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消元法解方程

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第2节 消元代入消元法（1）要点突破一、代入法解二元一次方程组由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

代入法解二元一次方程组需要注意以下几点：①正确用代入法解二元一次方程组的一般步骤；②从方程组中选一个系数比较简单的方程变形；③求得的两个未知数的值要用大括号括起来。

二、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y ＝ax ＋b （或x ＝ay ＋b ）的形式。

②将y ＝ax ＋b （或x ＝ay ＋b ）代入另一个方程中，消去y （或x ）得到一个关于关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把求得的x （或y ）的值代入y ＝ax ＋b （或x ＝ay ＋b ）中，求出y （或x ）的值。

⑤把求得的x ，y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解。

典例剖析：例 （2007年南京市）解方程组425x y x y +=⎧⎨-=⎩ 思路探索：由x ＋y ＝4变形得y ＝4－x ③，把③代入②求得x 的值。

解析：由①得：y ＝4－x ③把③代入②得：2(4)5x x --=解得：x ＝3把x ＝3代入③得：y ＝1∴这个方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩规律总结：利用代入法解二元一次方程组的一般步骤：1°选择一个系数比较简单的二元一次方程，把这个方程化成y kx b =+（或x ky b =+）的形式。

2°将y kx b =+（或x ky b =+）代入另一个方程，得到一个关于x （或y ）的一元一次方程，解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值。

3°将求得的x （或y ）的值代入y kx b =+（或x ky b =+）中，求出另一个未知数。

课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、已知35x y +=，用含x 的式子表示y ＝ __________________，用含有y 的代数式表示x ＝________________.①②2、方程532x y -=-的一个解中2x =，那么这个解中，y ＝___________.3、若方程1y x =-的解也是方程325x y +=的解，则x ＝_______，y ＝________.4、用代入消元法解方程组3237y x y x =-⎧⎨+=⎩ 可以消去未知数_____，把____代入____.5、若3125x k yk =-⎧⎨=-+⎩是方程3226x y -=的解，则k ＝_______。

6、若12x y =⎧⎨=-⎩是方程组71mx ny mx ny +=⎧⎨-=-⎩的解，则m ＝_______，n ＝_______.二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）7、下列用代入法解方程组323112x y x y -=⎧⎨=-⎩ 的步骤，其中最简单，正确的是（） A 、由①，得23y x +=③，把③代入②，得231123y y +⨯=-B 、由①，得32y x =-③，把③代入②，得3112(32)x x =--C 、由②，得1132x y -=③，把③代入①，得113322xx --=D 、由②代入①，得1122y y --=（把3x 看作一个整体）8、对于方程3x －2y －5＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）A 、y ＝6x －10B 、3225y x =- C 、1(25)3x y =+ D 、615x y =+9、若352220x y x y +++--=，则223x xy -的值是（ ）A 、14B 、－4C 、－12D 、1210、已知x ＋3y ＝0，则3232y xy x +-的值为（ ）A 、13 B 、－13 C 、3 D 、－311、若方程组431(1)3x y ax a y +=⎧⎨+-=⎩的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）A 、4B 、10C 、11D 、1212、已知32x y =-⎧⎨=-⎩是方程组12ax cy cx by+=⎧⎨-=⎩的解，则a ，b 间的关系是（ ）A 、491b a -=B 、321a b +=C 、491b a -=-D 、491b a += ①②①②三、细心做一做，你会成功（共40分）13、用代入法解下列方程组（1）37x y x ⎧⎨+=⎩＝ （2）411y x x y ⎧⎪⎨⎪+=⎩2=314、用代入法解下列方程组（1）2332x y y x ⎧⎨=+⎩＝ （2）452(1)5(1)x y x y =⎧⎨+=-⎩-15、已知21x y =⎧⎨=-⎩是方程组431ax y b x by a +=⎧⎨-=-⎩的解，求a ，b 的值.16、已知x ＋y ＝30，x －y ＝20，求21(3)12.75x y --的值.第二课时 代入消元法（2）要点突破本节课继续学习代入消元法，代入消元法的第一步是选一个系数比较简单的方程，怎么的方程才是系数比较简单的方程，并不是系数越小，要根据具体问题具体讨论，如283354x y y x=-⎧⎨=-⎩这个方程中x 的系数成倍数关系，我们就应该把第一方程直接代入第二个方程。

