腰梯形与正方形的联系若等腰梯形两腰垂直于底且上底为0，即为正方形。
九、实例解析1. 已知等腰梯形两腰长分别为5cm和5cm，上底长为3cm，下底长为7cm，求等腰梯形的面积。
解：根据等腰梯形的面积公式，面积= (a + b) × h / 2，其中a为上底长，b为下底长，h为高。
因为等腰梯形的两腰相等，所以梯形的高即为腰与上下底垂直平分线的长度。
这里可以使用勾股定理求解高，设高为h，则有h² = 5² - (2)² = 21，所以h = √21cm。
课题第 1 章轴对称图形课时分配本课〔章节〕需 2 课时本节课为第 2 课时为本学期总第课时第 6 节等腰梯形的轴对称性教学目标1.通过探究研究，使学生进一步了解等腰梯形的轴对称性。
2.培养学生的综合思维能力，将等腰梯形的轴对称性灵活的运用到几何证明中。
重点等腰梯形的轴对称性难点等腰梯形的轴对称性运用到几何证明中。
教学方法讲练结合、探究交流课型新授课教具投影仪教师活动学生活动一、复习提咨询上节课我们学习了等腰梯形以及等腰梯形的轴对称性，下面请同学们回忆学习过得内容。
二、新课讲解1.探究研究我们明白，在几何图形中，最简单的图形是三角形，梯形和三角形有着一定的关系，那么等腰梯形和等腰三角形有着紧密的联系。
下面，请同学们四人小组比照等腰三角形的特性，对等腰梯形进行相应的猜想，然后将你们的猜想写在下表的空格中：A在△ABC中假如AB=AC, 假如∠B=∠C那么∠B=∠C 那么AB=ACB CA D在梯形假如AB=DC，假如∠B=∠CB C ABCD中那么∠B=∠C 那么AB=DCA如何样讲明你的猜想是正确的？D EB C 学生回答由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，假设有答不全的，教师(或其他学生)补充．OBC ADE证明：∵∠B=∠C ∴AB=AC∵DE ∥BC ∴∠ADE=∠B ∠AED=∠C ∴∠ADE=∠AED ∴AD=AE∴AB －AD=AC-AE 即BD=CE结论：在同一底上的2个角相等的梯形是等腰梯形。
2. 例题 如图，等腰梯形ABCD 中，点E 、F 分不在两腰AD 、BC 上，且EF ∥DC ，梯形CDEF 是等腰梯形吗？什么缘故？ D CE F AB解：梯形CDEF 是等腰梯形。
因为梯形ABCD 是等腰梯形， 因此∠C=∠D 。
理由：等腰梯形在同一底上的2个角相等。
因为EF ∥DC ，即四边形CDEF 是梯形， 又因为∠C=∠D ，因此梯形CDEF 是等腰梯形。
理由是：在同一底上的2个角相等的梯形是等腰梯形。
D CB A 等腰梯形的轴对称性一、知识要点1、梯形的定义：一组对边平行且不相等的四边形叫梯形。
梯形中，平行的一组对边称为底边，不平行的一组对边称为腰。
2、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3、等腰梯形有性质：① 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线;② 等腰梯形在同一底上的两个角相等；③ 等腰梯形的对角线相等.4、等腰梯形的判定：① 两腰相等的梯形是等腰梯形；② 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.二、巩固提高1、对于等腰梯形，下列说法错误的是A 、只有一组相等的对边B 、只有一对相等的角C 、只有一条对称轴D 、两条对角线相等2、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 是AD 的中点，则BE 与CE 的大小关系是A 、BE ＞CEB 、BE ＜CEC 、BE ＝CED 、无法判断3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = AD ＝DC ，∠B ＝60°，DE ∥AB ，梯形ABCD 的周长等于20cm ，则DE 等于A 、3 cmB 、4 cmC 、5 cmD 、6 cm4、有下列说法：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的对角线相等；③等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；④有两个内角相等的梯形是等腰梯形．其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、在等腰梯形中，有一个内角是72°，则其余三个角的度数分别为6、如图，在梯形ABCD 中，如果DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，DB ⊥AD ，那么∠DBC ＝ °，∠C ＝ °．7、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠A ＝120°，对角线BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是 ；又若AD ＝5，则BC ＝A E D CB A D BC E A DC BE D C BA 8、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝CB ＝3，DB ⊥AD ，求∠A 的度数及梯形的周长．