初三数学构建函数模型求解实际问题专题辅导

构建函数模型,解决实际问题一、二次函数与乡村振兴战略例1 （2021·贵州遵义）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售。

已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图像如图所示。

（1）根据图像信息，求y与x的函数表达式;（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润。

（1）当8≤x≤32时，设y=kx+b（k≠0），则[22k+b=150，32k+b=120，]解得[k=-3，b=216，]所以当8≤x≤32时，y=-3x+216，当32 p=“"所以y=[-3x+2168≤x≤32，__ p=""（2）设利润为W，则当8≤x≤32时，W=（__8）y=（__8）（-3x+216）=-3（__40）2+3072。

因为开口向下，对称轴为直线x=40，所以当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，所以当x=32时，W最大=2880。

当32 p=""因为W随x的增大而增大，所以x=40时，W最大=3840。

因为__，所以最大利润为3840元。

本题考查二次函数在实际生活中的应用、用待定系数法求一次函数的表达式、分段函数的表达式、二次函数的性质。

我们需要熟知的常识是“利润=（售价-成本）×销售量”，由此列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润。

我们在解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，要先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值。

二、二次函数与防疫例2 （2021·湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴。

设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式a=20%（10__），下表是去年4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系（6≤x9）。

6O 8x(min)y(mg)建立反比例函数模型解实际问题教学目标：1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。

3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。

教学重点、难点：重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式教学过程：一、情景创设：为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y 与x 成反比例(如图所示),现测得药物8min 燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:(1)药物燃烧时,y 关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_______.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6mg 时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?二、新授：例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。

（1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v （字/min ）与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系？（3）小明希望能在3h 内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 例2某自来水公司计划新建一个容积为43410m ⨯的长方形蓄水池。

（1）蓄水池的底部S ()3m 与其深度()h m 有怎样的函数关系？（2）如果蓄水池的深度设计为5m ，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100m 和60m ，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）三、课堂练习1、一定质量的氧气,它的密度ρ (kg/m3)是它的体积V( m3) 的反比例函数, 当V=10m3时,ρ=1.43kg/m3. (1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V=2m3时求氧气的密度ρ.2、某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%? [收益=(实际电价－成本价)×(用电量)]3、如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在BC边上移动(不与点B、C重合),设PA=x,点D 到PA的距离DE=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.四、小结五、作业教材习题1、2、3--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世--------------------- 谢谢喜欢--------------------。

