加减消元法解一元二次方程

8.2消元——解二元一次方程组一、教学内容分析本节承接第8.1节中讨论的篮球联赛胜负场次问题，对比根据题意列出的二元一次方程组与一元一次方程，发现它们之间的关系，即把方程组中一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，将它代入方程组中另一个方程，原来的二元一次方程组就转化为一元一次方程。

结合这个具体的例子，教科书指出这种转化对解二元一次方程组很重要，它的基本思路就是“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想。

在提出消元思想后，教科书对代入消元法的基本步骤进行了归纳。

即通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”实现消元。

本节的教学重点是用代入消元法解二元一次方程组，教学难点是探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的“消元”过程和思想。

二、学生学习情况分析本节是在学习了第8.1节中讨论的篮球联赛胜负场次问题，学生了解了二元一次方程、二元一次方程组及它们的解之后，已经对如何求二元一次方程组的解产生了浓厚的兴趣，很想继续学习二元一次方程组的解法。

但学生对思想方法不能理解，现在还不知道具体应怎样去求解，或为什么要这样去求解。

三、教学设计理念代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题化为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验，用于解决新问题。

基于这点认识，本课按照“从身边的数学问题引入→寻求一元一次方程的解法→探索二元一次方程组的代入消元法→典型例题→归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计。

在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学。

教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中。

重视知识的发生过程，将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的。

二次根式方程解一元二次根式方程组在代数学中，方程是一种数学等式，用于表示未知数之间的关系。

方程可以分为多种形式，包括一元一次方程、一元二次方程等。

其中，一元二次根式方程组是一种常见的形式，由多个一元二次根式方程组成，用于求解多个未知数之间的关系。

一元二次根式方程的一般形式可以表示为：√ax^2 + √bx + c = 0其中，a、b、c为已知的数字或参数，x为未知数。

解一元二次根式方程组可以采用多种方法，包括代入法、消元法、配方法等。

下面将分别介绍这些方法的原理和步骤。

1. 代入法代入法是一种简单而直接的解法，适用于方程组中的一元二次根式方程相对简单的情况。

具体步骤如下：（1）选取其中一个方程，将另一个方程中的一个未知数表示为关于这个未知数的函数。

（2）将第（1）步骤得到的函数代入另一个方程，得到一个关于一个未知数的一元二次根式方程。

（3）解这个一元二次根式方程，得到一个或多个解。

（4）将第（3）步骤得到的解代入第（1）步骤得到的函数，求解另一个未知数。

2. 消元法消元法是一种常用的解法，适用于方程组中的方程可以通过相乘或相加等操作消除其中一个未知数的情况。

具体步骤如下：（1）将方程组中的一元二次根式方程进行整理，使得方程中的未知数系数相同。

（2）将第（1）步骤得到的方程进行加减运算，得到一个只包含一个未知数的一元二次根式方程。

（3）解这个一元二次根式方程，得到一个或多个解。

（4）将第（3）步骤得到的解代入任意一个方程，求解另一个未知数。

3. 配方法配方法是一种常用的解法，适用于方程组中的方程可以通过配方将其转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：（1）将方程组中的一元二次根式方程进行整理，使得方程中的未知数系数相同。