三、延伸拓展9、一个等腰梯形的上底和腰的长都是1，下底的长为2，将这个梯形按下图的方式拼接在一起： …共有八个这样的梯形，则由它们拼接成的图形周长为( )A 、14B 、26C 、32D 、3610、 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠ ，②OA =OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ∆=S DOC ∆，其中正确的是 A . ①② B .①④ C .②③④ D .①②④11、如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ．（1）求证：AF =BE ； （2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．12、如图，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，延长CB 到E ，使BE ＝AD ，若同时有∠E ＝∠ACE ，则梯形ABCD 是等腰梯形吗?为什么?四、能力发展13、等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD ＝3cm , AB ＝4cm , ∠B ＝60°, 求下底BC 的长14、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BED CA B B C E D E F P B A C。
等腰梯形的轴对称性教学目标：1.掌握等腰梯形的概念和性质定理.2.在简单的操作活动中发展学生的说理意识、主动探究的习惯.教学重点：等腰梯形的性质定理及其应用.教学难点：等腰梯形性质定理的探讨、应用.一．知识回顾1．梯形：四边形叫做梯形.2.等腰梯形：梯形叫做等腰梯形.二．动手试一试你能否将一张等腰三角形纸片剪出一个等腰梯形呢？折一折，你知道它有什么性质?1.等腰梯形是图形，是它的对称轴.2.等腰梯形相等.性质证明:如图：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，求证：∠A=∠B，∠C=∠D.几何语言：3．等腰梯形相等。
性质证明:已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，说明AC=BD.几何语言：三.例题证明例1.（1）如图, 在等腰梯形ABCD中，AD∥CB, AB=DC，M是AD的中点，求证：BM=CM.变式（2）如图梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，∠MBC=∠MCBACDMAD CB求证：梯形ABCD 是等腰梯形；例2.如图梯形ABCD 中, AD ∥BC ，AB=DC ,点E 在BC 上, DE ∥AB 且平分∠ADC.问⊿CDE 是什么三角形?请说明理由.例3.如图梯形ABCD 中, AD ∥BC ，AB=DC,∠ACB=40°, ∠ACD=30°(1) ∠B= ，∠D= ，∠BAC= .(2) 如果BC=5cm,连结BD ,求AC 、BD 的长，并说明理由.课堂练习1.下列说法中正确的个数是（ ）（１）一组对边平行的四边形是梯形． （２）等腰梯形的对角线相等．（３）等腰梯形的两个底角相等． （４）等腰梯形有一条对称轴．Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个2.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 边上的点,过点E 、F 分别作BC 的平行线 DE 、FG ，则图中共有 个梯形．3. 如果一个等腰梯形的二个内角的和为 1000 ，那么此梯形的四个内角的度数分别为 ．4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有__ ____对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_____对.C B C B C M GD C BEF A B C21M C BD A A B C D A DD C B A 班级 学号 姓名课后练习1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，BD ＝BC ，∠A ＝100°，则∠C ＝ ，∠ADB= .2.一个四边形的四个内角的度数之比是2：2：1：1，则此四边形形状为 ．3.对于等腰梯形和等腰三角形，下面给出三个结论：（1）至少有两条边相等； （2）都必定有两个相等的锐角；（3）都必定有一条对称轴. 其中正确的结论有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个4．若等腰梯形的两底之差等于一腰长，则腰与下底的夹角等于 （ ）Ａ．150 Ｂ．300 Ｃ．450 Ｄ．6005．关于等腰梯形，下列判断正确的是 （ ）①两底角相等 ②对角线的交点是对角线的中点③对角线的交点在梯形的对称轴上 ④对角线互相垂直A ． ③ ④B ．① ②C ．① ② ③ ④D ．③6.利用图中的网格线，分别以线段MN和PQ 为底，画一个底角为45°的等腰梯形，且使它的另外两个顶点也在格点上。
1．6 等腰梯形的轴对称性（2）教学目标：1、知道一个梯形是等腰梯形的判定条件；2、能运用等腰梯形的性质和判定条件解决有关问题；3、在等腰梯形判定条件的探究过程中，进一步学习有条理地思考和表达，体会转化、类比等数学思想方法在解决问题中的作用。