学习了本节课的内容，你还能发现许多巧妙的代入方法。

典例剖析：例1：解方程组5613(1)7181(2)x y x y +=⎧⎨+=-⎩思路探索：本题如果直接使用代入法解题，计算过程较繁琐，仔细观察题目我们可以发现两个方程中y 的系数正好呈倍数关系，因此我们可以把6y 看作一个整体代入（2）式。

解析：由方程（1），得6135y x =-③把③代入方程②，得73(135)1x x +-=-。

整理，得840x =∴52x y =⎧⎨=-⎩规律总结：本题是将6y 作为一个整体代入方程（2），这种方法叫整体代入法。

整体代入法适合两个方程中有呈倍数关系的的方程组，是解方程或方程组常常采取的一种方法。

例2：（2007上海市）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．思路探索： 我们可以设表中缺失的两个数据为x 、y ，根据题目中提供的两个相等关系“已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍”“累计降价的总金额为269亿元”列出两个二元一次方程，从而得出一个二元一次方程组。

解析：设2003年和2007年的药品降价金额分别为x 亿元、y 亿元．根据题意，得6543540269y x x y =⎧⎨++++=⎩解方程组，得20120x y =⎧⎨=⎩答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元规律总结：列二元一次方程组解决实际问题，设出两个未知数，根据题目中的两个相等关系，列出一个二元一次方程组，解这个二元一次方程组。

课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、在式子mx ny +中，当x ＝5，y ＝－1时，这个式子的值为0；当x ＝3，y ＝5时，它的值是28，则m ＝______，n ＝_______.2、已知方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩与46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解相同，则a ＝________，b ＝_________。

3、已知a －3b ＝2a ＋b －15＝1，则2243a ab b -++的值为___________。

4、若关于x 、y 的二元一次方程组2351x y k x y k +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差是7，则k ＝______。

5、若x ＝12时，关于x 、y 的二元一次方程组212ax y x by -=⎧⎨=⎩－的解，x 、y 互为倒数，则a －2b ＝_________。

6、把一个长方形的长减少4cm ，宽增加2cm ，得到一个正方形，它的面积与原长方形的面积相等，则原来长方形的长为_______，宽为________。

二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共20分）7、解方程组3476(1)91025(2)m n m n -=⎧⎨-+⎩的最好方法是（ ） A 、由（1）得743n m +=，再代入（2） B 、由（2）得25109n m +=，再代入（1） C 、由（1）得374m n =+，再代入（2） D 、由（2）得92510m n =+，再代入（1）8、已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ax b =+的解，则（ ）A 、125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩B 、123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C 、121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩D 、121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩9、已知甲、乙两人的收入之比为3∶2，支出之比为7∶4，一年后，两人各余400元，若甲的收入为x 元，支出为y 元，可列出的方程组为（ ）A 、4002740034x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩B 、4003440027x y x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩C 、4002440037x y x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩－D 、4002740034x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 10、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。

驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8三、细心做一做，你会成功（共50分）11、已知方程10mx ny +=的解为12x y =-⎧⎨=⎩及21x y =⎧⎨=-⎩，求3m ＋7n 的值.12、解方程：（1）312141)3(5)x yy x-⎧⎨-=+⎩（）＝（－）（（2）4523157x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩－（3）523222x yx y⎧=⎪⎨⎪-=⎩13、已知方程组6293x yx y k=-⎧⎨-=-⎩有正整数解，求k的值.14、解方程组：232(2)1453(23)240 45x y x yx y x y-+⎧+=⎪⎪⎨-+⎪-+=⎪⎩15、开学后书店向学校推销两种素质教育图书，如果按原价买这两种书共需880元，书店推销时，第一种书打了八折，第二中书打了七五折，结果两种书共少用了200元。

