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陕西省西安市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·武汉模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A . 6B . 8C . 9D . 113. （2分） (2019高一上·集宁期中) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 =7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A . 身高一定是145.83cmB . 身高在145.83cm以上C . 身高在145.83cm以下D . 身高在145.83cm左右5. （2分） (2019高一下·重庆期中) 如果 ,那么下列不等式成立的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·滨州期末) 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件A表示“2名学生全不是男生”，事件B表示“2名学生全是男生”，事件C表示“2名学生中至少有一名是男生”，则下列结论中正确的是（）A . A与B对立B . A与C对立C . B与C互斥D . 任何两个事件均不互斥7. （2分）下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·宾县月考) 已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·邱县期末) 如图中的程序框图表示求三个实数中最大数的算法，那么在空白的判断框中，应该填入（）A .B .C .D .10. （2分）用系统抽样要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出的号码是（）A . 10B . 11C . 12D . 1311. （2分） (2018高二上·长安期末) 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A . 0.852B . 0.8192C . 0.8D . 0.7512. （2分） (2019高一上·蕉岭月考) 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·石嘴山模拟) 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14. （1分） (2019高一上·大庆月考) 计算： ________.15. （1分） (2016高二上·上海期中) 在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意的实数x成立，则a的取值范围是________．16. （1分）由正整数组成的一组数据x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于，则这组数据为________．（从小到大排列）三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知函数f（x）=kx2+kx+2（k∈R）．（1）若k=﹣1，解不等式f（x）≤0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数k的取值范围．18. （5分）某公司为确定2017年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售收益y（单位：万元）的影响，2016年在若干地区各投入4万元的宣传费，并将各地的销售收益的数据作了初步处理，得到下面的频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度，并估计对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得一组数据如表所示：宣传费x（单位：万元）32154销售收益y（单位：万元）23275表中的数据显示，y与x之间存在线性相关关系，求y关于x的回归直线方程；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当宣传费投入为10万元时，销售收益大约为多少万元？附： = ， = ﹣．19. （5分） (2016高一上·金华期中) 设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x）的定义域为．（Ⅰ）若t=log2x，求t的取值范围；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求取得最值时对应的x的值．20. （10分） (2017高二下·成都开学考) 从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．21. （10分） (2016高一下·石门期末) 集合A={x|1≤x≤5}，B={x|2≤x≤6}，（1）若x∈A，y∈B且均为整数，求x＞y的概率．（2）若x∈A，y∈B且均为实数，求x＞y的概率．22. （15分）已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，b∈R）．（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）≥0对x＞0恒成立，求a的取值范围；（3）若a+b≥﹣2且f（x）在（0，+∞）上存在零点，求b的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
一、单选题1．已知集合，，则 （ ） {}1,0,1,2,3A =-{}12B x x =-<<A B = A ． B ． {}1,0-{}1,0,1-C ． D ．{}0,1{}0,1,2【答案】C【分析】利用交集的定义可求得集合.A B ⋂【详解】因为集合，，则. {}1,0,1,2,3A =-{}12B x x =-<<{}0,1A B = 故选：C.2．若（ ）cos()7πα-=26cos()sin (77ππαα+--A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】用已知角表示所求角，再根据诱导公式以及同角三角函数关系求解即可. 【详解】 226cos()sin ()=cos[()]sin ()7777ππππααπαα+------ 2=cos()[1cos ()]77ππαα-----22=[1]3-=故选：A【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3．函数的图象可能是（ ）()()2tan 11f x x x x =⋅-<<A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项. 【详解】因为，故， ()()2tan 11f x x x x =⋅-<<()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=故为偶函数，故排除AC. ()f x 而，故排除D ， ()12tan10f =>故选：B.4．若命题“时，”是假命题，则m 的取值范围（ ） [1,4]x ∀∈-2x m >A ． B ． C ． D ．16m ≥m 1≥0m ≥1m <【答案】C【分析】由否命题为真命题可得，求的最小值即可.2min ()x m ≤2y x =【详解】因为命题“时，”是假命题， [1,4]x ∀∈-2x m >所以命题“时，”是真命题，[1,4]x ∃∈-2x m ≤即有，2min ()x m ≤易知当，有最小值0, 0x =2y x =所以. 0m ≥故选：C5．已知正数满足，则的最大值为（ ） ,a b 494a b +=ab A ．B ．C ．D ．19161312【答案】A【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】正数满足，,a b 494a b +=由基本不等式得：， 494a b +=≥19ab ≤当且仅当，即时，等号成立，的最大值为。
一．选择题（共9小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2} 2．若，求：＝（ ）A．B．C．D．3．函数f（x）＝2x•tan x（﹣1≤x≤1）的图象大致是（ ）A．B．C．D．4．若命题“∀x∈[﹣1，4]时，x2＞m”是假命题，则m的取值范围（ ）A．m≥16B．m≥1C．m≥0D．m＜15．已知正数a，b满足4a+9b＝4，则ab的最大值为（ ）A．B．C．D．6．已知tanθ＝﹣2，则＝（ ）A．B．C．D．7．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝3，则＝（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．已知函数f （x ）=，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f （b ）＝f2sin 01lg 1x x xx π≤≤⎧⎨>⎩（c ），则a+b+c 的取值范围是（ ） A ．[2，11]B ．（2，101）C ．（1，11）D ．（1，100）二．多选题（共4小题）（多选）9．如果幂函数f （x ）＝，下列说法正确的有21(22)m m m x m N --*+-∈，（ ） A ．m ＝1 B ．f （x ）是偶函数 C ．f （-2）<f （3）D ．f （x ）的值域为（0，+∞）（多选）10．下列命题为假命题的是（ ） A ．﹣420°是第四象限角B ．与﹣135°角终边相同的最小正角是45°C ．若α是第三象限角，则不在第二象限D ．已知点P （﹣1，1）是角θ终边上一点，则（多选）11．下列结论中错误的有（ ）A ．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +m ＝0”为假命题，则实数m 的取值范围是[4，+∞）B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．“a ＞1”是“”的充分不必要条件D ．当x ∈R 时，的最小值为（多选）12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2．已知函数，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上是增函数C．g（x）是偶函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}三．填空题（共4小题）13．函数的定义域是 ．14．若x＞0时，指数函数y＝（m2﹣3）x的值总大于1，则实数m的取值范围是 ．15．已知lg2＝a，10b＝3，用a、b表示log475＝ ．16．设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f （1）≤2，则+的取值范围为 ．四．解答题（共5小题）17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．18．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最小值及取得最小值时的x的取值集合．19．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：℃）随时间t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足f（t）＝A sin（ωt﹣）+b（A＞0，ω＞0）关系．（1）求y＝f（t）的表达式；（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．20．已知函数f（x）＝4x+a•2x+3，a∈R（1）当a＝﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝{0，1}．故选：C．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．若，求：＝（ ）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系即可得，注意（+α）+（﹣α）＝π．【解答】解：sin2（α﹣）＝sin2（﹣α）＝1﹣cos2（﹣α）＝1﹣＝，cos[π﹣（﹣α）]＝﹣cos（﹣α）＝﹣，则）＝﹣﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．3．函数f（x）＝2x•tan x（﹣1≤x≤1）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在（0，1）上的符号，排除D，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝2x•tan x（﹣1＜x＜1），有f（﹣x）＝2x•tan x＝f（x），为偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，x＞0，tan x＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：B．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．4．若命题“∀x∈[﹣1，4]时，x2＞m”是假命题，则m的取值范围（ ）A．m≥16B．m≥1C．m≥0D．m＜1【分析】由否命题为真命题，可得（x2）min≤m，求y＝x2的最小值即可．【解答】解：∵命题“∀x∈[﹣1，4]时，x2＞m”是假命题，∴命题“∃x∈[﹣1，4]时，x2≤m”是真命题，∴（x2）min≤m，∵x＝0时，y＝x2有最小值0，∴m≥0．故选：C．【点评】本题考查命题真假判断及应用、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知正数a，b满足4a+9b＝4，则ab的最大值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用基本不等式进行求解．【解答】解：正数a，b满足4a+9b＝4，由基本不等式得：，解得：，当且仅当4a＝9b，即时，等号成立，ab的最大值为．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．6．已知tanθ＝﹣2，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】化简后利用弦化切可求得所求代数式的值．【解答】解：＝＝＝＝﹣．故选：A ．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属于基础题．7．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 面积为S 1，扇形BOC 面积为S 2，若＝3，则＝（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【分析】由弧长比可得|OA |＝3|OB |，结合扇形面积公式得答案． 【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，所以．故选：D ． 8．已知函数f （x ）=，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f （b ）＝f2sin 01lg 1x x xx π≤≤⎧⎨>⎩（c ），则a+b+c 的取值范围是（ ） A ．[2，11]B ．（2，101）C ．（1，11）D ．（1，100）二．多选题（共4小题）（多选）9．如果幂函数f （x ）＝，下列说法正确的有21(22)m m m x m N --*+-∈，（ ） A ．m ＝1 B ．f （x ）是偶函数 C ．f （-2）<f （3）D ．f （x ）的值域为（0，+∞） 故选：ABD ．（多选）11．下列命题为假命题的是（ ） A ．﹣420°是第四象限角B ．与﹣135°角终边相同的最小正角是45°C ．若α是第三象限角，则不在第二象限D ．已知点P （﹣1，1）是角θ终边上一点，则【分析】对于A ，先将﹣420°写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，再由此角的终边位置和象限角的定义进行判断； 对于B ，利用终边相同的角的定义即可判断； 对于C ，由题意可求k π+π＜＜k π+π，k ∈Z ，分类讨论即可求解；对于D ，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：对于A ，﹣420°＝﹣60°﹣360°，则﹣420°角与﹣60°角的终边相同，即是第四象限角，故正确；对于B ，﹣135°＝﹣360°+225°，与﹣135°角终边相同的最小正角是225°，故错误；对于C ，若角α是第三象限角，即2k π+π＜α＜2k π+，k ∈Z ，所以k π+π＜＜k π+π，k ∈Z ，当k ＝3n ，n ∈Z 时，为第一象限角，当k＝3n+1，n∈Z时，为第三象限角，当k＝3n+2，n∈Z时，为第四象限角，所以不在第二象限，故正确，对于D，因为p（﹣1，1）是角θ终边上的一点，所以cosθ＝＝﹣，故错误．故选：BD．【点评】本题考查终边相同的角的定义，一般的方法是先将所给的角写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，则已知角与此角的终边相同，考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．（多选）12．下列结论中错误的有（ ）A．若命题“∃x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是[4，+∞）B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．“a＞1”是“”的充分不必要条件D．当x∈R时，的最小值为【分析】转化为∀x∈R，x2+4x+m≠0，计算Δ＝16﹣4m＜0，能判断A；根据不等式的性质判断B；求出的等价条件为a＞1或a＜0，即可判断C；利用特值法判断D．【解答】解：对于A，等价于∀x∈R，x2+4x+m≠0为真命题，∴Δ＝42﹣4m＜0，解得m＞4，故A错误；对于B，∵ab2＞cb2，∴，∴a＞c，∵a＞c，∴当b＝0时，ab2＝cb2，故B错误；对于C，，∴等价于，∴a（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜0，∴“a＞1“是“a＞1或a＜0”的充分不必要条件，故C正确；对于D，当x＝﹣1时，x+＝﹣1﹣2＝﹣3＜2，故D错误．故选：ABD．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2．已知函数，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上是增函数C．g（x）是偶函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，其定义域为R，f（x）+f（﹣x）＝﹣+﹣＝+﹣1＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，A正确；对于B，＝1﹣﹣＝﹣，其定义域为R，函数y＝2x在R上为增函数，则f（x）在R上是增函数，B正确；对于C，g（1）＝[f（1）]＝[]＝0，g（﹣1）＝[f（﹣1）]＝[﹣]＝﹣1，则g（x）不是偶函数，C错误；对于D，f（x）＝﹣，而2x＞0，1+2x＞1，则有0＜＜1，必有﹣＜f（x）＜，则函数g（x）＝[f（x）]，其值域为{﹣1，0}，D正确；故选：ABD．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是理解“高斯函数”的定义，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．函数的定义域是 ．14．若x ＞0时，指数函数y ＝（m 2﹣3）x 的值总大于1，则实数m 的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ．【分析】根据指数函数a ＞1时，函数单调递增，可得m 2﹣3＞1，求解即可．【解答】解：若x ＞0时，指数函数y ＝（m 2﹣3）x 的值总大于1，则m 2﹣3＞1，解得m ＜﹣2或m ＞2．则实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查指数函数性质的应用，属于基础题．15．已知lg 2＝a ，10b ＝3，用a 、b 表示log 475＝ ． 222a b a-+16．设二次函数f （x ）＝mx 2﹣2x +n （m ，n ∈R ），若函数f （x ）的值域为[0，+∞），且f （1）≤2，则+的取值范围为 [1，13] ．【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．【解答】解：二次函数f （x ）＝mx 2﹣2x +n （m ，n ∈R ），若函数f （x ）的值域为[0，+∞），则Δ＝4﹣4mn ＝0，解得：mn ，且m ＞0，又f （1）＝m ﹣2+n ≤2，n ＝，则m +≤4， ∴+＝+＝＝＝m 2+﹣1，而由m +≤4，m ＞0，得2≤m 2+≤14，故m 2+﹣1的取值范围是[1，13]，即+的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．四．解答题（共5小题）17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．【分析】（1）设x＜0，可得﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x），再由函数f（x）是偶函数求出x＜0时的解析式，则答案可求；（2）由f（4）＝，f（x）是偶函数，不等式f（x2﹣1）＞﹣2可化为f（|x2﹣1|）＞f（4）．利用函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，可得|x2﹣1|＜4，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）．∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）．∴函数f（x）的解析式为f（x）＝；（2）f（4）＝，f（x）是偶函数，∴不等式f（x2﹣1）＞﹣2f（|x2﹣1|）＞f（4）．又∵函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴|x2﹣1|＜4，解得﹣＜x＜，即不等式的解集为（﹣，）．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．18．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最小值及取得最小值时的x的取值集合．【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解增区间即可．（2）通过三角函数图象变换，求解函数的解析式，然后求解函数的最小值，以及x的取值集合．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝＝sin（2x﹣）+．，k∈Z．可得x∈[k，kπ]，k∈Z．所以函数的增区间为：[k，kπ]，k∈Z．（2）将函数y＝f（x）图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数g（x）的图象，可得函数g（x）＝sin（x﹣），函数的最小值为：﹣1，此时x＝2kπ﹣，所以g（x）取得最小值时的x的取值集合{x|x＝2kπ﹣，k∈Z}．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足f（t）＝A sin（ωt﹣）+b（A＞0，ω＞0）关系．（1）求y＝f（t）的表达式；（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．【分析】（1）根据三角函数的图象性质即可求解；（2）解三角不等式即可得解．【解答】解：（1）由图可知A＝＝8，且b＝＝4，又，∴周期T＝24，∴ω＝，又根据五点法可得，∴φ＝，∴f（t）＝8sin（t﹣）+4，（0≤t≤24）；（2）令f（t）＝8sin（t﹣）+4＜0，∴sin（t﹣）＜，∴，（k∈Z），∴22+24k＜t＜30+24k，（k∈Z），又0≤t≤24，∴0≤t＜6或22＜t≤24，∴该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时．【点评】本题考查三角函数的图象性质，三角不等式的求解，属中档题．20．已知函数f（x）＝4x+a•2x+3，a∈R（1）当a＝﹣4时，且x∈[0，f（x）的值域；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝﹣4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；（2）令t＝2x，由x的范围得到t的范围，则问题转化为t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．【解答】解：（1）当a＝﹣4时，令t＝2x，由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y＝t2﹣4t+3＝（t﹣2）2﹣1当t＝2时，y min＝﹣1；当t＝4时，y max＝3．∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]；（2）设t＝2x，则t＞1，f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立等价于t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，∴a＞﹣（t+）在（1，+∞）上恒成立，∴a＞[﹣（t+）]max，设g（t）＝﹣（t+），t＞1，函数g（t）在（1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴g（t）max＝g（）＝﹣2，∴a＞﹣2，a的取值范围为（﹣2，+∞）【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，是中档题．。
一、单选题1．（ ）． sin110cos 40cos 70sin 40︒⋅︒-︒⋅︒=A ．BC ．D ．1212-【答案】A【分析】先通过诱导公式化简，然后再通过和差公式即可得到答案.【详解】sin110cos 40cos 70sin 40︒⋅︒-︒⋅︒=()sin 18070cos 40cos 70sin 40︒-︒⋅︒-︒⋅︒ =sin70cos 40cos 70sin 40︒⋅︒-︒⋅︒()1=sin 7040sin 302︒-︒=︒=故选：A 2．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．2x π=2y π=8x π=8y π=【答案】C 【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果.()242x k k Z πππ+=+∈k 【详解】由，得，令，得． ()242x k k Z πππ+=+∈()82k x k Z ππ=+∈0k =8x π=所以，函数的图象的一条渐近线为直线，tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8x π=即直线与函数的图象不相交． 8x π=tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C ．【点睛】本题考查正切型函数图象渐近线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（ ） ,,a b c R ∈0a ≠x 20ax bx c ++>240b ac ->A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若关于的不等式有解，x 20ax bx c ++>当时，关于的不等式一定有解，此时无法确定判别式是否大于零， 0a >x 20ax bx c ++>当时，则，a<0240b ac ->则关于的不等式有解不能推出， x 20ax bx c ++>240b ac ->若，240b ac ->当时，关于的不等式一定有解，0a >x 20ax bx c ++>当时，关于的不等式有解，a<0x 20ax bx c ++>所以能推出关于的不等式有解，240b ac ->x 20ax bx c ++>所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件. x 20ax bx c ++>240b ac ->故选：B.4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是π(,)2ππA ． B ．C ．D ．2|sin |y x =cos y x =sin 2y x =|cos |y x =【答案】A【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为2sin y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭cos y x =2π，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为sin2y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭cos y x =π，在区间上为增函数，不适合.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选A5．若，则的最小值为（ ）3a >-26133a a a +++A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】对变形后，利用基本不等式进行求解最小值.26133a a a +++【详解】因为，所以， 3a >-430,03a a +>>+由基本不等式得， ()()2234613434333a a a a a a a ++++==++≥=+++当且仅当，即时，等号成立， 433a a +=+1a =-故的最小值为4.26133a a a +++故选：B6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．()πsin 06y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．(]0,31,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]2,3(]0,2【答案】D【分析】求出函数的增区间，令，得，由函数在区间()πsin 06y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭0k =π2π,33x ωω-≤≤上单调递增，可得，从而可得结果. π0,3⎛⎫⎪⎝⎭2π3ω≥π3【详解】由可得，即的增区πππ2π2π,Z 262k x k k ω-+≤-≤+∈π2π2π2π,Z 33k k x k ωωωω-+≤≤+∈()f x 间，当时，增区间为 0k =π2π,33x ωω-≤≤因为函数在区间上单调递增，()πsin 06y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以，即 2π3ω≥π32ω≤又，所以的取值范围是. 0ω>ω(]0,2故选：D7．设当时，函数取得最大值，则 x θ=()2sin cos f x x x =-cos θ=A B C ． D ．【答案】D【分析】先化简已知得，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时)x ϕ-的值.cos θ【详解】由题得, sin cos sin cos cos sin )x x x x x ϕϕϕ-=⋅-⋅-其中 cos ϕϕ==当，即时，函数取到最大值. sin()1x ϕ-=2()x 222x k k z k ππϕππϕ-=+∈=++即所以=2,cos cos(2)sin 22k k ππθπϕθπϕϕ++∴=++=-=故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内()f x x ()()110f x f x ++-=任意，，当时，恒有；则称函数为“DM 函数”.若“DM 1x 2x 12x x ≠()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()f x 函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）()()2sin cos 0f f αα-+>αA ．B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为()y f x =R ()() 11f x f x +=--，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.()() 2sin 2cos f f αα->-()f x α【详解】由，知：函数是上的增函数， ()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()y f x =R 由，即， ()()110f x f x ++-=()() 11f x f x +=--由题设：，()()2sin cos f f αα->-∴，即有， ()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-()() 2sin 2cos f f αα->-∴，即， 2sin 2cos αα->-sin cos αα<∵为锐角﹐则，αcos 0α>∴，则的取值范围是.0tan 1α<<α0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结()f x 合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（ ） A ． B ． C ． D ．