教学重点：等腰梯形判定教学过程：一、创设情境：等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系.比照等腰三角形的特性，你对等腰梯形还有什么想法？试把你的想法写在下表的空格内：在△ABC中如果AB＝AC，那么∠B＝∠C.如果∠B＝∠C，那么AB＝AC.在梯形ABCD中,AD∥BC⑴如果AB＝AC，那么∠B＝∠C；⑵如果AB＝AC，那么∠A＝∠D.？怎样说明你的猜想是正确的呢？（类比是发现新知、寻找规律、解决问题的一种重要方法.课本假设了等腰梯形与等腰三角形进行类比的情境，引导学生自然而然地提出“当梯形同一底上的两个角相等时，这个梯形会不会是等腰梯形呢”的猜想，同时萌生去探索这一想法是否正确的欲望）二、探索活动：1、探索思考：当梯形同一底上的两个角相等时，这个梯形会不会是等腰梯形呢？如图，梯形ABCD中，AD∥BC，如果∠B＝∠C，问“AB＝DC”成立吗？分别延长BA、CD相交于点E，在△EBC中，∵∠B＝∠C，∴EB＝EC（等角对等边）.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠EDA＝∠C（两直线平行，同位角相等）.∴∠EAD＝∠EDA.在△EAD中，∵∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED（等边对等角）.∴EB－EA＝EC－ED. 即AB＝DC.从而，有等腰梯形的判定方法：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.注意：应用此判定方法的条件有二，①“梯形”，②“同一底上的两个角相等”.2、操作、验证：读句画图，验证猜想.如图，用三角尺在横格纸上画直线和直线，能用图中字母表示的梯形（如梯形ABB1A1、梯形BD D1B1）是等腰梯形吗？为什么？∵BD∥B1D1，即四边形BD D1B1是梯形，∠BDD1＝∠B1D1D＝60o，∴BD＝B1D1，即梯形BD D1B1是等腰梯形.（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）三、例题教学：例2 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，点E、F 分别在两腰AD、BC上，且EF∥DC. 梯形CDEF是等腰梯形吗？为什么？分析：①从已知等腰梯形ABCD你能得到什么（性质）？②四边形CDEF为什么是梯形？③怎样说明梯形CDEF也是等腰梯形（判定）？解四边形CDEF是等腰梯形.在等腰梯形ABCD中，∵AB∥DC，AD＝BC，∴∠D＝∠C（等腰梯形在同一底上的两个角相等）.∵ EF ∥DC ，即四边形CDEF 是梯形，∠D ＝∠C （由上）∴ DE ＝CF ，即梯形CDEF 是等腰梯形. （在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）四、课堂练习： 课本第33页练习1、先要弄清每个三角形纸片三个角的度数，再根据等腰三角形剪一刀得等腰梯形.2、折痕BF 、CE 把原来的直角∠ABC 和∠DCB 平分得到45o 的角.3、先画示意图理清字母顺序，有个大概样子，再参照之准确画图.五、本节课收获：1、等腰梯形的性质：（上节课）⑴等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，这条对称轴是过两底中点的直线；⑵等腰梯形在同一底上的两个角相等；⑶等腰梯形的对角线相等.2、等腰梯形的判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.3、经历了探索活动，提高了说理的能力.六、布置作业：你能说明四边形EABF 也是等腰梯形吗？怎么说明？课本第34页习题1.6 5、6、7 七、教学反思：。
梯形有几条对称轴
若是等腰梯形，有一条对称轴，是上下底中点所在的直线，若是一般的梯形，没有对称轴。
扇形：有一条对称轴，是圆心与弧的中点所在的直线。
五边形：若是正五边形，则有5条对称轴，否则没有。
等腰梯形
1、等腰梯形的两条腰相等。
2、等腰梯形在同一底上的两个底角相等。
3、等腰梯形的两条对角线相等。
4、等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。
判定
1、两腰相等的梯形是等腰梯形；
2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形
定义
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
性质
1、直角梯形其中1个角是直角。
2、有一定的稳定性，但弱于非直角梯形。
判定
1、一腰垂直于底的梯形是直角梯形；
2、有一个内角是直角的梯形是直角梯形。
