第五讲图形的平移和旋转一、基础知识平移、旋转是几何变换中的基本变换.如能适当的运用这些变换方法，往往可以帮助我们发现解题途径.（一）平移法平移法是平行移动法的简称.在解几何题时，为了寻求解题途径，可以把题目中的某些线段平移到某一适当的位置，作出辅助图形，使问题得到解决.平移的特性是：对应线段平行且相等；对应角的两边分别平行且方向一致.为了把题目中的某些线段能较迅速地、较合理地平移到某一适当位置，作出辅助图形，熟知一些常见的图形怎样平移是很必要的．下面几个图形是梯形中涉及腰、对角线、腰的中点等的常见的平移法．在图13—1中，(甲)是平移腰BC到ED，（注意图中的线段ED没有画出来，请大家补上），可使梯形两腰、两底角、两底之差集中到△ADE中；(乙)是平移对角线DB到CF，可使梯形两对角线及其交角、两底之和集中到△ACF中；(丙)是平移上底DC到BM，可使梯形两底之和、一腰、一底角集中到△ADM 中，或将梯形ABCD转化成平行四边形ANQD．（二）旋转法将平面图形绕平面内一定点O旋转一个定角α，得到与原来图形完全一样的图形，这样的变换称为旋转变换. O点叫做旋转中心，α叫做旋转角.当α180=︒时，称为中心对称变换.旋转变换的主要性质有：（1）在旋转变换下两点之间的距离不变.（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.旋转变换一般在等腰三角形、正三角形、正多边形中应用广泛.旋转变换可以将图形中某一部分通过旋转一个定角变到一个新的位置，以实现问题条件的相对集中.图13一11及图13一12是几种常见旋转变换的基本图形．其中图13－11(甲)：△ABC 中，AB AC =，以A 为中心，旋转△ABP 到△ACP '，则,,,BP CP APB AP P APC APP ''∠-∠∠-∠这四个量集中到△PCP '中．图13－11(乙)：△ABC 是正三角形，以B 为中心，旋转△ABO 到△CBP ，则,,AO BO CO 集中到△POC 中．图13—1l(丙)：正方形ABCD 中，以B 为中心，旋转△ABP 到△CBQ ，则,,2AP CP BP 集中到△CPQ 中(旋转90︒).图13-12：△ABD ，△ACE 都是正三角形，以A 为中心，将△DAC 逆时针旋转60︒到△BAE 的位置，,DC BE 的交角为60︒．其实，我们常用的“中线倍长”，就是一种旋转变换（中心对称）.二、名校真题回放1．（101中学2005-2006学年度初二年级期中考试数学试题）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC . （1） 若C B ∠=∠，求证：梯形ABCD 是等腰梯形； （2） 若BD AC =，求证：梯形ABCD 是等腰梯形. 证明：（1）分别过上底两点作梯形的高；（2）作梯形对角线的平行线2.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）在由边长为1㎝的小正方形组成的网格中，将曲线a 向上平移1㎝得到曲线b （如图11），则图中阴影部分的面积为多少？解答：28cm 3.（人大附中2005-2006学年度第一学期期中初二年级数学练习）如图，已知：,,12AB AD AE AC ==∠=∠. 求证：DE BC =．解答：证明两个三角形全等.4. （人大附中2005-2006学年度第一学期期中初二年级数学练习）如图，F E ,分别在正方形ABCD 的边BC AB ,上，1=AB ，△BEF 的周长＝2，求EDF ∠的度数.解答：延长BA 至G ，使得CF AG =，连结DG ，证明△DEF ≌△DEG ,得到︒=∠45EDF5.（人大附中2005—2006学年度第一学期期末初二年级数学练习）如图6，△ABC 中，120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边△BCD ．把△ABD 绕着点D 顺时针旋转60o,到△ECD 的位置，若3,2AB AC ==，求AD 的长．解答：首先证明,,A C E 三点共线，再证明△ADE 是等腰三角形，从而得到5AD =三、活题巧解 （一）平移例1.（西安市初中数学竞赛题）如图，在等腰三角形ABC 的两腰AB ，AC 上分别取点E ，F 使AE=CF,已知BC=2,求证EF ≥1.