0∈∅{}0∅⊆{}{},,a b b a ⊆{}0∅∈【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得错误，正确. ,A D ,B C 【详解】，所以该选项错误； ,A 0∉∅空集是任何集合的子集，所以该选项正确； ,B 由子集的定义得，所以该选项正确；,C {}{},,a b b a ⊆是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选项错误. ,D ∅{0}∈故选：BC10．已知为第一象限角，下述正确的是（ ） θA ． B ．为第一或第三象限角02πθ<<2θC ．D ． sin tan θθ<()1cos sin 2θ>【答案】BCD【分析】根据为第一象限角，可得，即可判断A ，求出的范围，从而θ22,Z 2k k k ππθπ<<+∈2θ可判断B ，结合商数关系即可判断C ，根据余弦函数的性质即可判断D. 【详解】解：因为为第一象限角，所以，故A 错误；θ22,Z 2k k k ππθπ<<+∈，,Z 24k k k θπππ<<+∈当时，，为第一象限角，0k =024θπ<<当时，，为第三象限角， 1k =524θππ<<所以为第一或第三象限角，故B 正确；2θ，所以，故C 正确； 0sin 1,0cos 1θθ<<<<sin tan sin cos θθθθ=>，故D 正确. ()1cos sin cos1cos32πθ>>=故选：BCD.11．下列结论不正确的有（ ）．A ．函数()()01f x x =-()()1,11,-+∞ B ．函数，的图象与y 轴有且只有一个交点 ()y f x =[]1,1x ∈-C ．若且，，则 ,,a b c ∈R 0a b >>0c >a c ab c b+>+D ．若且，则 ,αβ∈R αβ=tan tan αβ=【答案】AB【分析】对于A ，直接求解定义域即可；对于B ，利用函数的定义进行判断；对于CD ，直接取反例即可【详解】对于A ，由，解得且，()()01f x x =-1010x x -≠⎧⎨+≥⎩1x ≥-1x ≠所以函数的定义域为，故A 正确；()f x ()()1,11,-+∞ 对于B ，因为函数的定义域为，故函数在处一定有意义，根据函数定义，自变()y f x =[]1,1-0x =量与因变量直接存在一对一或多对一的对应关系，不存在一对多的对应关系，所以函数图像与轴y 有且只有一个交点，故B 正确；对于C ，满足，，则，得不到，故C 错2,1,1a b c ===0a b >>0c >3,22a c a b c b+==+a c ab c b +>+误；对于D, 若，则不存在，故D 错误 π2αβ==tan ,tan αβ故选：AB12．已知函数的图象如图所示，则（ ）()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭A ．点为函数图象的一个对称中心 7,06π⎛⎫⎪⎝⎭()f x B ．函数在上单调递减()f x ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数的图象与轴的交点为()f x y 0,⎛ ⎝D ．若函数为偶函数，则 ()f x θ+5,Z 12k k πθπ=+∈【答案】AC【分析】根据图像求出函数解析式，在运用整体代入法逐项分析即可求解. 【详解】由图像可知，函数 的周期 ， ()f x 524,2126T T ππππω⎛⎫=⨯-===⎪⎝⎭， ， ，()()sin 2f x x ϕ∴=+()22Z 6k k πϕπ⨯+=∈,23ππϕϕ<∴=-；()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ， ，正确； 77sin 2sin 20663f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，当，其中 ，错误； 25,22333x x πππππ<<<-<5332ππ>对于C ，令 ，，正确； 0x =()0sin 3f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭对于D ， 是偶函数，则有 ，错()sin 223f x x πθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭()52,Z 32122k k k ππππθπθ-+=+=+∈误； 故选：AC.三、填空题13．幂函数在单调递减，则实数a 的取值范围是__________．()22a af x x -=()0,∞+【答案】()0,2【分析】根据幂函数的性质，列式求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，()22aaf x x -=()0,∞+所以，得. 220a a -<02a <<故答案为：()0,214．__________. ()cos 401︒︒=【答案】1【详解】， ()()2cos 6010cos401cos40cos40cos10︒-︒︒︒==︒⨯︒.2cos502sin40sin80cos10cos40cos401cos10cos10cos10cos10︒︒︒︒=︒⨯=︒⨯===︒︒︒︒故答案为1点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.15．函数____________()f x =【答案】. 27[2,2]()36k k k Z ππππ++∈【分析】先求函数定义域所满足的不等式，再结合单调递减区间，即可求出结果. sin y x =【详解】()f x =，sin()0,22()66x k x k k Z πππππ-≥∴≤-≤+∈所以()f x =，22()26k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得， 2722()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x =. 27[2,2]()36k k k Z ππππ++∈故答案为: 27[2,2]()36k k k Z ππππ++∈【点睛】本题考查函数的单调性，但要注意定义域，属于基础题.16．若是方程的两根，，则tan ,tan αβ2420x x --=θαβ=+()()32cos cos 211sin sin 52ππθθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭___________. 【答案】10-【分析】由韦达理及正切两角和得到，再根据诱导公式化简即可求解.4tan 3θ=【详解】由题知，， tan +tan =4tan tan =2αβαβ-，而， θαβ=+所以，tan +tan 4tan tan()1t 3an tan αβθβααβ=+==-所以.()()342cos cos 22cos sin 2tan 2310411cos sin 1tan 1sin sin 532ππθθθθθπθθθθπθ⎛⎫++-+ ⎪--+⎝⎭====--+-⎛⎫--+-⎪⎝⎭故答案为：10-17．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.2AB =【答案】2π-【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可. 【详解】解：过作于，A AD BC ⊥D是等边三角形，ABC A ， 2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ︒∠=∠=∠=，AD BC ⊥，，1BD CD ∴==AD ==11222ABC S BC AD ∴=⋅=⨯=A 扇形BAC 的面积，260π22π3603S ⨯==莱洛三角形的面积为：∴23223ππ⨯-=-故答案为：.2π-18．已知为R 上的奇函数，且当时，，记，在()f x 0x >()lg f x x =()()sin cos g x x f x x =+⋅()g x 区间的零点有__________个．π,π2⎛-⎫⎪⎝⎭【答案】4【详解】由为R 上的奇函数，可得，()f x ()()f x f x =--所以， ()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-又的定义域为R ，所以函数为奇函数. ()g x ()g x 假设，即，时， cos 0x =2x k π=+πZ k ∈，()πsin cos sin πcos π02x f x x k k ⎛⎫+⋅=+=≠ ⎪⎝⎭所以当，时，，2x k π=+πZ k ∈()0g x ≠当，时，， ππ2x k ≠+Z k ∈()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-当时，令，，则大于0的零点为，的交点，0x >1tan y x =2lg y x =-()g x 1tan y x =2lg y x =-由图可知，函数在区间和各有1个零点，()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭因为函数为奇函数，所以函数在区间的零点有1个，()g x ()g x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭又，()()0sin 00cos 00g f =+⋅=所以函数在区间的零点个数为4个.π,π2⎛-⎫⎪⎝⎭故答案为：4.四、解答题19．设函数，．()22sin cos f x x x x =-x ∈R (1)求的最小正周期； ()f x (2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上的单调递()f x π6()g x ()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦增区间． 【答案】(1) π(2) ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期； ()f x (2)根据图像平移求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.()g x【详解】（1），()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期； 2ππ2T ==（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，()y f x =6π()y g x =则，()ππ2sin 22sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ππ2ππ,2,3432x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当即时，单调递增，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ∴在上的单调递增区间为：()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．已知，，且．1cos 7α=()13cos 14αβ-=π02βα<<<(1)求的值；cos 2α(2)求．β【答案】(1) 4749-(2)π3【分析】（1）利用二倍角公式即可求解；（2）先根据题意求出，再根据求解即可.sin ,αsin()αβ-cos cos[()]βααβ=--【详解】（1）∵， 1cos 7α=∴ 2147cos 22cos 1214949αα=-=⨯-=-（2）∵，，∴ 1cos 7α=π02α<<sin α==∵，∴， π02βα<<<π02αβ<-<又∵，∴ 13cos()14αβ-=sin()αβ-==， cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-12==所以. π3β=21．设函数. ()()22log 2log 16x f x x =⋅(1)解方程；()60f x +=(2)设不等式的解集为，求函数的值域.23224+-≤x x x M ()()f x x M ∈【答案】(1)或2x =4x =(2) 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简，由解得可得答案； ()f x ()222log 3log 4=--x x ()60f x +=2log x （2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转M ()()222log 3log 4=--f x x x 2log t x =化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案. ()234=--g t t t t 【详解】（1）()()()()()222222log 2log log log 161log log 4=+⋅-=+⋅-f x x x x x ， ()222log 3log 4x x =--由得，解得或， ()60f x +=()222log 3log 20x x -+=2log 1x =2log 2x =所以或.2x =4x =所以方程的解是或；()60f x +=2x =4x =（2）由得，即，解得，，23224+-≤x x x 26422+-≤x x x 264+≤-x x x 14x ≤≤{}|14M x x =≤≤，()()()()2222222log 2log log log 16log 3log 4=+⋅-=--f x x x x x 令，所以，2log t x =02t ≤≤则为开口向上对称轴为的抛物线， ()223253424⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭g t t t t 32t =因为，所以， 02t ≤≤()2544g t -≤≤-所以函数的值域为. ()()f x x M ∈25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦22．设（，）是奇函数. 12()2x x m f x n+-+=+0m >0n >(1)求m 与n 的值；(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数a 的取值范x ∈R ()22cos (4sin 7)0f a x f x ++>围.【答案】(1)12m n ==，(2)1522a ≤<【分析】（1）根据奇函数的表达式对定义域内所有自变量成立即可求解； ()()f x f x -=-（2）利用奇函数的变换和分离常数法确定的单调性，再利用参变分离即可求解.()f x 【详解】（1）因为是奇函数，()f x 所以， ()()f x f x -=-即对定义域内任意实数x 成立. 112222x x x x m m n n--++-+-+=-++化简整理得，这是关于x 的恒等式，2(2)2(24)2x x m n mn -⋅+-⋅(2)0m n +-=所以 20,240m n mn -=⎧⎨-=⎩所以或. 12m n =-⎧⎨=-⎩12m n =⎧⎨=⎩经检验符合题意. 12m n =⎧⎨=⎩（2）因为，且是奇函数 ()22cos (4sin 7)0f a x f x ++>()f x所以， ()22cos f a x +>(4sin 7)f x -4sin 7)f x =+因为在R 上单调递减， 12()1221x f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以，22cos a x +4sin 7x <+即对任意都成立，22cos 4sin 7a x x <--+R x ∈由于，其中， 2cos 4sin 7x x --+2(sin 2)2x =-+1sin 1x -≤≤所以，即最小值为32(sin 2)23x -+≥所以，23a <即，2120a -<解得，12-<<故，02<即. 1522a ≤<。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册．考试时间：120分钟 分值：150一、单选题1. “”是“”成立的（ ）,k k αβ=π+∈Z tan tan αβ=A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.【详解】当时，一定有，即必要性满足； tan tan αβ=,k k αβ=π+∈Z 当时，其正切值不存在，所以不满足充分性； 3,22ππαβ==所以“”是“”成立的必要不充分条件， ,k k αβ=π+∈Z tan tan αβ=故选：B.【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况. 2. 若，则下列不等式中，正确的是（ ） 110a b<<A. B. a b <22a b >C. D. a b ab +<11a b a b-<-【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】由，得，即，故A 错误； 110a b <<110,0,0a b a b abb a <<--=<0b a <<则，则，即，故B 错误； 0b a ->->()()22b a ->-22a b <则，，所以，故C 正确； 0a b +<0ab >a b ab +<则，所以，故D 错误； 11b a -<-11b a b a-<-故选：C3. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（ ）A.B. C. D.y =211x y x +=-121x y =-lg 10x y =【答案】D 【解析】【分析】求出各选项中函数的定义域与值域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，值域为；y =[)1,+∞[)0,∞+对于B 选项，函数，定义域为，值域为； ()2132132111x x y x x x -++===+---{}1x x ≠{}2y y ≠对于C 选项，对于函数，有，可得，该函数的定义域为， 121xy =-210x -≠0x ≠{}0x x ≠当时，，则，此时， 0x <021x <<1210x -<-<1121x y =<--当时，，则，， 0x >21x >210x ->1021xy =>-故函数的值域为； 121x y =-()(),10,-∞-⋃+∞对于D 选项，函数的定义域为，值域也为. lg 10x y x ==()0,∞+()0,∞+故选：D.4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（）()22xy xx R =-∈A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项BD ，再通过计算确定答案. (0)10=>f 【详解】解：设，()222()2()22()xx xf x xR f x x x f x -=-∈∴-=-=-=，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项BD. ()f x y 当时，，所以排除C ，选择A. 0x =02(0)2010=-=>f 故选：A5. 已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ） ()tan ,sin P θθθA. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限． ()tan ,sin P θθtan 0sin 0θθ<⎧⎨<⎩θ故选：D ．6. 已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a（ ） A. B.C.D.()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即()21f >可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立，()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C7. 设，，，则（ ）21log 3a =0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.c b a <<a b <a b c <<b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】是增函数，2log y x = ， 221log log 103a ∴=<=是减函数，在上是增函数，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 0.5y x =(0,)+∞0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<故选：B8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范()2020sin ,01log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩,,a b c ()()()f a f b f c ==a b c ++围是（）A. B.C.D.()1,2020()1,2021()2,2021[2]2021,【答案】C 【解析】 【分析】在同一个坐标系内作出和y=m ,根据有三个交点，判断0<m <1，分析出的范围.()y f x =a b c ++【详解】如图示，由的图像关于对称，知，而由，得： sin x π12x =1a b +=()2020log 01c m m =<<，所以.12020c <<2a b c <++故选：C【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9. 下列各式中，值可取的是（ ） 1A. 22cos 15sin 15- B.2sin cos(3x x π-C.1sin cos cos sin 662ππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x xD. tan10tan 35tan10tan 35++ 【答案】BD 【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A ；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC ；. 由正切的两角和的展开公式化简可判断D. 【详解】，故A 错误；22cos 15sin 15cos30-==212sin cos 2sin cos sin cos 32⎛⎫π⎛⎫-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x11sin 22sin 2223π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭x x x 由得1sin 213π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭x 1sin 213π⎛⎫-≤-≤+ ⎪⎝⎭x 可得B 正确；.，故C 错误；11sin cos cos sin sin 066262πππ⎛⎫⎛⎫+-++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ， ()tan10tan 35tan10tan 35tan 451tan10tan 35tan10tan 351++=-+= 故D 正确. 故选：BD.10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则0,0a b >>2112a b ab+≤+B. 函数的最小值为2πsin ((0,))sin 2y x x x =-∈C. 函数的值域为，则实数m 的取值范围是 222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦R R D. 若函数，则在区间上单调递增. 27()f x x -=()f x (,0)-∞【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项利用差比较法判断；B 选项利用换元法以及函数的单调性进行判断；C 选项利用判别式进行判断；D 选项根据幂函数的单调性进行判断.【详解】A 选项，，，0a >0b >()()242211222a b aba b a b ab a b a b a b+-++-=-=+++，当且仅当时等号成立，所以，故A 选项正确.()()202a b a b -=≥+a b =2112a ba b+≤+B 选项，令，则， πsin ,0,2t x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈函数在区间上递增，没有最小值.所以B 选项错误. 2y t t=-()0,1C 选项，函数的值域为， 222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦R 当时，，值域为，符合题意. 0m =()()2023log f x x =-R 当时，，所以的值域为，符合题意.0m ≠()()2222422142110m m m m m ∆=+-=-+=-≥()f x R 综上所述，实数的取值范围是，C 选项正确. m R D 选项，函数，定义域是，，27271)(f xxx-==={}|0x x ≠()()f x f x -===是偶函数，在上递减，所以在区间上单调递增，D 选项正确.()f x ()0,∞+(,0)-∞故选：ACD11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）()()23log 2f x x x =-A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 ()f x [)1,+∞()f x R C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是()f x 1x =()1f x <()1,3-【答案】BC 【解析】【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对A ：令，解得或，故的定义域为， 220x x ->2x >0x <()f x ()(),02,I ∞∞=-⋃+∵在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 3log y u =22u x x =-(),0∞-()2,∞+故在上单调递减，在上单调递增，A 错误；()f x (),0∞-()2,∞+对B ：∵，即的值域，()222111x x x -=--≥-22y x x =-[)1,M =-+∞∵，故函数的值域是，B 正确；()0,M +∞⊆()f x R 对C ：∵，即， ()()()()()32232log 222log 2f x x x x x f x ⎡⎤-=---=⎣-=⎦()()2=f x f x -故函数的图象关于对称，C 正确；()f x 1x =对D ：，且在定义域内单调递增，()()233log 21log 3f x x x =-<=3log y x =可得，解得或， 2023x x <-<23x <<10x -<<故不等式的解集是，D 错误.()1f x <()()1,02,3- 故选：BC.12. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）()2|1|22x a f x x x +=+++R a ∈A. 函数图象为轴对称图形 ()f x B. 函数在单调递减()f x (),1-∞-C. 存在实数，使得有三个不同的解m ()f x m =D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式的解集为 ()5f x ≥(][),20,-∞-+∞ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性、方程的解、不等式的解等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】，()()212|1|22121x x x f x x a x a ++=+++=+++-，，()2121xf x x a -+=++-()()21211xf x x a f x --=++-=-+所以的图象关于直线对称，A 选项正确. ()f x =1x -由于函数在区间上递减，在区间上递减，()21y x =+(),1-∞-12x y +=(),1-∞-所以函数在单调递减，B 选项正确.()()21121x x x a f +=+++-(),1-∞-由上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上()f x =1x -()f x (),1-∞-()1,-+∞递增，所以不存在实数使得有三个不同的解，C 选项错误.m ()f x m =有上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上()f x =1x -()f x (),1-∞-()1,-+∞递增，令，解得， ()()112121501215f a f a ⎧-=++-=⎪⎨=++-=⎪⎩3a =此时不等式的解集为，D 选项正确. ()5f x ≥(][),20,-∞-+∞ 故选：ABD三、填空题13. 已知命题p ：，若命题P 为假命题，则实数a 的取值范围是___．2R,0x x ax a ∃∈-+<【答案】[0，4] 【解析】【分析】命题P 为假命题，则为真命题，进而求出a 的范围.p ⌝【详解】根据题意，恒成立，所以.2R,0x x ax a ∀∈-+≥[]2Δ400,4a a a =-≤⇒∈故答案为：. []0,414. 已知函数的最小正周期为，则的值为___________. πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭π2a 【答案】 2±【解析】的值.a 【详解】解：函数的最小正周期为，所以. πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭ππ2a =2a =±故答案为：.2±15. 已知，满足，，，，则αβπ04α<<π4π34β<<3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin αβ-=______． 【答案】 5665-【解析】【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结,ππs o 4s 4in c αβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭果.【详解】因为，则， π04α<<πππ442α<+<因为，则，π4π34β<<πππ24β<+<所以， 445πsin α⎛⎫+==⎪⎝⎭，5413πcos β⎛⎫+==- ⎪⎝⎭则 ()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππcos cos sin 444sin 4αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 453125651351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为: 5665-16. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数{}max ,a b a b (){}1max 2,2x f x x -=-c 在R 上单调递减，则实数的取值范围为___________． ()()321,4,x m x x c g x m x c⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩m 【答案】 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据图象，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得()f x c ，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案． ()()321,14,1x m x x g x m x ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩()()210013214m m m m⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜m【详解】由题意，在同一坐标系下画出的图象，可知12,2x y y x -==-，且 ()12,12,1x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩(1)1c f ==则，因为为减函数， ()()321,1g 4,1x m x x x mx ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩()g x 必有，()()210013214m m m m ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜解可得：，即m 的取值范围为； 104m ≤＜10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题17. 计算下列各式的值．（1）．121log 20.1lg511log 2+--（2）．()sin501⋅+ 【答案】（1）2+（2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简求解；（2）利用同角关系式、辅助角公式得到，再利用诱导公式及二倍角公式，化简求解． 