第一章轴对称图形** 等腰梯形的轴对称性漫画新知概览（总结学习规律）知识要点课标要求中考考点节内对应例题节内对应习题等腰梯形的定义和性质等腰梯形的概念和性质（理解）等腰梯形的概念和性质（理解）试练例1；题型典例1、4、5、6、89、10;中考典例2'中考变式练2;新题精练1、、3、4、6、7、 8 9、 10、 11;等腰梯形的判定等腰梯形的判定（理解）等腰梯形的判定（理解）试练例2、3;易错典例1;题型典例2、3、7、11;中考典例1、3'中考变式练1、3; 新题精练2、5、12;本节重难点1.重点：等腰梯形的性质和判定2.难点：等腰梯形的性质和判定的应用及有关辅助线的作法.和角相等以及线段与线段相等的重要依据，等腰梯形的性质定理主要有: 性质1：等腰梯形同一底上的两底角相等•性质2:等腰梯形两条对角线相等• 用几何符号语言表述如下：性质1:性质2:【知识衔接】对上述的定理我们同样可以给以说明：解：（1）过D点作DE// AB交BC于E.故有/ ABC玄DEC因为AD// BC DE// AB,所以四边形ABED是平行四边形.所以AB=DE又因为AB=CD所以DE=DC所以/ DEC= / DCE 又/ ABC=Z DEC 所以/ ABC=Z BCD（2）在^ ABC与△ DCB中，因为AB=DC / ABC/ BCD BC=CB 所以△ ABC^A DCB 所以AC=BD【知识警示】⑴等腰梯形同一底上的两底角相等，不能说成“等腰梯形两底上的角相等”；⑵这些性质可以试说明角、线段相等以及判定四边形为平行四边形；（3）等腰梯形具有梯形的所有特征；（4）等腰梯形在同一腰上的两个角不可能相等.【知识拓展】如果等腰梯形的对角线互相垂直，那么等腰梯形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.试练例题1:梯形ABCD中，AD // BC, AB=CD=AD=2 , / B=60 ,则下底BC的长是（A . 3 B. 4 C. 2 D. 1【思路导引】解决梯形问题一般利用转化思想把梯形中的问题转化到平行四边形和三角形中解决用到的梯形中常作的辅助线有：⑴平移一腰•如图1-5-2，本题中过点D作DE // AB交BC于点E,将梯形转化为一个菱形边三角形DEC,我们发现BC=2+2=4.知识全解（享受探究乐趣）知识点1：等腰梯形的定义和性质（重点）（1）等腰梯形的定义：梯形中，平行的一组对边称为底（2）等腰梯形是轴对称图形，沿着经过两底中点的直,不平行的一组对边称为腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形（对称轴）折叠，直线两旁的部分完全重合，说明等腰梯形这是等腰梯形的两个重要的性质，它是在等腰梯形中说明角（如图1-5-1 ）:因为在梯形ABCD中,AD // BC,AB=CD 所以/ ABC=/ BCD因为在梯形ABCD中,AD // BC,AB=CD AC BD是该梯形的对角线，所以AC=BD•因此本题中能ABED和一个点等⑵作高•如图1-5-3,本题中分别过点A、D作AE丄BC,DF丄BC,交CB于点E、F.于是就将梯形转化为两个直角1 三角形和一个矩形，我们发现 B E=-AB=1 , BC=1X 2+2=4. 2⑶延长两腰.如图1-5-4，本题中分别延长 BA 、CD 交于点0.于是又将梯形问题转化为两个等边三角形，我们发现△ OAD 和^ OBC 都是等边三角形，A0=AD=AB,BC=B0=4.常通过添加辅助线，将梯形分为平行四边形和一个三角形,知识点2:等腰梯形的判定⑴判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； (2 )判定定理的说明.已知，如图1-5-5所示，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，/ B= / C.试说明：梯形 ABCD 是等腰梯形.图 1-5-5同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略-关键要素：已经试说明该四边形为梯形了吗？【知识拓展】说明一个梯形是否是等腰梯形方法有：①根据定义判断：两腰相等的梯形是等腰梯形；②在同一底【答案】B【方法】解决梯形的问题【思路导引】 因为/ B 和/ C 不在同一个三角形中，所以可考虑延长 为底角的等腰三角形，由于 AD // BC,则^ EAD 也是等腰三角形，从而【试说明】延长BA 、CD 交于点E ，在△ EBC 中，因为/ B= / C,所以/ EDA= / C ,所以/ EAD= / EDA ，所以EA=ED,所以EB-EA=EC-ED,所以AB=DC ，即梯形ABCD 是等腰梯形. 【知识规律】①判定一个梯形四等腰梯形通常有两种方法：定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.②等腰梯形的判定步骤：一般是先判定一个四边形是梯形， 来判定它是等腰梯形. 【知识警示】(1)有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形BA 、CD 交于点E ,构造一个以/ B 、/ C EB=EC,EA=ED,AB=DC.EB=EC ,因为 AD // BC ,所以/ EAD= / B , 其一，定义：两腰相等的梯形是等腰梯形；其二，判 然后再利用 两腰相等”或同一底上的两个角相等” .;(2)在试说明四边形为等腰梯形时， 常直接找所需条件:(重点)图 1-5-图 1-5-上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形 .试练例题2:如图1-5-6，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点B 落在E 处，试说明：四边形ABED 是等腰梯形.