中考数学总复习《建立函数模型解决实际问题》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________典例精讲例甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解．例题图(2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1 m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱．(3)如图②，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围．例题图③针对演练1. 2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)时间x(分钟)012345人数y(人)0170320450560650时间x(分钟)67899～15人数y(人)720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x ＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.时段x还车数借车数存量y7：00～8：00175158：00～9：00287n……………根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________；第2题图(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．参考答案典例精讲例解：(1)由题意得，水面宽OA是8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4将O (0，0)代入函数表达式 解得a ＝－14∴二次函数的表达式为y ＝－14(x －4)2＋4即y ＝－14x 2＋2x (0≤x ≤8)；(3分)(2)工人不会碰到头．理由如下：∵小船距O 点0.4 m ，小船宽1.2 m ，工人直立在小船中间 由题意得，工人距点O 的距离为0.4＋12×1.2＝1∴将x ＝1代入y ＝－14x 2＋2x解得y ＝74＝1.75；∵1.75 m ＞1.68 m∴此时工人不会碰到头；(7分)(3)∵抛物线y ＝－14x 2＋2x 在x 轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x 轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x ＝4此时，当0≤x ≤4或x ≥8时，y 的值随x 值的增大而减小将新函数图象向右平移m 个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图② ∵平移不改变图形形状和大小∴平称后函数图象的对称轴是直线x ＝4＋m∴当m ≤x ≤4＋m 或x ≥8＋m 时，y 的值随x 值的增大而减小∴当8≤x ≤9时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，得m 的取值范围是： ①m ≤8且4＋m ≥9，得5≤m ≤8 ②8＋m ≤8，得m ≤0 由题意得m ＞0∴m ≤0不符合题意，舍去．综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8.(12分)图①图② 例题解图针对演练1. 解：(1)由表格中数据的变化趋势可知 ①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数 ∵当x ＝0时，y ＝0∴二次函数的关系式可设为y ＝ax 2＋bx由题意得⎩⎪⎨⎪⎧170＝a ＋b ，450＝9a ＋3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝180.∴二次函数的关系式为y ＝－10x 2＋180x ； ②当9<x ≤15时，y ＝810 ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋180x （0≤x ≤9），810（9<x ≤15）；(4分) (2)设第x 分钟时的排队人数是W 人，根据题意，得W ＝y －40x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋140x （0≤x ≤9），810－40x （9<x ≤15），①当0≤x ≤9时，W ＝－10x 2＋140x ＝－10(x －7)2＋490 ∴当x ＝7时，W 最大＝490；②当9＜x ≤15时，W ＝810－40x ，W 随x 的增大而减小 ∴210≤W ＜450∴排队人数最多时是490人要全部考生都完成体温检测，根据题意得810－40x ＝0 解得x ＝20.25答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分) (3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得12×20(m ＋2)≥810 解得m ≥118.∵m 是整数∴m ≥118的最小整数是2∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分) 2．解：(1)13，7：00时自行车的存量；【解法提示】m ＋7－5＝15，m ＝13，m 的实际意义是7：00时自行车的存量． (2)由题意得，n ＝15＋8－7＝16 设二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c把(0，13)、(1，15)和(2，16)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝13，a ＋b ＋c ＝15，4a ＋2b ＋c ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，c ＝13，∴二次函数关系式为y ＝－12x 2＋52x ＋13；(3)当x ＝3时，y ＝－12×32＋52×3＋13＝16当x ＝4时，y ＝－12×42＋52×4＋13＝15设10：00～11：00这个时段的借车数为t ，则还车数为2t －4 根据题意得，16＋2t －4－t ＝15 ∴t ＝3∴10：00～11：00这个时段的借车数为3辆。