2sin40sin50cos10⋅【小问1详解】解：，121log 20.1lg511log 2+--，()1211log 22lg51212log lg2=+++，l lg5g 12++=；2=+【小问2详解】，()sin501⋅ ，sin501⎛=⋅+ ⎝ ，sin50=⋅， 2sin40sin50cos10=⋅， 2sin40cos40cos10=． sin80cos101cos10cos10===18. 已知，函数的一个零点为1. (),0,a b ∈+∞()2f x ax x b =-+（1）求的最小值； 41a a b++（2）解关于的不等式x ()0f x ≤【答案】（1）10（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据函数零点可得，又，结合基本不等式即可求得的最小1a b +=(),0,a b ∈+∞41a a b++值；（2）解含参一元二次不等式不等式，由方程的两根，，比较两根大小，即可()0f x =11x =21a x a-=求得不等式的解集.【小问1详解】 函数的一个零点为1，得即，又， ()2f x ax x b =-+()10f =1a b +=(),0,a b ∈+∞所以， ()414141411141610a b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++=+++=++++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为10； 4b a a b =23a =13b =41a a b++【小问2详解】由整理得，因为，方程的两根，()0f x ≤()()110x ax a ⎡⎤---≤⎣⎦(),0,a b ∈+∞()0f x =11x = 21a x a-=①当时，原不等式为，则其解集为； 12a =()210x -≤{}1②当时，则，所以不等式的解集为； 112a <<11a a -<1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，则，原不等式的解集为. 102a <<11a a ->11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦19. 某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>2πϕ<时，列表并填入了部分数据，见下表： x ωϕ+0 2ππ 32π 2π x 12π712π()sin A x ωϕ+0 0 2-（1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调()f x ()f x []0,2π递减区间.（2）求在区间上的最大值和最小值. ()f x 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）答案见解析（22-【解析】【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.【小问1详解】根据五点法的表格，所以 ()2sin 32f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以的最小正周期 ()f x 22T ππ==令， 3222232k x k πππππ+≤+≤+Z k ∈解之得 7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈又，所以或 []0,2x π∈71212x ππ≤≤13191212x ππ≤≤即在上的单调递减区间为， ()f x []0,2π7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】 由于 203x π-≤≤所以 233x πππ-+≤≤所以 1sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以 22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当即时，函数的最小值为; 232x ππ+=-512x π=-()f x 2-当即233x ππ+=0x =20. 设．()2cos sin cos 1f x x x x =++（1）求使不等式成立的的取值集合； ()32f x ≥x （2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向()f x 4π下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数32()h x ()21cos 03h x x m +->0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭m 的取值范围．【答案】（1）；（2）． 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭13m ≤【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()32f x ≥，利用正弦函数的性质可求不等式的解集. sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，()h x x =2111cos cos 232x x m -++>0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.m【详解】解：. ()cos 2111133sin 21sin 2cos 222222242x f x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭（1） ()32f x ≥332sin 204224x x ππ⎛⎫⎛⎫++≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3222488k x k k x k k Z ππππππππ⇔≤+≤+⇔-+≤≤+∈所以原不等式的解集为：. 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数342y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4π32y x =+32， ()h x x =∴. ()222111111cos sin cos cos cos 323232h x x x x x x +=+=-++设，由可得：， cos t x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈则原不等式等价于：在上恒成立； 2111232t t m -++>()0,1设，，则在递增，在递减，所以， ()2111232g t t t =-++()0,1t ∈()g t 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()()113g t g >=所以． 13m ≤【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的()()sin 2f x A x B ωϕ''=++()f x 求解问题．另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒cos x 成立问题.21. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当()C x ()21102C x x x =+年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期()6400511000C x x x=+-间，该公司生产的药品能全部售完．（1）写出利润（万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式；()L x （2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？ 【答案】（1）； ()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润060x ≤<60x ≥=-()L x（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；x （2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.()L x x 【小问1详解】由题意可知，()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦当时，， 060x ≤<()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-当时，， 60x ≥()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故有； ()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时，， 060x ≤<()()21406006002L x x =-⋅-+≤即时，，40x =max 600y =当时，有， 60x ≥()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-=当且仅当时，,80x =max 640y =因为，所以时，，640600>80x =max 640y =答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.22. 已知，函数 a ∈R ()()22log f x x x a =++（1）若函数过点，求此时函数的解析式；()f x ()1,1()f x （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求0a >1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +a 的取值范围.【答案】（1）()()22log f x x x =+（2） 94a ≥【解析】【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式； ()1,1()()22log f x x x a =++a （2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小()()22log f x x x a =++[],1t t +值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出22t t a -++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案. 【小问1详解】解：因为函数过点，()f x ()1,1即，()()21log 21f a =+=解得，0a =故； ()()22log f x x x =+【小问2详解】因为是复合函数，设，， ()()22log f x x x a =++2()u x x x a =++()2log ()f x u x =，在区间单调递增，单调递增， 1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2()u x x x a ∴=++[],1t t +()2log ()f x u x =故函数在区间上单调递增，()f x [],1t t +， ()()()()2222min max ()log ,(1)log 32f x f t t t a f x f t t t a ∴==++=+=+++由题意对任意恒成立， (1)()1f t f t +-≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， ()()2222log 32log 1t t a t t a +++-++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， 2232222t t a t t a +++≤++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， 22t t a -++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，，只需即可，2()2g t t t =-++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦max ()g t a ≤因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线， 2()2g t t t =-++12t =故在单调递减， 2()2g t t t =-++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故， max 19()(24g t g ==故.94a ≥。
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{2},{1<<1}x M yy N x x ===-∣∣，则M N ⋂=（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．∅D ．(1,1)-【答案】B【分析】解出集合M ，根据集合交集的运算即可求解.【详解】{2}{>0}x M y y y y ===∣∣,{}01M N x x ⋂=<<.故选：B2．“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出sin 0θ<且tan 0θ<时θ所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】因为sin 0θ<且tan 0θ<，由任意角的三角函数可知，θ为第四象限角，所以“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D.3．若tan 2θ=-，则sin 2θ=（）A ．25-B ．45-C ．25D ．45【答案】B【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的关系，222sin cos sin 2sin cos θθθθθ⋅=+，再进行“弦化切”即可代值求解.【详解】()()2222222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 1521θθθθθθθ⨯-⋅====-++-+.故选：B.4．已知命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R ；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B【分析】分别判断出命题p 和q 的真假，即可逐个选项进行判断.【详解】命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R 是特称命题，因π3sin +cos 2sin 42x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π32sin 144x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，无解，所以命题p 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥是全称命题，因0x ≥，所以||0e e 1x ≥=，所以命题q 是真命题.所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是假命题，p q ⌝∧是真命题，p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∨是假命题.故选：B5．已知0.13121log 2,log 5,()3a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】C【分析】利用中间值0和1进行比较即可.【详解】333log 1log 2log 3<<，所以01a <<，1122log 5log 1<，所以0b <，0.1011()()33->，所以1c >，所以c a b >>.故选：C.6．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A ．2p q+B ．(1)(1)12p q ++-C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-【答案】D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得(1)(1)1x p q =++-．【解析】函数模型的应用．7．已知正实数,x y 满足2212,xy x y =+-则x y +的最大值是（）A ．24B ．12C ．43D ．23【答案】C【分析】设x y t +=，则y t x =-，代入已知等式，化为关于x 的方程，由判别式非负，解得t 的最大值.【详解】设x y t +=，则y t x =-，因为2212xy x y =+-，所以22()()120x t x x t x +----=，即：2233120x tx t -+-=，所以222912(12)31440t t t ∆=--=-+≥，解得：4343t -≤≤，又因为x ，y 为正实数，所以043t <≤，所以x y +的最大值为43.故选：C.8．幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点(1,0),(0,1)A B 连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数,a b y x y x ==的图像三等分，即BM =MN =NA ,那么ab =（）A ．13B ．.2C ．1D ．12【答案】C【分析】求出M 、N 的坐标，分别带入函数解析式即可求得a 、b ，然后根据换底公式可得.【详解】因为M 、N 为线段AB 的三等分点，易得1221(,),,)3333M N （，分别带入,a b y x y x ==得1221(),()3333a b ==，解得123321log ,log 33a b ==，所以123321lglg2133log log 11233lg lg 33ab =⨯=⨯=.故选：C9．已知函数()22,01,04x x f x x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则关于x 的方程23()7()20f x f x -+=实数解的个数为（）A ．4B ．5C ．3D ．2【答案】A【分析】由23()7()20f x f x -+=解得()13f x =或2，再画出()f x ，2y =，13y =的图象数交点个数即可.【详解】因为23()7()20f x f x -+=，解之得()13f x =或2，当0x ≤时，()0f x ≥；当0x >时，()211111124442x f x x x x x x +⎛⎫==+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，所以()f x ，2y =，13y =的图象如图：由图可知使得()13f x =或()2f x =的点有4个.故选：A.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，则（）A ．11(sin )(cos )33f f <B ．33(sin )(cos )22f f >C ．(sin 2)(cos 2)f f >D ．(sin1)(cos1)f f <【答案】D【分析】根据题意，由条件可得()f x 的周期为2，然后结合偶函数的性质可得[]0,1x ∈时的解析式，再由其单调性即可得到结果.【详解】因为函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，则()()()()122f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦，所以()f x 的周期为2，且()f x 是偶函数，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，设[]0,1x ∈，则[]43,4x -∈，所以()()()44431f x f x f x x x =-=-=--=-，所以()f x 在[]0,1上单调递减，因为[]11sin ,cos 0,133∈，且11sin cos 33<，所以11(sin )(cos )33f f >，故A 错误；因为[]33sin ,cos 0,122∈，且33sin cos 22>，所以3(sin )(cos )322f f <，故B 错误；因为[]sin 20,1∈，πππcos 2cos 2sin 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且()f x 为偶函数，则()ππcos 2sin 2sin 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且[]πsin 20,12⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 2sin 22⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以(sin 2)(cos 2)f f <，故C 错误；因为[]sin1,cos10,1∈，且sin1cos1>，所以(sin1)(cos1)f f <，故D 正确；故选:D二、多选题11．下列函数中既是偶函数，又在()0,∞+上单调递减的是（）A ．2log y x =B ．2y x-=C ．1y x=D ．23y x=【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数2log y x =的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，A 不满足条件；对于B 选项，函数221y x x -==的定义域为{}0x x ≠，设()121f x x=，则()()()112211f x f x x x -===-，该函数为偶函数，且函数2y x -=在()0,∞+上为减函数，B 满足条件；对于C 选项，函数1y x=的定义域为{}0x x ≠，设()21f x x =，则()()2211f x f x x x-===-，该函数为偶函数，当0x >时，1y x=，则函数1y x =在()0,∞+上为减函数，C 满足条件；对于D 选项，函数2323y x x ==的定义域为R ，设()323f x x =，则()()()232333f x x x f x -=-==，该函数为偶函数，函数23y x =在()0,∞+上为增函数，D 不满足条件.故选：BC.12．若x y >，则（）A ．ln(1)0x y -+>B ．11x y<C ．33x y >D ．x y>【答案】AC【分析】利用指对数函数的单调性判断AC ；举例说明判断BD 作答.【详解】由x y >知，11x y -+>，则ln(1)0x y -+>，A 正确；取x 1,y 2==-满足x y >，此时11x y>，x y <，BD 错误；由x y >，得33x y >，C 正确.故选：AC13．函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B ．()y f x =在区间π[0,]2的最小值是32-；C ．直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴；D ．3(π)62f =【答案】BCD【分析】利用函数的对称中心得到π3ϕ=，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可求解.【详解】因为函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，所以π2π()sin()033f ϕ=+=，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则函数π()sin(2)3f x x =+，对于A ，因为5π(0,)12x ∈，所以ππ7π2(,)336x +∈，所以函数()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭先增后减，故选项A 错误；对于B ，因为π[0,]2x ∈，所以ππ4π2[,]323x +∈，当π4π233x +=时，函数取最小值32-，故选项B 正确；对于C ，函数π()sin(2)3f x x =+，因为5πππ()sin[2)]sin()11232f x =⨯+=-=-（-，所以直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴，故选项C 正确；对于D ，函数π()sin(2)3f x x =+，则函数πππ2π3()sin(2)sin 66332f =⨯+==，故选项D 正确；故选：BCD.14．设函数22,0;()log ,0.xx f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩函数()()=-g x f x k ，若()g x 有三个不同的零点123,,x x x ，且满足123x x x <<，则下列说法正确的有（）A ．321x x =B ．233x x +的取值范围是13[2∞+，）C ．1k >D ．233x x +的取值范围是[23∞+，）【答案】AB【分析】利用函数()f x 与y k =的图象可判断C ；直接解方程2log x k =求出23,x x 可判断A ；表示出233x x +，233x x +，换元后利用对勾函数的单调性求最小值，即可判断BD.【详解】因为()g x 有三个不同的零点，所以函数()f x 与y k =有三个交点，由图可知，1k ≥，故C 错误；令2log x k =2log x k =，即2log x k =±，解得232,2k kx x -==，显然321x x =，故A 正确；因为1k ≥，所以22k ≥，令2k t =，则2311323233()3k ky x x t t t t-=+=+⋅=+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在3[,)3+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min113(3)3(2)62x x +=+=，B 正确；令2k t =，则2333322k ky x x t t-=+=⋅+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在[3,)+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min 37(3)222x x +=+=，故D 错误.故选：AB三、填空题15．sin 660︒=______．【答案】32-【分析】直接由诱导公式化简为sin 60-︒，即可得出答案．【详解】3sin 660sin(236060)sin(60)sin 602︒=⨯︒-︒=-︒=-︒=-，故答案为：32-．16．已知函数()2f x 的定义域为1[,2]2，则函数()2f x 的定义域为______.【答案】[][]2,11,2-- 【分析】由1[,2]2x ∈，可知124x ≤≤，再解关于x 的不等式214x ≤≤即可.【详解】因为1[,2]2x ∈，即122x ≤≤，所以124x ≤≤，所以214x ≤≤，所以[][]2,11,2x ∈--⋃.故答案为：[][]2,11,2-- .17．已知关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为______.【答案】()2,1--【分析】构造函数22()2f x x kx k k =+++-，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式(2)0f <，解不等式即可求实数k 的取值范围．【详解】关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数22()2f x x kx k k =+++-，∵一根大于2，一根小于2，∴(2)0f <，∴24220k k k +++-<，解得2<<1x --.则k 的取值范围是()2,1--.故答案为：()2,1--.18．已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若()(),[1,1],00,f m f n m n m n m n+∈-+≠>+时，()222f x t at ≤--不等式对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】(][),33,∞∞--⋃+【分析】可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得()f x 在[1,1]-上单调递增，所以()f x 在[-1，1]上最大值是(1)1f =，问题可转化为2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，只需()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解不等式即可.【详解】因为()f x 为奇函数且m ，[1,1]n ∈-，0m n +≠，所以()()()()0()f m f n f m f n m n m n +--=>+--，所以()f x 在[1,1]-上单调递增，所以max ()(1)1f x f ==，又因为2()22f x t at ≤--对于所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，所以2max ()22f x t at ≤--对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2230t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，所以只需满足22(1)0230(1)0230g t t g t t -≥⎧+-≥⎧⇒⎨⎨≥-+-≥⎩⎩，解得3t £-或3t ≥．故答案为：(,3][3,)-∞-+∞ .四、解答题19．（1）已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点13(,)22P -，求cos tan(π)sin(π)cos(5π)αααα+⋅--的值.（2）计算：()321lg5lg8lg1000(lg 332)lg lg0.++++【答案】（1）2；（2）2【分析】（1）运用诱导公式化简及角α终边经过点(,)P x y ，则22cos x x y α=+公式代入计算即可.（2）运用对数运算公式计算即可.【详解】解析：（1）因为角α终边经过点13(,)22P -，所以221cos 2x x y α==-+，所以原式cos tan sin 12sin cos sin cos cos αααααααα=⋅=-=-=-.（2）()()231lg5lg8lg1000lg2lg lg0.33++++()()2lg53lg233lg2lg3lg31=++-+-()()23lg5lg23lg53lg213lg2lg5lg23lg51=⨯++-=++-()3lg23lg513lg2lg512=+-=+-=.20．已知函数()223f x x bx =-+，R b ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >对一切实数x 都成立，求b 的取值范围；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()f x 的最小值为1，求b 值.【答案】(1)33b -<<(2)32b =-或2b =.【分析】（1）将问题转化为()min 0f x >，由二次函数在对称轴处取得最值可得230b ->，解不等式即可.（2）分别讨论1b ≤-、2b ≥、12b -<<时二次函数()f x 在[]1,2-上的单调性进而得其最小值，结合已知条件解方程即可.【详解】（1）因为()2230f x x bx =-+>恒成立，所以()min 0f x >，当且仅当x b =时，()f x 取最小值为()222233f b b b b =-+=-，所以()0f b >，即：230b ->，解得33b -<<.故b 的取值范围为33b -<<.（2）因为()223f x x bx =-+是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为x b =，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴()()min 1421f x f b =-=+=，解得32b =-；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴()()min 2741f x f b ==-=，解得32b =（舍）；③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上单调递增，∴()()2min 31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）；综上，32b =-或2b =.21．已知函数()2π3cos cos 3cos 64f x x x x ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)πT =(2)最大值为14，最小值为12-.【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用可得1π()sin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的周期性可求最小正周期T .（2）通过64ππx -<<，求得3622πππx 3-<-<，再利用正弦函数的性质可求最值.【详解】（1）由已知，有()2133cos (sin cos )3cos 224f x x x x x =⋅+-+2133sin cos cos 224x x x =⋅-+()133sin21cos2444x x =-++131πsin2cos2sin(2)4423x x x =-=-.