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第十六章压杆稳定

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第十六章 压 杆 稳 定 一、内容提要 1. 概念 稳定平衡 构件受力作用且经干扰后能保持原有平衡状态，称之为稳定平衡。 失稳 构件受力作用且经干扰后不能保持原有平衡状态，构件为不稳定平衡，即为压杆丧失稳定性，简称失稳。 临界力 临界平衡状态时作用在压杆上的压力。 2. 临界力或临界应力 细长压杆用欧拉公式

22)(lEI

Fcr 22Ecr

中长压杆用经验公式 σcr=a－bλ2 3. 压杆稳定计算 稳定条件

σ=AFN≤[σ] 利用稳定条件可解决三方面问题 1. 压杆稳定校核 2. 计算压杆或结构的许用荷载 3. 确定压杆截面尺寸 二、典型例题解析 例16-1 图16-1所示压杆均为圆形截面细长压杆，各杆所用的材料及直径均相同。当压力从零开始以相同的速率增加时，问哪根杆最先失稳？

图16-1 知识点 压杆的临界力与失稳 解 临界力小的杆首先失稳。各杆均为细长压杆，临界力均用欧拉公式计算

AEFcr2

2

由已知条件可知各杆EA均相同。所以λ最大者临界力最小，杆最先失稳。 λ=il 各杆i均相同，只需比较μl的大小。 a杆：μl=2a b杆：μl=1.3a c杆：μl=1.12a a杆的μl最大，即λ最大，a杆最先失稳。 例16-2 图16-2a为一螺旋千斤顶，最大承载压力FP=120kN，材料为Q235钢，[σ]=80MPa，丝杠长l=500mm，丝杠为圆形截面（轧制），直径D=52mm，试校核其稳定性。 图16-2 知识点 压杆稳定性校核 解 （1）计算柔度 丝杆可简化为下端固定上端自由的压杆，见图16-2b

μ=2 i=mmmmd134524

柔度λ=135002il=77＜100 属于中长杆 (2) 稳定性校核 查教材表16-4得 =0.801 [σ]=0.801×80MPa=64.08MPa

工作应力 σ=235214.3410120AFPMPa=56.5MPa＜64.08MPa 稳定性满足要求. 三、思考题提示或解答 16-1 图示矩形截面杆，两端受轴向压力F作用。设杆端约束条件是：在xy平面内两端视为铰支；在xz平面内两端视为固定端。试问该压杆的b与h的比值等于多少时，才是合理的？ 原图16-13 思 16-1图 提示 在xy平面内弯曲时z为中性轴；在xz平面内弯曲时y为中性轴。使b与h的比值最合适时两个平面内的临界力相等。b/h=0.5 16-2 有一圆截面细长压杆，试问：（1）杆长增加一倍；（2）直径d增加一倍。临界力各有何变化？ 提示 按欧拉公式分析。 （1）杆长增加一倍时，临界力为原来的1/4 （2）直径d增加一倍时，临界力为原来的16倍。 16-3 根据柔度大小，可将压杆分为哪些类型？这些类型压杆的临界应力σcr计算式是什么？分别属于什么破坏？ 解答 根据柔度大小，可将压杆分为细长、中长、短粗三类；

细长压杆临界应力用欧拉公式 σcr=22E 中长压杆临界应力用经验公式 σcr=a－bλ2 短粗压杆临界应力用极限应力 σcr=σs或σcr=σb 16-4 图示各种截面形状的中心受压直杆两端为球铰支承，试确定在压杆失稳时，将绕横截面的哪根轴转动。 原图16-14 思 16-4图 提示 压杆失稳时将绕惯性矩最小的轴转动。 16-5 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪个杆的临界力最大？ 原图16-15 思16-5图 解答 柔度λ与临界力成反比，柔度λ最小的杆临界力最大。 λa=4l/i λb=5l/i λc=4.9l/i λd=4.5l/i λmin=λa=4l/i 所以a杆的临界力最大. 16-6 试判断以下两种说法是否正确？ （1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。 （2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。 解答 （1）正确；（2）不正确 16-7 何为折减系数？它随哪些因素变化？ 提示 折减系数就是稳定系数；它随材料、柔度、截面类型而变。 16-8 何为柔度？柔度表征压杆的什么特性？它与哪些因素有关？ 提示 柔度表征压杆的长细特性；它与压杆的支承情况、长度、截面形状及尺寸有关。 四、课后习题解答 题16-1～16-5为计算临界力 16-1两端铰支的№22a工字钢的细长压杆。已知杆长l=6m，材料Q235钢，其弹性模量E=200GPa。试求该压杆的临界力。 原图16-16 题16-1图 解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 两端铰支 μ=1 查型钢表得 Imin=225cm4

Fcr=NlEI2343222)1061(102251020014.3)(=123kN 16-2 一端固定一端铰支的圆截面细长压杆。已知杆长l=3m，d=50mm，材料Q235钢，其弹性模量E=200GPa。试求该杆的临界力。 原图16-17 题16-2图 解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 一端固定另一端铰支 μ=0.7