解答:分别过C,E 作EF,AC 的平行线交于D,连接AD,BD,则四边形CDEF 为平行四边形,CD=EF,DE=CFAE=CF AE=DE 12∴∴∴∠=∠又1 3 23,∠=∠∴∠=∠即AD 平分BAC,∠由等腰三角形的性质可知BD=CD,在BCD 中BD+CD>BC 即2CD>2EF>1∴当EF//BC 时,点D 在BC 上,则EF=1,∴EF ≥1.例2.（北京市中考模拟题）河的同侧有A,B 两个村庄,要把A 处的产品运往B 处,并规定要走a 千米的河岸路,要使路线最短,问河边码头应建何处?解答:设码头分别为M,N 如图,则从A 到B 的路线为AMNB,不妨假设先走河岸路,沿河岸方向将A 平移至,A ,使,AA ,a =作B 关于河岸L 的对称点,B ,连,,A B 与岸L 交于点N,再将,,A N 平移回AM,则AMNB 的长满足条件的最短路线.AEBC F12 3例3.(第14届“希望杯”第一试第9题) 在Rt ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,P,Q,R 分别是边AB,BC,CA 上的点. 求证:AD< 1().2PQ QR RP ++解答:以AB 为轴作C 的对称点1C , 则Q,R 的对称点设为1Q 和1R ,如图,由090,BAC ∠=则1,,C A C 共线,再以1CC 为轴作B 的对称点211,,,B Q R P 的对称点设为2,12,.Q R P 由轴对称的性质不难推出BC//21,B C 且2AD 即等于BC 与21,B C 间的距离,由折线12QPR Q 的长度大于2AD 即可证得结论.例4.（1999年黄冈市初二竞赛试题）六边形ABCDEF 中，AB ∥,DE BC ∥,EF CD ∥AF ，其各对边之差相等，即0BC EF ED AB AF CD -=-=->，求证：六边形ABCDEF 的各角相等.解答：如下图，作AQ ∥,BC CR ∥,DE EP ∥AF ，并相交成图中的△PQR ，可证△PQR 为正三角形，故得六边形的各角均为120︒CBQD RP1Q 1R2B 2P 1C 2Q 2D AM Nl,B MB,A M例5.（北京市中考模拟题）求证：(2)n n ≥条直线两两相交，所得的角中至少有一个角不大于180n︒解答：在平面上任选一点P ，将已知直线平移过P 点，再用反证法证明.例6．（全国初中数学竞赛试题）如图在ABC 中,060,40,,BAC ACB P Q ∠=∠=分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是,BAC ABC ∠∠的角平分线. 求证:.BQ AQ AB BP +=+解答:条件中有AP 是角平分线,从角平分线的对称性角度作辅助线,将APC 沿AP 翻折,点C 落在AB 的延长线上的点,C ,将欲证结论转化为,,AC AB BP =+即,,BP BC AC AQ BQ ==+即QC=BQ.（二）旋转例7.（北京市中考模拟题）如图，梯形ABCD 中， AD ∥BC ，BE AE =，CD BC AD =+,求证：DCE BCE CDE ADE DE CE ∠=∠∠=∠⊥,,解答：方法一：延长CE 交DA 延长线于F ； 方法二：取CD 中点F ，连结EF .ABPO QC ,C132例8. (第8届“希望杯”数学竞赛试题)等边ABC 的边长a =25123+ ,点P 是ABC 内的一点,且222,PA PB PC +=若PC=5,求PA,PB 长.解答:由已知222,PA PB PC +=寻求是一个三角形的三边,分散条件利用旋转的方法可以集中,将ABP 以A 为中心逆时针旋转060后AB 与AC 可以重合,并进一步完成新图形的环境.过A 作AM ⊥CQ 交CQ 的延长线于M 则ACQ ≌ABP ,APQ 为等边三角形.222222,PA PB PC PQ QC PC PQC+=∴+=∴为直角三角形,且090.30.PQC AQM ∠=∴∠=设,,AQ x QC y ==则133,,222AM x MQ x MC y x ==∴=+,在Rt PCQ 中有222PQ QC PC +=即2225(1)x y +=在Rt ACM 中有222AC AM MC =+即223()25123(2)22x x y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭由(1)(2)组成的方程组得正整数解为34x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩即PA,PB 的长为3和4或者是4和3.