（2）在第（1）步骤得到的方程中，找到一个使方程变为完全平方的常数。

（3）将方程中的这个常数添加到等式两边，使方程左边成为一个完全平方。

（4）将方程化简为一个完全平方，解这个一元二次根式方程，得到一个或多个解。

章节测试题1.【题文】解方程：（1）2x2﹣4x﹣9=0（用配方法解）；（2）（用公式法解）【答案】（1）x1=1+，x2=1﹣；（2），【分析】方程（1）用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式；方程（2）用公式法求解方程的根．【解答】（1）∵2x2﹣4x﹣9=0，∴2x2﹣4x=9，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，x=1±，解得x1=1+，x2=1﹣（2）∵a=3，b=﹣4；；，c=2，∴b2﹣4ac=24，⇒x==，解得．2.【题文】解方程（1）（x+6）-9=0；（2）（3）先化简，再求值：，其中m是方程的根．【答案】（1）；（2）x=-1；（3）；（4）【分析】（1）先移项，然后通过直接开平方法解方程；（2）把分式方程化为整式方程，再求解；（3）先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．【解答】（1）由原方程，得（x+6）2=9，开平方，得x+6=±3，解得：x1=−3，x2=9．（2）原方程即去分母得x=2x−1+2，x=−1经检验：x=−1是原方程的解，∴原方程的解是x=−1．（3）原式====，∵m是方程x2+3x−1=0的根．∴m2+3m−1=0，即m2+3m=1，∴原式=．3.【题文】（1）求下列式中的：4（2）计算：【答案】（1）x或；（2）-3.95．【分析】（1）变形后直接开平方即可；（2）先化简二次根式、三次根式后再加减．【解答】（1）.4∴∴x或（2）=-4+0.3-=-3.954.【题文】解方程：x2=3x【答案】x1=0，x2=3【分析】移项后运用因式分解法即可求解．【解答】x2=3xx2-3x=0x（x-3）=0解得：x1=0，x2=35.【题文】解方程：（1）-=0（2）2x2-2x=x+1【答案】x=2；x1=，x2=【分析】（1）先去括号，把分式方程化为整式方程，解这个整式方程，检验即可；（2）先移项，再运用公式法求解即可．【解答】（1）去分母得，3（x-1）-（x+1）=0解得：x=2经检验，x=2是原方程的解；（2）移项得：2x2-2x-x-1=0整是得，2x2-3x-1=0∴x1=，x2=6.【题文】解方程：x2-2x＝2x＋1．【答案】x1＝2-，x2＝2＋．【分析】根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式求解即可．【解答】方程化为x2-4x-1＝0．∵b2-4ac＝（-4）2-4×1×（-1）＝20，∴x＝＝2±，∴x1＝2-，x2＝2＋．7.【题文】解方程：3x2＋2x＋1=0．【答案】原方程没有实数根．【分析】利用公式法解方程即可．【解答】∵a＝3，b＝2，c＝1，∴b2-4ac＝4-4×3×1＝-8＜0．∴原方程没有实数根．8.【题文】（1）解方程：x2―6x+4＝0；（2）解不等式组【答案】（1）；（2）【分析】（1）运用公式法解一元二次方程；（2）先解两个不等式，再求它们的交集.【解答】（1）（2）9.【题文】解方程：（1）（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）将括号展开，运用配方法求解即可得解．【解答】（1），（2），，10.【题文】（2）求x值：【答案】（1）；（2）x=7或-3【分析】（1）根据平方根、立方根、乘方可求解；（2）根据平方根的意义，直接开平方即可求解．【解答】（1）原式=（2）解：x-2=x=7或-311.【题文】（1）解方程：（x＋1）2＝64；（2）计算：【答案】（1）x1=7，x2=-8；（2）-36【分析】（1）原式利用平方根计算即可得到结果；（2）根据实数的运算法则进行计算即可得解．【解答】（1）∵（x＋1）2＝64，∴x+1=±8，当x+1=8时，x=7；当x+1=-8时，x=-8．（2）原式=（-8）×4+（-4）×-3=-3612.【题文】解方程或方程组：（1）（2）【答案】（1）4或x=0（2）【分析】（1）方程两边同除以3，然后用直接开平方法即可求得方程的解；（2）先把方程组变形，然后再用加减消元法求解即可．【解答】（1）4或x=0（2）解得13.【题文】如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿以2cm/s 的速度向点D移动．经过多长时间P、Q两点的距离是10？【答案】P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．【分析】作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】当P在Q下方时，方法同上，只不过表示等边三角形底边一半的时候稍有不同．设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=BC=6，PQ=10，HQ=CD﹣AP﹣CQ=16﹣5t．∵PH2+HQ2=PQ2，可得：（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm14.【综合题文】如图，长方形的边，在坐标轴上，（0，2），（4，0）．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．设点运动时间为秒（）．15.【题文】请选择适当的方法解下列一元二次方程：（1）（2）【答案】（1）x1=﹣2，x2=2；（2），．【分析】（1）利用直接开平方法直接可求解；（2）先化简，再根据公式法求解．【解答】（1）x2﹣4=0x2=4x=±2（2）x（x﹣6）=5x2-6x-5=0∵a=1，b=-6，c=-5∴△=36-4×（-5）=56＞0∴，∴，16.【题文】解方程：x2﹣5x+3=0【答案】x1=，x2=【分析】首先根据题意得出a、b、c的值，然后根据求根公式得出方程的解．【解答】a=1，b=-5，c=3则=25-4×1×3=13则x=即．17.【答题】我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即一元二次方程有一个根为）．例如：解方程，解：，，，．∴的解为：，．根据上面的解题方法，则方程的解为______．【答案】，【分析】本题考查了新定义，根据一元二次方程的解法解答即可．【解答】，，，，，∴，．故答案为：，18.【答题】方程（x﹣5）2=0的根是______．【答案】x1=x2=5．【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】（x﹣5）2=0，∴x﹣5=0，∴x1=x2=5，故答案为：x1=x2=5．19.【答题】利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1=______．【答案】（x﹣1﹣）（x﹣1+）【分析】根据一元二次方程的解法解答即可．【解答】令x2-2x-1＝0，解得：x＝1±，则原式＝（x-1-）（x-1＋）．故答案为：（x-1-）（x-1＋）．20.【答题】方程（x﹣1）2=4的解为______．【答案】x1=3，x2=﹣1【分析】根据直接开平方法解答即可．【解答】（x﹣1）2=4，即x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1．故答案为：x1=3，x2=﹣1．。

