建立一次函数模型(1)

标题：《一次函数的应用》教育内容：培养学生建立数学模型的习惯新的教学课程标准强调要以学生为主，培养学生的应用能力和创新能力，要形成学生“基本数学活动经验和基本数学思想”“初步形、成模型思想”。

这就要求教师在教学中主动联系生活实际，开发教材，为学生设计适合学生的可操作性强的生活问题，使学生自主通过运用所学的数学知识去解决相应的生活问题，从而形成对数学的学习兴趣，形成应用能力和创新能力。

下面我就谈一下自己在教授初二数学《一次函数的应用》时的一点体会:一，在课前：1、先让学生分成了四个小组，各小组想法统计一下自己小组中一名同学的家里固定电话的上一个月的通话时间并做记录。

2、去离学校不远的电信局查询电话的收费方式有几种，并做记录。

二，在上课时：1、回忆一次函数、方程、不等式的相关知识。

2、各小组排一名学生通报自己小组的调查结果。

3、根据自己的调查，思考使用电话和交电话费是由哪些量决定的。

4、对电话费用和通话时间建立一个关系，并把这种关系用数学关系式表示。

5、根据自己建立的关系结合本组调查的那名同学家里使用的费方式计算这名同学上个月家里的电话费用，并把结果和这名同学家里交的电话费做对比。

6、用另外的付费方式计算那名同学家的电话费，并和之前的计算结果做对比。

7、通过上面的计算你认为是哪些量在决定着电话费用，付费方式对电话费用有影响吗？8、你认为你小组里那名学生家的付费方式选择的得当吗？你是怎么挑选付费方式的。

结合函数图象作答。

9、如果给你家安装一个电话，你能给自己选择出合适的付费方方式吗？设计出你的选择方案。

总结反思：在教学中时常能遇到一些创设有关知识情境的问题，这些问题大多数可以结合数学思想、数学方法联系生活进行教学。

在这个教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决生活问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。

只要充分挖掘教材有关内容的内涵和外延，就可以在教学的过程中渗透数学建模思想的教学。

课题 2.3 建立一次函数模型课标要求结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

教学目标知识与技能：了解什么是待定系数，什么是待定系数法；会根据已知条件运用待定系数法确定一次函数的表达式；理解什么叫建立函数模型。

过程与方法：从具体例子中发现如何根据条件求出一次函数解析式，通过分析发现求一次函数解析式的关键及其解决途径，从而了解和掌握待定系数法；初步体会一次函数与二元一次方程组之间的联系，通过分析、联想，感受数学知识间的关系，运用转化思想可获得问题解决。

情感态度与价值观：通过概念的抽象、方法的归纳，感受数学知识间的联系；在一系列数学活动中培养与人合作交流的能力。

教学过程一、情景导入：笑话导入。

二、预学：1、预学教材P47-49 的内容，将不懂的问题记录在“我的疑问”栏目中。

2、完成学研指导案的“学习新知”部分。

3、小组合作，解决“学习新知”中的疑难问题。

4、教师预见性点拨释疑。

①摄氏温度与华氏温度的关系为何用函数模型：C=kF+b 表示? 在这模型中摄氏温度、华氏温度各是什么变量？各用什么字母表示？能用模型F=k 'C+b '吗？为什么？②在模型中有哪几个待定系数？又已知哪几个条件？为什么不是 4 个已知条件？由哪个条件得到了方程212k+b=100?③这个问题的解决经历了哪几个步骤？三、合作展示1、小组独立完成“合作探究”的三个问题。

2、小组讨论交流。

3、小组汇报展示。

4、师生释疑。

四、归纳总结1、解决实际问题时，常要根据具体情况建立函数模型，这样就可以方便地解决实际问题中的数量关系问题。

2、利用待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设一设出一次函数解析式，即为：y=kx+b（k和）。

②代一把已知条件代入y=kx+b（k和）中，得到关于k、b的一个二元一次方程组。

③求一解方程组，求k、b的值。

④写—写出一次函数解析式。

五、训练评估。

1、学生完成“课堂目标达成”的 4 个小题。

建立函数模型主备人：吴志海上课日期班级姓名编号17学习目标1 通过独立思考，小组合作，初步学会建立一次函数模型的方法2 以极度的热情投入学习，全力以扑，享受学习的快乐重点;待定系数法求一次函数解析式，难点：应用一次函数解决有关问题【预习案】(学法指导)1.用15分钟的时间阅读探究课本的基础知识，2，完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测，3将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。