专题10 函数的综合应用题型总结题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位.一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论.反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等.二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力.二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结.模型01 一次函数的性质与应用一、一次函数的图象与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质k >0，b >0一、二、三y =kx +b (k ≠0)k >0，b <0一、三、四y 随x 的增大而增大k <0，b >0一、二、四y =kx +b (k ≠0)k <0，b <0二、三、四y 随x 的增大而减小一次函数y =kx +b (k ≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k >0时，图象过一三象限，k <0时图象过二四象限.二、一次函数的应用1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第（2）种方法更简单快捷．模型02 反比例函数的性质与应用一、反比例函数的图象与性质反比例函数()0≠=k xky 的图象是由两个分支组成的曲线，位于第一、三象限位于第二、四象限＜x二、反比例函数)0(≠=k xky 的几何意义：2k S AOP Rt =△kS AOBP =矩形三、反比例函数的应用：反比例函数的应用考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分.模型03 二次函数的图象性质应用（最值问题、交点问题、存在性问题）二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．2．二次函数一般式的性质：配方：二次函数a 的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性向上（2b a -，244ac b a-）2bx a=-时，y 随x 的增大而增大；时，y 随x 的增大而减小；时，y 有最小值．2y ax bx c =++(0a ≠)2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++a >2bx a>-2bx a<-2bx a=-244ac b a-向下（2b a -，244ac b a-）2b x a=-2bx a>-时，y 随x 的增大而减小；2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4．二次函数顶点式2()y a x h k =-+(0a ≠)的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性0a >向上（h ，k ）x=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k．0a <向下（h ，k ）x=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．模型04 二次函数的实际应用二次函数的实际应用以顶点式2()y a x h k =-+(0a ≠)为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们认真、细致.模型01 一次函数的性质与应用考｜向｜预｜测一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象a <与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.答｜题｜技｜巧例1．（2023·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为11y k x =，22y k x =，则关于1k 与2k 的关系，正确的是（ ）A ．10k >，20k <B ．10k <，20k >C ．12||||k k <D ．12||||k k >【答案】C【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为0m <，的两个点A 和B ，则1(,)A m k m ，2(,)B m k m ，12k m k m < ，12k k ∴>，当取横坐标为正数时，同理可得12k k >，10k < ，20k <，12||||k k ∴<，故选：C例2．（2023·新疆）表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数且0mn ≠）图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】解：对于A 、B ，由一次函数的图象可知，0,0m n <>，所以0mn <，正比例函数应该经过第二、四象限，故A 正确，B 错误；对于C ，由一次函数的图象可知，0,0m n >>，所以0mn >，正比例函数应该经过第一、三象限，故C 错误；对于D ，由一次函数的图象可知，0,0m n ><，所以0mn <，正比例函数应该经过第二、四象限，故D 错误．故选A ．例3．（2023·江苏）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km /h ．两车之间的距离y (km )与慢车行驶的时间x (h )的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A 的实际意义；(2)求出图中线段AB 所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km (2)y =―70x +330(3)2.8小时【分析】（1）根据点A 的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；（2）根据题意得出B (3.5,85)，进而待定系数法求解析式，即可求解；（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．【详解】（1）解：根据函数图象，可得点A 的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km （2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min ，则点B 的横坐标为3+12=3.5，此时慢车继续行驶12小时，则快车与慢车的距离为120―70×12=120―35=85，∴B (3.5,85)设直线AB 的表达式为y =kx +b∴85=3.5k +b 120=3k +b解得：k =―70b =330∴直线AB 的表达式为y =―70x +330（3）解：设快车去乙地的速度为a 千米/小时，则3(a ―70)=120，解得：a =110∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，设快车返回的速度为v 千米/小时，根据题意， 12×(v +70)=330―3×70解得：v =100，∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需330―12×100100=2.8（小时）模型02 反比例函数的性质与应用考｜向｜预｜测反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分.从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！答｜题｜技｜巧例1．（2023·江苏）反比例函数()0ky k x=<，当13x ≤≤时，函数y 的最大值和最小值之差为4，则k 的值为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-例2．（2023·上海）如图是反比例函数1k y x =，2ky x=在x 轴上方的图像，平行四边形OABC 的面积是5，若点A 在x 轴上，点B 在1k y x =的图像上，点C 在2ky x=的图像上，则21k k -的值为 ．∵四边形ABCD 是平行四边形，平行四边形像上，∴(122ABCD BCO S S k ==- 模型03 二次函数的图象性质应用考｜向｜预｜测二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例.答｜题｜技｜巧例1．（2023·河南）对于二次函数)212y x =++的图象，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．顶点坐标是()1,2-C ．当1x >-时，y 随x 的增大而增大D ．对称轴是直线1x =例2．（2023·浙江）设函数)21(y x m =--，22()y x n =--，直线1x =与函数12,y y 的图象分别交于点()11,A a ，()21,B a ，得（ ）A ．若1m n <<，则12a a <B ．若1m n <<，则12a a <C ．若1m n <<，则12a a <D ．若1m n <<，则21a a <【答案】B【详解】解：如图所示，若1m n <<，则12a a >，故A 选项错误；如图所示，若1m n <<，则12a a >或12a a <，故C 选项错误；如图所示，若1m n <<，则12a a <，故B 选项正确，D 选项错误；故选：B例3．（2023·江苏）已知二次函数2y x =的图象与直线2y x =+的图象如图所示．(1)判断2y x =的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线2y x =+与抛物线2y x =的交点分别为A ，B ，如图所示，试确定A ，B 两点的坐标；(3)连接OA ，OB ，求AOB 的面积．【答案】(1)抛物线2y x =的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为()0,0模型04二次函数的实际应用考｜向｜预｜测二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误.答｜题｜技｜巧例1．