（人教版8下第19章19.4节P110第10题） 根据ABCD 是矩形，可以得到 AD=BC CD=AB,根据折叠，可得 AE=AB BC=EC这样可得到△ ACD DF 丄AC, EG 丄AC,根据全等三角形的对应高相等可得 DF=EQ 根据平行线间的距离处处相等，可得DE//AC ,只要四边形 ACED 为梯形，再根据 AE=CD 进一步可说明梯形 ACED 为等腰梯形.【解】因为四边形 ABCD 是矩形，所以 CD=AB , AD=BC , 根据折叠可知AE=AB , CE=CB , 所以 AD=CE , AE=CD , 又 AC=CA , 所以△ ADCCEA ,作 DF 丄 AC , EG 丄 AC ,贝U DF=EG ,所以 DE//AC , 所以四边形ACED 是梯形，又AE=CD ,所以梯形ACED 为等腰梯形.【总结】此题考查了矩形的折叠和等腰梯形的判定， 有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题.知识点3:解等腰梯形问题时常用辅助线的作法（重点）梯形是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的，因此梯形中的试说明、 计算问题的关键是化归一一通过 添作辅助线，将梯形中的问题化归为三角形或平行四边形的问题来解决，具体作辅助线的方法如图 1-5-7所示:1. 作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图⑴所示；2. 平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形，如图⑵所示；3. 平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图⑶所示；4. 如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图⑷所示；5. 延长梯形两腰交于一点，若是等腰梯形，则得到两个等腰三角形，如图⑸所示 .6. 过一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形转化为平行四边形，如图（ 6）所示；7.作梯形的中位线（这一作法将在本章的 1.5节学习），如图7所示.【思路导引】cB【知识警示】解决梯形问题一般利用转化思想把梯形中的问题转化到平行四边形和三角形中解决 方法很多，需要根据实际问题进行取舍.试练例题3:如图1-5-8所示，梯形 ABCD 中，AD // BC ,对角线 AC 、BD 相交于点 0, 0B=0C . 试说明：四边形 ABCD 为等腰梯形.【思路导引】 过D 作DE // AC 交BC 的延长线于E ,则ACED 为平行四边形，通过 0B=0C 得到一些相等的角, 再利用对角线相等的梯形是等腰梯形证得.【解】过D 作DE // AC 交BC 的延长线于E , 因为 AD // BC ,所以四边形 ACED 为平行四边形， 所以DE=AC ,又因为 0B=0C , DE // AC , 所以/ DBC= / ACB= / DEB , 所以 BD=DE=AC ,即梯形ABCD 的两条对角线相等，又因为四边形ABCD 是梯形. 所以四边形ABCD 是等腰梯形.【规律】 通过添加适当的辅助线把梯形的问题转化为平行四边形和三角形来解决。
易错易混辨析易错点 忽略等腰梯形判定定理中隐含条件-----梯形易错典例 如图1-5-9所示，已知△ ABC 中，AB=AC , BD 、CE 分别为/ ABC / ACB 的角平分线，试说明：四 边形BCDE 是等腰梯形..常用的辅助线E图 1-5-【思路导引1 已知△ ABC 中，AB=AC ，可得/ ABC= / ACB , BD 、CE 分别为/ ABC 、/ ACB 的角平分线，然 后证得△BEC ◎△ CDB ，得出EB=DC ，根据等腰梯形的判定，可证明四边形 BCDE 是等腰梯形.【解1在^ ABC 中，因为AB=AC所以/ ABC=/ ACB因为BD CE 分别为/ ABC / ACB 的角平分线， 所以/ BCE=/ CBD 又 BC=CB 所以△ BEC^A CDB 所以BE=CD 所以AE=AD 所以/ AED 玄ADE 所以/ AED 玄ABC 所以 ED// BC. 又BE CD 不平行， 所以四边形BCDE 是梯形. 所以四边形BCDE 是等腰梯形.【误区总结1说明四边形是等腰梯形必须是在梯形的前提下，再说明腰相等。
基础经典全析(乘坐智慧快车) 题型1 等腰梯形的性质和判定 出题方向①： 等腰梯形的计算【题型典例11如图1-5-10，已知在梯形 ABCD 中，DC // AB , AD = BC , BD 平分/ ABC ，/ A = 45°. (1)求/ ABD 的度数；(2 )若AD = 2，求AB 的长.【思路导引1 (1)由题意知道， (2 )由(1)得到三角形ABD【解1 (1)因为ABCD 是梯形， 所以/ ABD=30 .(2) / A = 60°, / ABD=30 ,所以△ ABD 是直角三角形 根据“30直角边所对的边等于斜边的一半”得到AB=4.【规律1等腰梯形中如果底角有 60。