所以，()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）ππ[,]64x ∈-时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ236x -=，即π4x =时，()f x 取到最大值14，当ππ232x -=-，即π12x =-时，()f x 取到最小值12-.所以，函数()f x 在闭区间π[0,]2上的最大值为14，最小值为12-.22．已知函数(),0;2,0.x x a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩其中R a ∈.(1)若1a =-，解不等式()14f x ≥；(2)设0a >，()21log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】(1)352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭(2)65a ≥【分析】（1）分类讨论解分段函数不等式即可.（2）由对数型函数的单调性可得()g x 在[],2t t +单调递减，进而运用对数运算公式及对数型函数单调性将问题转化为求()22t a t t -≥+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即求()max22t t t ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦，运用换元法及对勾函数的单调性可求得结果.【详解】（1）1a =-时，()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩当0x ≥时，()114f x x =-≥，解得54x ≥或34x ≤，所以350,,44x ⎡⎤⎡⎫∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ；当0x <时，()124x f x =≥，2x ≥-，所以[)2,0x ∈-.综上，352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）因为0a >，[],2x t t ∈+，所以()2211log log g x f a x x ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],2t t +单调递减，所以()()()()22max min 112log log 12g x g x g t g t a a t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即：222111log 1log log 222a a a t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1122a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，所以()12222t a t t t t -≥-=++在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()max22t a t t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令320,2m t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()2222468t m m h m t t m m m m -===+---+，①当0m =时，()0h m =，②当30,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()186h m m m=+-，又因为86y m m =+-在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，所以8316566236m m +-≥+-=，所以()60,5h m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，max 6()5h m =.所以65a ≥.23．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“优美区间”．(1)写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；(2)求证：函数()64g x x=+不存在“优美区间”；(3)已知函数()()()221R,0a a x y h x a a a x +-==∈≠有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析(3)233【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；（2）若函数存在“优美区间”，可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减，从而可得()()g m n g n m=⎧⎨=⎩，联立可推出矛盾，即可证明结论；（3）函数()h x 有“优美区间”，结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，说明,m n 是方程222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得,m n 的关系，进而可求得n m -的最大值．【详解】（1）[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”，证明如下：212y x =在区间[0,2]上单调递增，又(0)0f =，(2)2f =，∴212y x =的值域为[0,2]，∴[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”．（2）设[,]m n 是函数()g x 的定义域的子集．由0x ≠，可得[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减．若[,]m n 是函数()g x 的“优美区间”，则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得，66n m m n-=-，则6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴=，则664m m+=，显然等式不成立，∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”．（3）()h x 的定义域为{|0}x x ≠，[,]m n 是函数()h x 的定义域的子集，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，而函数()()222111a a x y xh x a a x a a +-==+=-在[,]m n 上单调递增，若[,]m n 是函数()h x 的“优美区间”，则()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，∴,m n 是方程211a x a a x +-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根．210mn a=> ，∴,m n 同号，只需2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->，解得1a >或3a <-，211,a m n mn a a++== ，n m >，22222142114()413333a n m m n mn a a a a a +⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当3a =时，n m -取得最大值233．。
陕西省西安市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={x||2x﹣1|＜3，，则A∪B=（）A .B . {x|2＜x＜3}C . {x|x＜2或x＞3}D .2. （2分） (2016高一上·晋江期中) 已知函数，则的值是（）A .B .C . 4D . ﹣43. （2分） (2020高一下·佛山期中) 在中，内角A，B，C所对的边分别为 .已知则（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高三上·鹤岗月考) 已知函数，相邻两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（）A .B . 0C .D .5. （2分） (2016高一上·银川期中) 设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9 ，则有（）A . y3＞y1＞y2B . y2＞y1＞y3C . y1＞y2＞y3D . y1＞y3＞y26. （2分）下列四个函数中，以π为最小正周期的偶函数是（）A . y=tanxB . y=cos2xC . y=sin2xD . y=xsinx7. （2分）定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知向量若则的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·天津月考) 如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是A .B .C .D .10. （2分） (2015高一下·金华期中) 已知f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+3，则f（1）+g（1）=（）A . 5B . ﹣5C . 3D . ﹣311. （2分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的最大值是（）A . πB .C .D . 2π12. （2分） (2019高一上·贵池期中) 下列四个图形中，是函数图象的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2016高一上·蚌埠期中) 函数的定义域是________；值域是________．14. （1分） (2018高一上·西宁期末) 计算： ________．15. （2分） (2020高二下·慈溪期末) 已知函数，则 ________；函数在上的值域为________.16. （1分） (2018高一上·镇江期中) 已知常数k，，，函数为偶函数，且则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y 轴对称（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）18. （5分）(2019·浙江模拟) 已知函数（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）若，，求的值.19. （10分） (2017高一上·南通开学考) 若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0 ，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．20. （5分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）+B141﹣21（Ⅰ）求x2的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）请说明把函数g（x）=sinx的图象上所有的点经过怎样的变换可以得到函数f（x）的图象．21. （10分） (2018高一上·马山期中) 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长记2009年为第1年，且前4年中，第x年与年产量万件之间的关系如表所示：x1234若近似符合以下三种函数模型之一：．（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式所求a或b值保留1位小数；（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．22. （10分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），满足f（0）=1，f（1）=0，且f（x+1）是偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设h（x）= ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x2）恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2020-2021学年陕西省西安中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【分析】利用三个公理及其推论逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，三个不共线的点可以确定一个平面，所以①不正确； 对于②，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，所以②不正确；对于③，若三点共线了，四点一定共面，所以③正确；对于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，所以④不正确.故选：A.2．已知,αβ是两相异平面,,m n 是两相异直线,则下列错误的是( )A ．若,m m αβ⊥⊂,则αβ⊥B ．若//m α,n αβ=,则//m nC ．若//m n ,m α⊥,则n α⊥D ．若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβ 【答案】B【分析】利用位置关系的判定定理和性质定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，由面面垂直的判定定理可知，β经过面α的垂线m ，所以αβ⊥成立；对于B ，若//m α,n αβ=,m 不一定与n 平行，不正确； 对于C ，若//m n ,m α⊥, 则n α⊥正确；对于D ，若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβ正确.故选：B.3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面【答案】C【详解】对于任意的直线l 与平面α，分两种情况①l 在平面α内,l 与m 共面直线,则存在直线m ⊥l 或m ∥l ；②l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ； 若l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直；若l ∥α，则存在直线m ⊥l .故选C.4．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．222+【答案】C 【分析】根据斜二测画法求解.【详解】直观图如图所示：由图知：原图形的周长为13138OA AB BC CO +++=+++=,故选：C5．已知圆221680C x y y +-+=：,圆222:870C x y x +-+=,则两圆12,C C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相外切C ．相交D ．相内切 【答案】A【分析】利用半径之和与圆心距的关系可得正确的选项.【详解】圆221680C x y y +-+=：,即()2231x y +-=，圆心为(0,3)，半径为1， 圆222:870C x y x +-+=,即()2249x y -+=，圆心为(4,0)，半径为3. 221243513C C =+=>+.所以两圆相离，故选：A.6．已知P 是圆O ：221x y +=上的动点，则点P 到直线l：0x y +-=的距离的最小值为（ ）A ．1BC ．2 D．【答案】A【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求.【详解】解：因为圆O ：221x y +=的圆心()0,0O 到直线l：0x y +-=的距离2d ==，且圆的半径等于1，故圆上的点P 到直线的最小距离为211d r -=-=故选：A【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.7．两条直线1:210l ax y +-=，23110:()+++=l x a y 互相平行，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】由11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=平行，则1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩求解.【详解】因为两条直线1:210l ax y +-=，23110:()+++=l x a y 互相平行， 所以()()1230130a a a ⎧+-⨯=⎪⎨--⨯≠⎪⎩， 解得2a =，故选：B8．若直线y=x+b与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是A．1,1⎡-+⎣B．1⎡-+⎣C ．122,3⎡⎤-⎣⎦D ．12,3⎡⎤-⎣⎦【答案】C【详解】试题分析：如图所示：曲线234y x x =--即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，可得232b-++=2，∴b=1+22，b=1-22当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得122-≤b≤3故答案为C9．已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，则侧视图为直角三角形，且底边边长为3AD =，高为||2OC =， 本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．10．如图，四面体ABCD 中，4CD =，2AB =，E ，F 分别是,AC BD 的中点，若EF AB ⊥，则EF 与CD 所成的角的大小是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】A【分析】取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，易得FEG ∠，EFG 分别为异面直线EF 与AB ，EF 与CD 所成的角，然后根据EF AB ⊥，4CD =，2AB =，在EFG 中求解.【详解】如图所示：取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，因为E ，F ，G 都为中点，所以//,//EG AB FG CD ,所以FEG ∠，EFG 分别为异面直线EF 与AB ，EF 与CD 所成的角，因为EF AB ⊥，所以90∠=FEG又因为4CD =，2AB =，所以 1,2EG FG == 所以1sin 2EFG ∠=, 因为(0,]2EFG π∠∈， 所以6EFG π∠=故选：A11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段 11B D 上有两个动点E 、F ，且 12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等【答案】D【解析】可证11AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而，故A 正确；由∥平面ABCD ，可知//EF ABCD 平面，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，，三棱锥A BEF -的体积为为定值，C正确；D 错误．选D ． 12．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】设两圆的圆心分别为O 1、O 2，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ，则OO 1EO 2为正方形，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【详解】解：如下图所示，设两圆的圆心为O 1、O 2，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO 1EO 2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r ，2116OO r =-，2322OE r =-又|OE |2+|AE |2＝|OA |2，即32﹣2r 2+2＝16，则r 2＝9，r ＝3，所以，这两个圆的半径之和为6，故选B ．【点睛】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到OO 1EO 2为矩形．二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,4)A -关于平面yOz 的对称点是B ，点(3,1,1)C -和点(1,1,3)D -的中点是E ，则||BE =___________.【答案】【分析】先利用对称性求得点B 坐标，再利用中点坐标公式求得点E 坐标，然后利用两点间距离公式求解.【详解】因为点(1,2,4)A -关于平面yOz 的对称点是(1,2,4)B ，点(3,1,1)C -和点(1,1,3)D -的中点是(1,0,2)E -，所以||BE ==故答案为：14．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【答案】4:1【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，有22l r ππ=,即4l r ，然后分别求得侧面积和底面积即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1故答案为：4:115．已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为_________.【答案】92π 【分析】根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合面积公式，即可求解.【详解】作出半球和正方体的轴截面，如图所示，设求得的半径为R ，因为正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长2AB =， 在直角OBC 中，2226()122R OC ==+=， 半球的表面积为2222161694()4()22222S R R πππππ=+⨯=⨯+⨯=. 故答案为：92π.16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为直线:2l y x =上位于第一象限内的点，定点(5,0)B ，以AB 为直径的圆与直线l 交于另一点D ，圆心为点C ，若AB CD ⊥，则点A 的横坐标为___________.【答案】3【分析】设A (),2a a ，根据(5,0)B ，写出圆C 的方程，与直线2y x =联立，求得点D 的坐标，再根据AB CD ⊥，由1AB CD k k ⋅=-求解.【详解】设A (),2a a ，因为(5,0)B ，所以5,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以圆C 的方程为：()()()520x a x y a y --+-=，联立()()()2520y x x a x y a y =⎧⎨--+-=⎩，解得()1,2D ， 因为AB CD ⊥，所以1AB CD k k ⋅=-，即()()()322502a a a a +-+-=，解得3a =或1a =-，因为0a >，所以3a =，所以点A 的横坐标为3.故答案为：3三、解答题17．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限； （Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 【分析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角α写成2k πβ+的形式.进而根据β的值确定α所在的象限;（Ⅱ）根据γ与α的终边相同且(4,3)γππ∈--,即可确定γ的值.【详解】（Ⅰ）9203360160-︒=-⨯︒+︒,81609π︒=, 920α∴=-︒=8(3)29ππ-⨯+. 角α与89π终边相同, ∴角α是第二象限角.（Ⅱ）角γ与α的终边相同,∴设82()9k k Z πγπ=+∈. (4,3)γππ∈--, 由84239k ππππ-<+<-,可得2235918k -<<-. 又k Z ∈,2k ∴=-.828499ππγπ∴=-+=-. 【点睛】本题考查了角度与弧度的转化,任意角转为()0,2π的角,根据角判断所在象限,属于基础题.18．已知ABC 的三个顶点分别为(2,1),(2,3),(0,3)A B C --.（1）求BC 边的垂直平分线的方程；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）310x y -+=；（2）10.【分析】（1）求出边BC 的中点D ，再由直线BC 的斜率13k =-，可得直线BC 的垂直平分线的斜率213k =，根据点斜式即可求解. （2）根据两点间的距离公式求出BC ，再利用点到直线的距离公式求出(2,1)A 到直线BC 的距离即可求解.【详解】解：（1）因为(2,3)B -，(0,3)C -，所以边BC 的中点D 的坐标为(1,0)D -，又因为直线BC 的斜率13k =-，则直线BC 的垂直平分线的斜率213k =， 所求直线的方程为10(1)3y x -=+，即310x y -+=.（2）因为(2,3),(0,3)B C --，所以||BC ==又直线BC 的方程为330x y ++=，则(2,1)A 到直线BC 的距离为d ==所以ABC 的面积为11||1022s BC d ==⨯=. 19．已知圆22:(4)1M x y +-=，直线:20l x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M的切线,PA PB ，切点为A ，B .（1）若点P 的坐标为(1,2)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当||2CD 时，求直线CD 的方程；（2）经过A ，P ，M 三点的圆与圆M 的公共弦是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）30x y +-=或790x y +-=；（2）过定点，定点为115,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据||2CD ，得到圆心到直线CD 的距离2d =，设出直线CD 的方程，由圆心到直线的距离为2求解. （2）设(,2)P a a ，根据过A ､P ､M 三点的圆即以PM 为直径的圆，写出方程，与22(4)10x y +--=相减得到公共弦所在的直线方程求解.【详解】（1）因为||2CD ，所以圆心到直线CD 的距离22d =， 当直线CD 的斜率不存在时，直线方程为; 1x =，而1d =，不成立，当直线CD 的斜率存在时，设直线方程为：2(1)y k x -=-，则2221k =+， 解得7k =-或1k =-所以直线CD 的方程为30x y +-=或790x y +-=.（2）设(,2)P a a ，过A ､P ､M 三点的圆即以PM 为直径的圆，其方程为()(4)(2)0x x a y y a -+--=，整理得224280x y ax y ay a +---+=与22(4)10x y +--=相减得， (42)8150a y ax a --+-=，即(28)4150x y a y --++-=，由4150280y x y -=⎧⎨--+=⎩，得12154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以两圆的公共过定点号115,24⎛⎫⎪⎝⎭. 20．如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD CD BD ⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.【答案】（1）见解析.（2）112A MBC V -=.【解析】试题分析：（1）由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得到AB CD ⊥.进一步即得CD ⊥平面ABD .（2）思路一：由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥. 确定1124ABM ABD S S ∆∆==. 根据CD ⊥平面ABD ，知三棱锥C-ABM 的高1h CD ==，得到三棱锥A MBC -的体积A MBC C ABM V V --=.思路二：由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，根据平面ABD ⋂平面BCD=BD ，通过过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N.得到MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==， 利用A MBC A BCD M BCD V V V ---=-计算三棱锥A MBC -的体积.试题解析：解法一：（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥.又∵CD BD ⊥，AB BD B ⊥=，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥.∵1AB BD ==，∴12ABD S ∆=. ∵M 是AD 的中点， ∴1124ABM ABD S S ∆∆==. 由（1）知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C-ABM 的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积11•312A MBC C ABM ABM V V S h --∆===.解法二：（1）同解法一.（2）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ⋂平面BCD=BD ，如图，过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N.则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==， 又,1CD BD BD CD ⊥==， ∴12BCD S ∆=. ∴三棱锥A MBC -的体积 111••3312A MBC A BCD M BCD BCD BCD V V V AB S MN S ---∆∆=-=-=. 【解析】垂直关系，几何体的体积，“间接法”、“等积法”.21．已知圆C 经过点()0,0A ,()7,7B ，圆心在直线43y x =上 （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 与圆C 相切且与,x y 轴截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）22(3)(4)25x y -+-=；（2）3:527052704l y x x y x y =-++=+-=或或 【分析】（1）由已知线段AB 为圆C 的弦，圆心C 定在弦AB 的垂直平分线上，写出线段AB 垂直平分线方程，与直线43y x =联立，即得圆心C 坐标，计算|AC |长，即为圆C 半径，从而可得圆的标准方程；（2）分两种情况考虑：当与坐标轴的截距为0时，设切线方程为y ＝kx ；当与坐标轴的截距不为0时，设切线方程为x +y ＝b ，利用圆心到直线的距离等于半径，可得切线方程．【详解】（1）由题意可知AB 为圆C 的弦，其垂直平分线过圆心C ，∵A （0，0）和B （7，7），∴k AB ＝1，线段AB 垂直平分线的斜率为-1，又线段AB 的中点坐标为（72，72）， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为：y ﹣72＝-（x-72），即x +y-7＝0， 又圆心在直线4x -3y ＝0上，联立得：43070x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得：x 34y =⎧⎨=⎩，即圆心C 坐标为（3，4）， ∴圆C 的半径|AC |＝5，则圆C 的方程为：（x -3）2+（y ﹣4）2＝25；（2）若直线过原点，设切线方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0，圆心C 到切线的距离d5r ==，整理得：16k 2+24k +9＝0，解得：k ＝3-4， 所求切线的方程为：y ＝3-x 4； 若截距不为0时，设圆的切线方程为：x +y ＝b ，圆心C 到切线的距离dr ＝5，解得b ＝7±，所求切线方程为7070x y x y ++=+-=或，综上，所有满足题意的切线方程有3条，分别为370704y x x y x y =-++=+-=或或. 【点睛】本题考查圆的标准方程和直线方程的求法，考查圆的切线方程的求法，属于基础题.22．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ；（2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22. 【分析】（1）连接1AD 交1A D 于点O ，连接EO ，易得1//OE BD ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由长方体的特征得到1AB AD ⊥，再由11A D AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得1A D ⊥平面1AD E 即可.（3）易得CE DE ⊥，再由1D D ⊥平面,ABCD CE ⊂平面ABCD ，得到1CE D D ⊥，可得CE ⊥平面1D DE ，由1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角求解.【详解】（1）如图所示：连接1AD 交1A D 于点O ，连接EO ，则O 为1AD 的中点.∵E 是AB 的中点，∴1//OE BD又OE ⊂平面1A DE ，1BD ⊄平面1A DE ，∴1//BD 平面1A DE .（2）由题意可知，四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥.∵AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB AD ⊥.∵AB 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1AB AD A =，∴1A D ⊥平面1AD E .又1D E ⊂平面1AD E ，∴11A D D E ⊥，即11D E A D ⊥.（3）在CED 中，2CD =，DE ==，CE ∴CE DE ⊥∵1D D ⊥平面,ABCD CE ⊂平面ABCD ，∴1CE D D ⊥.∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，1D D DE D ⋂=，∴CE ⊥平面1D DE .又∵1D E ⊂平面1D DE ，∴1CE D E ⊥.∴1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角.在A 1D ED 中，∵190D DE ∠=︒，11=D D ，DE =∴11tan 2D D D ED DE ∠===，∴二面角1D EC D --. 【点睛】方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．。