（2024·江苏扬州·一模）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为m x，与跳台底部所在水平面的竖直高度为m y ，y 与x 的函数关系式为()2112016242y x x x =-++≤≤，当他与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．例2．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m ，小明从点()8,2A处将球传出，其运动路线为抛物线()4²4C y a x =-+₁∶的一部分，小亮在B 处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线221510102n C y x x =-++∶的一部分．(1)求抛物线1C 的函数表达式；(2)设抛物线1C 的顶点为点M ，在x 轴上找一点P ，求使PA PM -的值最大的点P 的坐标；(3)若小明在x 轴上方2m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到球，求符合条件的n 的整数值．设直线AM 的解析式为y kx b =+，()()8,2,4,4A M ，8244k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得126k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则79x ≤≤，把()7,2代入221:10C y x =-1．（2023·四川）在平面直角坐标系中，已知()0,2A ，()0,4B ，若把直线2y x =-向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．46k ≤≤B ．46k <≤C ．35k ≤≤D ．13k ≤≤【答案】A【详解】解：直线2y x =-向上平移k 个单位后得到2y x k =-+，若直线2y x =-向上平移k 个单位后与线段AB 有交点()0,2A ，()0,4B ，则224k ≤-+≤，解得46k ≤≤，故选：A ．2．（2023·南京）已知点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 都在反比例函数(0)k y k x =<的图像上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<∴320y y >>，∵点()11,A y -在第二象限，∴10y >，∴231y y y <<，故选：D ．3．（2023·贵州）在反比例函数1k y x-=的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式24x kx -+可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（ ）A ．3y x =-B ．3y x =C ．5y x =-D ．1y x=4．（2023·湖南）二次函数()2y a x m k =--的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m >，0k >C ．0m >，0k <D ．0m <，0k >【答案】A 【详解】解：由函数图象知，二次函数的图象顶点在第二象限，∵顶点坐标为()m k -，，∴0m <，0k ->，∴0m <，0k <，故选：A ．5．（2023·安徽）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，CD AD ⊥，90,BCD ∠=︒4AB BC ==，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，APQ △的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：过Q 作QN AD ⊥于N ，当02x ≤<时，点Q 在AB 上，∵60A ∠=︒，∴906030,AQN ∠=︒-︒=︒∵BM AD ⊥，60,A ∠=︒∴30,ABM ∠=︒∴AM =114222AB =⨯=，∴22，6．（2023·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交于点()2,0-，与y 轴交于点()0,1，则不等式0kx b +>的解集为 ．【答案】2x >-/2x-<【详解】解：∵直线y kx b =+与x 轴交于点()2,0-，与y 轴交于点()0,1，∴根据函数图象可知，不等式0kx b +>的解集是2x >-．故答案为：2x >-．7．（2023·甘肃）若点(),A a b 是正比例函数y kx =图象上的一点，且0a ≠，20a b +=，则k 的值为 ．【答案】2-【详解】解：∵点(),A a b 是正比例函数y kx =图象上的一点，∴=ak b ，∵20a b +=，∴2b a =-，∴2k =-，故答案为：2-．8．（2023·福建）已知()123m y m x-=-+是关于x 的一次函数，则m = ．9．（2023·上海）在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C ，、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A …在直线l 上，点1C 、2C 、3C …在y 轴正半轴上，则202320242023A A B △的面积是 ．10．（2023·山东）如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上，顶点B 、C 在第一象限，对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是16，3cos 4OAC ∠=，则k = ．11．（2023·江苏）函数222y x ax =--在14x -≤≤有最小值5-，则实数a 的值是 ．【详解】解：222y x ax =-- ，12．（2023·安徽）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,2A -，()1,1B ，()0,4C ．(1)求直线AB 的解析式；(2)一次函数32y ax a =++（a 为常数）．①求证：一次函数32y ax a =++的图象一定经过点A ；②若一次函数32y ax a =++的图象与线段BC 有交点，直接写出a 的取值范围．13.（2023·黑龙江）在一条平坦笔直的道路上依次有A ，B ，C 三地，甲从B 地骑电瓶车到C 地，同时乙从B 地骑摩托车到A 地，到达A 地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C 地，结果乙比甲早2分钟到达C 地，两人均匀速运动，如图是两人距B 地路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；(2)求图象中线段FG 所在直线表示的y （米）与时间x （分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．【答案】(1)300，800(2)y =800x ―2400（3≤x ≤6）(3)611分钟，185分钟，6分钟【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，∴乙到达C 地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，∴甲到达C 地的时间为：6＋2＝8分钟，∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，故答案为：300，800；（2）解：由（1）可知G （6，2 400），设直线FG 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，∵y =kx +b 过F （3，0），G （6，2 400）两点，∴3k +b =06k +b =2400 ，解得：k =800b =―2400 ，∴直线FG 的解析式为：y =800x ―2400，自变量x 的取值范围是3≤x ≤6；（3）解：设出发t 分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，①乙从B 地到A 地时，两人相距600米，由题意得：300t ＋800t ＝600，解得：t =611；②乙从A 地前往C 时，两人相距600米，由题意得：300t －800（t －3）＝600或800（t －3）－300t ＝600，解得：t =185或6，答：出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．14．（2023·吉林）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象(0)x >经过点(2,)A m ，过A 作x 轴的垂线AB ，垂足为B ，且OAB 的面积为1．(1)求m 和k 的值；(2)若点(,)C x y 也在这个函数的图象上，当13x ≤≤时，求y 取值范围15．（2023·广西）如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x =≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为()2,1-，点B 的坐标为()1,n ．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的取值范围；(3)求ABO 的面积；由（2）知，=1y x --，令0y =，则则1211ACB ACO BCO S S S =+=⨯⨯+ 16．（2023·河南）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC ，上部近似为一条抛物线．已知10OA =米，1AB =米，高速隧道的最高点P （抛物线的顶点）离地面OA 的距离为10米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E ，F ，若平行线段EF 与BC 之间的距离为8米，则点E 与隧道左壁OC 之间的距离为多少米？1．