的角，则等腰梯形中含有等腰三角形和直角三角形，方便简化运算 .出题方向②：等腰梯形对称性的应用【题型典例21如图1-5-11，在梯形ABCD 中，AD// BC E 、F 分别是AD BC 的中点，且EF 丄BC,则梯形ABCD ________ 填梯形ABCD 是等腰梯形，则/ A= / ABC= 60，而BD 平分/ ABC ,则/ ABD=30 . 是直角三角形•可以求出BD 的长.且AD = BC,则ABCD 是等腰梯形.所以/ A= / ABC= 60，又因为BD 平分/ ABC ,图 1-5-图 1-5-“是”或 【思路导引】 平分线，所以以梯形ABCD 是等腰梯形. 【答案】是【方法】利用轴对称性的性质解题,是一种常用的方法.在解题过程中注意需要讲解清楚等腰梯形的判定3】如图1-5-12,梯形ABCD 中，AD // BC ,点M 是BC 的中点，且MA = MD .试说明：四边形ABCD要试说明四边形 ABCD 是等腰梯形，就要试说明 AB = DC.我们可通过试说明△ AMB DMC 来MA = MD ,△ MAD 是等腰三角形, / DAM =/ ADM . AD // BC ,/ AMB =/ DAM , / DMC =/ ADM . / AMB =/ DMC .又因为点M 是BC 的中点，所以 BM = CM . 所以△ AMB ◎△ DMC . 所以 AB = DC ,所以四边形ABCD 是等腰梯形.构造辅助线简单计算4】如图1-5-13，等腰梯形ABCD 中，AD / BC , / B = 45° AD = 2, BC = 4,则梯形的面积为 （）因为AD// BC, EF 丄BC,所以EF 丄AD.因为E 、F 分别是AD BC 的中点，所以 EF 是AD BC 的垂直 A 、D 关于直线EF 对称，B C 关于直线EF 对称，所以线段AB 、CD 关于直线EF 对称，所以AB=CD 所出题方向③:【题型典例 是等腰梯形.【思路导引】 实现预期目标【解】因为 所以 所以 因为 所以 所以题型2梯形辅助线添加技巧 出题方向①： 【题型典例C“不是”）等腰梯形.A . 3B . 4 C. 6 D. 8【思路导引】过点A、D分别作AE丄BC、DF丄BC,则四边形AEFD是长方形，从而EF = AD = 2;易知△ ABE1◎△ DCF ,由 BC = 4 得 BE = FC = 1;再由/ B = 45° / AEB = 90° 得 AE = BE = 1 ,故 S 梯形 ABCD = - (AD + BC) AE1=—(2 + 4) 1 = 3，因此，选 A .2【答案】A【方法】梯形的问题往往通过作辅助线，将其转化三角形、平行四边形、长方形等问题来解决，本题中就是将其 转化为两个等腰直角三角形和一个矩形，从而求出该梯形的高，使得问题得以顺利解决. 出题方向②：构造辅助线简单试说明 ■ 1如图1-5-14 , E 是梯形ABCD 中腰DC 上的中点，试说明：S, ABE 丄S 梯形ABCD--2【思路导引】 过一腰中点E 作另一腰AB 平行线MN ，构造△ EMD 和^ ENC 全等. 【解】过E 作MN // AB 交BC 于N ,交 AD 的延长线于 M . 因为△ ABE 与四边形ABNM 同底同高,・1所以 S ；］AB E■ 2S四形 ABNM因为/ 1 = / C ，/ M= / 2, DE=CE , 所以△ EMD ENC .■ 1所以S 沁.芋梯形ABCD【方法】我们通过作辅助线得到上面题目的解决方法, 形分别转化为与之面积相等的三角形和四边形进行计算其本质就是运用了转化的数学思想， 通过割补的方法将梯题型3网格中的等腰梯形【题型典例6】如图1-5-15,图①是等腰梯形 ABCD , (1) 请你在图①、图②的梯形ABCD 中各画一个与 形的边(含顶点)上； (2)选择(1 )中所画的一个三角形说明它与 △ ABD 全等的理由.【题型典例5】其中AD // BC , AB=DC .图②是与图①完全相同的图形.△ ABD 全等但位置不同的三角形，使三角形的各顶点在梯 图 1-4-C【思路导引】（1）首先可以知道，另一条对角线所分得的 △ ACD 就是它的一个全等三角形，然后再从AB 的平行线交BC 于点E , △ BED 就又是一个全等三角形；（2）利用全等三角形的判定试说明即可•如图①中，可利用边角边定理来试说明. 【解】（1）如图1-5-16（2）证法1:如图①，在等腰梯形 ABCD 中，AD // BC , 所以/ BAD= / CDA .AD EBBD DB综合创新探究题型4生活中的等腰梯形 【题型典例7】如图1-5-17,用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形（提供的火柴棒全部用完） 根数的火柴棒不能围成梯形的是（）I 」图①图 1-5-15图©D 点作L.-LJm 21■ Ml ■ T -l, HI ■耳II(叫[il ■V[Il图 1-5-16■ —:—:£ :亠t 1 W ・ II图②在^ ABD 和^ DCA 中,AB DC BAD CDA AD DA所以△ ABD ◎△ DCA .证法2:如图①，在等腰梯形 ABCD所以AC=DB .中，AD // BC ,在^ ABD 和^ DCA中,AB DC DB AC 所以△ ABD ◎△ DCA .ADDA证法3:如图②，在 在等腰梯形ABCD 中, 所以/ ADB= / EBD .BC 上取一点E , AD // BC ,使BE=AD ，连接DE .在^ ABD 和^ EDB 中,ADB EBD 所以△ ABD ◎△ EDB .