高中数学配套同课异构3.1.1 空间向量及其加减运算 课件1(人教A版选修2-1)

（zero vector），记为 .当0有向线段的起点A与 终点B重合时，AB= 0.
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.
第九页，编辑于星期一：点 十七分。
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a的相反向量，记为 – a.
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (2)AB AD AA' .
D' A'
D A
C' B'
C B
第二十一页，编辑于星期一：点 十七分。
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA' A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
D A
C' B'
C B
第二十二页，编辑于星期一：点 十七分。
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相 等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
字母表示法 a AB
向量的模 向量的大小 a AB 向量的大小 a AB
第三十一页，编辑于星期一：点 十七分。
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
平面向量
方向相同且模相等的 向量

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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等.
问题 1: C 向上 如图:已知 OA=6 米,
B AB=6 米,BC=3 米,
正北
O 正东 A
? 那么 OC=
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
(a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
加法交换律 rr rr ab ba 加法结合律: rr r r rr (a b) c a (b c)

栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
(6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点 O,作 ������������ =a, ������������ =b,则������������ =a-b,即 a-b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
3.1 空间向量及其运算
-1-
3.1.1 空间向量及其加减运算
-2-
目标导航
第一章
三角函数
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示. 2.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解向量减法的几何意 义.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
空间向量的加减法 剖析:(1)求两个空间向量和的运算,叫做空间向量的加法. (2)空间向量加法的三角形法则.如图所示,若������������ =a, ������������ =b,则 ������������ = ������������ + ������������ =a+b.使用三角形法则要特别注意“首尾相接”.
解析:①(������������ + ������������ ) + ������������1 = ������������ + ������������1 = ������������1 , ②(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 = ������������1 + ������1 ������1 = ������������1 , ③(������������ + ������������1 ) + ������1 ������1 = ������������1 + ������1 ������1 = ������������1 , ④(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 = ������������1 + ������1 ������1 = ������������1 .

图 11
→ → → OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An ＝a1＋a2＋„＋an 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重 合到起点上，这时的和向量就为零向量．
3．平行六面体的一个性质 如图 12 所示， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， → → → → → → AB ＋AD＝AC ，AC ＋AA′ ＝AC′ ， → → → → ∴AB ＋AD＋AA′ ＝AC′ .
图3
解析： 如图 3 所示， 取 AD 的中点 P， 连接 EF、 → → → → → → EP、 FP， 结合图形用AB和CD表示EF.EF＝EP＋PF 1→ 1 → 1 1 ＝ CD＋ AB ＝ (5a＋ 6b－ 8c)＋ (a－ 2c)＝ 3a＋ 3b 2 2 2 2 － 5c.
答案：3a＋3b－5c
2．向量共面的充要条件及其应用 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是： → → → 存在有序实数对 (x， y)，使MP＝ xMA ＋ yMB .满足这 个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式． 这个充要条件常用 以证明四点共面．
答案：A
2．设 A、B、C 为空间任意三点，则下列命题 为假命题的是( ) → → → B. AB＋BC＋CA＝0 → → D. AB＝－BA
→ → → A.AB＋BC＝AC → → → C. AB－AC＝BC
答案：C
3． 如图 3， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′ → → → → 中，AB＝ a，AD＝ b，AA′ ＝ c，则BD′ ＝ ________， —→ A′ C＝ ________.
→ 答案：2AC

引申探究
― → ― ― → ― ― → ― → 利用例 2 题图，化简AA′ ＋ A′ B′ ＋ B′ C′ ＋C′ A.
结合加法运算
解答
― → ― ― → ― → ― → ― ― → ― → ― → ― → AA′ ＋ A′ B′ ＝AB′ ，AB′ ＋ B′ C′ ＝AC′ ，AC′ ＋C′ A＝0. ― → ― ― → ― ― → ― → 故AA′ ＋ A′ B′ ＋ B′ C′ ＋C′ A＝0.
AC＝A1C1；
解析
的个数是
答案
A.1 B.2 C.3 D.4 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正
确；
若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出 a＝b，故②不 → ― → 正确；
AC＝A1C1；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
成立，故③正
反思与感 悟
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的 相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向 相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方 向相反.
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思考
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念 . 答案
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向 量.
梳理
大小 方向 (1)在空间，把具有 和 叫做向量的 长度 模 或 . 的量叫做空间向量，向量的大小
空间向量也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模， 长度 向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作 → ，其模记
→ → → OB＝OA＋AB＝a＋b， → → → CA＝OA－OC＝a－b.
(2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a ，