一、单选题1．函数的最小正周期是（ ）()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．2ππ2π4π【答案】B【分析】根据余弦型函数的周期公式，可得答案.【详解】由函数，则其最小正周期. ()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22T ππ==-故选：B.2．命题“”的否定是（ ） R,3||20x x ∀∈-≤A ． B ． R,3||20x x ∀∈-≥R,3||20x x ∀∈->C ． D ．00R,3||20x x ∃∈-≤00R,3||20x x ∃∈->【答案】D【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴命题“”的否定是：“”, R 320x x ∀∈-≤，00R,3||20x x ∃∈->故选:D.3．已知函数则的值为（ ） 2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ．19132-3【答案】A【分析】先计算，再将代入解析式中计算即可.124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2x =-【详解】解：因为 2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，所以，211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以.211(2)349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.4．“等式成立”是“等式成立”的（ ） 22(1)(2)0x y -++=(1)(2)0x y -+=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先分别解出两个方程，再根据充分条件与必要条件的定义进行求解. 【详解】由得，且， 22(1)(2)0x y -++=1x ==2y -由得或，(1)(2)0x y -+=1x ==2y -所以等式成立是等式成立”的充分不必要条件， 22(1)(2)0x y -++=(1)(2)0x y -+=故选：A5．若，则（ ）3π4sin 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2=αA ． B ．C ．D ．2425-725725-2425【答案】B【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角公式计算得到答案.4cos 5α=-【详解】，故，. 3π4sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭4cos 5α=-2247cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=⎪⎝⎭故选：B6．定义在R 上的奇函数f （x ）满足，当时，，则()()4f x f x +=(0,2)x ∈()13x f x -=（ ）()()20222023ff +=A ． B ． C ．1 D ．2023-1-20223【答案】B【分析】由得出的周期为4，令，则，为奇函数得()()4f x f x +=()f x 2x =-()()22f f =-()f x ，再结合周期可得答案.()()220f f =-=【详解】因为，所以的周期为4， ()()4f x f x +=()f x 令，则，2x =-()()22f f =-又为奇函数，所以，()f x ()()22f f =--∴，，()()()()220202245052f f f f =-==⨯+，()20f ==()11113-==f ， ()()()()202345061111=⨯-=-=-=-f f f f ∴.()()20222023011f f +=-=-故选：B .7．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）43xy x =-A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】由函数的奇偶性与特殊函数值的符号判断可得结果. 【详解】∵的定义域为R ，， ()f x ||4||4()3()3()x x f x x x f x --=--=-=∴为偶函数，所以排除选项D ； ()f x 又∵，所以排除选项A ； (0)1f =又∵，24(2)329160f =-=-<∴在x 轴的下方有图象，所以排除选项B ； ()f x 故选：C.8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅()()sin 0f x x ωω=>2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()1f x =[]0,π有一个解，则的取值范围是（ ） ωA ．B ．C ．D ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集()f x 合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围ωω取交集即可求解.【详解】令，解得，， ππ2π,2π22x k k ω⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦2ππ2ππ,22k k x ωωωω⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈而函数在区间上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得，π2π23ππ230ωωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩304ω<≤当时，，[]0,πx ∈[]0,x ωωπ∈因为在区间上有且仅有一个解， |()|1f x =[]0,π所以，解得.ππ23ππ2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩1322ω≤<综上所述，的取值范围是. ω1324ω≤≤故选：D.二、多选题9．已知集合A ，B 均为R 的子集，若，则（ ） A B ⋂=∅A ． B ． R A B ⊆ðR A B ⊆ðC ． D ．A B ⋃=R ()()R R A B R ⋃=ðð【答案】AD【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图所示根据图像可得,故A 正确；由于 ，故B 错误； ,故C 错误 R A B ⊆ðR B A ⊆ðA B R ⊆()()()RRRA B A B R ⋃=⋂=ððð故选：AD10．已知正数，，满足，则（ ）x y z 246x y z ==A ．B ． 2x y =2x y <C ．D ．3x z <3y z <【答案】ACD【分析】根据，由指数运算法则，可得A 对B 错；由两边取对数，可判断C 正确；24x y =26x z =由两边取对数，可判断D 正确. 46y z =【详解】因为正数，，满足， x y z 246x y z ==由，所以，即A 正确，B 错；24x y =2x y =由两边同时取以为底的对数，可得，即C 正确；26x z =222log 6log 83x z z z =⋅<⋅=由两边同时取以为底的对数，可得，即D 正确；46y z =4344log 6log 43y z z z =⋅<⋅=故选：ACD.11．若函数满足条件：()h x ①对于定义域内的任意两个实数都有；()()h x h x -=②对于任意，恒有；()(),0,a b a b ∈+∞≠()()0h a h b a b->-③对于内的任意两个实数，都有成立．()0,∞+12,x x ()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭则下列函数满足以上条件的有（ ） A ． B ． ()h x x =()13h x x =C ．D ．()2ln h x x =()4ln 1h x x =+【答案】BC【分析】由①可知为偶函数；由②可知在上单调递增，对每一个选项的函数判断()h x ()h x (0,)+∞其奇偶性和单调性，作出的图像，可判断得选项．0x>【详解】由①可知为偶函数；由②可知在上单调递增， ()h x ()h x (0,)+∞对于A ：，所以为奇函数，故A 不正确；()()x h x x h -=-=-()h x 对于B ：，所以为偶函数，且在上单调递增，当时，1133()()h x x x h x -=-==()h x ()h x (0,)+∞0x>如下图所示：，故B 正确； 122x x h +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()()122h x h x +对于C ：，所以为偶函数，且在上单调递增，当()22()ln ln ()h x x x h x -=-==()h x ()h x (0,)+∞0x>时，如下图所示：，故C 正确； 122x x h +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()()122h x h x +对于D ：的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故D 不正()4ln 1h x x =+(0,)+∞确， 故选：BC ．12．下列选项中正确的有（ ）A ．若是第二象限角，则 αtan 1=-B1=C ．2cos10sin 20sin 70︒-︒=︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】ABCD【分析】对于A ，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B ，可利用及同角三角函数基本关系化简； ()2sin cos 12sin cos αααα-=-对于C ，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简； 对于D ，可利用二倍角的正切公式化简.【详解】对于A ，因为是第二象限角，所以，从而αsin 0,cos 0αα><，所以A 正确； cos tan tan 1sin ααα==-对于B ，所以B 正确； sin 80cos801cos10sin10-==-对于C ，，所以C 正确；()2cos 3020sin 202cos10sin 20sin 70cos 20︒︒︒︒︒︒---==︒=对于D ，，所以D 正确.()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15++==+=--⋅︒︒︒︒故选：ABCD.三、填空题13．设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________. 2()41f x x mx =-+(],2∞-m 【答案】m 1≥【解析】根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围. m m 【详解】因为在上是减函数，故，所以 2()41f x x mx =-+(],2∞-22m ≥m 1≥故答案为：.m 1≥14．已知x >0，y >0，且，则x +2y 的最小值为___________．131x y+=【答案】 7+7【分析】利用“乘1法”即求.【详解】，且，0x >0y >131x y+=∴ ()313222777x x y y y x y x y x ⎛⎫==++≥++=⎝+++ ⎪⎭当且仅当时取等号， 32x y y x=故答案为：7+15．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数解()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>π2ϕ<析式为___________．()f x =【答案】π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象得，，再代入点，可求得函数的解析式. 2A =37ππ()4126T =--7,212π⎛⎫⎪⎝⎭-【详解】由图象得，又，，所以， 2A =37π3π(41264T π=--=πT =2π2T ω==点，代入解析式得：，∴，，7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭-7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π62k ϕ+=+Z k ∈因为，所以，所以，π2ϕ<π3ϕ=π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：.π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭16．函数f (x )＝则不等式f (x )＞的解集是______________________．sin ,02,0x x x x ≥⎧⎨+<⎩12【答案】或 30 2xx ⎧-<<⎨⎩∣522,66k x k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭N 【分析】分段解出不等式再求并集即可. 【详解】当时，，解得； 0x ≥()1sin 2f x x =>522,66k x k k ππππ+<<+∈N 当时，，解得.0x <()1+22f x x =>30 2x -<<综上所述：不等式f (x )＞的解为或. 1230 2x -<<522,66k x k k ππππ+<<+∈N 故答案为：或. 30 2xx ⎧-<<⎨⎩∣522,66k x k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭N【点睛】本题考查解分段函数的不等式，属于基础题.分段函数的相关问题：分段解决，再求并集.四、解答题17．设函数． ()ln(2)ln(2)f x x x =++-(1)求函数的定义域；()f x (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． ()f x 【答案】(1) ()2,2-(2)偶函数，理由见解析【分析】（1）由求解即可；2020x x +>⎧⎨->⎩（2）由偶函数定义即可判断【详解】（1）由解得函数的定义域为；2020x x +>⎧⎨->⎩()f x ()2,2-（2）为偶函数.()f x 由，定义域关于原点对称，得函数为偶函数()ln(2)ln(2)()f x x x f x -=-++=()f x18．已知函数．()21cos 2cos f x x x x =-++(1)求函数图象的对称轴方程； ()f x (2)求函数的单调递减区间． ()f x 【答案】(1)； ()ππ62k x k =+∈Z (2)，.π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z【分析】（1）利用整体代入法求得函数图象的对称轴方程； ()f x （2）利用整体代入法求得函数的单调递减区间. ()f x【详解】（1），()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令得，()ππ2π62x k k +=+∈Z ()ππ62k x k =+∈Z 即函数图象的对称轴方程为. ()y f x =()ππ62k x k =+∈Z （2）令，， ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+k ∈Z解得，， π2πππ63k x k +≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递减区间是，.π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 19．已知幂函数为偶函数，．()()2133m f x m m x +=-+()()2g x f x x =++(1)求的解析式；()y f x =(2)若对于恒成立，求k 的取值范围.()g x kx ≥[]1,2x ∈-【答案】(1)()2f x x =(2)．21k -≤≤【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可.1m =2m =()f x （2）首先讲题意转化为对于恒成立，再分类讨论求解即可. ()2120x k x +-+≥[]1,2x ∈-【详解】（1）因为幂函数为偶函数，()()2133m f x m m x +=-+所以，解得或.2331m m -+=1m =2m =当时，，定义域为R ，，1m =()2f x x =()()()22f x x x f x -=-==所以为偶函数，符合条件.()f x 当时，，定义域为R ，，2m =()3f x x =()()()33f x x x f x -=-=-=-所以为奇函数，舍去.()f x 所以.()2f x x =（2）因为，()()222g x f x x x x =++=++所以对于恒成立，()g x kx ≥[]1,2x ∈-等价于对于恒成立，()2120x k x +-+≥[]1,2x ∈-①， 12242220k k -⎧≥⎪⇒∅⎨⎪+-+≥⎩②()()21122111112042k k k k k -⎧-<<⎪⎪⇒-<≤+⎨--⎪+-⋅+≥⎪⎩③， 112121120k k k -⎧≤-⎪⇒-≤≤-⎨⎪+-+≥⎩综上：21k -≤≤+20．已知函数 ()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)请表述函数的图象经过怎样变换变为图象；cos y x =()f x (2)若动直线与函数和函数的图象分别交于M ，N 两点，ππ,42x t t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()f x ()21x g x =+求线段MN 的长度的取值范围．【答案】(1)见解析；(2).[]1,2【分析】（1）先把函数化简，得，根据函数图象的变换求解即可； ()πcos 212f x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=（2）由题意可得，把函数代入化简，再利用正弦函数的性质求得结果.()()MN f t g t =-【详解】（1）， ()ππ1cos 2cos 2122f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将的图象向右平移个单位，得到的图象，图象上点的纵坐标保持不变，cos y x =π2πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭横坐标缩短为原来的，得到的图象，再将函数图象向上平移1个单位长度，即可12πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得到函数的图象； π()cos 212f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭或先将函数图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单cos y x =12π4位长度，再将所得函数图象向上平移1个单位长度，即可得到的图象； ()f x （2）由（1）， ()πcos 21sin 212f x x x ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭， ()()πsin 2121sin 222sin 23MN f t g t t t t t t ⎛⎫=-=+-==- ⎪⎝⎭因为，所以，所以， ππ,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π2,363t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2123t ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭所以，即线段的长度的取值范围为.[]1,2MN ∈MN []1,221．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府([0,10])∈x x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率(x 1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭k ).A 公司生产万件防护服还需投入成本(万元).[0.5,1]k ∈t (20950)x t ++（1）将A 公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x 万元计入公司收y x 入)（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A 公司才能不产生亏损？[0,10]x ∈k （精确到0.01）.【答案】（1），；（2）；（3）0.65. 3601808204k y k x x =---+[]0.5,1x ∈4-【解析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由，进而结合基本不等式求出()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案； ()4544k x x +++y （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，可知在[]0,10x ∈A 36018082004k k x x ---≥+[]0,10x ∈上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，即可得出()()20841802x x k x ++≥+()()20844x x x +++的值.k 【详解】（1）由题意，()802095030820y x t x t t x =+-++=-- 1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=⋅---=--- ⎪++⎝⎭即； [][]360180820,0,10,0.5,14k y k x x k x =---∈∈+（2） ()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦因为，所以，所以[]0,10x ∈4414x ≤+≤()4544k x x ++≥=+，即时，等号成立， 4544k x x +=+4x =-所以 ()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦故政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为万元. 4A 18012k +-（3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，则在上[]0,10x ∈A 36018082004k k x x ---≥+[]0,10x ∈恒成立不等式整理得， ()()20841802x x k x ++≥+令，则，则2m x =+[]2,12m ∈()()()()208484288202x x m m m x m m ++++==+++令 []1,2,12m y m m∈=+任取，且[]12,2,12m m ∈12m m <则 ()()112121122221111m m m m y y m m m m m m ---=-+-=，121212212,0,10m m m m m m ≤<≤∴-<-> 12y y ∴<即函数在上单调递增 ()8820h m m m=++[]2,12可得 ()()max 821281*********h m h ==⨯++=+所以，即 21801163k ≥+211630.65180k +≥≈所以当复工率达到0.65时，对任意的（万元），公司都不产生亏损.k []0,10x ∈A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．已知函数，（且），为奇函数． ()22x x b f x b-=+()1log a x g x x b -=+0a >1a ≠()g x (1)求的值；b (2)当时，求不等式的解集；2a =()1g x >(3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．x ()()()2130m f x m f x ---=⎡⎤⎣⎦m 【答案】(1)1(2)()3,1--(3)(),5-¥-【分析】（1）由为奇函数，根据奇函数的定义求解即可.()g x （2）由对数函数单调性解不等式（3）分析得，由参变分离法，原命题等价于有两个不同的解，令()()1,1f x ∈-()()()213f x f x m f x -=-+化简得，即可由函数性质判断m 的范围. ()3t f x =-+165t m t=+-【详解】（1）为奇函数，， ()1log a x g x x b -=+ o 1()()lo 01l g g a a x g x g x x x bb x --∴-+-=-++=+即恒成立，，解得或, 2221111x x x x b x b x b----⋅==-++-21b ∴=1b =1b =-若时，，定义域不关于原点对称，不符合题意， 1b =-()1log 1a x g x x -=-{|1}x x ≠当时，，定义域为，关于原点对称，符合题意, 1b =()1log 1ax g x x -=+,1(),)1(-∞-⋃+∞故.1b =（2），，即，即，解得. 2a =()221log 1log 21x g x x -=>=+121x x ->+301x x +<+()3,1x ∈--故不等式的解集为.()1g x >()3,1--（3），的定义域为，为增函数， ()21212121x x x f x -==-++()f x R ∵，∴，∴. 211x +>20221x <<+()()1,1f x ∈-经检验不符合方程，()00f =()()()2130m f x m f x ---=⎡⎤⎣⎦故可化为， ()()()23f x m f x f x -+=-又，可化为， ()()1,1f x ∈-()()()213f x f x m f x -=-+令，则. ()()()32,33,4t f x =-+Î ()223315665t t t t t m t t t-+--+===+-∵关于x 的方程有两个不同的解，即等价于在()()()2130m f x m f x ---=⎡⎤⎣⎦165t m t =+-有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个()()2,33,4t Î 1y m=()65g t t t =+-()()2,33,4t Î 交点.∵，当且仅当在单调递减，()6555g t t t =+-≥=t =()g t (在和上单调递增，， )()3,4()()230g g ==如图，故当与的图象在有两个交点时，，即1y m =()65g t t t =+-()()2,33,4t Î ()15,0m Î.(),5m Î-¥--故实数m 的取值范围为. (),5-¥-。