圆截面的惯性矩 I=644d

Fcr=NlEI2343222)1037.0(645014.31020014.3)(=137kN 16-3 图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径d及所用材料均相同，且二杆均为细长杆。问：当FP从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑图示平面） 原图16-18 题16-3图 解 (1) 求每根杆的压力 取B点研究，如题解16-3图。 题解16-3图 由平衡方程 ∑Fx=0 得 FNAB cos45°－FNBC cos30°=0 ∑Fy=0 得 FNAB sin45°＋FNBC sin30°－FP=0 解方程得 FNAB=0.896FP FNBC=0.732 FP 即 FNAB=1.22 FNBC (2) 求每根杆的临界力

FcrAB=22)(ABlEI FcrBC=22)(BClEI 由于两杆的μ EI均相同，所以 22ABBCcrBccrAB

l

lFF

=2

(3) 判断失稳 压力先达到临界力的杆先失稳 当BC杆上的压力达到临界力时 FNBC= FcrBC BC杆开始失稳时。 此时 AB杆的压力为 FNAB=1.22 FNBC=1.22 FcrBC＜FcrAB AB杆仍处于稳定平衡状态 所以BC杆先失稳。 16-4 图示压杆由Q235钢制成，材料的弹性模量E=200GPa。在xy平面内，两端为铰支；在xz平面内，两端固定。试求该压杆的临界力。 原图16-19 题16-4图 解 查表可知Q235钢的λP=100 (1) 在xy平面内，中性轴为z轴

λz=1240104.213zzil=208＞100

按欧拉公式计算临界力 Fcr=2322220840601020014.3EAN=246kN (2) 在xz平面内，中性轴为y轴 λy=1260104.25.03yyil=69＜100

按经验公式计算临界力 Fcr=(235－0.00668λ2)A=(235－0.00668×692)×60×40N=488kN (3) 该压杆的临界力为两个平面内临界力中的较小值 Fcr=246kN 16-5 两端铰支的木柱横截面为120mm×200mm的矩形，l=4m，木材的弹性E=10GPa, σp=20MPa。试求木柱的临界应力。（提示：若需经验公式，可用σcr=28.7-0.19λ） 解 λP=20101014.33PE=70.21 λ=1212010413il=115.47＞λP 木柱为细长压杆，按欧拉公式计算临界应力 σcr=2422247.1151014.3EMPa=7.39 MPa 题16-6～16-9为压杆的稳定计算问题 16-6 图示三角架中，BC为圆截面杆(扎制)，材料为Q235钢。已知FP=12kN，a=1m，d=40mm，材料的许用应力[σ]=170MPa。 （1）校核BC杆的稳定性； （2）从BC杆的稳定条件考虑，求此三角支架所能承受的最大荷载FPmax。 原图16-20 题16-6图 解 (1) 校核BC杆的稳定性

λ=10101213il=141 圆截面杆(扎制)为a类，查教材表16-4 得 =0.378 [σ]=0.378×170MPa=64.26MPa

取B点研究求BC杆的压力。如题解16-6图

题解16-6图

由平衡方程 ∑Fy=0 得 FNBCsin45°－FP=0

FNBC=2212450SinFPkN=16.97kN

又 σ=234014.341097.16AFNBCMPa=13.51MPa＜[σ] BC杆稳定

(2) 求最大荷载

由 σ=AFNBC≤][

得 FNBC≤][A=0.378×170×44014.32N=80.71kN 又由题解16-6图可知 FP =FNBCsin45°≤80.71×0.707kN=57.06kN 故 FPmax=57.06kN 16-7 结构及受力如图示,试作梁ABC的强度与柱BD的稳定校核。梁ABC为№22b工字

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压杆稳定的概念

压杆稳定的概念


压杆 稳定 的概 念
当压力F增大到某一临界值Fcr时，弹性压杆将 由稳定平衡过渡到不稳定平衡，对应的状态称为临
界态，对应的临界值Fcr称为压杆的临界力或临界荷 载，它标志着压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的
分界点。于是，压杆保持稳定的条件为F<Fcr，压杆 的失稳条件为F>Fcr，失稳的临界条件为F=Fcr。不难 看出，压杆的稳定性取决于临界力的大小：临界力
越大，压杆的稳定性越强，压杆越不容易失稳；而
临界力越小，压杆的稳定性越差，压杆越容易失稳。
解决压杆的稳定性问题关键是要确定压杆的临界力。
压杆 稳定 的概 念
压杆 稳定 的概 念
工程实际中把受轴向压力的直杆称为压杆。 实践表明，这一结论只对短而粗的受压杆件是成 立的。当轴向压力增大到一定数值时，在强度破 坏之前，压杆会突然产生侧向弯曲变形而丧失工 作能力，如图10-1所示。这种细长压杆在轴向受 压后，其轴线由直变弯的现象，称为丧失稳定， 简称失稳。失稳是不同于强度破坏的又一种失效 形式，它会导致整个结构不能正常地工作，给结 构带来很大的危害，造成严重的工程虑强度问题， 而细长的压杆除了强度问题外，还应考虑稳定 性问题，这也是设计中首先要考虑的问题，如 图10-2所示桁架中的压杆、图10-3所示托架中 的压杆及钢结构中的立柱等。因此在设计压杆 时，进行稳定性计算非常重要。
压杆 稳定 的概 念
压杆 稳定 的概 念
除了压杆有失稳现象外，截面窄而高的梁、受外 压力作用的薄壁壳形容器等，也有失稳现象发生。本 章仅讨论压杆的稳定问题。
以图10-4（a）所示的细长压杆为例，它的一端固 定，一端自由。当用一个微小的干扰力横推压杆时， 杆变弯，如图10-4（b）所示。但当干扰力除去后，杆 轴线将在摆动中逐渐恢复直线状态，如图10-4（c）所 示。若当轴向压力F增大到某一数值时，轴线仍可暂时 维持直线平衡状态，但稍受干扰，杆就变弯，即使排 除干扰后，压杆也不能恢复原有的直线平衡状态，而 处于微弯的平衡状态，如图10-4（d）所示。
压杆稳定的概念