（2024·广西桂林·一模）一次函数3y x =-的图象不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【详解】解：∵一次函数3y x =-，10k =>，30b =-<，∴一次函数3y x =-的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选B ．2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）A ．0k >，0b <B ．方程0kx b +=的解是3x =-C ．当3x >-时，0y <D ．y 随x 的增大而减小【答案】B 【详解】解： 图象过一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，∴0k >，0b >，故A 错误，不符合题意；图象与x 轴交于点()3,0-，∴方程0kx b +=的解是3x =-，故B 正确，符合题意；由图知，当3x >-时，0y >，故C 错误，不符合题意；0k >，∴y 随x 的增大而增大；故D 错误，不符合题意；故选：B ．3．（2024·湖南长沙·一模）对于二次函数21242y x x =-+，有以下结论：①当5x >时，y 随x 的增大而增大；②当6x =时，y 有最小值6；③图像与x 轴有两个交点；④图像是由抛物线2y x =向左平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的．其中结论错误的有（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【详解】解：∵二次函数()22124266y x x x =-+=-+，∴该函数的对称轴为直线6x =，函数图像开口向上，当56x <<时，y 随x 的增大而减小，当6x >时，y 随x 的增大而增大，故①符合题意；当6x =时，y 有最小值6，故②不符合题意；当212420y x x =-+=时，()2124421441680--⨯=-<，则该方程无实数根，∴二次函数的图像与x 轴无交点，故③符合题意；图像是由抛物线2y x =向右平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，故④符合题意．故选：B ．4．（2024·广东东莞·一模）将抛物线22y x =+的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移1单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()223y x =++B ．()221y x =++C ．()221y x =-+D ．()223y x =-+【答案】C 【详解】根据二次函数图象的平移规律，得()()2221122y x x -=-=-++，故选：C ．5．（2024·甘肃天水·一模）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <；④方程kx b x a +=+的解是3x =．其中正确的是 （把序号填写在横线上）【答案】①④/④①【详解】∵1y kx b =+的函数值随x 的增大而减小，∴0k <，故①正确；∵2y x a =+的图象与y 轴交于负半轴，∴0a <，故②错误；当3x <时，相应的x 的值，1y 图象均高于2y 的图象，∴12y y >，故③错误；∵一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象交点横坐标为3，∴方程kx b x a +=+的解是3x =．故④正确．故答案为①④．6．如图所示，在同一个坐标系中一次函数11y k x b =+和y kx b =+的图象，分别与x 轴交于点A 、B ，两直线交于点C ．已知点A 坐标为()2,0-，点B 坐标为()5,0，观察图象并回答下列问题：(1)关于x 的方程110k x b +=的解是___；关于x 的不等式0kx b +<的解集是______．(2)直接写出关于x 的不等式组1100kx b k x b +>⎧⎨+>⎩解集是______．(3)若点C 坐标为()2,6，①关于x 的不等式11k x b kx b +>+的解集是______；②ABC 的面积为______．③在y 轴上找-点P ，使得PB PC -的值最大，则P 点坐标为______．此时PB PC BC -=，此时最大，设直线BC 为y mx n =+，∴2650m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得210m n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 为210y x =-+，令0x =，则10y =，()0,10P ∴，7．已知一次函数12125y x y x =-+=-，的图象如图所示，根据图象，解决下列问题：(1)求出函数11y x =-+与225y x =-交点P 坐标；(2)求出ABP 的面积．【答案】(1)()2,1-；(2)6．【详解】（1）解：由12y y =可得，125x x -+=-，解得2x =，∴1211y =-+=-，∴点P 坐标为()2,1-；8．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a5乙b7乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍．(1)求a的值；(2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值．10．（2023·吉林）每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕．已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为x （小时），甲组植树数量为y 甲（棵），乙组植树数量为y 乙（棵），y 甲、y 乙与x 之间的函数关系图象如图所示．(1)求y 乙与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)求m 、n 的值；(3)直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？【答案】(1)20(05)y x x =≤≤乙(2)m 的值是120，n 的值是15(3)甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵【详解】（1）设y 乙与x 之间的函数关系式是乙=y kx ，∵点(5,100)在该函数图象上，∴1005k =，解得20k =，即y 乙与x 之间的函数关系式是20(05)y x x =≤≤乙．（2）由图象可得，乙每小时植树：100520÷=（棵），则第1个小时甲植树：352015-=（棵），∴15n =，220100120m =-=，即m 的值是120，n 的值是15．（3）设甲、乙两个小组经过a 小时共植树165棵，甲2小时之后每小时植树：(12015)(52)35-÷-=（棵），∴201535(2)165a a ++-=，解得4a =．答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵．11．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO ）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R （Ω）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量β（g /km ）变化的关系图象如图2所示，0R （Ω）为定值电阻，电源电压恒定不变．(1)请根据图2，判断气敏电阻R （Ω）与尾气中一氧化碳的含量β（g /km ）之间成________函数，它的函数解析式为________；(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g /km ．若某辆小轿车的尾气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至0.1g /km ，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？12．（2024·湖南长沙·一模）如图，在直角坐标系中，A ，B ，C ，D 四点在反比例函数k y x=，线段AC BD ，都过原点O ，()4,2A ，点B 点纵坐标为4，连接AB CD DA ，，．(1)求该反比例函数的解析式；(2)当-2y ≥时，写出x 的取值范围；(3)求四边形ABCD 的面积．13．（2024·贵州遵义·一模）已知点(),P m n 在抛物线()213y a x =-+（a 为常数，0a ≠）上．(1)若2m =，4n =，①求抛物线的解析式；②若点()11,A t y -，()2,B t y 在该二次函数的图象上，且点A 在对称轴左侧、点B 在对称轴右侧，若12y y <，求t 的取值范围；(2)若10m -≤≤时，总有2n ≥-，且当34m ≤<时总有2n ≤-，求a 的值．14．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠经过()3,0A -，()1,0B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线35y x =-+与该抛物线没有交点，(3)若()1,C m y ，()2,D n y 为抛物线()230y ax bx a =++≠上两点()m n <，M 为抛物线上点C 和点D 之间的动点（含点C ，D ），点M 的纵坐标的取值范围为934M y -≤≤，求m n +的值．如图1，m n < ，0m ∴=，32n =，33022m n ∴+=+=，如图2，m n < ，72m ∴=-，2n =-，711222m n ∴+=--=-，综上所述：32m n +=或11-15．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x 元，小明一天通过乙灯笼获得利润y 元．①求出y 与x 之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？16．（2024·山东威海·一模）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中E 点为抛物线的拱顶且高4m ，3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．解决下列问题：(1)如图，求抛物线的解析式；。