例9.（全国联赛培训题）如图，已知正方形ABCD ，M 为BC 上任意一点，AN 平分DAM ∠，交DC 于N .求证：AM BM DN =+解答：在MA 上截取BM MG =，延长BG 交AN 于H ，交AD 于K ，证明△ADN ≌ △BAK ，故AG AK DN ==，结论成立.例10.（全国联赛培训题）如图，两个正方形ABCD 与AKLM 有一个公共顶点A ,求证：这两个正方形的中心以及线段,BM DK 的中点是某个正方形的顶点.AACPMQ解答：如图，证明,BK DM BK DM ⊥=，再通过三角形的中位线，证明四边形PQRS 是正方形.例11.（全国联赛培训题）如图，在△ABC 的每一边上，向形外作一个正方形，得到六边形DEFGQP ，这个六边形显然有三条边等于△ABC 的边.求证：六边形其余三边中的每一边都等于△ABC 相应中线的两倍.即2,2,2PQ AM FG BN DE CH ===证明：如图，证明△APQ ≌△BA A '，可得2PQ A A AM '==四、练习1.（北京市中考模拟题）求证：两中线相等的三角形是等腰三角形. 解答：如图作辅助线，证明△BCD ≌△CBE2.（北京市中考模拟题）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知3,3,6AD BC AC BD +===,求梯形ABCD 的面积.解答：作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，证出△BDE 为直角三角形，进而可得梯形ABCD 的面积为3323.（全国联赛培训题）已知六边形ABCDEF 的三对对边分别平行，AB ED =，求证：,BC EF CD FA ==.解答：如下图，作CP 平行且等于AB ，连接,PA PE ，仿照例题即可得证.4.(全国联赛培训题) B A ,两村庄位于河岸PQ MN ,两侧，MN ∥PQ ，河宽为m .今要修建一条公路，连接B A ,两个村子，需要在河面上建造一条公路桥，使桥垂直于两岸，问桥应建在何处，才能使耗资最少？证明你的结论.解答：作MN BC ⊥于C ，在BC 上截取m BD =，连结AD 交MN 于E ，作PQ EF ⊥于F ，则EF 就是符合问题要求的修建公路桥的位置.证明：在MN 上任意另取一点G ，作PQ GH ⊥于H ，连结BH AG ,，则BF EF AE m DE AE m AD m DG AG BH GH AG ++=++=+>++=++5.（北方交大附中2005-2006学年度第一学期期中练习）如图，F E ,分别在正方形ABCD 的边BC AB ,上，1=AB ，︒=∠45EDF ，求△BEF 的周长.解答：延长BA 至G ，使得CF AG =，连结DG . △BEF 的周长为2.6.（北京市中考模拟题）如图，在四边形ABCD 中，DC AD ABC ADC =︒=∠=∠,90，AB DP ⊥于P ，若23=PD ，求四边形ABCD 的面积.解答：作BC DM ⊥交BC 的延长线于M ，四边形ABCD 的面积为18. 7．（“希望杯”培训题）如图，直角梯形ABCD 中，︒=∠90B ，AD ∥BC ，BE AE =，CD BC AD =+,10,4==BC AD ,求△CDE 的面积.解答：方法一：仿照例题，得出DE CE ⊥，计算出DE CE ,的长度； 方法二：ABCD BCE ADE ABCD CDE S S S S S 21=--=∆∆∆,作BC DF ⊥于F ，得104=DF ，故△CDE 的面积为1014.8.(第12届“希望杯”试题)设P 为正三角形ABC 内一点，且5,4,3PA PB PC ===，求此三角形的边长.解答：如图，将△APC 绕点C 逆时针旋转60︒至△BDC ，求得150BPC ∠=︒，作BE CP ⊥于E ，求得25123BC =+五、难度系数（1）名校真题回放题号 1 2 3 4 5星级★★★★★★★★★★★★（2）活题巧解题号 1 2 3 4 5星级★★★★★★★★★★★★★★★★题号 6 7 8 9 10星级★★★★★★★★★★★★★★★★★题号11 12 13 14 15星级★★★★（3）练习题号 1 2 3 4星级★★★★★★★★★★★★题号 5 6 7 8星级★★★★★★★★★★。