那么这两种书的原价各是多少元？第三课时消元（3）要点突破一、加减消元法通过加减达到消元目的，从而求得方程组的解的方法叫做加减消元法。

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消元的方法

消元的方法

消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

加减消元法例：解方程组：x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。

二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

编辑本段构成加减消元法例：解方程组x+y=5①x-y=9②解：①+②，得2x=14即x=7把x=7带入①，得：7-y=9解，得：y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解编辑本段解法二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.例:1)x-y=32)3x-8y=43)x=y+3代入得３×（y+３)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1以上就是代入消元法，简称代入法。

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。

这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。

消元解二元一次方程

消元解二元一次方程

消元解二元一次方程
二元一次方程是指包含两个未知数的一次方程组。

我们可以通过消元法来解决这种方程组。

消元法的基本思路是将一个方程中的某个未知数用另一个方程中的表达式代替,从而消去这个未知数,最终得到只包含一个未知数的方程。

具体步骤如下:
1. 写出给定的二元一次方程组:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
2. 对某个未知数(例如x)进行消元。

将其中一个方程的x用另一个方程的表达式代替。

假设我们想消去x,可以将第一个方程的x用(c₂ - b₂y)/a₂代替。

3. 将代换后的表达式代入另一个方程,并化简,得到只包含y的一元一次方程。

4. 解出y的值。

5. 将求得的y值代回其中一个原方程,求出x的值。

6. 得到x和y的解。

通过这种消元的方法,我们可以很容易地解决二元一次方程组。

需要
注意的是,在实际操作中,我们可以先观察系数,选择合适的方程进行消元,以简化计算过程。

消元法求解常系数线性微分方程组

消元法求解常系数线性微分方程组

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初中数学 如何使用消元法解一元一次方程

初中数学 如何使用消元法解一元一次方程

初中数学如何使用消元法解一元一次方程消元法是解一元一次方程的一种常用方法。

它的基本思想是通过消去方程中的某个变量，得到一个只包含一个未知量的新方程，从而简化问题并求解未知量的值。

下面将详细介绍如何使用消元法解一元一次方程。

一、消元法的基本步骤1. 将方程按照标准形式排列，即将未知量和常数项分别放在等式的两侧，形如ax + b = c。

2. 如果方程中已经明确给出了某个变量的系数为1，可以直接将该变量的系数化为1，如2x + 3y = 5可以变为x + 3y = 5。

3. 选择一个合适的消元变量，使得通过合适的运算可以将方程中的该变量消去。

4. 使用合适的运算将方程中的消元变量消去，并得到一个只包含一个未知量的新方程。

5. 解新方程得到消元变量的值。

6. 将消元变量的值代入原方程中，求解未知量的值。

二、示例为了更好地理解消元法的步骤，我们通过一个具体的示例来演示如何使用消元法解一元一次方程。

示例：解方程2x + 3y = 7和3x - 2y = 4。

步骤1：将方程按照标准形式排列，得到2x + 3y = 7和3x - 2y = 4。

步骤2：由于第一个方程中x的系数已经是1，不需要进行系数化简。

步骤3：选择消元变量。

为了消去y这个变量，我们可以将两个方程相乘，使得y的系数相消。

步骤4：将两个方程相乘，得到(2x + 3y)(3x - 2y) = 7 * 4。

展开得到6x^2 - 4y^2 = 28。

步骤5：解新方程6x^2 - 4y^2 = 28。

由于这是一个二次方程，我们需要将它化简为一次方程。

将方程两边同时除以2，得到3x^2 - 2y^2 = 14。

步骤6：将消元变量的值代入原方程中。

假设解得x = 2，将x = 2代入第一个方程得到2 * 2 + 3y = 7，解得y = 1。

所以，方程组的解为x = 2，y = 1。

三、总结通过以上示例，我们可以总结出使用消元法解一元一次方程的基本步骤。

首先，将方程按照标准形式排列，然后选择一个合适的消元变量，通过合适的运算将方程中的消元变量消去，并得到一个只包含一个未知量的新方程。