2023-2024学年陕西省西安市高一上册期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A ．{0,1,7}B ．{1,7}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3,7}【正确答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.2．“2x ≥”是“2x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分性和必要性的定义得答案.【详解】由2x -<-可得2x >，因为2x ≥不能推出2x >，但2x >能推出2x ≥，故“2x ≥”是“2x -<-”的必要不充分条件故选：B3．若角α的终边经过点(-，则cos α=（）A ．5B ．5-C ．5D ．5-【正确答案】B【分析】借助三角函数的定义直接求解即可.【详解】cosα==故选：B.4．为了得到函数sin 3y x =的图象，只要把函数πsin 37y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π21个单位长度B ．向右平移π21个单位长度C ．向左平移π7个单位长度D ．向右平移π7个单位长度【正确答案】A【分析】根据三角函数的平移变换规则计算可得.【详解】因为ππsin 3sin 3721y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需把函数πsin 37y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π21个单位长度，就可以得到函数sin 3y x=的图象.故选：A5．若函数()f x 的定义域为(2,16)-，则函数3(2)log (1)f x y x =-的定义域为（）A ．(1,8)B ．(1,32)C ．(1,2)(2,8)D ．(1,2)(2,32)【正确答案】C【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及2216x -<<可求得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为(2,16)-，所以要使3(2)log (1)f x y x =-有意义，则22161011x x x -<<⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得18x <<且2x ≠，所以原函数的定义域为(1,2)(2,8) ，故选：C ．6．函数()2211x f x +=-+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.【详解】函数()2211x f x +=-+的定义域为R ，()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+，因此()f x 是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，选项C ，D 不满足；又()1102f =>，所以选项B 不满足，选项A 符合题意.故选：A 7．若函数()555x f x =-，则下列函数为奇函数的是（）A ．()()112g x f x =--B ．()()112g x f x =+-C ．()()112g x f x =-+D ．()()112g x f x =++【正确答案】D【分析】结合奇函数的定义判断各选项即可.【详解】因为()555x f x =-，所以()15155x f x --=-，定义域为{{}2x x ≠，不关于原点对称，故A ，C 错误；因为()()11511112552512x x g x f x +=+-=-=---，定义域为{}0x x ≠，又()()11110512512x xg x g x --+=-+-≠--，所以()g x 不是奇函数，故B 错误；()()11511112552512x x g x f x +=++=+=+--，定义域为{}0x x ≠，又()()11110512512x x g x g x --+=+++=--，所以()g x 是奇函数，故D 正确.故选：D ．8．若角,αβ满足()()()22222cos cos sin sin tan tan 1αβαβαβαβ⎡⎤-++-=⎣⎦，则α的值可能为（）A ．5π12-B ．7π12-C ．π6D ．π3【正确答案】B【分析】先利用三角恒等变换将方程化简得2sin 21α=，从而得到ππ12k α=+或()5ππZ 12k k +∈，再对选项逐一检验即可得解.【详解】因为()()()22222cos cos sin sin tan tan αβαβαβαβ⎡⎤-++-⎣⎦sin()sin()2(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβ⎡⎤+-=+-+⎢⎥+-⎣⎦sin()cos()cos()sin()2cos()cos()cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβ+-++-=-+⨯+-2[sin()cos()sin()cos()]αβαβαβαβ=+-+-+2sin()αβαβ=++-2sin 21α==，所以1sin 22α=，故π22π6k α=+或5π22π(Z)6k k α=+∈，即ππ12k α=+或()5ππZ 12k k +∈，依次检验5π12-、7π12-、π6、π3，可知7π12-为α的可能值，其余皆不可能.故选：B.二、多选题9．关于命题“2,0a a a ∃∈+≤N ”，下列判断正确的是（）A ．该命题是全称量词命题B ．该命题是存在量词命题C ．该命题是真命题D ．该命题是假命题【正确答案】BC【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB ，再由命题真假判断CD.【详解】2,0a a a ∃∈+≤N 是存在量词命题，∴A 选项错误B 选项正确；0a = 时，20a a +≤成立，∴命题为真命题，即C 正确D 错误.故选：BC10．已知函数π()4sin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为3π5π2π,2π()1616k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的单调递减区间为5π13ππ,π()1616k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 在3π23π,1648⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(2,4]【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用最小正周期公式即可判断；对于BC ，利用正弦函数的单调性即可判断；对于D ，利用正弦函数求值域即可判断【详解】对于A ，由π()4sin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得最小正周期为2ππ2T ==，故正确；对于B ，因为πππ2π22π,Z 282k x k k -+≤-≤∈可得3π5πππ,Z 1616k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3π5ππ,π()1616k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，故错误；对于C ，因为ππ3π2π22π,Z 282k x k k +≤-≤+∈可得5π13πππ,Z 1616k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为5π13ππ,π()1616k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，故正确；对于D ，因为3π23π,1648x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,846x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 282x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]π()4sin 22,48f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，故正确故选：ACD11．若()232,2,2x a x f x x ax a x ⎧<=⎨-+≥⎩,且（0a >，且1a ≠）在R 上单调递增，则a 的值可能是（）A ．32BC ．3D ．92【正确答案】BC【分析】由()f x 在R 上单调递增分析，两段函数都要递增，且分段处也要符合递增的情形，故而可得不等式组，求解即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，所以223122222a a a a a>⎧⎪⎪≤⎨⎪≤-+⎪⎩，解得([]2,4a ∈ ，则BC 符合取值范围.故选：BC.12．若22334x y xy ++=，则（）A ．4x ≤B ．2x ≥-C ．22342x y -≤+D ．22342x y -≥-【正确答案】AC【分析】设32cos 2sin 2y x θθ+==，则3y θ=，2cos x θθ=-，然后利用三角恒等变换逐项分析即可.【详解】由题意得22223333424x y xy x y y ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，设32cos ,2sin 22y x θθ+==，则3y θ=，332cos 2cos 2cos 24cos[4,4]223x y πθθθθθ⎛⎫=-=-=-=+∈- ⎪⎝⎭故A 对B 错；．22223316(2cos )sin223x y θθθ-=--⨯=224cos 4sin cos θθθθ+-．42[44θ=-∈-+所以C 对D 错.故选：AC.三、填空题13．()tan 405-︒的值为____________．【正确答案】1-【分析】根据终边相同的角及诱导公式求解.【详解】()tan 405tan(36045)tan(45)tan 451-︒=-︒-︒=-︒=-︒=-，故1-14．若正数,m n 满足8m n +=，则22log log m n +的最大值为_____．【正确答案】4【分析】先利用基本不等式求出mn 的最大值，再利用对数的运算性质可求出结果.【详解】解：由题意得8m n +=≥，即16mn ≤，当且仅当4m n ==时取等号，所以2222log log log ()log 164m n mn +=≤=，当且仅当4m n ==时取等号，即22log log m n +的最大值为4，故4．15．写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：()f x =__________．①()f x 的最小值为1-；②()f x 的一次项系数为4-；③(0)3f =；④()(2)f x f x =-+．【正确答案】243x x -+##2241x x -+##2483x x -+##2243x x -+【分析】根据二次函数的特征，如顶点、对称轴设函数的解析式即可求解.【详解】第一种情况：()f x 具有①②③三个性质，由②③可设()()2430f x ax x a =-+≠，则根据①可得：121614a a-=-，解得1a =，所以2()43f x x x =-+．第二种情况：()f x 具有①②④三个性质，由①④可设()()211(0)f x a x a =-->，则根据②可得：24a -=-，解得2a =，所以()()22211241f x x x x =--=-+．第三种情况：()f x 具有①③④三个性质，由①④可设()()211(0)f x a x a =-->，则根据③可得：()013f a =-=，解得：4a =，所以()()22411483f x x x x =--=-+．第四种情况：()f x 具有②③④三个性质，由②③可设()()2430f x ax x a =-+≠，则根据④可得：412a--=，解得2a =，所以2()243f x x x =-+．故243x x -+或2241x x -+或2483x x -+或2243x x -+.（不唯一）16．设函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，且()f x 的图象在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个最高点，则ω的取值范围是____________．【正确答案】516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的π4x ω+所在的区间，解不等式组，可求得结果.【详解】πππππππ(,),0(,)6446444x x ωωωω∈>∴+∈++ ,()f x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，恰有两个最高点，πππ2π2π642,Z 5πππ2π+2π3π244k k k k k ωω⎧≤+<+⎪⎪∴∈⎨⎪<+≤+⎪⎩即331212,Z 228+9811k k k k k ωω⎧-≤<+⎪∈⎨⎪<≤+⎩，当0k <时，不符合题意,当0k =时，不等式组为3322911ωω⎧-≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当1k =时,不等式组为2127221719ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当2k =时，4551,222527.ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩得51252ω<<，当3k =时，6975223335ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，得69352ω≤≤，当4k ≥时,不等式无解.ω∴∈516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四、解答题17．求值：(1)230323(8)π)+；(2)()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯．【正确答案】(1)2(2)0【分析】（1）利用指数幂的运算性质进行运算即可；（2）运用对数的运算性质进行运算即可【详解】（1）2331032223(8)π)3313212-=-+-⨯+=-+=（2）()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯32322222log 3(lg 5)(lg 2)2lg 5lg 2log 3=+-+⨯2(lg 5lg 2)1110=+-=-=18．已知3πsin(2022π)6sin()3π2tan 2cos(π)sin 4αααα+--=---．(1)求tan α的值；(2)求sin cos αα-的值．【正确答案】(1)25-【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数关系即可求解；（2）利用同角三角函数关系可求出21cos 5α=，根据α所在象限讨论即可求解.【详解】（1）由题意得3πsin(2022π)6sin()sin 6cos tan 6212cos(π)sin 2cos sin 2tan αααααααααα+----===------，解得tan 2α=.（2）由sin tan 2cos ααα==，代入22sin cos 1αα+=，得21cos 5α=，当α为第一象限角时，cos 5α=，sin 5α=，所以sin cos 5αα-=；当α为第三象限角时，cos α=sin α=-，所以sin cos αα-=-综上所述，sin cos 5αα-=或5-.19．已知集合{|344}A x m x m =-<<-，2{|40}B x x x =-≥．(1)当1m =时，求A B ⋃，()A B R ð；(2)若A B A = ，求m 的取值范围．【正确答案】(1){|3A B x x =< 或4}x ≥，()R {|1A B x x =≤- ð或4}x ≥(2)[)2,+∞【分析】（1）求出集合B ，利用集合的并集运算，补集运算和交集运算求解即可；（2）根据集合的包含关系求解即可.【详解】（1）由()2440x x x x -=-≥解得0x ≤或4x ≥，所以{|0B x x =≤或4}x ≥，当1m =时，{|13}A x x =-<<，R {|1A x x =≤-ð或3}x ≥，所以{|3A B x x =< 或4}x ≥，()R {|1A B x x =≤- ð或4}x ≥.（2）因为A B A = ，所以A B ⊆，①当A =∅时，344m m -≥-，解得2m ≥；②当A ≠∅时，344334m m m -<-⎧⎨-≥⎩或34440m m m -<-⎧⎨-≤⎩，此时m 无解，综上m 的取值范围为[)2,+∞.20．已知函数()()22691f x x a a x a =-++++．(1)若0a >，且关于x 的不等式()0f x <的解集是{}|x m x n <<，求11m n+的最小值；(2)设关于x 的不等式()0f x <在[]0,1上恒成立，求a 的取值范围【正确答案】(1)8(2)()1-∞-，【分析】（1）由韦达定理得269,1m n a a mn a +=++=+，211(1)4(1)41a a m n a +++++=+，再利用基本不等式可得答案；（2）不等式()0f x <在[]0,1上恒成立可得()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解不等式组可得答案．【详解】（1）因为0a >，且关于x 的不等式()0f x <的解集是{}|x m x n <<，所以x m =和x n =是方程()226910x a a x a -++++=的两根，所以269,1m n a a mn a +=++=+．所以11m n m n mn ++=＝2691a a a +++＝2(1)4(1)41a a a +++++＝4(1)44481a a +++≥+=+，当且仅当a ＝1时等号成立，所以11m n+的最小值为8；（2）因为关于x 的不等式()0f x <在[]0,1上恒成立，所以()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，所以()21016910a a a a +<⎧⎪⎨-++++<⎪⎩，解得1a <-，所以a 的取值范围为(),1-∞-．21．已知函数()25()log f x x ax a =-+．(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围：(3)若2a =，求()f x 的值域：【正确答案】(1)()0,4a ∈(2)(][),04,a ∈-∞⋃+∞(3)[)0,∞+【分析】（1）()f x 的定义域为R ,可转化为20x ax a -+>恒成立，进而求解；（2）()f x 的值域为R ，等价于存在x ∈R ，使得20x ax a -+≤成立，进而求解即可；（3）2a =时，先计算得2221x x -+≥，再借助5log y x =的单调性进行求解.【详解】（1）()f x 的定义域为R 等价于20x ax a -+>恒成立，则240a a ∆=-<，解得()0,4a ∈；（2）()f x 的值域为R 等价于()0,∞+是2y x ax a =-+值域的子集，即存在x ∈R ，使得20x ax a -+≤成立，则240a a ∆=-≥，解得(][),04,a ∈-∞⋃+∞；（3）2a =时，()25()log 22f x x x =-+，()2222111x x x -+=-+≥，又5log y x =是递增函数，故5()log 10f x ≥=，故()f x 的值域为[)0,∞+.22．已知函数π()cos()0,0,||2f x m x m ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，A ，B 分别为()f x 的图象与y 轴，x 轴的交点，C 为()f x 图象的最低点，且2π4,3OA BC OBC ==∠=．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数((3))a g x x =-，讨论()g x 在(0,13]上的零点个数．【正确答案】(1)ππ())44f x x =-(2)答案见解析【分析】（1）根据图象和几何关系可得8T =，代入(A 可得π4ϕ=-，即可求解；（2）令()0g x =可得ππ2cos()44x a -=，可看作是ππ2cos()44y x =-与y a =在(0,13]的交点个数，画出ππ2cos()44y x =-的图象，对a 进行分类讨论即可【详解】（1）由2π4,3BC OBC =∠=可得()sin πm BC OBC =-∠=()1cos π24T BC OBC =-∠=，所以8T =，由2πT ω=可得π4ω=，由OA =(A ，代入π()cos()4f x x ϕ=+ϕ=，即cos ϕ=因为π||2ϕ<，结合图象可得π4ϕ=-，所以ππ())44f x x =-（2）由（1）可得ππ()6cos()344g x x a =--，令()0g x =，即ππ2cos()44x a -=，故()g x 在(0,13]上的零点可看作是ππ2cos()44y x =-与y a =在(0,13]的交点个数，作出ππ2cos()44y x =-的图象，如图①当2a <-或2a >时，此时两函数没有交点，所以()g x 在(0,13]上的零点个数为0；②当2a =-或2a =时，此时两函数有2个交点，所以()g x 在(0,13]上的零点个数为2；2a <<时，此时两函数有4个交点，所以()g x 在(0,13]上的零点个数为4；④当2a -<≤3个交点，所以()g x 在(0,13]上的零点个数为3；综上所述，若2a <-或2a >时，()g x 在(0,13]上的零点个数为0；若2a =-或2a =时，()g x 在(0,13]上的零点个数为2；若2a -<≤()g x 在(0,13]上的零点个数为3；2a <<时，()g x 在(0,13]上的零点个数为4；。
一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12111]函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：12109]已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．(0分)[ID ：12124]已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－157．(0分)[ID ：12108]酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．78．(0分)[ID ：12080]函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞ D ．()1,+∞9．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -10．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．(0分)[ID ：12069]已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ）A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．(0分)[ID ：12068]已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根13．(0分)[ID ：12046]已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．(0分)[ID ：12043]已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣115．(0分)[ID ：12038]曲线1(22)y x -≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 二、填空题16．(0分)[ID ：12228]定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．17．(0分)[ID ：12218]通过研究函数()4221021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个18．(0分)[ID ：12211]()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．19．(0分)[ID ：12204]已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 20．(0分)[ID ：12200]已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________. 21．(0分)[ID ：12153]若函数f(x)={−x 2+4x,x ≤4log 2x,x >4在区间(a,a +1) 单调递增，则实数a 的取值范围为__________．22．(0分)[ID ：12145]已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.23．(0分)[ID ：12131]高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________.24．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________. 25．(0分)[ID ：12207]若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____. 三、解答题26．(0分)[ID ：12322]已知函数2()ln(3)f x x ax =-+. (1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，解不等式()x f e x ≥.27．(0分)[ID ：12317]已知函数()2log f x x = （1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.28．(0分)[ID ：12305]已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.29．(0分)[ID ：12300]设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .30．(0分)[ID ：12279]已知集合A ={a ， a −1}，B ={2 ， y}，C ={x|1<x −1<4}. （1）若A =B ，求y 的值； （2）若A ⊆C ，求a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．C 4．D 5．D 6．A 7．C 8．C 9．D 10．D 11．B 12．B 13．B 14．B15．A二、填空题16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0由函数单调性可得在（04）上f（x）＜0在（4+∞）上f（x）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根17．3【解析】【分析】令（为奇数）作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示：由图象可知与的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的18．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题19．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f（x）是定义域在R上的偶函数将f （m﹣2）>f（2m﹣3）转化为再利用f（x）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x）是定义域在R上的偶函数且f20．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的21．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab上单调则该函数在此区间的任意22．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时23．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题24．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB然后求解A×B即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B=25．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小．【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．C解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高一上册期末联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，{},,M x x a b a A b B ==+∈∈，则集合M 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】C【分析】根据条件确定集合M 中的元素即可.【详解】因为集合M 中的元素,,x a b a A b B =+∈∈,所以当1a =时,2,3,4b =,此时3,4,5x =;当2a =时,2,3,4b =,此时4,5,6x =;当3a =时,2,3,4b =，此时5,6,7x =,根据集合中元素的互异性可知,3,4,5,6,7x =，即集合M }{3,4,5,6,7=，所以集合M 中元素的个数为5.故选:C本题主要考查集合中元素的互异性;其中根据条件逐一找出所有可能的元素是求解本题的关键;属于基础题.2．已知a ､b ､R c ∈，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若33a b >且0ab <，则11a b>D ．若22a b >且0ab >，则11a b>【正确答案】C【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当c 为0时不成立；对于选项B ，当c 为负数是不成立；对于选项C ，由33a b >且0ab <可得0,0a b ><，所以11a b>故C 正确；对于选项D ，若22a b >且0ab >说明,a b 同号，当,a b 为正数时不成立.故选：C3．若函数()22f x x kx =-+在[]2,1--上是增函数，则实数k 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[4,)-+∞C ．(,4]-∞-D ．(,2]-∞【正确答案】C【分析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；【详解】由题意得：242kk ≤-⇒≤-，故选：C二、多选题4．设集合{}{}04,04P xx Q y y =≤≤=≤≤∣∣，则下列图象能表示集合P 到集合Q 的函数关系的有（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】BD【分析】根据函数的定义，明确图象中的函数关系以及定义域和值域，逐一判别，可得答案.【详解】对于A 选项，其定义域是[]0,2，不是P ，故A 错误；对于B 选项，其定义域是[]0,4P =，值域[]0,2Q ⊆，故B 正确；对于C 选项，其与函数定义相矛盾，故C 错误；对于D 选项，其定义域是[]0,4P =，显然值域包含于集合Q ，故D 正确；三、单选题5．已知cos 21sin cos 3ααα=+，则3sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．13C ．6D ．13-【正确答案】C【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到1cos sin 3αα-=，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】因为()()22cos sin cos sin cos 2cos sin 1cos sin sin cos sin cos sin cos 3-+-===-=+++ααααααααααααααα，所以)3331sin sin cos cos sin cos sin 4443⎛⎫+=+-⨯ ⎪⎝⎭πππααααα故选：C.6．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[1,)+∞上单调递增，若232a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 2b f =，21log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c>>【正确答案】A【分析】函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则有()339log 2log 2b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()221log log 123c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再利用函数在[1,)+∞上单调递增比较大小.【详解】函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，所以有：()3333339log 21log 1log log 222b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()22221log 1log 61log 6log 123c f f f f⎛⎫==-=+= ⎪⎝⎭，函数()f x 满足在[1,)+∞上单调递增，由233291log 22log 122<<<<，所以()23329log 2log 122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，7．已知lg lg 0a b +=，则函数x y a =与函数log b y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据对数关系得1a b=，所以函数x y a =与函数log b y x =-的单调性相同即可得到选项.【详解】lg lg 0,0,0a b a b +=>>，所以lg 0,1ab ab ==，1a b=，,a b 不为1的情况下：1log log b by x x =-=，函数x y a =与函数log b y x =-的单调性相同，ABC 均不满足，D 满足题意.故选：D此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.8．已知函数()2sin()(0,[,])2f x wx w πϕϕπ=+>∈的部分图象如图所示，其中5(0)1,2f MN ==，将()f x 的图象向右平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是A ．2cos3y x π=B ．22sin()33y x ππ=+C ．22sin()33y x ππ=+D ．2cos 3y x π=-【正确答案】A 【详解】52MN =，得342T =，所以6T =，3πω=，又()01f =，得1sin 2ϕ=，所以56πϕ=，所以()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()52sin 12sin 2cos 36323g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫=-+=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选A ．点睛：三角函数的解析式求解，ω由周期T 决定，ϕ由特殊点确定，结合图象特点，解得()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，左右移动的关键是x 的变化，要提取系数，移动之后得到()2cos3g x x π=．四、多选题9．下列叙述中正确的是（）A ．,αβ∃∈R ，使得sin()sin sin αβαβ+=+B ．命题“22,log 1x x ∀>>”的否定是“22,log 1x x ∃>≤”C ．设0x >，,x y R ∈，则x y >⇒||x y >D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【正确答案】ABD【分析】A.举例判断；B.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；C.举例判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：A.当,03παβ==时，sin()sin sin αβαβ+=+成立，故正确；B.命题“22,log 1x x ∀>>”是全称量词命题，其否定是“22,log 1x x ∃>≤”，故正确；C.当x 1,y 2==-时，则x y >，但||x y >不成立，故错误；D.“1a >”则“11a <”，故充分；当11a<时，1a >或a<0，故不必要，故正确；故选：ABD10．下列选项中的图象变换，能得到函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的是（）A ．先将cos y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移3π8个单位长度B ．先将sin y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位长度C ．先将sin y x =的图象向右平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12D ．