压杆稳定的概念

二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。

如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。

那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。

一文看懂材料力学的压杆稳定！

一文看懂材料力学的压杆稳定！

一文看懂材料力学的压杆稳定！在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。

稳定性—构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。

在细长压杆失稳时，应力并不一定很高，有时甚至低于比例极限。

可见这种形式的失效，并非强度不足，而是稳定性不够。

因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其强度与刚度问题外，还应考虑稳定性问题。

工程实际中有许多稳定性问题，但本文主要讨论压杆稳定问题，这类问题表现出与强度问题截然不同的性质。

杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡。

称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。

1、两端铰支细长压杆的临界压力临界压力—能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。

经过推导，可得到欧拉公式欧拉公式适用条件：理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）；线弹性，小变形；两端为铰支座。

当各个方向的支承情况相同时，压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲，上式中的惯性矩I=Imin。

所以矩形截面压杆在支承情况相同时，首先在 xz 平面内绕 y 轴失稳弯曲。

2、欧拉公式的普遍形式μ为长度系数（无量纲），μl为相当长度（相当于两端铰支杆）。

3、其他支座条件下细长压杆的临界压力4、欧拉公式的适用范围和经验公式（1）临界应力欧拉公式经过变形如下，并引入惯性半径和柔度：λ柔度集中反映了杆长、约束条件、截面形状尺寸对σcr的影响。

（2）欧拉公式的适用范围因欧拉公式是在材料线弹性范围内推导出来的，故临界应力必须小于比例极限，可得到欧拉公式的适用范围。

欧拉公式只适用于大柔度压杆。

（3）中小柔度杆临界应力计算对于中小柔度杆，临界应力大于比例极限而小于屈服极限，杆件失效形式仍为失稳。

可用经验公式求得临界应力。

（4）临界应力总图通过临界应力总图可直观看到对于不同柔度的杆件其对应的临界应力。

5、压杆稳定的校核6、提高压杆稳定的措施通过改变欧拉公式中的相关参数，以增加临界压力，可提高压杆稳定性。

压杆的稳定性计算

压杆的稳定性计算

6-3压杆的稳定性计算p p p ≤ —lδn = -ll - ≥ n cr压杆的稳定条件为： 〃“或 A”则此式为用平安系数表示的压杆的稳定条件，称为 平安系数法。

式中n 为平安系数。

若上式的两边同时除以压杆的横截面面积A,则可得：P P—≤- A An^r - s 或 此即为用应力形式表示的压杆稳定条件。

若将稳定许用应力6"］表示为压杆材料的强度许用应σ = — < φ{σ ］力［°］乘上一个系数°,得 A式中"称为折减系数，由于匕］,所以夕必是一个小于1的系数。

例6-2 某钢柱长为l=7m,两端固定，其横截面由两个10号槽钢组成(图6-6 (a))。

已知槽钢的弹性模量为E = 2×↑05MPa f 规定的稳定平安系数二3。

试求当两槽钢靠紧(图6-6(b))和离开(图6-6 (c))时钢柱的许可载荷。

解：(1)两槽钢靠紧的情形。

从型钢表中查得:A = 2×12.748×102 = 25.496× 102mm 2ιnin = I γ =2×54.9×104 =109.8×104∕77m 4 109∙8×10∖ ^20.8^25.496 ×102由此可求得钢柱的柔度，其值为:σ≤屋 n cr (a)min故该钢柱为大柔度杆，可用欧拉公式（6-2）计算临界力。

P 176 9P } ≤H = -^ = 58.97ZN由公式（6-8）计算钢柱的许可载荷P,即： 3（2）两槽钢离开情形。

从型钢表中可查得：L =2×198×104 =396×104m∕∕744∕v =2 J. + —+ z 0 ×12.748×102，51I 2 0J _B =2[25.6×104+(15 + l5.2)2 × 12.748× 102=283.7 ×104mm 4283.7 ×104 ” zi=33Amm A 25.496 ×102比较以上数值可知，应取min】μl 0.5 × 7000 /。