（创新题）,下列5:D\~S ]1 ------ …r■JIII[|| [|口 r_tllM IV I,>L -i J「11 ni:A':Q !'1[||*2ir 药! rj :'二 F: ___ . ■ J ___ L ___ i ___ h ___ ( ____梯形设梯形的一条对角线为 X ，如图1-5-18 ,C图 1-5-18题型5 一题多解法-----谈梯形常用辅助线【题型典例8】如图1-5-19所示，已知 ABCD 是梯形（图1）, AD // BC ，/ B=/ C ,图图 1-5-19【思路导引】 在梯形中添加辅助线的方法很多，具体试说明时，必须根据题目中的条件和图形，灵活运用三角形 和平行四边形的有关知识.【解】方法一：平移梯形的一腰，使梯形问题转化为平行四边形和三角形来解决.理由：如图2所示，过点 D 作DM // AB 交BC 于点M . 因为 AD // BC ,所以四边形ABMD 是平行四边形. 所以 AB=DM , / B= / DMC . 又/ B= / C ,所以/ DMC = / C . 所以 CD = DM ，即 AB=CD .方法二：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化成矩形和直角三角形来解决. 理由：如图3所示，过A 、D 分别作AE 丄BC , DF 丄BC ,垂足分别为 E 、F ，所以AE // DF . 又 AD // BC ,所以四边形AEFD 是矩形. 所以AE=DF . 又/ B= / C ,DA：；!\"I \\nf )A 、5【题眼直击】【思路导弓A 、 5根时，可以上底1根，下底2根，腰各1根，如图，梯形 ABCD 中，AD=BC=CD , / A= / B=60°于是有 1 < x < 3, 0< X < 2,那么1< X < 2，所以能围成；B 、 6根时，若上底1 成；C 、 7根时，可以上底D 、 8根时，可以上底 根，下底3根，腰各1 根，于是有2V x < 4, O v x < 2，那么就有2V X V 2，无解，不能围 1根，于是有2< x < 4, 1<x < 3，那么2< x < 3,所以能围成；1根，于是有3< x < 5， 1< x < 3，那么3< x < 3，所以不能围成, 但是也可以是上底 1根，下底2根，腰各2根，于是有1 <x < 5, 1< x < 3,那么 故选B . 【答案】B2根，下底3根，腰各 2根，下底4根，腰各 1< x < 3， 所以能围成.试说明: AB=CD .所以△ ABEDCF (AAS ). 所以AB=CD .方法三：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决. 理由：如图4所示，延长BA 、CD 相交于点N . 因为 AD // BC ,所以/ NAD = / B , / NDA= / C . 又/ B= / C ,所以/ NAD = / NDA . 所以 NB=NC , NA=ND . 即 NB — NA=NC — ND . 所以AB=CD .方法四：过梯形下底的一个顶点作一腰的平行线与上底的延长线相交， 理由：如图5,可过点B 作BE // CD 交DA 的延长线于点 E . 因为 AD // BC , 所以四边形EBCD 是平行四边形.所以 BE=CD , / E= / C ，/ EAB= / ABC . 又/ ABC= / C , 所以/ E=/EAB . 所以 AB=BE=CD . 题型6开放探究题【题型典例9】如图1-5-20所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD / BC , DE 丄BC 于点E , BF 丄AE 于点F ，请你添加 一个条件，使 △ ABFCDE . (1) 你添加的一个条件是 _____ ; (2) 请写出试说明过程.【题眼直击】等腰梯形 【思路导引】(1 )如 (2)根据等腰梯形的性质利用【解】(1) AE=BE ; (2)试说明：因为AE=BE , 所以/ EAB=/ EBA ; 又 AD // BC , AB=DC , 所以/ EBA=/ C ; 所以/ BAF = / C ; 又 DE 丄 BC , BF 丄 AE , 所以/ AFB = / CED=90° ; 所以△ ABFCDE .【总结】直角三角形全等有 5种方法:SSS,SAS,AAS,ASA,HL;在确定什么方法试说明确定时 ，需要读懂题意 选择合 理准确简便的方法.使梯形问题转化为平行四边形来解决.，全等三角形； AE=BE ，答案不唯一；AAS 判定△ ABF ◎△ CDE .CB图 1-5-【答案】(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半1⑵ 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AC,BD 为对角线，所以AC=BD=6因为ACI BD,所以S 等腰梯形ABCD =一 BD-AC=S2△ AC=16X 6=18.2题型8动态问题【题型典例 11】如图 1-5-23 所示，在梯形 ABCD 中，AD // BC , / B 90 , AB 14cm , AD 18cm , BC 21cm , 点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，如 果P , Q 分别从点A , C 同时出发，设移动时间为t 秒，求t 为何值时，梯形 PQCD 是等腰梯形？