相反向 量 __方__向____相反且__长__度____相等的向量
空间向量的线性运算
【问题导思】 1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？ 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边 形法则，减法满足三角形法则．
2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？
【提示】 平面中，实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一 个向量，称为向量的数乘；当 λ＞0 时， λa 与 a 方向相同， 当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反，λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
演示结束
课 1.理解空间向量的概念．(难点) 标 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 解 3.掌握共线向量定理、共面向量定理 读 及推论的应用．(重点、难点)
空间向量的概念
【问题导思】 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量
O→A，O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
如图 3－1－6，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分
图 3－1－6 别为 BB1 和 A1D1 的中点，证明：向量A→1B、B→1C、E→F共 面．
【证明】 E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B ＝12B→1C－A→1B， 由向量共面的充要条件知，A→1B、B→1C、E→F是共面向量.

与A,B两点，
圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，-2），求直线 l 与圆M的方程.
D1
C1
A、1个
B、2个
A1
D
B1
O
B
C、3个
D、4个
C
A
课堂小结
这节课我们学习了什么？ 1、空间向量的概念 空间向量的定义： 空间向量的模： 两个特殊向量： 两个向量的关系： 2、向量的加减法则 三角形法则 平行四边形法则
作业
已知正方体 ABCD A1 B1C1 D 1 中，求下列各式的 运算结果。
ab
B
O
b
BA a b
平行四边形法则 使两向量共起点，分别以它们为邻边作平行四边形， 则从公共起点出发的对角线向量为和向量。
连接它们终点的对角线向量为差向量，指向被减数。
B
b
O
a
ab
ab
A
C
向量运算的基本图形 三角形 平行四边形
向量的加法满足加法交换律，集合律。
探究
如图，在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
uuu r uuu r uuu u r ⑴、 ( AB BC ) CC 1 uuu r uuuu r uuuu r ⑵、 ( AA A D ) DC 1 1 1 1 1 uuu r uuu r uuuu r ⑶、 AB BB B C 1 1 1 uuu r uuuu r uuuu r ⑷、 AB DD C B 1 1 1
例1：化简 AB DA BD BC CA
uuu r uuu r uuu r DB CD BC
uuu r uuu r uu u r AB (FC FA)

→ ＝OA → ＋tAB → ，则P，A，B共线.( (3)如果OP (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.(
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
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第一章
三角函数
[小组合作型]
空间向量的有关概念
(1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； → → ②在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝A1C1； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； → ＋AD → ＝AC →. ④在四边形ABCD中，必有AB 其中正确命题的序号是________.
【答案】 C
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第一章
三角函数
教材整理2 空间向量的线性运算 阅读教材P85第三自然段～P863.1.2第二自然段，完成下列问题. 1.(1)空间向量的加、减法运算(如图311)
图311 → ＝OA → ＋AB → ＝________；CA → ＝OA → －OC → ＝________. OB (2)运算律：①a＋b＝________； ②(a＋b)＋c＝________. 【答案】 a＋b a－b b＋a a＋(b＋c)
【答案】 大小 方向 长度或模 1 长度为0 相同 相等 方向 模
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第一章
三角函数
→ 相等的向 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量 AD 量共有( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个
→ 相等的向量有BC → ，A→ → 【解析】 与向量AD D ， B 1 1 1C1共3个.
【答案】 (1)λa 向量 相同 相反 0 |λ| (2)λa＋λb (λμ)a
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第一章
三角函数
→ ＝a，CB → ＝b，AD → ＝c，则CD → 等于( 1.已知空间四边形ABCD中，AB A.a＋b－c C.－a＋b＋c B.－a－b＋c D.－a＋b－c