解一元二次方程-公式法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2017秋•昌平区校级期中）方程210x x --=的根是( ) A ．1152x -+=，2152x --= B ．1152x +=，2152x -=C ．1132x +=，2132x -=D ．没有实数根2．（2009秋•宣武区期末）若实数范围内定义一种运算“﹡”，使2*(1)a b a ab =+-，则方程(2)*50x +=的解为() A ．2-B ．2-，3C ．1313,22-+-- D ．1515,22-+-- 3．（2008秋•海淀区校级期中）方程21x x =+的根是( ) A ．1x x =+B ．152x ±=C ．1x x =±+D ．152x -±=二．填空题（共3小题）4．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式时，对于240b ac ->的情况，他是这样做的：小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 ． 5．（2010春•宣武区校级期中）求一元二次方程25261x x =-的解为 ．6．（2000•朝阳区）（1）解下列方程：①2220x x --=；②22310x x +-=；③22410x x -+=；④2630x x ++=； （2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 ． 三．解答题（共6小题）7．（2019秋•昌平区校级期末）（1）2660y y --= （2）2324x x -= （3）281(2)16x -=（4）231y +=（506cos 451)-︒-（6）02cos60(2009)π︒--+（7）20113015(1)()(cos68)|8sin60|2π---+︒++︒（8）sin453tan304cos30︒+︒+︒8．（2019秋•海淀区校级月考）解方程：2210x +-= 9．（2019春•海淀区期末）解下列方程： （1）2230x x +-=（用配方法） （2）22510x x +-=（用公式法）10．（2019•海淀区校级二模）解下列方程（组): （1）(3)(1)1x x ++=； （2）311(1)(2)x x x x -=--+； （3）233511x y x y +=⎧⎨-=⎩11．（2018秋•昌平区期末）解方程：2660x x -+=．12．（2019秋•大兴区期中）当1a =，1b =-，3c =-的值．解一元二次方程-公式法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2017秋•昌平区校级期中）方程210x x --=的根是( )A ．1x ，2x =B ．1x =，2x =C ．1x =，2x =D ．没有实数根【分析】求出24b ac -的值，代入公式求出即可． 【解答】解：这里1a =，1b =-，1c =-，224(1)41(1)5b ac -=--⨯⨯-=，x =，1x =，2x =故选：B ．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．2．（2009秋•宣武区期末）若实数范围内定义一种运算“﹡”，使2*(1)a b a ab =+-，则方程(2)*50x +=的解为()A ．2-B ．2-，3C D 【分析】根据运算“﹡”的规则，可将所求的方程化为：2(21)5(2)0x x ++-+=，然后解这个一元二次方程即可． 【解答】解：依题意，可将所求方程转化为：2(3)5(2)0x x +-+=， 化简得：210x x +-=解得1x ，2x =， 故选：D ．【点评】本题是一个阅读型的问题，弄清新运算的规则是解答此类题的关键． 3．（2008秋•海淀区校级期中）方程21x x =+的根是( )A ．x =B ．xC ．x =D ．x =【分析】先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法．采用公式法时首先要将方程化简为一般式． 【解答】解：21x x =+210x x ∴--=1a ∴=，1b =-，1c =-245b ac ∴-= 152x ±∴=．故选B ． 【点评】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意采用公式法时首先要将方程化简为一般式． 二．填空题（共3小题）4．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式时，对于240b ac ->的情况，他是这样做的：小明的解法从第 四 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 ． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义； 故答案为四；平方根的定义．【点评】本题考查了解一元二次方程--配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如20x px q ++=型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如20ax bx c ++=型，方程两边同时除以二次项系数，即化成20x px q ++=，然后配方． 5．（2010春•宣武区校级期中）求一元二次方程25261x x =-的解为 161x +=，261x -= ． 【分析】将方程整理为一般式，找出a ，b 及c 的值，代入求根公式即可求出原方程的解． 【解答】解：25261x x =-，整理得：2510x -+=，这里5a =，b =-1c =， △24242040b ac =-=-=>，x ∴=，则1x =，2x =．故答案为：1x =，2x = 【点评】此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c 的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．6．（2000•朝阳区）（1）解下列方程：①2220x x --=；②22310x x +-=；③22410x x -+=；④2630x x ++=； （2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 ．