专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造一个直角三角形解实际问题1．【2018·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：s in 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(第1题)2．【2017·鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E 的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB ＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题3．【2018·资阳】如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)(第3题)4．【2018·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)(第4题)5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题6．【2018·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．(第6题)7．【2018·绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36，tan 18°≈0.32)(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题8．【2018·潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14 m．求居民楼的高度．(精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73)(第8题)答案1．解：如图，过点A 作AC⊥OB，垂足为点C ，(第1题)在Rt△ACO 中，∵∠AOC＝40°，AO ＝1.2米，∴AC＝AO·sin ∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．2．解：(1)设DE ＝x.∵AB＝DF ＝2，∴EF＝DE －DF ＝x －2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EF tan ∠EAF ＝x －233＝3(x －2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋33x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6.∴树DE的高度为6米；(第2题)(2)如图，延长NM交DB的延长线于点P，则AM＝BP＝3.由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3.∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43，∴食堂MN的高度为(1＋43)米．3．解：(1)如图所示，过点C作CD⊥BA交BA延长线于点D，(第3题)由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos 30°＝DCAC＝60AC＝32，则AC＝403海里．答：点A到岛礁C的距离为403海里．(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥AD于点E，可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，则∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°.∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA.∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，设AA′＝x，则A′E＝32x，故CA′＝2A′N＝2A′E＝2×32x＝3x，∵3x＋x＝403，∴x＝20(3－3)海里．答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－3)海里．4．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示．则∠G＝30°.(第4题)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos 60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝23，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtan G ＝23tan 30°＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，设AB＝x m，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝ABtan G＝xt an 30°＝3x，∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8，解得：x≈11.答：电线杆的高约为11 m.5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F. 在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin 60°＝20×32＝103(m)．[:Z_xx_k]在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，∴AE＝AF2＋EF2＝（103）2＋（103）2＝106(m)．答：改造后的坡长AE为10 6 m.(第5题)(第6题)6．解：如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32(m)，∴CD＝AD＝AB·sin 30°＝16 m，BD＝AB·cos30°＝16 3 m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)m，则BH＝BC·sin 30°＝(8＋83)m.答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m.7．解：(1)如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，(第7题)∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由题意得，CE＝AB＝30 m，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°，∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20.4(m)．答：教学楼的高约为20.4 m.8．解：设每层楼高为x m，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝DC′tan 60°＝33(5x＋1)m.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝EC′tan 30°＝3(4x＋1)m.∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14.解得x≈3.18.∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1.5≈18.4(m)．答：居民楼的高度约为18.4 m.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＜oD ．a÷b ＞0【答案】C【解析】利用数轴先判断出a 、b 的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a 、b 在数轴上的位置可知：a ＜1，b ＞1，且|a|＞|b|，∴a+b ＜1，ab ＜1，a ﹣b ＜1，a÷b ＜1．故选：C ．2．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）． x… 1- 01 2 … y… 1- 74- 2- 74- …A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点【答案】B 【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 3．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