先将cos y x =的图象向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12【正确答案】ABC【分析】根据三角函数图象变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，将πcos sin 2y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12得πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移3π8个单位长度得3πππsin 2sin 2824y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 选项正确.B 选项，将sin y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的12得sin 2y x =，再向右平移π8个单位长度得ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 选项正确.C 选项，将sin y x =的图象向右平移π4个单位长度得πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将各点的横坐标缩小为原来的12得πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，C 选项正确.D 选项，将πcos sin 2y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得ππ3πsin sin 424y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将各点的横坐标缩小为原来的12得3πππsin 2sin 2πsin 2444y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：ABC11．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值4D ．22a b +有最大值12【正确答案】ABC【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得．【详解】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，由基本不等式可得21()24a b ab +=，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；因为2112a b a b =++=+++=，当且仅当a b =时取等号，，故B 正确；1114a b a b ab ab ++==，当且仅当a b =时取等号，即11a b+有最小值4，故C 正确；222()212a b a b ab ab +=+-=-，由A 可知14ab ≤，所以2212a b +≥即22a b +有最小值12，当且仅当a b =时取等号，故D 错误；故选：ABC ．12．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，若0a >，0b >，则下列结论中正确的是.A ．()lnlnba b a++=B ．()ln lnln ab a b+++=+C ．()ln ln ln a b a b++++≥+D ．()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++【正确答案】AD【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对,a b 进行分类讨论，判断出每个命题的真假.【详解】对A ，当01a <<，0b >时，有01b a <<，从而()ln 0ba +=，ln00b a b +=⨯=，所以()lnlnba b a ++=；当1a ≥，0b >时，有1b a ≥，从而()ln ln ln bba ab a +==，ln ln b a b a +=，所以()lnlnba b a ++=．所以当0a >，0b >时，()lnlnba b a ++=，故A 正确．对B ，当14a =，2b =时满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==，1ln ln ln ln 2ln 24a b +++++=+=，所以()ln ln ln ab a b +++≠+，故B 错误；对C ，令2a =，4b =，则()ln 24ln6++=，ln 2ln 4ln 2ln 4ln 8+++=+=，显然ln 6ln 8≠，故C 错误；对D ，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤，当01a <<，01b <<时，有02a b <+<，从而()ln ln 2ln 2a b +++<=，lnln ln 200ln 2ln 2a b ++++=++=，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()()ln ln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，()ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a ++++=++=，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()()ln ln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，()ln ln ln20ln ln2ln 2a b b b ++++=++=，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当1a ≥，1b ≥时，()()lnln a b a b ++=+，()ln ln ln2ln ln ln2ln 2a b a b ab ++++=++=，因为()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥，所以2ab a b ≥+，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++．综上所述，当0a >，0b >时，()ln ln ln ln 2a b a b ++++≤++，故D 正确．故选AD ．本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义及忘记分类论论的方法使解题无法入手致错.五、填空题13．若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为___________.【正确答案】1(,0)(0,)2-+∞ 【分析】由分式、对数函数的性质有12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+≠⎪⎩，求解集即可.【详解】由题意知：12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+≠⎪⎩，解得12x >-且0x ≠，∴()f x 的定义域为1(,0)(0,)2-+∞ .故答案为.1(,0)(0,)2-+∞ 14．求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89+++⋯++ 的值__________．【正确答案】44.5##892【分析】利用倒序相加法以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】设22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89S +++=+⋯+ ①，则22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1S ++=+⋯++ ，所以22222cos 1cos 2cos 3cos 88cos 89S +++=+⋯+ ②，①+②得289,44.5S S ==.故44.515．已知()sin()(0)12f x x πωω=+>，124f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，则ω=_______.【正确答案】172【详解】试题分析：因为124f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线6x π=是函数()sin()(0)12f x x πωω=+>的一条对称轴，又因为()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，所以36122ππωπ+=，解得172ω=；故填172．三角函数的性质．六、双空题16．已知函数()()2ln ,1,,1,x x f x x a x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩其中a ∈R .若0a =，则函数()f x 的值域是______；若函数()1y f x =-有且仅有2个零点，则a 的取值范围是______.【正确答案】[0,)+∞(2,0]-【分析】（1）由分段函数分别求值域即可；（2）易知在1x <和1x ≥时，()1y f x =-分别有一个零点，由二次函数的零点分布情况即可求解.【详解】（1）0a =时，()2ln ,1,1x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，当1x ≥时，()ln ln10f x x =≥=，当1x <时，2()0f x x =≥，综上：()0f x ≥，即函数()f x 的值域是[0,)+∞.（2）()()2ln 1,111,1x x y f x x a x -≥⎧⎪=-=⎨+-<⎪⎩，当1x ≥时，令ln 10x -=，得e x =，故在[1,)+∞上，函数()1y f x =-有一个零点e x =，当1x <时，设()2()1x g x a =+-，由题意可知：()2()1x g x a =+-在(,1)-∞上有且仅有一个零点，所以1(1)0a g -<⎧⎨=⎩或(1)0<g ，解得0a =或20a -<<，所以a 的取值范围是(2,0]-.故[0,)+∞；(2,0]-.七、解答题17．计算：（1）)21313210.027163217---⎛⎫--+-+⋅- ⎪⎝⎭.（2【正确答案】（1）20（2）-2【分析】根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。
2023-2024学年陕西省西安市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}24A x x =<<，{}260B x x x =--≤，则()U A B ∩ð等于（）A ．(]2,3B ．()3,4C ．[)2,4-D ．()(),23,4-∞- 2．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知向量与j 不共线，且AB i mj =+ ，AD ni j =+，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是A ．1mn =B ．1mn =-C ．1m n +=D ．1m n +=-4．已知1m n == ，()p m xn x R =+∈ ，函数()f x p =，当x =f （x ）有最小值，则m 在n上的投影向量为（）A．4n B．2n C．－4n D．－2n 5．已知平面向量a 与2a b +的夹角为30 ，则a b的最大值为（）A ．12B ．2C ．4D ．86．在ABC 中，点P 满足2AP AB AC =-，则（）A ．点P 不在直线BC 上B ．点P 在CB 的延长线上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在BC 的延长线上7．已知向量(1,1)a =- ，且a 与2a b +方向相同，则a b ⋅ 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：][0.51,1.51⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()()52sin π1,0,6675,,3316x x f x x x x ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨-+⎛⎫⎪∈ ⎪⎪+⎝⎭⎩，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}2,1,0,1,2,3--B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}1,0,2,3-D ．{}2,1,0,1,2--二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列函数中，定义域为()0,∞+的函数是（）A ．lg y x =B．y =C ．12y x -=D ．e xy =10．下列说法正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b>B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0b a >>，0c >，则b c b a c a+>+D ．若0a b >>，则11a b b a+>+11．已知,αβ是第一象限角，且sin sin αβ>，则下列关系正确的是（）A ．αβ>B ．22tan tan αβ>C ．22cos cos αβ<D ．22sin sin 1αβ+>12．设函数2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程()()220f x bf x b -+-=，下列说法正确的是（）A．当2b =-+3个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<<三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知2tan tan 3a b ==()()cos sin a b a b +-的值为____．14．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，且()f x 的图象过点,112π⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的图象的对称中心坐标为___________.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.16．对任意x R ∈，一元二次不等式()()231108k x k x -+--<都成立，则实数k 的取值范围为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数()1πsin 2,R 24f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的最大值和对应x 的取值；(3)求()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间.18．在平面直角坐标系中,角α的顶点坐标原点,始边为x 的非负半轴,终边经过点()1,2-.(1)求sin tan αα⋅的值;(2)求()()()()π7π3πsin cos tan 2πcos 222sin 2πtan πsin πααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅--⋅+的值.19．已知定义在R 上的奇函数()f x ，在()0,1x ∈时，()241xxf x =+且()()11f f -=．(1)求()f x 在[]1,1x ∈-上的解析式；(2)若()0,1x ∈，常数52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解关于x 的不等式()1f x λ>．20．已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．(1)若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立，求正实数a的取值范围．21．已知函数21()x f x ax b+=+是奇函数，且()12f =.(1)求a ，b 的值；(2)证明函数()f x 在(),1-∞-上是增函数.答案1．B化简集合B ，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.{}260B x x x =--≤{|23}x x =-≤≤，{|2U B x x =<-ð或3}x >，所以()U A B ∩ð{|34}x x =<<.故选：B 2．D根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0，∴0＜cos x ≤1，又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角，故选D ．本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．3．A试题分析：依题意，AB AD ，∴AB AD λ= ，即11mn =，求得1mn =，故选A.考点：共线向量定理.4．C根据题意写出()f x p = 的表达式，结合二次函数知识求得4m n ⋅=- ，根据投影向量的定义即可求得答案.由题意得，1m n == ,()f x p ==== 当x m n =-⋅时，()f x p = 有最小值，即44m n m n -⋅=∴⋅=- ，则m 在n 上的投影向量为||m n n n ⋅=⋅，故选：C 5．C在三角形中利用数形结合构造关于b a、不等式，解之即可求得a b的最大值以向量a r 与2b 为两边作△ABC ，a AB = ，2b BC = ，CAB ∠=30则2a b AC+=则在△ABC 中sin BC AB CAB ≥∠，即122b a ≥，则4a b ≤ ，当且仅当122b a = 即2b a ⊥ 时等号成立.故选：C 6．B由已知条件可得BP CB = ，从而可得BP 与CB共线，进而可得结论因为2AP AB AC =- ，得AP AB AB AC =-- ，所以BP CB = ，所以,,B P C 三点共线，且点P 在CB 的延长线上，故选：B7．Ca 与2ab +同向，用共线基本定理得到关系，表示a b ⋅ 依据λ的范围去求.因为a 与2a b +同向，所以可设2(0)a b a λλ+=> 则有12b a λ-=，又因为22(1)12a =-+= ，，所以21121122a b a λλλ--⋅=⋅=⨯=->- 所以a b ⋅的取值范围是(-1，+∞)，故选：C.8．A根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数()f x 的值域，再根据高斯函数的定义求出()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即得.当50,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5ππ0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()(]sin π0,1x ∈，所以()()(]2sin π11,3f x x =+∈，当5,36x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()67923131x f x x x -+==-++单调递减，所以()67114,31107x f x x -+⎛⎫=∈- ⎪+⎝⎭；综上，()(]114,1,3107f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{2,1,0,1,2,3}--.故选：A.9．AC根据基本初等函数的定义域逐项分析即得.对于A ，函数lg y x =的定义域为()0,∞+，符合题意；对于B ，函数y =[)0,∞+，不符合题意对于C ，函数12-==y x()0,∞+，符合题意；对于D ，函数e x y =的定义域为R ，不符合题意.故选：AC.10．AD通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.对于A ，∵22ac bc >，∴0c ≠，∴20c >，∴210c >，∴222211ac bc c c ⨯>⨯，∴a b >，故选项A 正确；对于B ，当2a =，1b =，0c =，2d =-时，有a b >，c d >，但此时2a c -=，3b d -=，a c b d -<-，故选项B 错误；对于C ，当1a =，2b =，1c =时，有0b a >>，0c >，但此时32b c a c +=+，2b a =，b c ba c a+<+，故选项C 错误；对于D ，∵0a b >>，∴0ab >，∴10ab>，∴11a b ab ab ⨯>⨯，∴11b a>，由不等式的同向可加性，由a b >和11b a >可得11a b b a+>+，故选项D 正确.故选：AD.11．BC由题意可知，利用特殊值可以排除AD 选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC 即可.,αβ是第一象限角，且sin sin αβ>，当π13π,46αβ==时，π13ππ1sin sin sin sin sin 4662αβ=>===此时αβ<，所以A 错误；易知，sin sin 0αβ>>，所以22sin sin αβ>，又因为22sin cos 1αα+=，即221cos 1cos αβ->-，所以22cos cos αβ<，即C 正确；又因为220cos cos αβ<<，所以2211cos cos αβ>，因此222211sin sin cos cos αβαβ>，即22tan tan αβ>，故B 正确；取ππ,46αβ==，则22113sin sin 1244αβ+=+=<，所以D 不成立.故选：BC.12．ABD根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究()()220f x bf x b -+-=的根的个数，对选项逐一判断即可.由函数2e ,0()12,02x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩可知，图象如下：对于A，当2b =-+方程()()220f x bf x b -+-=即为()()21)40f x f x -+-=，即2()1)0f x ⎡⎤-=⎣⎦，所以()1f x =-()10.5,1-∈，由图可知()f x与1y =有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A 正确；对于B ，当32b =时，方程为()()231022f x f x -+=，即()1()1()02f x f x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得()1f x =或1()2f x =；()1f x =时，由图可知()f x 与1y =有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，1()2f x =时，由图可知()f x 与12y =有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；综合可知，当32b =时，方程有5个不等实根；即B 正确；对于C ，令()f x t =，则方程()()220f x bf x b -+-=等价成220b bt t +-=-；由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，①方程220b bt t +-=-只有一根，且()1,1.5t ∈则24(2)0b b ∆=--=，即2b =-+2b =--由A可知，2b =-+当2b =--(1(1,1.5)t =-∉，方程只有一根，不合题意；②方程220b bt t +-=-只有一根，且(]0,0.5t ∈，由①知，此时也不符合题意；③方程220b bt t +-=-有两个不相等的实数根，且()()121,1.5, 1.5,t t ∈∈+∞或(]()120,0.5, 1.5,t t ∈∈+∞或(]12,0, 1.5t t ∈-∞=令2(2)bg t t bt =-+-若()()121,1.5, 1.5,t t ∈∈+∞，需满足(1)320175(1.5)042g b g b =->⎧⎪⎨=-<⎪⎩解得321710b b ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，不合题意；若(]()120,0.5, 1.5,t t ∈∈+∞，需满足(0)2093(0.5)042175(1.5)042g b g b g b ⎧⎪=->⎪⎪=-≤⎨⎪⎪=-<⎪⎩，解得2321710b b b ⎧⎪<⎪⎪≥⎨⎪⎪>⎪⎩,即17210b <<若(]12,0, 1.5t t ∈-∞=，需满足(0)20175(1.5)042g b g b =-≤⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得21710b b ≥⎧⎪⎨=⎪⎩，不合题意；综上可知，若方程有2个不等实根，则17210b <<；故C 错误；对于D ，若方程有6个不等实根，则需满足方程220b bt t +-=-有两个不相等的实数根，且(]12,0.5,1t t ∈；则需满足2Δ4(2)00.51293(0.5)042(1)320b b b g b g b ⎧=-->⎪⎪<≤⎪⎨⎪=->⎪⎪=-≥⎩解得22123232b b b b b ⎧>-+<--⎪<≤⎪⎪⎨<⎪⎪≤⎪⎩即可得322b -+<<；故D 正确.故选：ABD关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程()()220f x bf x b -+-=根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围.13根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解.()()cos sin a b a b +-cos cos sin sin sin cos cos sin a b a b a b a b -=-cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos cos a b a b a b a b a b a b -=-1tan tan tan tan a b a b -=-1323=====故答案为.1223-14．,0()62k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 根据周期确定ω的值，再由()f x 的图象过点,112π⎛⎫⎪⎝⎭确定ϕ值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案.由题意函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，可知22πωπ==，再由()f x 的图象过点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2,62k k Z ππϕπ+=+∈,故2,3k k Z πϕπ=+∈,所以由||2ϕπ<知：3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2()3x k k ππ+=∈Z ，可得()62k x k ππ=-+∈Z ，所以()f x 的图象的对称中心坐标为,0()62k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故,0()62k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 15．12设扇形的半径为，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中，tan PB r α=，POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12.点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论.16．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭由二次不等式恒成立结合图象即可求解因为对任意x R ∈，一元二次不等式()()231108k x k x -+--<都成立，所以()()210314108k k k -<⎧⎪⎨⎛⎫∆=---⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得112k -<<，所以实数k 的取值范围为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．(1)π；(2)当ππ,Z 8x k k =+∈时，函数()f x 有最大值12；(3)3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（1）根据正弦型函数的周期公式即得；（2）根据正弦函数的图象和性质即得；（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.（1）因为函数()1πsin 2,R 24f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；（2）因为()1πsin 2,R 24f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由ππ22π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 8x k k =+∈，∴当ππ,Z 8x k k =+∈时，函数()f x 有最大值12；（3）由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，可得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，又,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴函数()f x 的单增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．(1)(2)5-(1)根据角α终边经过点()1,2-,得出sin ,cos ,tan ααα的值,即可求出sin tan αα⋅;(2)根据诱导公式进行化简,代入角α的三角函数值即可.（1）解:由题知角α终边经过点()1,2-,r ∴===sin5y r α∴==,cos5x r α===-,2tan 21y x α===--,sin ta n αα∴⋅=-（2）由(1)知cos α=则原式()()()()π7π3πsin cos tan 2πcos 222sin 2πtan πsin πααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅--⋅+()()()()()()sin tan sin sin tan s os i c n ααααααα⋅-⋅-⋅-=-⋅-⋅-cos α==19．(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xx x xx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩(2)20,log 2λ⎛ ⎪⎝⎭（1）根据奇函数定义以及函数()f x 在()0,1x ∈上的解析式，结合()()11f f -=即可写出()f x 在[]1,1x ∈-上的解析式；（2）将不等式()1f x λ>转化成4210x x λ-⋅+<，再利用换元法以及52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解出2x 的取值范围即可得不等式的解集.（1）∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时，()241xx f x =+，∴当()1,0x ∈-时，()()224141x xx xf x f x --=--=-=-++，又由于()f x 为奇函数，∴()()00f f =--，∴()00f =，又()()11f f -=-，()()11f f -=，∴()()110f f -==，综上所述，当[]1,1x ∈-时，()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xx x xx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩（2）()0,1x ∈时，()241xx f x =+，当52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，121,52λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1f x λ>，即2141x x λ>+，所以4210x x λ-⋅+<，设()21,2xt =∈，不等式变为210t t λ-+<，∵52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴240λ∆=->，∴22t λλ+<<．而当52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭λ<，0λ>且12λ<，又y λ=+在52,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2122+=<<=，所以122λ<<，∴12t λ+<<，即122xλ+<<所以20log 2x λ+<<．综上可知，不等式()1f x λ>的解集是20,log 2λ⎛ ⎪⎝⎭．20．