一知识回顾学习建议：同学们复习上节课学习的一次函数的相关知识，以及应用待定系数法求一次函数解析式的方法，有助于扎实的掌握本节课的内容1什么叫做待定系数法？2怎样用待定系数法求一次函数的解析式？3函数的图像表示的意义是什么？二预习自测（学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量,只有“思考才会，细心才对”，相信你会！1 已知一次函数的图像经过点（2,1）和（1,3）（1）求此函数的解析式(2)求此函数的图像与x轴y轴的交点坐标(3)你能求出该直线与两坐标轴围成的三角形的面积吗？2 租车公司提供的汽车，一辆汽车每天租金为300元，行驶每千米的附加费用是常数，一天用户老张向该公司租了一辆车，行驶了200千米，交了租车费460元(1)你能为租车费用与行驶路程的关系建立函数模型吗？（即求租车费用与行驶路程之间的函数关系式）（2）如果行驶了240千米，应交租车费用多少元？我的疑惑;请你将预习中未能解决的问题写下来，待课堂上与老师和同学们探究解决【探究案】一，学始于疑----我思考，我收获1请思考为什么图像上点的横，纵坐标可以满足函数关系式？2如何理解建立函数模型？3用待定系数法求一次函数（非正比例函数）的解析式至少需要知道图像上的几个点的坐标？（学习建议）请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

二质疑探究-----质疑解疑，合作探究知识综合应用探究教学建议：本节课的重点是待定系数法的应用，所以老师可以放手要学生自己探究。

建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。

一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。

【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。

二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。

【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。

一次函数模型及应用一次函数模型是指含有一次幂的函数，可以用以下形式表示：y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一次函数又称为线性函数，其与直线的关系密切。

一次函数模型广泛应用于实际生活中各个领域，下面将以几个具体的实际例子来说明一次函数模型的应用。

第一个例子是汽车的油耗问题。

假设某辆汽车在行驶时，每小时的平均油耗为k 升，初始油量为b升。

那么在x小时后，油量为y升的关系可以用一次函数模型来表示：y = -kx + b。

其中负号表示油量在不断减少。

这个模型可以帮助我们预测在车速不变的情况下，汽车在行驶x小时后的剩余油量。

通过测量汽车不同车速下的油耗数据，可以确定k的值，并通过初始油量来确定b的值。

在实际生活中，这个模型可以帮助我们合理安排加油时间，避免油量不足造成的困扰。

第二个例子是商品价格的变化。

假设某商品的价格在每个月都以恒定的速度上涨，每月涨价k元。

初始价格为b元。

那么在x个月后，商品价格为y元的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。

通过测量商品连续几个月的变价趋势，可以确定k的值，并通过初始价格来确定b的值。

这个模型可以用来预测未来几个月内商品价格的变化情况，帮助消费者做出购买决策。

第三个例子是人口增长问题。

假设某地区的人口在每年都以固定比例的速度增长，每年增长k人。

初始人口数量为b人。

那么在x年后，人口数量为y人的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。

通过观察人口连续几年的增长情况，我们可以确定k的值，并通过初始人口数量来确定b的值。

这个模型可以用来预测未来几年内人口的增长趋势，对于城市规划和社会发展具有重要意义。

以上三个例子只是一次函数模型在实际应用中的几个常见例子，实际上一次函数模型在各个领域都有广泛的应用。

在经济学中，一次函数模型被用来研究需求和供应的关系，分析市场价格的变化。

在物理学中，一次函数模型被用来描述物体的速度、加速度和位移之间的关系。

构建函数模型求解实际问题赵军在平时学习过程中，我们经常会遇到一些需要通过构建函数模型、运用函数的图象或性质来求解的实际问题，这类题目能把函数的有关知识与现实生活中的问题紧密联系在一起，既可以体现数学知识的应用价值，又能充分调动学生学习的积极性。

现就如何构建函数模型求解此类实际问题举例予以说明，供大家参考。

一、构建一次函数模型求最佳方案例1 某学校团支部组织该校团员参加登山比赛，比赛奖次所设等级分为；一等奖1人，二等奖4人，三等奖5人，团支部要求一等奖奖品单价比二等奖奖品单价高15元，二等奖奖品单价比三等奖奖品单价高15元，现设一等奖奖品的单价为x （元），团支部购买奖品总金额为y （元）。

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）由于团支部活动经费有限，购买奖品的总金额限制在600y 500≤≤，在这种情况下，请根据备选奖品表提出购买一、二、三等奖奖品有哪几种方案？然后本着尽可能节约资金的原则，选出最佳方案，并求这时全部奖品所需总金额是多少？分析：这是一道联系实际生活的一次函数建模应用题，主要考查了一次函数的概念和性质以及对信息的处理和收集能力。

第（1）小题解题的关键是建立购买奖品总金额与一等奖奖品的单价之间的函数关系工式，将这一实际生活问题构建为一次函数问题。

涉及的公式为：购买奖品的总金额=购买一等奖奖品的金额+购买二等奖奖品的金额+购买三等奖奖品的金额；购买每种奖品的金额=奖品的单价⨯奖品的件数。

在第（2）小题中求最佳方案，实际上就是求y 的最小值，根据题意中600y 500≤≤可列出不等式求出x 的取值范围，再由一次函数的增减性来确定y 的最小值。

解：（1）设一等奖奖品的单价为x 元，则二等奖奖品的单价为()15x -元，三等奖奖品的单价为()30x -元，购买奖品的总金额y 元与一等奖奖品的单价为x 元之间的函数关系式为()()30x 515x 4x 1y -+-+⨯=210x 10-=。