【题眼直击】 梯形，等腰梯形，动点；题型7阅读理解----等腰梯形的面积 【题型典例10】阅读下面题目及解答过程:1如图1-5-21，在四边形ABCD 中，对角线AC 丄BD 垂足为P .试说明S 四边形ABCDAC-2BD.11解：因为 AC 丄 BD 所以ACD =_AC ・ PD, S ^AB(= - AC -22BP,1 1所以 S 四边形 ABCD =AC+S A AB (= — AC- PD+—AC- BP=2-AC(PD+PB) =1A C- BD.2 2解答下列问题:(1) 上述解法得到的性质可叙述为⑵ 如图1-5-22，在等腰梯形 ABCD 中，AC 丄BD , AC = 6cm ，利用上述性质求等腰梯形ABCD 的面积.【题眼直击】AC 丄BD,所以等腰梯形，对角线互相垂直，面积；由阅读材料可知：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.梯形1$等腰梯形ABCD = — BD • AC=.又由等腰梯形的性质易知BD=AC=6于是冋题解决.2 ABCD 中，对角线图 1-5-f)\) \图 1-5-【思路导引】如图，因为AD // BC，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形PQCD是等腰梯形，则可以从QN MC2中得到解决.特别需要注意的是 P , Q 的运动方向是相反的.【解】设P , Q 运动到如图位置时，梯形 PQCD 是等腰梯形，平移 AB 到PN , DM 位置，由平移的性质，得BC BM BC AD 21 18 3(cm). BQ AP BQ t (21 2t) 3t 21 , 3.【方法】 说明一个梯形是等腰梯形，一般是分两步先证是梯形，再证是等腰梯形；在试说明时需要注意：有两个 内角相等的梯形不一定是等腰梯形，如直角梯形.备战中考 中考解读本节内容是中考中常考点之一，主要考查利用等腰梯形的性质定理和判定定理进行有关计算和试说明，考查 的形式以填空题、选择题、解答题为主 .学习本节的基本思路是把梯形转化为三角形和平行四边形问题解决，转化的关键是合理地添加辅助线，所以应熟记解决梯形问题常用的他积分周线的方法.考法一等腰梯形的判定【中考典例1】如图1-5-24,在梯形ABCD 中，AD// BC ,且AD=DC ，对角线BD 平分/ ABC . 试说明：梯形 ABCD 是一个等腰梯形.【思路导引】 要证梯形ABCD 是一个等腰梯形，只要试说明 AB=DC 即可. 【解】因为AD // BC ,所以/ CBD= / ADB 因为BD 是/ ABC 平分线 所以/ CBD= / ABD 所以/ ABD= / ADB 所以AB=AD 因为AD=DC 所以AB=DC所以梯形ABCD 是一个等腰梯形.【中考变式练】1.如图1-5-25，在□ ABCD 中，E 是BC 的中点，且/ AEC= / DCE ，则下列结论不正确ADB图 1-5-25QN MC 又 QN BN 所以3t 21 即t 8.所以t 8时，梯形PQCD 是等腰梯形.(2011郴州中考 23题8分)的是()A 、S °AFD =2S △EFB1 BF= 一 DFC 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、/ AEB= / ADC(2011达州中考 5题3分)【答案】A211 【思路导引】 在口ABCD 中，E 是BC 的中点，△ BEFDAF,BE=_AD, BF= — DF,且/ AEC= / DCE ，四边形AECD22是等腰梯形,易得 / ABE= / ADC= / AEB= / ADC.故选A.考法二等腰梯形的性质【中考典例2】如图1-5-26 ,等腰梯形ABCD 中，AD // BC , AB // DE ,梯形ABCD的周长为 .(2011桂林中考16题•分)【中考变式练】2•如图1-5-27 ,是一块梯形铁片的残余部分， 量得/ A=100 ,则梯形残缺的底角的度数是考法三等腰梯形的性质和判定综合【中考典例3】如图1-5-28，在等腰△ ABC 中，点D 、E 分别是两腰 AC 、BC 上的点，连接 AE 、BD 相交于点0, / 1 = /2.(1 )试说明：OD=OE ;(2)试说明：四边形 ABED 是等腰梯形；由AB// DC BE// AD,即可证得四边形 ADEB 是平行四边形，则可得 DE=4,即可求得^ BEC 的周长.即：因为 AB // DC , BE // AD , 【思路导引】 的周长为26, 所以四边形ADEB 是平行四边形，所以 AD=BE , AB=DE , 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以BC=AD , 因为梯形ABCD 的周长为26 ,所以 AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26 因为DE=4 ,所以 BE+EC+BC=18 . 故答案为：18. 【答案】18【总结】此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质. 结合思想的应用.此题难度不大, AD=BE AB=DE 又由梯形 ABCD解题的关键是整体思想与数形的周长为26, BE=4,贝^厶DEC【答案】 【思路导引】梯形两底平行，梯形残缺的底角与/ 底角=180° -/ A=80 ° .80°(2011南宁中考14题•分)A 是同旁内角所以两角互补。