【分析】（1）直接代入公式计算即可．（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2(n n 是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可． 【解答】解：（1）①解方程2220x x --=①， 1a =，2b =-，2c =-，1x ∴===±，11x ∴=，21x =②解方程2230x x l +-=， 2a =，3b =，1c =-，x ∴==1x ∴=，2x ．（2分） ③解方程22410x x -+=， 2a =，4b =-，1c =，x ∴===，122x =，222x =．（3分） ④解方程2630x x ++=， 1a =，6b =，3c =，3x ∴===-±，13x ∴=-，23x =--（4分）（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2(n n 是整数）．（8分） 一元二次方程20ax bx c ++=，其中240b ac -，2b n =，n 为整数． 240b ac -，即2(2)40n ac -， 20n ac ∴-，x ∴==（11分）∴一元二次方程2220(0)ax nx c n ac ++=-．（12分）【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简． 三．解答题（共6小题）7．（2019秋•昌平区校级期末）（1）2660y y --= （2）2324x x -= （3）281(2)16x -=（4）231y +=（506cos 451)-︒-（6）02cos60(2009)π︒--+（7）20113015(1)()(cos68)|8sin60|2π---+︒++︒（8）sin453tan304cos30︒+︒+︒ 【分析】（1）根据配方法即可求出答案． （2）根据公式法即可求出答案．（3）根据直接开方法即可求出答案． （4）根据配方法即可求出答案．（5）根据二次根式的性质、特殊角的锐角三角函数的值以及零指数幂的意义即可求出答案． （6）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．（7）根据负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义节课即可求出答案． （8）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． 【解答】解：（1）2660y y --=，26915y y ∴-+=， 2(3)15y ∴-=，3y ∴=±；（2）2324x x -=， 3a ∴=，4b =-，2c =-，∴△162440=+=，x ∴ （3）281(2)16x -=， 429x ∴-=±，221499x ∴=或．（4）231y +=，2310y ∴-+=，21)0∴-=，12y y ∴==（5）原式61=- 1=-．（6）原式121332=⨯-+=．（7）原式181|=--++8=-．（8）原式342=++=+ 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．8．（2019秋•海淀区校级月考）解方程：2210x +-= 【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：2a =，b 1c =-，∴△242(1)110=-⨯⨯-=>，则x即1x =2x 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 9．（2019春•海淀区期末）解下列方程： （1）2230x x +-=（用配方法） （2）22510x x +-=（用公式法）【分析】（1）根据配方法的步骤，可得答案； （2）根据公式法，可得答案． 【解答】解：（1）移项，得223x x += 配方，得22131x x ++=+ 即2(1)3x += 开方得12x +=±， 11x =，23x =-；（2）2a =，5b =，1c =-，△242542(1)330b ac =-=-⨯⨯-=>，x ，1x =，2x =． 【点评】本题考查了解一元二次方程，配方得出完全平方公式是解题关键． 10．（2019•海淀区校级二模）解下列方程（组):（1）(3)(1)1x x ++=； （2）311(1)(2)x x x x -=--+； （3）233511x y x y +=⎧⎨-=⎩【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；（2）先把分式方程化为整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原分式方程的解； （3）利用加减消元法解方程组．【解答】解（1）去括号，得2431x x ++=， 移项、合并同类项，得2420x x ++=． 1a =，4b =，2c =，2x ∴==-±．12x ∴=-+，22x =-．（2）去分母，得(2)(1)(2)3x x x x +--+=， 解得1x =．经检验1x =不是原方程的解． 故原方程无解；（3）233511x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①5⨯+②得1326x =，解得2x =， 把2x =代入①得43y +=，解得1y =-． ∴方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩【点评】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了解分式方程和二元一次方程组．11．（2018秋•昌平区期末）解方程：2660x x -+=．【分析】根据公式法：x =，可得答案．【解答】解：1a =，6b =-，6c =，∴△2412b ac =-=，x =∴13x =，23x =【点评】本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，注意先把方程化成一元二次方程的一般形式．12．（2019秋•大兴区期中）当1a =，1b =-，3c =-的值．【分析】首先用代入法得出24b ac -，再代入即可． 【解答】解：24141(3)13b ac -=-⨯⨯-=，∴=．【点评】本题主要考查了代数式求值，直接代入是解答此题的关键．。