26.2.1 建立反比例函数模型解实际问题教学目的:1．通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程,一元二次不等式之间地联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图象,性质解决实际问题,提高学生用数学地意识。

3．进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。

重点难点:重点:使学生理解二次函数与一元二次方程,一元二次不等式之间地联系,能够运用二次函数及其图象,性质去解决实际问题是教学地重点。

难点:进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合地思想是教学地难点．教学过程:一,引言在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关地问题,如拱桥跨度,拱高计算等,利用二次函数地有关知识研究与解决这些问题,具有很现实地意义。

本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。

二,探索问题问题1:某公园要建造一个圆形地喷水池,在水池垂直于水面竖一根柱子,上面地A处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内,柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同地抛物线路径落下,如图(1)所示。

根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出地高度y(m)与水平距离x(m)之间地函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5。

(1)喷出地水流距水平面地最大高度是多少?(2)如果不计其它地因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出地水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论,交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值,问题(2)就是求如图(2)B 点地横坐标; 2．学生解答,教师巡视指导;3．让一两位同学板演,教师讲评。

问题2:一个涵洞成抛物线形,它地截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB ＝1.6m 时,涵洞顶点与水面地距离为2.4m 。

这时,离开水面1.5m 处,涵洞宽ED 是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析:根据已知条件,要求ED 地宽,只要求出FD 地长度。

在如图(3)地直角坐标系中,即只要求出D点地横坐标。