对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式

图 3－1－5 (1)A→B＋B→C＋C→D；(2)A→B＋G→D＋E→C，并标出化简结果的 向量．
【解】 (1)A→B＋B→C＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)∵E、F、G 分别为 BC，CD，DB 的中点， ∴B→E＝E→C，E→F＝G→D. ∴A→B＋G→D＋E→C＝A→B＋E→F＋B→E＝A→F. 故所求向量A→D，A→F，如图所示．
变式训练 下列命题是假命题的为________． (1)空间向量中的两个单位向量必相等； (2)若空间向量满足 a∥b，b∥c，则 a∥c； (3)空间向量 a、b 满足 a＝b，则|a|＝|b|； (4)若空间向量 a，b，c 满足 a＝b，b＝c，则 a＝c.
【解析】 (1)单位向量模相等，方向不一定相同， 故两单位向量不一定相等．(2)若 b＝0，则结论不成立， (3)正确，(4)正确，相等向量满足传递性．
2．空间向量的数乘运算
定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ仍a 然是一个 向量，称为 向量的数乘运算．
3．空间向量的运算律
(1)加法交换律： a＋b＝b＋a ；
(2)加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
；
(3)分配律： (λ＋μ)a＝λa＋μa ； λ(a＋b)＝λa＋λb .
互动探究
其是利用三角形法则和平行四边形法则合并向量．
【自主解答】 (1) AB BC CC1 AC1 (运用“封口向
量”)．
(2) AA1 ＋12 AB ＋21 AD＝ AA1 ＋12( AB＋ AD) ＝ AA1 ＋21( A1B1 ＋ A1D1 )＝ AA1 ＋21 A1C1 ＝ AA1 ＋ A1E ＝ AE . 向量 AC1 、 AE 如图所示．
【错解】 在正方体中，因为 AB 与 CD 平行，故不 是共线向量，故①正确；因平行向量的方向相同或相反， 故②正确；因A→B与C→D同向，故由|A→B|＞|C→D|可得到A→B＞C→D， 故③正确；根据向量相等的定义知④正确．

AA1F1F 是平行四边形，所以A―1→F1＝―A→F .
同理―A→B ＝―E→D ，―CC→1 ＝―DD→1，―D→F ＝D―1→F1，
所
以A―1→F1－
―E→F ＋
―A→B ＋
―→ CC1
＋―D→F
＝―A→F
＋―F→E
＋―E→D ＋―DD→1＋D―1→F1＝―AF→1 ，如图．
[类题通法] 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(2)在平面向量中，我们是如何计算两个向量的和与差的？ 对于空间向量是否仍然适用？ 提示：三角形法则和平行四边形法则，仍然适用于空间向量．
二、归纳总结·核心必记 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有 大小和 方向量叫做空间向量． (2)长度：向量的 大小 叫做向量的长度或 模 ．
几何表示法：空间向量用 有向线段表示. (3)表示法：_字_―A_点母→B__是表，A示其，法模终：记点用为是字_B|a_母，|_或表则_示|向_―A_，量→B__若a|_也.向可量以a的记起作
―BB→1 ＋B―1→D1＋D―1→E1＝―AE→1 .
3．若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简―AF→1 －―A→B
＋―B→C ，并在图中标出化简结果的向量．
解：因为六边形 ABCDEF 是正六边形， 所以 BC∥EF，BC＝EF， 又因为 E1F1∥EF，E1F1＝EF， 所以 BC∥E1F1，BC＝E1F1， 所以 BCE1F1 是平行四边形，
[针对训练]
2．若本例条件不变，化简―A→B ＋―CC→1 ＋―D→E ＋B―1→D1，并在图中
标出化简结果的向量．
解：根据六棱柱的性质知四边形 BB1C1C，DD1E1E 都是平行四边 形，
所以―BB→1 ＝―CC→1 ，―D→E ＝D―1→E1，所以―A→B ＋―CC→1 ＋ ―D→E ＋B―1→D1＝―A→B ＋―BB→1 ＋D―1→E1＋B―1→D1＝―A→B ＋