加减消元法10个例题加减消元法是解决一元二次方程或多元线性方程组的一种常用方法。

它的基本思想是通过加减方程，消除一个或多个未知数，得到一个简化的方程，从而求解未知数的值。

下面是10个应用加减消元法解决问题的例题。

1. 求解方程组：2x + 3y = 84x - 5y = 17通过将第二个方程乘以2，然后与第一个方程相加，可以消除x 的项，从而得到一个只含有y的方程。

2. 求解方程组：3x - 4y = 57x + 2y = -13通过将第一个方程乘以7，第二个方程乘以3，然后相减，可以消除x的项，从而得到一个只含有y的方程。

3. 求解方程组：x + y + z = 62x - 3y + 4z = 93x - 2y - z = 4通过适当加减方程，可以消除其中一个未知数的项，从而得到一个只含有两个未知数的方程组。

4. 求解方程组：x - y + z = 22x + y - 3z = -4-3x + 2y + 5z = 12通过适当加减方程，可以消除其中一个未知数的项，从而得到一个只含有两个未知数的方程组。

5. 求解方程：x^2 + 3x - 10 = 0可以通过将方程两边同时加上一个适当的数，从而消除一次项，得到一个二次方程。

6. 求解方程：2x^2 + 5x - 3 = 0可以通过将方程两边同时减去一个适当的数，从而消除一次项，得到一个二次方程。

7. 求解方程：3x^2 - 2x + 1 = 0可以通过将方程两边同时乘以一个适当的数，从而消除二次项，得到一个一次方程。

8. 求解方程：4x^2 - 9 = 0可以通过将方程两边同时开方，从而消除二次项，得到一个一次方程。

9. 求解方程：x^3 + 2x^2 - 5x + 6 = 0可以通过将方程两边同时加上一个适当的多项式，从而消除一次项和二次项，得到一个一次方程。

10. 求解方程：(x + 1)^2 - (2x - 3)^2 = 0可以通过将方程两边展开，然后合并同类项，从而消除二次项，得到一个一次方程。