(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭U(2){12a a ≥-（1）将函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点转化成方程()()222320a x a x -+--=有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 为[],41m m -上的减函数，将()()12ln2f x f x -≤恒成立转化成()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数a 的取值范围.（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点，即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点，当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=-当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意；当52a ≠时，Δ0>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-；若12x =为①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-；若212x a =-为①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >；要使①有唯一实数解，则413a -<≤．综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U ．（2）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+在[],41x m m ∈-上为减函数，外部函数ln y x=为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为[],41m m -上的减函数，()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 241ln 41f x f m am ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭，不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a am m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令()()2442g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()min 0g m ≥．二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上（i ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()min 14420g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去；（ii ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤≤+即4125a -≤<；（iii ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，即45a ≥；综上可知，正实数a 的取值范围{12a a ≥-．关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立”进行等价转化，只需满足()()12max ln2f x f x -≤，再利用函数()f x 的单调性，即可将问题转化成不等式()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.21．(1)1a =，0b =(2)证明见解析（1）由奇函数的性质可知()()f x f x -=-，可求出b 的值，再利用()12f =可求出a 的值.（2）利用定义法证明函数()f x 的单调性即可.（1）∵函数21()x f x ax b+=+是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2211x x ax b ax b++=--++，∴ax b ax b -+=--，∴0b =，又∵()12f =，∴22a b=+，∴1a =.（2）由（1）得211()x f x x x x+==+，任取1x ，()2,1x ∈-∞-，且12x x <，∴()()()()()121221121212121212111x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫--=+-+=-+= ⎪⎝⎭，∵121x x <<-，∴120x x -<，121x x >，1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在(),1-∞-上是增函数.2023-2024学年陕西省西安市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．下列能正确表示集合{}1,0,1M =-和{}220N x x x =+=关系的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出集合N ，再求出M N ⋂即可得答案.【详解】解：{}{}2202,0N x x x =+==-，故{}0M N = ，故选：A 2．若4sin 5α=，α是第二象限的角，则tan α的值等于（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【正确答案】C【分析】先求得cos α，然后求得tan α.【详解】由于4sin 5α=，α是第二象限的角，所以3cos 5α==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：C3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)(λ∈R )，若a ⊥b，则+= a b ()A ．5B．C．D ．10【正确答案】B【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.【详解】依题意0a b ⋅= ，即60λ+=，解得6λ=-，则b＝(2，－6)，(5,5)a b +=- ，故a b +== 故选：B.4．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【正确答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的单调性得0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1，由此可判断得选项.【详解】解：∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1，∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0，∵20.6＞20＝1，∴c ＞1，∴b ＜a ＜c ，故选：C ．5．已知点M 是直线13y x =与单位圆在第一象限内的交点，设xOM α∠=，则cos 2=α（）A ．45B ．45-C ．35-D ．35【正确答案】A【分析】根据同角三角函数基本关系可得sin 1tan cos 3ααα==，22sin cos 1αα+=，解方程可得cos α的值，再由余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由题意可得1tan 3α=且π02α<<，则22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以224cos 22cos 1215αα=-=⨯-=⎝⎭，故选：A.6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【正确答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7．已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭是偶函数，则()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（）A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(]2,1-C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．[]2,1-【正确答案】D【分析】化简可得()2sin 26f x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据函数为偶函数可得3πϕ=，再利用余弦函数的性质可求出值域.【详解】因为函数()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=---=-- ⎝⎭为偶函数，所以()62k k ππϕπ--=+∈Z .又∵2πϕ<，∴3πϕ=，即()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为63x ππ-≤≤，∴2233x ππ-≤≤，∴当223x π=时，()f x 的最大值为1，当0x =时，()f x 的最小值是2-.所以()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2,1-.故选：D.8．已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（）A ．(4)(4)-∞-+∞ ，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞ ，，D ．(14)-，【正确答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-<解得41a -<<.故选：B9．已知函数2π()4cos ()2(0,02f x x ωϕωϕ=+-><<的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,()2f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，则()f x 的图象的一条对称轴方程可以为（）A ．π12x =-B ．π6x =-C ．π4x =-D ．4x π=【正确答案】B【分析】先化简函数为()2cos(22)f x x ωϕ=+，再根据函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，求得ω，再根据()f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，由(0)1f =求得函数解析式，然后令π2π,3x k k +=∈Z 求解.【详解】由题意知2()4cos ()22cos(22)f x x x ωϕωϕ=+-=+，因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以其最小正周期为π，故1ω=，因为()f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，所以(0)2cos 21f ϕ==，又π0,02π2ϕϕ<<<<，所以π23ϕ=，所以π()2cos(2)3f x x =+，令π2π,3x k k +=∈Z ，得ππ,62k x k =-+∈Z ，令0k =，得π6x =-，则()f x 的图象的一条对称轴方程可以为π6x =-.故选：B.方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．10．在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，||2BA BC += ，且32B ππ≤≤，则BA BC ⋅ 的取值范围是（）A ．(1]-∞，B ．[01]，C ．203⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【正确答案】C【分析】由已知数量积相等求得BA BC =，取AC 中点D ，从而求得中线AD 的长，BA BC ⋅可表示为B 的函数，由三角函数知识得取值范围．【详解】在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，即()0CA BC BA ⋅+= ，取AC 中点D ，即20CA BD ⋅=，则C A BD⊥又BD 是中线，所以ABC 是等腰三角形，BA =BC .由22BA BC BD +==，即1BD = ，1cos2BA BC B ==，则112cos 2cos cos 21cos 1cos coscos 22B BA BC BA BC B B B B B B ⋅=⋅⋅=⋅⋅==-++，由32B ππ≤≤，则10cos 2B ≤≤，所以222[0,]1cos 3BA BC B ⋅=-∈+ .故选：C ．二、填空题11．已知向量()()1,3,,4a b x =-= ，且a b，则x =___________.【正确答案】43-【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】解：向量()()1,3,,4a b x =-= ，且a b，所以1430x -⨯-=，解得43x =-.故答案为.43-12．函数()2ln 1xf x x =⋅-的零点个数为_______.【正确答案】2【分析】由题意结合函数零点的概念可转化条件得1ln 2xx =，在同一直角坐标系中作出函数ln y x =与12xy =的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.【详解】令()2ln 10xf x x =⋅-=，则1ln 2xx =，在同一直角坐标系中作出函数ln y x =与12xy =的图象，如图：由图象可知，函数ln y x =与12xy =的图象有两个交点，所以方程1ln 2xx =有两个不同实根，所以函数()2ln 1xf x x =⋅-的零点个数为2.故2.本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.13．已知1,2a b →→==，a →与b →的夹角为3π，那么a b a b →→→→+⋅-=___________.21【分析】根据向量加法运算公式计算求解即可【详解】解：根据向量模的计算公式得222214212cos73a b a b a a b b π→→→→→→→→⎛⎫+=+=+⋅+=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭222214212cos33a b a b a a b b π→→→→→→→→⎛⎫-=-=-⋅+=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭所以7321a b a b →→→→+⋅-==2114．已知函数()cos sin f x x x =⋅，下列说法正确的序号是___________.①函数()f x 的周期为π；②2021334f π⎛⎫=-⎪⎝⎭；③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称.【正确答案】②③【分析】应用特殊值法，结合周期性、对称的性质判断①、④，利用2π是函数()f x 的周期直接求20213π⎛⎫⎪⎝⎭f 判断②；由已知区间有()1sin 22f x x =，即可判断③.【详解】解：对于①，函数()cos sin f x x x =，π4π4πππππcos sin cos sin 333333f f ⎛⎫⎛⎫+==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ33f f ⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期不是π，故①不正确.对于②，因为()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x+=++==，所以2π是函数()f x 的周期，所以2021π2π2π2π2π2π2π672ππ+π+cosπsinπcossin 33333334f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②正确；对于③，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin cos sin sin22f x x x x x x =⋅=⋅=，因为ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，③正确；对于④，ππππ1cos sin cos sin 444442f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33π3π3π3π1cos sin cos sin 444442f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则π3π44f f⎛⎫⎛⎫-≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像不关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故④不正确.故②③.三、解答题15．已知tan α＝2.(1)求tan()4πα+的值；(2)求2223sin cos 2sin 2cos αααα++的值【正确答案】(1)-3(2)32【分析】（1）由正切的和角公式求解即可；（2）由余弦的二倍角公式与弦的齐次式弦化切求解即可【详解】（1）tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭tan tan41tan tan 4παπα+=-tan 11tan αα+=-21312+=--；（2）222222223sin cos 23sin cos sin sin 2cos sin 2cos ααααααααα++-=++2222222sin cos 2tan 12413sin 2cos tan 2422αααααα++⨯+====+++16．试用向量的方法证明：在ABC 中，cos cos a b C c B =+.【正确答案】证明见解析【分析】设,,AB c BC a CA b === ，从而得出0a b c ++=，化简整理可得a b c=--，两边同时与a 作内积，利用向量的数量积公式即可求解.【详解】设,,AB c BC a CA b === ，从而得出0a b c ++=，a b c ∴=-- ，()22cos cos a a b c a b a c abC ac B a ∴=⋅--=-⋅-⋅=+= ，cos cos a b C c B ∴=+，得证.17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与 BC ， AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【正确答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+；(2)52x =，2254.【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于θ、x 的等式，即可得出θ关于x 的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y 的最大值，即可得出结论.【详解】（1）解：根据题意，可算得 ()m BCx θ=， ()10m AD θ=．因为 30AB CD BC AD +++=，所以()2101030x x θθ-++=，所以，()21001010x x x θ+=<<+.（2）解：根据题意，可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭，当()5m 2x =时，()2max 225m 4=y .综上所述，当5m 2x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2225m 4.18．已知函数()()212cos 1sin2cos42f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的对称中心；(2)若()0,πα∈，且π2482f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,0,416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z(2)2【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为π()424f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称中心，令π4π,4x k k +=∈Z ，解之即可求解；(2)结合（1）的结论，将π482f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简整理可得：πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求出3π4α=，代入πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】（1）因为()()2112cos 1sin2cos4cos2sin2cos422f x x x x x x x=-+=+11πsin4cos4sin 4224x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令π4π,4x k k +=∈Z ，则ππ,416k x k =-∈Z ，所以函数的对称中心为ππ,0,416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）ππππ4484844f ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πα∈，所以3π4α=，则3ππtantanπ3ππ43tan tan 23ππ3431tan tan 43α+⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-19．已知向量a ＝(cos 2ωx －sin 2ωx ，sin ωx )，b ＝2cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b (x ∈R )的图象关于直线x ＝π2对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝h (x )的图象，若关于x 的方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）T ＝6π；单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）{k |k <≤k ＝－2}．【分析】（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到π()2sin(23f x x ω=+，再利用对称性求出ω值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到π()2sin(23h x x =-，再令π23x t -=，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.【详解】(1)f (x )＝a ·b2ωx －sin 2ωx )＋2sin ωx cos ωxωx ＋sin2ωx ＝2sin 23x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∵直线x ＝π2是y ＝f (x )的图象的一条对称轴，∴ππππ32k ω+=+(k ∈Z )，即ω＝k ＋16(k ∈Z )．又ω∈(0，1)，∴ω＝16，f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴T ＝6π.令π1ππ2π2π2332k x k -+++，k ∈Z ，得5ππ6π6π22k x k -++，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .(2)由（1）得f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，∴h (x )＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令π23x -＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π3≤t ≤2π3，方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上有且只有一个实数解，即方程2sin t ＋k ＝0在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，亦即y ＝2sin t ，t ∈π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与直线y ＝－k 有且只有一个交点，－k k ＝2，即k ≤或k ＝－2.故实数k 的取值范围是{k |k <≤k ＝－2}．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“()2sin 2h x x =”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量x ”而言，如本题中ππ()2sin[2()33h x x =-+.20．设函数()sin 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x ∈R 恒成立，求cos b ca的值.【正确答案】1-【分析】整理得，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()1af x bf x c +-=可整理得，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此，列出方程组，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩，解方程组，可得答案.【详解】解：()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即2sin 2sin 133a x b x c a b ππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩，由22cos 0a b c +=得：cos 1b ca=-，故1-21．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数：4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【正确答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）()0,1；（3）最大值为4112.（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到()()1f m f n =，解得：2m n +=，再由0n m >>，解出01m <<，根据m 的范围即可求出mn 的取值范围；（3）根据题意分443a ≤≤，4a >，考虑()f x 在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得a 的值，代入得2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由判别式0∆≤，即可得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，再令函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性，求得其最值，可求得实数s 的最大值.【详解】（1）对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.（2）因为()12x f x -=在[],m n 上递增，故()() 1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈.（3）①若443a ≤≤，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =(舍)或133a =，从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭.由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。
陕西省西安市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一上·太原期中) 若M∪{1}={1，2，3}，则M集合可以是（）
A . {1，2，3}
B . {1，3}
C . {1，2}
D . {1}
2. （2分）(2013·北京理) 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（）
A . ex+1
B . ex﹣1
C . e﹣x+1
D . e﹣x﹣1
3. （2分）已知a=20.3 ， b=， c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A . c＜b＜a
B . c＜a＜b
C . b＜a＜c
D . b＜c＜a
4. （2分） (2017高一上·焦作期末) 函数y=e|x|﹣x3的大致图象是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，
.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与
所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·榆社期中) 设tanα、tanβ是方程x2+3 x+4=0的两根，且，
，则α+β的值为（）
A . -
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·昆明期中) 设函数f（x）= ，若f（a）=1，则实数a的值为（）
A . ﹣1或0
B . 2或﹣1
C . 0或2
D . 2
8. （2分） (2016高一下·天水期末) 已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，则tan（α+ ）的值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（）
A . 10m
B . 20m
C . 20m
D . 40m
10. （2分）在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别为AB，BC的中点，点P为△ABC内部任一点，则取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2017·舒城模拟) 已知θ∈[0，2π），当θ取遍全体实数时，直线xcosθ+ysinθ=4+ sin （θ+ ）所围成的图形的面积是（）
A . π
B . 4π
C . 9π
D . 16π
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2017高一上·白山期末) log2sin（﹣）=________．
14. （1分）设函数f（x）=|2x﹣1|，实数a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是________．
15. （2分） (2016高三上·平湖期中) 已知sinα= ，α∈（0，），则cos（π﹣α）=________，cos2α=________．
16. （1分）(2017·祁县模拟) 直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为________．
三、解答题 (共5题；共40分)
17. （5分） (2016高一上·普宁期中) 计算：
① ﹣（）﹣（π+e）0+（）；
②2lg5+lg4+ln ．
18. （10分） (2017高一下·景德镇期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若∥ ，求| ﹣ |
（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．
19. （10分） (2016高一下·广州期中) 已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．
20. （5分）为振兴苏区发展，赣州市2016年计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60﹣|x﹣20|．（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；
（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．
21. （10分） (2018高二下·台州期中) 已知函数，其中 .
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上的最大值为6，求实数的值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共40分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、。
